SL 1.5 — Exponents and logarithms（指数法則と対数の導入）

What you should be able to do

laws of exponents（指数法則）を使って、式を簡単にできる。
負の指数を分数の形に直せる。$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
$a^0 = 1$ を使える。
logarithm（対数）が「指数を取り出す道具」だと説明できる。
$a^x = b$ と $x = \log_a b$ を、行き来できる。
$\log_{10}$（log）と $\log_e$（ln）を、電卓で計算できる。
$a^x = b$ の形の方程式を、対数を使って解ける。

Formula booklet に載っているもの

SL 1.5 の欄には、次の1行だけが印刷されています。

\[ a^x = b \iff x = \log_a b, \qquad \text{where } a > 0, \ b > 0, \ a \neq 1 \]

指数法則は載っていません。 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ などは、自分で覚えておく必要があります。

$\iff$ は「同じことである」という記号です。左と右は、同じことを別の書き方で言っているだけです。

AI SL の範囲は、思っているより狭いです

この項目には、HL だけの内容が2つ紛れ込みやすいので、先に切り分けておきます。

1. log の法則は SL の範囲外です

\[ \log_a xy = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \qquad \log_a x^m = m\log_a x \]

これは AHL 1.9、つまり HL だけの項目です。SL では出ません。 公式集にも載っていません。

2. 分数の指数も SL の範囲外です

$5^{\frac{1}{2}}$、$32^{\frac{3}{5}}$、$x^{-\frac{1}{2}}$ のような形は AHL 1.10 です。シラバスの SL 1.5 は

Laws of exponents with integer exponents

と書かれていて、指数は整数だけです。

この2つに時間を使う必要はありません。 AA の教科書やネットの解説には必ず出てきますが、SL の試験では問われません。

The idea

この項目は、中身が2つあります。前半が指数法則、後半が対数です。別々に読んで構いません。

前半：laws of exponents（指数法則）

指数の意味

$a^n$ は「$a$ を $n$ 回掛ける」という意味です。

\[ 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \]

$a$ を base（底）、$n$ を exponent（指数）といいます。

6つの法則

公式集に載っていないので、覚える必要があります。 ただし6つとも、書き出せば当たり前のことです（Why it works を参照）。

表 1: 指数法則（SL の範囲）

法則	何をするか	シラバスの例
$a^m \times a^n = a^{m+n}$	掛けたら指数を足す	$5^3 \times 5^{-6} = 5^{-3}$
$a^m \div a^n = a^{m-n}$	割ったら指数を引く	$6^4 \div 6^3 = 6$
$(a^m)^n = a^{mn}$	累乗は指数を掛ける	$(2^3)^{-4} = 2^{-12}$
$(ab)^n = a^n b^n$	カッコの中の全部にかかる	$(2x)^4 = 16x^4$
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$	負の指数は分数になる	$2x^{-3} = \dfrac{2}{x^3}$
$a^{0} = 1$	何でも $0$ 乗は $1$	$7^0 = 1$

右の列はシラバスに書かれている例そのものです。試験もこのくらいの難しさだと思ってください。

とくに注意する2つ

$(2x)^4$ と $2x^4$ は別物です

\[ (2x)^4 = 2^4 \times x^4 = 16x^4, \qquad 2x^4 = 2 \times x^4 \]

カッコがあるかどうかで、$2$ にも指数がかかるかが変わります。

$x = 3$ で確かめてみましょう。

$(2 \times 3)^4 = 6^4 = 1296$
$2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$

まったく違う数です。カッコを見落とさないでください。

$2x^{-3}$ の $2$ は、分母に行きません

\[ 2x^{-3} = 2 \times \frac{1}{x^3} = \frac{2}{x^3} \]

$\dfrac{1}{2x^3}$ ではありません。 負の指数が付いているのは $x$ だけで、$2$ には付いていないからです。

カッコが付いていれば話は別です。

\[ (2x)^{-3} = \frac{1}{(2x)^3} = \frac{1}{8x^3} \]

どこに指数が付いているかを、指で押さえて確認してください。

$a^0 = 1$ はなぜか

\[ \frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^{0} \]

一方で、同じものを割っているので $\dfrac{5^3}{5^3} = \dfrac{125}{125} = 1$ です。

ですから $5^0 = 1$。$a$ が何であっても（$0$ でなければ）同じことが言えます。

後半：logarithms（対数）

なぜ対数が要るのか

SL 1.3 や SL 1.4 で、こういう問題をやりました。

人口が毎年 $8\%$ 増える。はじめて $2.4$ 倍になるのは何年後か。

式にすると

\[ 1.08^{\,n} = 2.4 \]

です。$n$ が指数の中にいます。 これまでは、電卓で表を作って読むか、グラフの交点を求めるしかありませんでした。

指数の中にいる $n$ を、直接取り出す道具があれば、一発で解けます。それが logarithm（対数）です。

定義

公式集の1行が、そのまま定義です。

\[ a^x = b \iff x = \log_a b \tag{1}\]

左と右は、同じことを言っています。 書き方を変えただけです。

\[ \underbrace{2^3 = 8}_{\text{指数の形}} \qquad \iff \qquad \underbrace{\log_2 8 = 3}_{\text{対数の形}} \]

$\log$ は「指数を取り出す道具」

$\log_2 8$ を、日本語で読んでみてください。

「$2$ を何乗したら $8$ になるか」

答えは $3$ です。だから $\log_2 8 = 3$。

$\log$ が返してくるのは、いつも「指数」です。ここさえ押さえれば、あとは慣れの問題です。

表 2: 対数を読む練習

対数の形	読み方	指数の形	値
$\log_{10} 1000$	$10$ を何乗したら $1000$？	$10^3 = 1000$	$3$
$\log_2 16$	$2$ を何乗したら $16$？	$2^4 = 16$	$4$
$\log_{10} 0.01$	$10$ を何乗したら $0.01$？	$10^{-2} = 0.01$	$-2$
$\log_5 1$	$5$ を何乗したら $1$？	$5^0 = 1$	$0$

$b > 0$ という条件

公式集に $b > 0$ と書いてあります。$\log$ の中身は正の数だけです。

理由は簡単で、$a^x$ はどんな $x$ を入れても正になるからです。$2^x$ が $-8$ になることはありません。

ですから $\log_{10}(-5)$ や $\log_{10} 0$ は存在しません。 電卓に入れると Error が出ます。

2つの特別な底

シラバスは、底が $10$ と $e$ の場合を扱うと書いています。この2つだけ、特別な書き方があります。

表 3: 2つの特別な対数

書き方	意味	電卓のキー
$\log x$	$\log_{10} x$（底が $10$）	`log`
$\ln x$	$\log_e x$（底が $e$）	`ln`

底が書いてなければ $10$、ln と書いてあれば $e$ です。

$e$ とは何か

$e$ は $\pi$ と同じような特別な数で、値は

\[ e = 2.71828\ldots \]

です。$\pi$ が円のあちこちに顔を出すのと同じで、$e$ は増え方・減り方を扱うところに顔を出します。

SL 1.5 では、$e$ が何かを深く知る必要はありません。 「$\ln$ は底が $e$ の $\log$ である」と分かっていれば十分です。$e$ そのものは SL 2.5（指数関数のモデル）で改めて出てきます。

電卓では $e$ が1つのキーになっています。$e^1$ を計算すれば $2.718\ldots$ が出ます。

電卓で値を出す

シラバスにこう書かれています。

Numerical evaluation of logarithms using technology.

手で計算する必要はありません。 $\log_{10} 500$ の値は、電卓に打ち込めば出ます。

\[ \log_{10} 500 = 2.6989\ldots \approx 2.70 \ (3\text{ s.f.}) \]

検算。 $10^{2.70} = 501\ldots$ で、だいたい $500$。合っています。$\log_{10} 100 = 2$、$\log_{10} 1000 = 3$ なので、$500$ なら $2$ と $3$ のあいだのはずです。

指数の形と対数の形を行き来する

これが SL 1.5 で一番よく問われる操作です。式 1 を左右どちらにも使えるようにしてください。

\[ \underbrace{10^{x} = 45}_{\text{指数の形}} \qquad \longrightarrow \qquad \underbrace{x = \log_{10} 45 = 1.65}_{\text{対数の形}} \]

\[ \underbrace{\ln x = 4}_{\text{対数の形}} \qquad \longrightarrow \qquad \underbrace{x = e^{4} = 54.6}_{\text{指数の形}} \]

3つの数のうち、どれが分からないか

$a^x = b$ には数が3つあります。分からないのがどれかで、やることが決まります。

表 4: どれが分からないか

分からないもの	例	やること
$b$（答え）	$2^5 = \ ?$	そのまま計算
$x$（指数）	$2^{\,?} = 100$	対数を使う
$a$（底）	$?^{\,3} = 64$	3乗根など

対数の出番は、真ん中の行だけです。「指数が分からないときに使う道具」と覚えてください。

Why it works

クリックすると開きます

ここでは、指数法則がなぜ成り立つのかを見ます。書き出せば当たり前だと分かります。

なぜ掛けたら足すのか

\[ a^3 \times a^2 = \underbrace{(a \times a \times a)}_{3\text{個}} \times \underbrace{(a \times a)}_{2\text{個}} = \underbrace{a \times a \times a \times a \times a}_{5\text{個}} = a^{5} \]

$a$ の個数を数えているだけです。$3$ 個と $2$ 個で合わせて $5$ 個。だから指数を足します。

なぜ負の指数が分数になるのか

\[ \frac{a^{2}}{a^{5}} = \frac{\overbrace{a \times a}^{2\text{個}}}{\underbrace{a \times a \times a \times a \times a}_{5\text{個}}} = \frac{1}{a \times a \times a} = \frac{1}{a^{3}} \]

一方、法則どおりに指数を引くと

\[ \frac{a^{2}}{a^{5}} = a^{2-5} = a^{-3} . \]

両方とも同じものなので、$a^{-3} = \dfrac{1}{a^{3}}$ です。負の指数は「引ききれなかったぶんが分母に残った」と考えると納得できます。

対数は「指数の言い換え」

対数には、新しい中身は何もありません。同じ関係を、別の側から見ているだけです。

\[ 2^{3} = 8 \]

この式には数が3つあります。どれを主役にするかで、呼び方が変わります。

表 5: 同じ式の3つの見方

主役	書き方	名前
$8$	$2^3 = 8$	累乗
$3$	$\log_2 8 = 3$	対数
$2$	$\sqrt[3]{8} = 2$	3乗根

$3$ を主役にしたのが対数です。それだけのことです。

Worked examples

問題文は英語です。意味が理解できなかったら、問題文の下の「日本語訳」を開いてください。解説は日本語です。

例題 1 Write each of the following as a single power.

(a) $7^{5} \times 7^{-8}$

(b) $9^{6} \div 9^{4}$

(c) $(3^{4})^{-2}$

(d) $(2x)^{5}$

日本語訳

次のそれぞれを、1つの累乗の形で書きなさい。

(a) $7^{5} \times 7^{-8}$

(b) $9^{6} \div 9^{4}$

(c) $(3^{4})^{-2}$

(d) $(2x)^{5}$

（a single power は「$a^n$ という形1つにまとめる」という意味です。）

(a) 掛け算なので指数を足します（表 1）。

\[ 7^{5} \times 7^{-8} = 7^{5 + (-8)} = 7^{-3} \]

負の数を足すので、結果も負になります。$5 - 8 = -3$。

(b) 割り算なので指数を引きます。

\[ 9^{6} \div 9^{4} = 9^{6-4} = 9^{2} \]

$9^2 = 81$ と書いても構いません。

(c) 累乗の累乗なので指数を掛けます。

\[ (3^{4})^{-2} = 3^{4 \times (-2)} = 3^{-8} \]

足して $3^2$ としないでください。 カッコの外に指数があるときは掛け算です。

(d) カッコの中の全部に指数がかかります。

\[ (2x)^{5} = 2^{5} \times x^{5} = 32x^{5} \]

$2x^5$ ではありません。 $2$ にも $5$ 乗がかかって $32$ になります。

解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) $7^{5} \times 7^{-8} = 7^{-3}$

(b) $9^{6} \div 9^{4} = 9^{2}$

(c) $(3^{4})^{-2} = 3^{-8}$

(d) $(2x)^{5} = 32x^{5}$

例題 2 Write each of the following without negative exponents.

(a) $5x^{-2}$

(b) $(3x)^{-2}$

(c) $2^{-3}$

日本語訳

次のそれぞれを、負の指数を使わない形で書きなさい。

(a) $5x^{-2}$

(b) $(3x)^{-2}$

(c) $2^{-3}$

計算の前に：どこに指数が付いているか

と (b) は似て見えますが、まったく違います。

1. $5x^{-2}$ … $-2$ が付いているのは $x$ だけ
1. $(3x)^{-2}$ … $-2$ が付いているのは $(3x)$ 全体

カッコの有無を、最初に確認してください。

(a) $x^{-2} = \dfrac{1}{x^{2}}$ なので、

\[ 5x^{-2} = 5 \times \frac{1}{x^{2}} = \frac{5}{x^{2}} \]

$5$ は分子に残ります。 $\dfrac{1}{5x^2}$ ではありません。

(b) カッコ全体に $-2$ が付いているので、

\[ (3x)^{-2} = \frac{1}{(3x)^{2}} = \frac{1}{9x^{2}} \]

$3$ も $2$ 乗されて $9$ になります。

(c)

\[ 2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} \]

$-8$ ではありません。負の指数は「負の数」ではなく「分数」になります。

解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) $5x^{-2} = \dfrac{5}{x^{2}}$

(b) $(3x)^{-2} = \dfrac{1}{9x^{2}}$

(c) $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$

例題 3 (a) Write $10^{3} = 1000$ in logarithmic form.

(b) Find the value of $\log_{10} 500$, correct to three significant figures.

(c) Find the value of $\ln 8$, correct to three significant figures.

(d) Given that $\ln x = 4$, find the value of $x$, correct to three significant figures.

日本語訳

(a) $10^{3} = 1000$ を対数の形で書きなさい。

(b) $\log_{10} 500$ の値を、有効数字3桁で求めなさい。

(c) $\ln 8$ の値を、有効数字3桁で求めなさい。

(d) $\ln x = 4$ のとき、$x$ の値を有効数字3桁で求めなさい。

(a) 式 1 をそのまま当てはめます。$a = 10$、$x = 3$、$b = 1000$。

\[ 10^{3} = 1000 \quad \iff \quad \log_{10} 1000 = 3 \]

指数の $3$ が、$\log$ の答えになります。

(b) 電卓の log キーです（GDCの使い方）。

\[ \log_{10} 500 = 2.6989\ldots \approx 2.70 \]

検算。 $\log_{10} 100 = 2$、$\log_{10} 1000 = 3$ なので、$500$ なら $2$ と $3$ のあいだ。$2.70$ は妥当です。

(c) 電卓の ln キーです。$\ln$ は底が $e$ の $\log$ でした（表 3）。

\[ \ln 8 = 2.0794\ldots \approx 2.08 \]

(d) 今度は対数の形から指数の形へ戻します。$\ln x = 4$ は $\log_e x = 4$ のことなので、

\[ \log_e x = 4 \quad \iff \quad x = e^{4} = 54.598\ldots \approx 54.6 \]

ln を消すには e を使う

$\ln x = 4$ を見て「$x = 4$ のなにか」と迷ったら、指数の形に書き直してください。

\[ \ln x = 4 \quad \longrightarrow \quad e^{4} = x \]

同じように、$\log_{10} x = 3$ なら $x = 10^{3} = 1000$ です。

$\log$ の反対は「底を何乗するか」です。この行き来ができれば、SL 1.5 の対数は9割終わっています。

解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) $\log_{10} 1000 = 3$

(b) $\log_{10} 500 = 2.6989\ldots \approx 2.70$

(c) $\ln 8 = 2.0794\ldots \approx 2.08$

(d) $x = e^{4} = 54.598\ldots \approx 54.6$

例題 4 The population of a town is currently $5000$. It is increasing by $8\%$ each year.

(a) Show that the population after $n$ years is given by $5000 \times 1.08^{\,n}$.

(b) Find the number of complete years after which the population first exceeds $12\,000$.

日本語訳

ある町の人口は現在 $5000$ 人です。人口は毎年 $8\%$ ずつ増えています。

(a) $n$ 年後の人口が $5000 \times 1.08^{\,n}$ で表されることを示しなさい。

(b) 人口がはじめて $12\,000$ 人を超えるのは、何年後（ちょうど何年）ですか。

(a) Show that なので、過程を書くことが点になります。

$8\%$ 増えるので、毎年 $108\%$ になります。つまり毎年 $1.08$ を掛けます。

\[ 5000 \xrightarrow{\times 1.08} 5000 \times 1.08 \xrightarrow{\times 1.08} 5000 \times 1.08^{2} \xrightarrow{\times 1.08} \cdots \]

$n$ 年後には $1.08$ を $n$ 回掛けているので、人口は $5000 \times 1.08^{\,n}$ です。

(b) ここで対数の出番です。

\[ 5000 \times 1.08^{\,n} > 12\,000 \]

\[ 1.08^{\,n} > 2.4 \]

$n$ が指数の中にいます（表 4 の真ん中の行）。式 1 を使って取り出します。

\[ 1.08^{\,n} = 2.4 \quad \iff \quad n = \log_{1.08} 2.4 \]

電卓の log テンプレート（GDCの使い方）で底に $1.08$ を入れると、

\[ n = 11.375\ldots \]

$11$ 年ではまだ届かないので、切り上げて $12$ 年です。

検算。 $n = 11$ で $11\,658$ 人、$n = 12$ で $12\,591$ 人。たしかに $12$ 年目にはじめて超えます ✓

表やグラフで解いてもかまいません

SL 1.3 や SL 1.4 でやった方法（Lists & Spreadsheet で表を作る、Graphs で交点を求める）でも、まったく同じ答えが出ます。

シラバスは電卓の使用を前提にしているので、どの方法でも正解です。

対数のよいところは、$n$ の値が一度に出ることです。$11.375$ と出れば、切り上げて $12$ とすぐ決まります。表を作るより速い場面が多くなります。

苦手なら表のままでも構いません。 ただ、対数が使えると選択肢が増えます。

解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) An increase of 8% means multiplying by 1.08 each year.

\[\text{After } n \text{ years: } 5000 \times 1.08^{\,n}\]

(b) \[5000 \times 1.08^{\,n} > 12\,000 \quad \Longrightarrow \quad 1.08^{\,n} > 2.4\]

\[n = \log_{1.08} 2.4 = 11.375\ldots\]

The population first exceeds 12 000 after 12 years.

例題 5 The loudness $L$, in decibels, of a sound of intensity $I$ watts per square metre is given by

\[ L = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right), \qquad \text{where } I_0 = 10^{-12} . \]

(a) Find the loudness of a sound of intensity $3.5 \times 10^{-6}$ watts per square metre, correct to three significant figures.

(b) Find the intensity of a sound of loudness $85$ decibels, giving your answer in the form $a \times 10^{k}$.

日本語訳

強さ $I$（ワット毎平方メートル）の音の大きさ $L$（デシベル）は、上の式で表されます。ただし $I_0 = 10^{-12}$ です。

(a) 強さが $3.5 \times 10^{-6}$ ワット毎平方メートルの音の大きさを、有効数字3桁で求めなさい。

(b) 大きさが $85$ デシベルの音の強さを求めなさい。答えは $a \times 10^{k}$ の形で書きなさい。

(a) 式に代入するだけです。SL 1.1 の指数の割り算がここで効きます。

\[ \frac{I}{I_0} = \frac{3.5 \times 10^{-6}}{10^{-12}} = 3.5 \times 10^{-6 - (-12)} = 3.5 \times 10^{6} \]

\[ L = 10 \log_{10}(3.5 \times 10^{6}) = 10 \times 6.5440\ldots = 65.440\ldots \approx 65.4 \ \text{dB} \]

(b) 今度は逆向きです。$\log$ の中身を求めます。

\[ 85 = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) \]

まず $10$ で割ります。

\[ 8.5 = \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) \]

ここで対数の形から指数の形へ（式 1）。

\[ \frac{I}{I_0} = 10^{8.5} \]

\[ I = 10^{8.5} \times 10^{-12} = 10^{8.5 - 12} = 10^{-3.5} = 3.1622\ldots \times 10^{-4} \]

\[ \approx 3.16 \times 10^{-4} \]

「$\log$ を外す」手順は、いつも同じ

$\log$ だけの形にする（今回は両辺を $10$ で割った）
底を何乗するかの形に書き直す（式 1）

\[ \log_{10} A = c \quad \iff \quad A = 10^{\,c} \]

$\ln A = c$ なら $A = e^{\,c}$ です。底が変わるだけで、やることは同じです。

$10$ で割る前に $\log$ を外そうとすると失敗します。$\log$ の前に数がくっついていたら、先にそれを消してください。

解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[\frac{I}{I_0} = \frac{3.5 \times 10^{-6}}{10^{-12}} = 3.5 \times 10^{6}\] \[L = 10\log_{10}(3.5 \times 10^{6}) = 65.44\ldots \approx 65.4 \text{ dB}\]

(b) \[85 = 10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) \quad \Longrightarrow \quad 8.5 = \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\] \[\frac{I}{I_0} = 10^{8.5} \quad \Longrightarrow \quad I = 10^{8.5} \times 10^{-12} = 10^{-3.5}\] \[I = 3.16 \times 10^{-4}\]

Common errors

掛け算で指数を掛けてしまう

$a^{3} \times a^{2} = a^{6}$ としてしまう間違いです。正しくは $a^{5}$。

掛けたら足す、累乗は掛ける。 混ざりやすいところです。

\[ a^{3} \times a^{2} = a^{5}, \qquad (a^{3})^{2} = a^{6} \]

小さい数で確かめてください。$2^3 \times 2^2 = 8 \times 4 = 32 = 2^5$ ✓

$2x^{-3}$ の $2$ を分母に入れる

$2x^{-3} = \dfrac{1}{2x^{3}}$ は間違いです。正しくは $\dfrac{2}{x^{3}}$。

負の指数が付いているのは $x$ だけです。$2$ には付いていません。

カッコがあれば話は別で、$(2x)^{-3} = \dfrac{1}{8x^{3}}$ になります。カッコを見てください。

$2^{-3} = -8$ としてしまう

正しくは $\dfrac{1}{8}$ です。

負の指数は「答えが負になる」という意味ではありません。 「分数になる」という意味です。

$2^{-3}$ は $2$ を $3$ 回割るので、小さくなります。負にはなりません。

$\log$ の中身に負の数や $0$ を入れる

$\log_{10}(-5)$ や $\ln 0$ は存在しません。 公式集にも $b > 0$ と書かれています。

電卓に入れると Error が出ます。エラーが出たら、まず中身の符号を確認してください。

途中の計算で $\log$ の中身が負になったら、そこまでのどこかで間違えています。

$\log$ の前の数を無視して外す

\[ 85 = 10\log_{10} A \]

からいきなり $A = 10^{85}$ とするのは間違いです。先に $10$ で割って $8.5 = \log_{10} A$ にしてから外します。

$\log$ を外せるのは、$\log$ だけの形になったときです。

HL の内容を持ち込む

$\log xy = \log x + \log y$ などの log の法則は AHL 1.9
$5^{\frac{1}{2}}$ のような 分数の指数は AHL 1.10

どちらも SL の範囲外です。公式集にも載っていません。

AA の教科書やネットの解説には出てきますが、SL の試験では問われません。 時間を使う必要はありません。

$\log$ と $\ln$ を取り違える

$\log x$ … 底は $10$
$\ln x$ … 底は $e$（$2.718\ldots$）

$\log_{10} 8 = 0.903$、$\ln 8 = 2.08$。まったく違う値です。

問題文の記号をそのまま使ってください。書いてあるほうのキーを押す、それだけです。

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

`log` と `ln` のキー

$\log_{10}$ と $\ln$ は、専用のキーがあります。

ln … そのままキーがあります
log … ctrl + 10^x で出ます

打ち込むと $\log_{10}(\ \ )$ のようにカッコが出るので、中身を入れて enter です。

底を自分で決める（log テンプレート）

例 4 のように、底が $10$ でも $e$ でもないことがあります。$\log_{1.08} 2.4$ のような形です。

このときは、log テンプレートを使います。

ctrl + 10^x

で出てくる $\log_{\square}(\square)$ の左下の小さいボックスに底を入れます。tab で移動できます。

\[ \log_{1.08}(2.4) \quad \longrightarrow \quad 11.375\ldots \]

底のボックスを空にしない

左下のボックスを空のままにすると、底が $10$ として計算されます。

$\log_{10} 2.4 = 0.380$ と $\log_{1.08} 2.4 = 11.4$ では、まったく違う答えです。

$1$ より小さい値が出たら、底を入れ忘れています。入力した式の形を、目で確かめてください。

$e$ を入力する

$e^{4}$ のような形は、e^x のキーで打ちます。

\[ e^{4} = 54.598\ldots \]

$e$ そのものの値が見たければ、$e^{1}$ を計算してください。$2.71828\ldots$ が出ます。

対数を使わない解き方も残しておく

例 4 の (b) は、対数を使わなくても解けます。SL 1.3 で使った方法です。

方法1：表を作る（Lists & Spreadsheet）

=seq(n, n, 0, 20)
=5000 × 1.08^a[]

$12\,000$ を超える最初の行を探すだけです。

方法2：グラフの交点（Graphs）

\[ f_1(x) = 5000 \times 1.08^{\,x}, \qquad f_2(x) = 12\,000 \]

menu → 6: Analyze Graph → 4: Intersection

lower bound? と upper bound? を聞かれるので、交点をはさんで enter を $2$ 回押します（→ SL 2.4）。

$x = 11.375\ldots$ が出ます。対数と同じ答えです。

どれを使ってもよいので、1つ確実にできるようにする

シラバスは電卓の使用を前提にしているので、3つの方法はどれも正解です。

対数 … 速い。値が一度に出る
表 … 確実。切り上げ・切り下げで迷わない
グラフ … 見た目で分かる

まずはどれか1つを確実にできるようにしてください。 試験中に迷うのが一番よくありません。

余裕があれば、1つで解いて、もう1つで検算するのが理想です。

Exercises

各問題に、折りたたみが3つ付いています。日本語訳、解答例（答案用紙に書くべきこと。英語です）、解説（なぜそうなるか。日本語です）。

まず自分で解いて、次に解答例と見くらべてください。解説は、合わなかったときだけ開けば十分です。

1 Write each of the following as a single power.

(a) $4^{7} \times 4^{-3}$

(b) $8^{2} \div 8^{5}$

(c) $(5^{-2})^{3}$

(d) $(3y)^{4}$

日本語訳

次のそれぞれを、1つの累乗の形で書きなさい。

(a) $4^{7} \times 4^{-3}$

(b) $8^{2} \div 8^{5}$

(c) $(5^{-2})^{3}$

(d) $(3y)^{4}$

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $4^{7} \times 4^{-3} = 4^{4}$

(b) $8^{2} \div 8^{5} = 8^{-3}$

(c) $(5^{-2})^{3} = 5^{-6}$

(d) $(3y)^{4} = 81y^{4}$

解説

(a) $7 + (-3) = 4$。負の数を足すので減ります。

(b) $2 - 5 = -3$。答えが負の指数でも構いません。 $\dfrac{1}{8^3}$ と書いてもよいですが、a single power と指定されているので $8^{-3}$ のままが自然です。

(c) $(-2) \times 3 = -6$。累乗なので掛けます。

(d) $3^4 = 81$。カッコの中の両方に $4$ 乗がかかります。$3y^4$ ではありません。

2 Write each of the following without negative exponents.

(a) $7x^{-4}$

(b) $(2y)^{-3}$

(c) $\dfrac{6}{x^{-2}}$

日本語訳

次のそれぞれを、負の指数を使わない形で書きなさい。

(a) $7x^{-4}$

(b) $(2y)^{-3}$

(c) $\dfrac{6}{x^{-2}}$

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $7x^{-4} = \dfrac{7}{x^{4}}$

(b) $(2y)^{-3} = \dfrac{1}{8y^{3}}$

(c) $\dfrac{6}{x^{-2}} = 6x^{2}$

解説

(a) $7$ は分子に残ります。$-4$ が付いているのは $x$ だけです。

(b) カッコ全体なので $2^3 = 8$ も分母に行きます。

(c) が一番むずかしいところです。分母にある負の指数は、分子に上がると正になります。

\[\frac{6}{x^{-2}} = \frac{6}{\frac{1}{x^{2}}} = 6 \times x^{2} = 6x^{2}\]

「分数で割ることは、逆数を掛けること」というだけの話です。

3 Find the value of each of the following.

(a) $2^{-4}$

(b) $(-3)^{0}$

(c) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$

日本語訳

次のそれぞれの値を求めなさい。

(a) $2^{-4}$

(b) $(-3)^{0}$

(c) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $2^{-4} = \dfrac{1}{2^{4}} = \dfrac{1}{16}$

(b) $(-3)^{0} = 1$

(c) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3} = 2^{3} = 8$

解説

(a) $-16$ ではありません。分数になります。

(b) $0$ 乗はいつも $1$ です。$-3$ でも $1$ になります（$0$ 以外なら何でも）。

(c) 分数の負の指数は、ひっくり返して正の指数になります。

\[\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8\]

$\dfrac{1}{2}$ を $3$ 回割るので、大きくなります。$1$ より小さい数の負の指数は、大きい数になると覚えておくと検算に使えます。

4 Write each of the following in the other form (exponential $\leftrightarrow$ logarithmic).

(a) $2^{6} = 64$

(b) $\log_{10} 0.001 = -3$

(c) $e^{5} = 148.4\ldots$

日本語訳

次のそれぞれを、もう一方の形（指数の形 ⇄ 対数の形）で書きなさい。

(a) $2^{6} = 64$

(b) $\log_{10} 0.001 = -3$

(c) $e^{5} = 148.4\ldots$

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $\log_{2} 64 = 6$

(b) $10^{-3} = 0.001$

(c) $\ln 148.4\ldots = 5$

解説

式 1 を左右に使うだけです。$a^x = b \iff x = \log_a b$。

(a) 底が $2$、指数が $6$、答えが $64$。$\log$ の答えになるのは指数の $6$ です。

(b) 底が $10$、$\log$ の答えが $-3$、中身が $0.001$。ですから $10^{-3} = 0.001$。

(c) $e$ が底なので、$\log_e$ つまり $\ln$ を使います。$\log_{e} 148.4 = 5$ と書いても正しいですが、$\ln$ のほうが自然です。

5 Find the value of each of the following, correct to three significant figures.

(a) $\log_{10} 45$

(b) $\ln 20$

(c) $\log_{2} 50$

日本語訳

次のそれぞれの値を、有効数字3桁で求めなさい。

(a) $\log_{10} 45$

(b) $\ln 20$

(c) $\log_{2} 50$

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $\log_{10} 45 = 1.6532\ldots \approx 1.65$

(b) $\ln 20 = 2.9957\ldots \approx 3.00$

(c) $\log_{2} 50 = 5.6438\ldots \approx 5.64$

解説

(b) は $3.00$ と書いてください。$3$ だけでは有効数字3桁になりません。$0$ を落とさないのは SL 1.6 でも出てくる話です。

(c) は底が $2$ なので、log テンプレートの左下のボックスに $2$ を入れます。 空にすると $\log_{10} 50 = 1.70$ になってしまいます。

検算。 $2^5 = 32$、$2^6 = 64$ なので、$\log_2 50$ は $5$ と $6$ のあいだ。$5.64$ は妥当です。

6 Solve the equation $3^{x} = 200$, giving your answer correct to three significant figures.

日本語訳

方程式 $3^{x} = 200$ を解きなさい。答えは有効数字3桁で書きなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[3^{x} = 200 \quad \Longrightarrow \quad x = \log_{3} 200\]

\[x = 4.8227\ldots \approx 4.82\]

解説

$x$ が指数の中にいるので、対数の出番です（表 4）。

式 1 をそのまま使います。$a = 3$、$b = 200$ なので $x = \log_3 200$。

log テンプレートの底に $3$ を入れて計算してください。

検算。 $3^4 = 81$、$3^5 = 243$ なので、答えは $4$ と $5$ のあいだ。$4.82$ は妥当です。$200$ は $243$ に近いので、$5$ 寄りの値になるのも納得できます。

nSolve(3^x = 200, x) でも同じ答えが出ます。

7 The population of a city is currently $8000$ and is increasing by $5\%$ each year. Find the number of complete years after which the population first reaches $20\,000$.

日本語訳

ある都市の人口は現在 $8000$ 人で、毎年 $5\%$ ずつ増えています。人口がはじめて $20\,000$ 人に達するのは、何年後（ちょうど何年）ですか。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[8000 \times 1.05^{\,n} \geq 20\,000 \quad \Longrightarrow \quad 1.05^{\,n} \geq 2.5\]

\[n = \log_{1.05} 2.5 = 18.78\ldots\]

The population first reaches 20 000 after 19 years.

解説

$5\%$ 増えるので $r = 1.05$（SL 1.3）。$\dfrac{20\,000}{8000} = 2.5$ 倍になればよい、と考えます。

$18.78$ を切り上げて $19$ です。$18$ 年後はまだ $19\,253$ 人で届きません。

検算。 $n = 19$ で $20\,216$ 人。たしかに $19$ 年目にはじめて $20\,000$ を超えます ✓

表やグラフで解いても同じ答えです。自分がやりやすい方法で構いません。

8 A car is bought for $\$30\,000$. Its value depreciates by $15\%$ each year. Find the number of complete years after which its value first falls below $\$10\,000$.

日本語訳

ある車を $\$30\,000$ で買いました。その価値は毎年 $15\%$ ずつ下がります。価値がはじめて $\$10\,000$ を下回るのは、何年後（ちょうど何年）ですか。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[30\,000 \times 0.85^{\,n} < 10\,000 \quad \Longrightarrow \quad 0.85^{\,n} < \frac{1}{3}\]

\[n = \log_{0.85} \frac{1}{3} = 6.759\ldots\]

The value first falls below $10 000 after 7 years.

解説

$15\%$ 下がるので残るのは $85\%$、$r = 0.85$（SL 1.4）。

底が $1$ より小さいので、少し不思議に見えるかもしれません。$\log_{0.85} \frac{1}{3}$ は正の値 $6.76$ になります。$0.85$ を $6.76$ 回掛けると $\frac{1}{3}$ になる、ということです。

$6.76$ を切り上げて $7$ です。$6$ 年後はまだ $\$11\,314$ で、$\$10\,000$ を上回っています。

検算。 $n = 7$ で $\$9617$。たしかに下回ります ✓

SL 1.4 では表で解きました。対数を使うと1行で済みます。

9 The energy $E$, in joules, released by an earthquake of magnitude $M$ on the Richter scale is given by

\[ \log_{10} E = 1.5M + 4.8 . \]

(a) Find the energy released by an earthquake of magnitude $6$, giving your answer in the form $a \times 10^{k}$.

(b) Show that an earthquake of magnitude $7$ releases about $31.6$ times as much energy as one of magnitude $6$.

日本語訳

マグニチュード $M$ の地震が放出するエネルギー $E$（ジュール）は、上の式で表されます。

(a) マグニチュード $6$ の地震が放出するエネルギーを求めなさい。答えは $a \times 10^{k}$ の形で書きなさい。

(b) マグニチュード $7$ の地震は、マグニチュード $6$ の地震の約 $31.6$ 倍のエネルギーを放出することを示しなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) When $M = 6$: \[\log_{10} E = 1.5(6) + 4.8 = 13.8\] \[E = 10^{13.8} = 6.3095\ldots \times 10^{13} \approx 6.31 \times 10^{13} \text{ J}\]

(b) When $M = 7$: \[\log_{10} E = 1.5(7) + 4.8 = 15.3 \quad \Longrightarrow \quad E = 10^{15.3}\]

\[\frac{10^{15.3}}{10^{13.8}} = 10^{15.3 - 13.8} = 10^{1.5} = 31.62\ldots \approx 31.6 \quad ✓\]

解説

(a) まず $\log_{10} E$ の値を出し、それから $\log$ を外します（式 1）。$E = 10^{13.8}$ です。

答えを $a \times 10^{k}$ にするには、電卓が出した $6.3095\text{E}13$ を読み替えます（SL 1.1）。

(b) Show that なので過程が点になります。割り算で指数を引くところが要です。

\[\frac{10^{15.3}}{10^{13.8}} = 10^{1.5}\]

$10^{1.5} = 31.6$。マグニチュードが $1$ 上がるごとに、エネルギーは約 $31.6$ 倍になります。

$M$ が $1$ 増えると $\log_{10} E$ が $1.5$ 増える、それが $10^{1.5}$ 倍を意味する。対数のスケールが「かけ算の世界」を「たし算の世界」に変えている、という例です。

10 $\$5000$ is invested at a nominal annual rate of $4.5\%$, compounded yearly.

(a) Use logarithms to find the number of complete years after which the investment first exceeds $\$8000$.

(b) Verify your answer using the GDC Finance Solver.

日本語訳

$\$5000$ を名目年利 $4.5\%$ の複利で預けます。利息は1年に1回つきます。

(a) 対数を使って、投資額がはじめて $\$8000$ を超えるのが何年後（ちょうど何年）かを求めなさい。

(b) GDC の Finance Solver を使って、その答えを確かめなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[5000 \times 1.045^{\,n} > 8000 \quad \Longrightarrow \quad 1.045^{\,n} > 1.6\]

\[n = \log_{1.045} 1.6 = 10.677\ldots\]

The investment first exceeds $8000 after 11 years.

(b) Using Finance Solver with $I\% = 4.5$, $PV = -5000$, $Pmt = 0$, $FV = 8000$, $PpY = CpY = 1$:

\[N = 10.677\ldots \quad \Longrightarrow \quad 11 \text{ years}\]

解説

SL 1.4 と SL 1.5 がつながる問題です。

(a) で対数、(b) で Finance Solver。同じ $10.677$ が出ます。 別の道具で同じ答えが出ることを、一度自分の手で確かめておくと安心できます。

Finance Solver では $PV = -5000$（出ていくお金）、$FV = 8000$（受け取るお金）と符号を逆にするのを忘れないでください（SL 1.7）。

$10.677$ を切り上げて $11$ です。$10$ 年後は $\$7765$ でまだ届きません。$11$ 年後で $\$8114$ ✓

Use logarithms to と指定されているので、(a) では表やグラフで解いてはいけません。 指示された方法を使うこと自体が点になります。

法則	何をするか	シラバスの例
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)	掛けたら指数を足す	\(5^3 \times 5^{-6} = 5^{-3}\)
\(a^m \div a^n = a^{m-n}\)	割ったら指数を引く	\(6^4 \div 6^3 = 6\)
\((a^m)^n = a^{mn}\)	累乗は指数を掛ける	\((2^3)^{-4} = 2^{-12}\)
\((ab)^n = a^n b^n\)	カッコの中の全部にかかる	\((2x)^4 = 16x^4\)
\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)	負の指数は分数になる	\(2x^{-3} = \dfrac{2}{x^3}\)
\(a^{0} = 1\)	何でも \(0\) 乗は \(1\)	\(7^0 = 1\)

対数の形	読み方	指数の形	値
\(\log_{10} 1000\)	\(10\) を何乗したら \(1000\)？	\(10^3 = 1000\)	\(3\)
\(\log_2 16\)	\(2\) を何乗したら \(16\)？	\(2^4 = 16\)	\(4\)
\(\log_{10} 0.01\)	\(10\) を何乗したら \(0.01\)？	\(10^{-2} = 0.01\)	\(-2\)
\(\log_5 1\)	\(5\) を何乗したら \(1\)？	\(5^0 = 1\)	\(0\)

SL 1.5 — Exponents and logarithms（指数法則と対数の導入）

The idea

前半：laws of exponents（指数法則）

指数の意味

6つの法則

とくに注意する2つ

\(a^0 = 1\) はなぜか

後半：logarithms（対数）

なぜ対数が要るのか

定義

\(\log\) は「指数を取り出す道具」

\(b > 0\) という条件

2つの特別な底

電卓で値を出す

指数の形と対数の形を行き来する

Why it works

なぜ掛けたら足すのか

なぜ負の指数が分数になるのか

対数は「指数の言い換え」

Worked examples

Common errors

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

`log` と `ln` のキー

底を自分で決める（log テンプレート）

\(e\) を入力する

対数を使わない解き方も残しておく

Exercises

書き方	意味	電卓のキー
\(\log x\)	\(\log_{10} x\)（底が \(10\)）	`log`
\(\ln x\)	\(\log_e x\)（底が \(e\)）	`ln`

分からないもの	例	やること
\(b\)（答え）	\(2^5 = \ ?\)	そのまま計算
\(x\)（指数）	\(2^{\,?} = 100\)	対数を使う
\(a\)（底）	\(?^{\,3} = 64\)	3乗根など

SL 1.5 — Exponents and logarithms（指数法則と対数の導入）

The idea

前半：laws of exponents（指数法則）

指数の意味

6つの法則

とくに注意する2つ

\(a^0 = 1\) はなぜか

後半：logarithms（対数）

なぜ対数が要るのか

定義

\(\log\) は「指数を取り出す道具」

\(b > 0\) という条件

2つの特別な底

電卓で値を出す

指数の形と対数の形を行き来する

Why it works

なぜ掛けたら足すのか

なぜ負の指数が分数になるのか

対数は「指数の言い換え」

Worked examples

Common errors

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

log と ln のキー

底を自分で決める（log テンプレート）

\(e\) を入力する

対数を使わない解き方も残しておく

Exercises

`log` と `ln` のキー