SL 4.3 — Measures of central tendency and dispersion（代表値と散らばり）

ノートWhat you should be able to do
  • mean・median・mode を求め、どれを使うべきかを判断できる。
  • 度数分布表から、公式集の式で mean を求められる。
  • grouped data から、mid-interval value を使って mean を推定できる。
  • modal class を答えられる。
  • 電卓で standard deviation（標準偏差）と variance（分散）を出せる。
  • \(\sigma_x\) と \(s_x\) のどちらを答えに書くかを判断できる。
  • \(\text{variance} = (\text{standard deviation})^2\) を使える。
  • データ全部に同じ数を足したり掛けたりしたとき、mean と standard deviation がどう変わるか説明できる。
重要Formula booklet に載っているもの

SL 4.3 の欄には、次の1行だけが印刷されています。

\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{n}, \qquad \text{where } n = \sum_{i=1}^{k} f_i \]

度数分布表から mean を求める式です。読み方はこの節で説明します。

standard deviation の式は載っていません。 シラバスが、こう決めているからです。

Calculation of standard deviation and variance of the data set using only technology.

電卓で出すものなので、式そのものは覚える必要がありません。

警告この項目の山は「電卓の使い分け」です

計算は電卓がやってくれます。ですから点差がつくのは、次の2つです。

  1. \(\sigma_x\) と \(s_x\)、どちらを答えに書くか（この節）
  2. データに定数を足したり掛けたりしたとき、何が変わって何が変わらないか（この節）

どちらも計算ではなく、判断の問題です。 ここを読み飛ばさないでください。

The idea

この項目は2つの質問に答えるものです。

  1. このデータは、だいたいどのあたりか ── measures of central tendency（代表値）
  2. このデータは、どれくらい散らばっているか ── measures of dispersion（散らばり）

1. 3つの代表値

表 1: 3つの代表値
English 日本語 何をするか
mean 平均値 全部足して、個数で割る
median 中央値 小さい順に並べて、まん中の値
mode 最頻値 一番多く出てくる値

mean は \(\bar{x}\)（エックスバー）と書きます。

median は「何番目か」を先に出します

「まん中の値」と言われても、\(50\) 個あったらどれがまん中か分かりません。先に「何番目を見ればよいか」を計算します。

\[ (\text{median の位置}) = \frac{n + 1}{2} \ \text{番目} \tag{1}\]

\(n\) はデータの個数です。必ず、小さい順に並べてから数えてください。

\(n\) が奇数のとき … 位置が整数になり、その番目の値がそのまま median です。

\(n = 7\) なら \(\dfrac{7+1}{2} = 4\) 番目。

\[ 4, \ 5, \ 5, \ \mathbf{6}, \ 8, \ 9, \ 11 \qquad \Rightarrow \qquad \text{median} = 6 \]

\(n\) が偶数のとき … 位置が \(\ast.5\) 番目になります。これは「その両どなりの平均をとる」という意味です。

\(n = 8\) なら \(\dfrac{8+1}{2} = 4.5\) 番目。\(4\) 番目と \(5\) 番目のあいだなので、

\[ 4, \ 5, \ 5, \ \mathbf{6}, \ \mathbf{8}, \ 9, \ 11, \ 16 \qquad \Rightarrow \qquad \text{median} = \frac{6 + 8}{2} = 7 \]

警告\(\dfrac{n+1}{2}\) は「値」ではなく「位置」です

\(n = 8\) のとき、\(\dfrac{8+1}{2} = 4.5\) は median が \(4.5\) という意味ではありません。 「\(4.5\) 番目を見なさい」という意味です。

位置を出す → その番目の値を読む。 この2段階だと思ってください。

\(\dfrac{n}{2}\) としないようにも気をつけてください。\(+1\) が要ります。 \(n = 7\) で \(\dfrac{7}{2} = 3.5\) 番目としてしまうと、まん中からずれます。

使い分け

外れ値があるかどうかで決まります。

  • mean … 全部の値を使うので、外れ値に引っぱられます
  • median … 順番だけを見るので、外れ値にほとんど動きません
  • mode … 一番多い値。データが数値でなくても使えます

たとえば \(4, 5, 5, 6, 8, 9, 11, 16\) の mean は \(8\) ですが、最後の \(16\) を \(40\) に変えると mean は \(11\) に上がります。median は \(7\) のままです（例 1 で確かめます）。

外れ値があるデータでは、median のほうが実感に近い代表値になります。 給料や家の値段の話で「平均」より「中央値」が使われるのは、そのためです。

2. 度数分布表からの mean

同じ値が何回も出てくるとき、全部書き出すのは大変です。そこで度数分布表を使います。公式集の式は、そのための式です。

\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{n}, \qquad n = \sum_{i=1}^{k} f_i \tag{2}\]

記号の意味

いきなり \(\sum\)（シグマ）が出てくるので、順に見ていきます。

表 2: 記号の読み方
記号 意味
\(x_i\) \(i\) 番目の値
\(f_i\) その値の度数（何回出てきたか）
\(k\) 表の行数
\(n\) データの個数の合計（\(= \sum f_i\)）

\(\sum f_i x_i\) は「それぞれの行で（度数）×（値）を計算して、全部足す」という意味です。SL 1.2 で出てきた \(\sum\) と同じ記号です。

やっていることは、ふつうの平均と同じです。\(2\) が \(3\) 回出てくるなら \(2+2+2 = 2 \times 3\) と書けます。それを全部の行でやって、個数で割っているだけです。

表に「\(f \times x\)」の列を1つ足すと、間違えにくくなります。 例 2 でその形を使います。

3. grouped data の mean は「推定」です

SL 4.2 で見たような、階級で区切られた表では、一人ひとりの正確な値が分かりません。\(20 \leq t < 30\) に \(24\) 人いることは分かっても、その \(24\) 人が \(21\) 分なのか \(29\) 分なのかは分かりません。

そこでシラバスは、こう決めています。

Students should use mid-interval values to estimate the mean of grouped data.

階級のまん中の値（mid-interval value、階級値）で代表させます。

\[ 20 \leq t < 30 \quad \longrightarrow \quad x = \frac{20 + 30}{2} = 25 \]

そのうえで、式 2 をそのまま使います。

答えは必ず「推定値」です。 問題文も estimate the mean となります。find ではありません。

4. 散らばりを表す3つ

表 3: 3つの散らばりの尺度
English 日本語 求め方 外れ値の影響
range 範囲 最大 \(-\) 最小 とても大きい
interquartile range (IQR) 四分位範囲 \(Q_3 - Q_1\) 小さい
standard deviation 標準偏差 電卓で出す 大きい

standard deviation は何を表しているか

「それぞれの値が、平均からどれくらい離れているか」の平均的な大きさです。

  • 小さい … データが平均のまわりに集まっている
  • 大きい … データが広く散らばっている

同じ平均でも、散らばりはまったく違うことがあります。

図 1: Two sets with the same mean but different spread

Set A も Set B も、平均は \(50\) です。 けれども Set A は \(46\) から \(54\) に収まっているのに対し、Set B は \(38\) から \(62\) まで広がっています。

その違いが standard deviation の \(2.45\) と \(7.35\) に出ています。平均だけ見ていては分からないことが、これで分かります。

variance は standard deviation の2乗

シラバスに、そのまま書かれています。

Variance is the square of the standard deviation.

\[ \text{variance} = (\text{standard deviation})^{2} \tag{3}\]

記号では \(\sigma^2\) と \(\sigma\) です。2乗が付いているほうが variance です。

\[ \sigma = 2 \quad \Longrightarrow \quad \sigma^{2} = 4 \]

\[ \sigma^{2} = 20.25 \quad \Longrightarrow \quad \sigma = \sqrt{20.25} = 4.5 \]

電卓は standard deviation しか表示しません。 variance を聞かれたら、自分で2乗してください。

5. \(\sigma_x\) と \(s_x\) ── どちらを書くか

電卓の One-Variable Statistics には、標準偏差が2つ並んで出てきます。

表 4: 2つの標準偏差
表示 名前 いつ使うか
\(\sigma_x\) population standard deviation データ全部が母集団のとき
\(s_x\) sample standard deviation データが標本で、母集団を推測したいとき

AI SL では、原則 \(\sigma_x\) です。

理由は、SL 4.1 の冒頭で見たシラバスの一文です。

At SL the data set will be considered to be the population unless otherwise stated.

特に断りがなければ、与えられたデータが母集団そのものとして扱われます。ですから population standard deviation、つまり \(\sigma_x\) を書きます。

重要見分け方は1つだけ

答案に書くのは \(\sigma_x\) のほう、と覚えて構いません。

電卓の画面では、\(\sigma_x\) のほうが小さい値になります。2つ並んでいて、どちらか分からなくなったら、小さいほうが \(\sigma_x\) です。

たとえば 例 4 のデータでは \(\sigma_x = 2\)、\(s_x = 2.14\) です。

問題文に sample と書いてあって、母集団について推測せよと言われている場合だけ、\(s_x\) を使います。AI SL でそこまで問われることはほとんどありません。

6. データ全部に定数を足す・掛ける

シラバスが、例文つきで挙げている項目です。

If three is subtracted from the data items, then the mean is decreased by three, but the standard deviation is unchanged.

If all the data items are doubled, the mean is doubled and the standard deviation is also doubled.

まとめると、こうなります。

表 5: 定数を変えたときの影響
したこと mean standard deviation variance
\(c\) を足す（引く） \(c\) だけ増える（減る） 変わらない 変わらない
\(k\) 倍する \(k\) 倍になる \(\lvert k \rvert\) 倍になる \(k^{2}\) 倍になる

standard deviation は散らばりの大きさなので、負になりません。ですから \(\lvert k \rvert\) 倍です。\(k > 0\) なら、そのまま \(k\) 倍と思って構いません（試験に出るのは、ほとんどこの場合です）。

一番大事なのは、足し算では standard deviation が変わらないことです。

図 2: Adding a constant shifts the data; multiplying stretches it

図を見てください。\(3\) を足すと、点がそろって右にずれるだけです。点どうしの間隔は変わっていません。 だから散らばりも変わりません。

\(2\) 倍すると、点の間隔そのものが広がります。だから散らばりも \(2\) 倍になります。

警告variance だけ \(k^2\) 倍です

\(k\) 倍したとき、standard deviation は \(\lvert k \rvert\) 倍ですが、variance は \(k^2\) 倍になります。

variance は standard deviation の2乗だからです（式 3）。

\[ \sigma \to 2\sigma \quad \Longrightarrow \quad \sigma^{2} \to (2\sigma)^{2} = 4\sigma^{2} \]

\(2\) 倍ではなく \(4\) 倍です。 ここはよく間違えます。

7. quartile の求め方は1つではありません

シラバスに、正直な一文があります。

Awareness that different methods for finding quartiles exist and therefore the values obtained using technology and by hand may differ.

\(Q_1\) と \(Q_3\) の求め方はいくつかあり、手計算と電卓で答えが違うことがあります。

だからシラバスは Using technology と指定しています。電卓が出した値をそのまま書けば正解です。

教科書やサイトによって値が違っても、心配しないでください。 試験では電卓の値が使われます。

Why it works

ここでは、なぜ定数を足しても standard deviation が変わらないのかだけを説明します。

standard deviation は、「それぞれの値が平均からどれだけ離れているか」から計算されます。使うのは値そのものではなく、平均との差です。

いま、データ全部に \(3\) を足したとします。すると、

  • それぞれの値が \(3\) 増える
  • 平均も \(3\) 増える

つまり、値と平均が同じだけ動きます。 ですから、その差は変わりません。

\[ (x + 3) - (\bar{x} + 3) = x - \bar{x} \]

差が変わらないので、そこから計算される standard deviation も変わらない、というわけです。

図 2 で、点が形を保ったまま右にずれているのは、これを絵にしたものです。

一方 \(2\) 倍したときは、

\[ 2x - 2\bar{x} = 2(x - \bar{x}) \]

差そのものが \(2\) 倍になります。だから standard deviation も \(2\) 倍です。

Worked examples

問題文は英語です。意味が理解できなかったら、問題文の下の「日本語訳」を開いてください。解説は日本語です。

例題 1 Eight students record the number of hours they spent reading in one week:

\[ 4, \quad 5, \quad 5, \quad 6, \quad 8, \quad 9, \quad 11, \quad 16 . \]

(a) Find the mean, the median and the mode.

(b) The value \(16\) is replaced by \(40\). Find the new mean and the new median.

(c) Comment on which measure of central tendency is more affected by this change.

(a) mean は全部足して \(8\) で割ります。

\[ \bar{x} = \frac{4+5+5+6+8+9+11+16}{8} = \frac{64}{8} = 8 \]

median は、\(8\) 個なのでまん中2つの平均です。\(4\) 番目と \(5\) 番目は \(6\) と \(8\) なので、

\[ \frac{6+8}{2} = 7 \]

mode は一番多く出てくる値です。\(5\) が2回、他は1回ずつなので \(5\) です。

(b) \(16\) を \(40\) に変えると、合計が \(24\) 増えます。

\[ \bar{x} = \frac{88}{8} = 11 \]

median は、並べ方が変わらないので、まん中2つも \(6\) と \(8\) のままです。

\[ \text{median} = 7 \quad (\text{変わらず}) \]

(c) mean は \(8\) から \(11\) へ \(3\) も動いたのに、median は \(7\) のまままったく動いていません。

理由は使い分けの節のとおりです。mean は全部の値を足すので大きい値に引っぱられますが、median は順番しか見ないので、一番大きい値が何であっても関係ありません。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \(\bar{x} = \dfrac{64}{8} = 8\) hours, median \(= \dfrac{6+8}{2} = 7\) hours, mode \(= 5\) hours

(b) \(\bar{x} = \dfrac{88}{8} = 11\) hours, median \(= 7\) hours

(c) The mean is more affected. It increased from \(8\) to \(11\), while the median stayed at \(7\). This is because the mean uses every value, so a single large value pulls it up, whereas the median depends only on the position of the middle values.

例題 2 The table shows the number of siblings of \(40\) students.

表 6: Siblings
Number of siblings, \(x\) Frequency, \(f\)
0 8
1 12
2 15
3 4
4 1

(a) Find the mean number of siblings.

(b) Write down the mode.

(c) Find the median.

(a) 公式集の 式 2 を使います。表に \(f \times x\) の列を足すのが確実です。

表 7: \(fx\) の列を足した表
\(x\) \(f\) \(f x\)
0 8 \(0\)
1 12 \(12\)
2 15 \(30\)
3 4 \(12\)
4 1 \(4\)
合計 40 58

\[ n = \sum f_i = 40, \qquad \sum f_i x_i = 58 \]

\[ \bar{x} = \frac{58}{40} = 1.45 \]

\(1.45\) 人という答えでよいです。 実際に \(1.45\) 人の兄弟がいる人はいませんが、平均とはそういうものです。

(b) 度数が一番大きいのは \(15\) で、そのときの値は \(2\) です。

\[ \text{mode} = 2 \]

「\(15\)」ではありません。 mode は値のほうです。

(c) \(40\) 個なので、\(20\) 番目と \(21\) 番目の平均です。

累積度数を出して、何番目がどの値かを調べます。

\[ 8, \quad 20, \quad 35, \quad 39, \quad 40 \]

  • \(1\)〜\(8\) 番目 … \(x = 0\)
  • \(9\)〜\(20\) 番目 … \(x = 1\)
  • \(21\)〜\(35\) 番目 … \(x = 2\)

ですから \(20\) 番目は \(1\)、\(21\) 番目は \(2\) です。

\[ \text{median} = \frac{1+2}{2} = 1.5 \]

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \(\sum f x = 0 + 12 + 30 + 12 + 4 = 58\)

\[\bar{x} = \frac{58}{40} = 1.45\]

(b) mode \(= 2\)

(c) median \(= \dfrac{1+2}{2} = 1.5\)

例題 3 The table shows the times, in minutes, taken by \(80\) students to travel to school.

表 8: Travel times
Time, \(t\) (minutes) Frequency
\(0 \leq t < 10\) 6
\(10 \leq t < 20\) 14
\(20 \leq t < 30\) 24
\(30 \leq t < 40\) 20
\(40 \leq t < 50\) 12
\(50 \leq t < 60\) 4

(a) Write down the modal class.

(b) Estimate the mean travel time.

(c) Explain why your answer to part (b) is an estimate.

(a) 度数が一番大きいのは \(24\) なので、

\[ 20 \leq t < 30 \]

不等式で書いてください。 「\(24\)」でも「\(25\)」でもありません。

(b) estimate と書かれているので、mid-interval value を使う合図です。

まず各階級のまん中の値を出します。

表 9: 階級値を使った計算
\(t\) mid-interval value, \(x\) \(f\) \(fx\)
\(0 \leq t < 10\) 5 6 \(30\)
\(10 \leq t < 20\) 15 14 \(210\)
\(20 \leq t < 30\) 25 24 \(600\)
\(30 \leq t < 40\) 35 20 \(700\)
\(40 \leq t < 50\) 45 12 \(540\)
\(50 \leq t < 60\) 55 4 \(220\)
合計 80 2300

\[ \bar{x} = \frac{2300}{80} = 28.75 \ \text{minutes} \]

SL 4.2 で累積度数グラフから読んだ median は約 \(28\) 分でした。近い値になっています。2つの方法の答えが近ければ、どちらも大きくは外していないと分かります。

(c) 理由は1つで十分です。

階級の中の一人ひとりの正確な値が分からないので、全員が階級のまん中にいると仮定して計算しています。本当はそうとは限りません。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \(20 \leq t < 30\)

(b) \(\sum f x = 30 + 210 + 600 + 700 + 540 + 220 = 2300\)

\[\bar{x} = \frac{2300}{80} = 28.75 \ \text{minutes}\]

(c) The exact times of the individual students are not known. Each student is assumed to take the mid-interval value of their class, so the answer is only an estimate.

例題 4 The number of cakes sold in a shop on eight days is

\[ 2, \quad 4, \quad 4, \quad 4, \quad 5, \quad 5, \quad 7, \quad 9 . \]

(a) Find the mean.

(b) Find the standard deviation.

(c) Find the variance.

(a) 電卓の One-Variable Statistics に入れます（GDCの使い方）。

\[ \bar{x} = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5 \]

(b) 同じ画面に、標準偏差が2つ出てきます。

\[ \sigma_x = 2, \qquad s_x = 2.138\ldots \]

どちらを書くかが問われています（この節）。問題文に sample とは書かれていないので、このデータは母集団として扱います。

\[ \text{standard deviation} = \sigma_x = 2 \]

\(2.14\) と書くと、聞かれたものと違う値になります。\(s_x\) のほうを写してしまった、ということになります。

(c) variance は standard deviation の2乗です（式 3）。

\[ \sigma_x^{2} = 2^{2} = 4 \]

電卓には variance の欄がありません。 自分で2乗してください。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \(\bar{x} = 5\) cakes

(b) \(\sigma = 2\) cakes

(c) \(\sigma^{2} = 2^{2} = 4\)

例題 5 A set of data has a mean of \(24\) and a standard deviation of \(5\).

(a) Each value in the data set is increased by \(3\). Write down the new mean and the new standard deviation.

(b) Instead, each value in the original data set is multiplied by \(2\). Find the new mean, the new standard deviation and the new variance.

(c) Explain why adding a constant does not change the standard deviation.

(a) 表のとおりです。

\[ \text{new mean} = 24 + 3 = 27 \]

\[ \text{new standard deviation} = 5 \quad (\text{変わらず}) \]

標準偏差に \(3\) を足さないでください。 ここが一番よくある間違いです。

(b) \(2\) 倍のときは、mean も standard deviation も \(2\) 倍です。

\[ \text{new mean} = 24 \times 2 = 48 \]

\[ \text{new standard deviation} = 5 \times 2 = 10 \]

variance は standard deviation の2乗なので、

\[ \text{new variance} = 10^{2} = 100 \]

もとの variance は \(5^2 = 25\) でした。\(25 \times 4 = 100\) で、たしかに \(2^2 = 4\) 倍になっています。

(c) 図 2 の話をそのまま書きます。値も平均も同じだけ動くので、その差が変わらない、というのが理由です。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) new mean \(= 27\), new standard deviation \(= 5\)

(b) new mean \(= 48\), new standard deviation \(= 10\), new variance \(= 10^{2} = 100\)

(c) When a constant is added, every value and the mean increase by the same amount, so the distance between each value and the mean is unchanged. The standard deviation is calculated from these distances, so it stays the same.

Common errors

警告\(s_x\) を答えに書いてしまう

電卓に2つ並んでいるうち、答案に書くのは \(\sigma_x\) です。

the data set will be considered to be the population なので、population standard deviation を使います。\(\sigma_x\) のほうが小さい値です。

警告定数を足したときに標準偏差も足す

mean \(= 24\)、SD \(= 5\) で \(3\) を足したら、mean は \(27\) ですが SD は \(5\) のままです。

\(8\) にはなりません。

警告\(k\) 倍したときに variance も \(k\) 倍にする

variance は \(k^2\) 倍です。\(2\) 倍なら variance は \(4\) 倍。

standard deviation が \(\lvert k \rvert\) 倍で、variance はその \(2\) 乗だからです。

警告mode を度数で答える

表 6 で「\(15\)」と答える誤りです。mode は値のほうなので \(2\) です。

modal class も同じで、階級（不等式）を書きます。

警告grouped data で階級の上端や下端を使う

使うのは mid-interval value（まん中の値）です。\(20 \leq t < 30\) なら \(25\) です。\(20\) でも \(30\) でもありません。

警告variance を電卓で探す

電卓に variance の欄はありません。 standard deviation を出して、自分で2乗してください。

警告estimate を無視して正確な答えのように書く

grouped data から出した mean は必ず推定値です。

問題文が estimate なら、理由を聞かれる可能性があります。「一人ひとりの正確な値が分からないから」と書けるようにしておいてください。

警告度数分布表の \(n\) を行数だと思う

\(n\) は度数の合計です。表 6 なら \(n = 40\) で、\(5\) ではありません。

電卓で \(n = 5\) と出たら、Frequency List を指定し忘れています（SL 4.2）。

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

この項目は、ほぼ全部が電卓の操作です。 シラバスも using only technology と指定しています。

生データを入れる

ctrl + doc → 4: Add Lists & Spreadsheet

一番上のグレーの行に列の名前（cakes など）を入れ、その下にデータを並べます。

menu → Statistics → Stat Calculations → One-Variable Statistics

Num of Lists は 1、X1 List に列の名前を選び、Frequency List は 1 のままで OK です。

度数分布表を入れる ── 2列使います

値の列と度数の列を作り、Frequency List に度数の列を指定します。

表 10: 度数分布表の入れ方
x f
0 8
1 12
2 15
3 4
4 1

grouped data なら、左の列に mid-interval value を入れます。

警告まず \(n\) を見てください

結果の \(n\) がデータの個数の合計になっているか確かめます。

表 10 なら \(n = 40\) です。\(5\) になっていたら、Frequency List を指定し忘れています。

これは AI SL の統計で一番多い操作ミスです。\(n\) を見る習慣をつけてください。

結果の読み方

表 11: One-Variable Statistics の読み方
表示 意味 答案で使うか
\(\bar{x}\) mean 使う
\(\Sigma x\) 合計（\(\sum f x\)） 途中式に使える
\(\sigma_x\) population standard deviation これを書く
\(s_x\) sample standard deviation ふつう使わない
\(n\) データの個数 最初に確認する
MedianX median 使う
Q1X / Q3X \(Q_1\) / \(Q_3\) 使う

variance の欄はありません。 \(\sigma_x\) を2乗してください。

ヒント\(\Sigma x\) は検算に使えます

度数分布表から mean を手で計算したとき、\(\sum f x\) の値が電卓の \(\Sigma x\) と合っているか確かめられます。

例 3 なら \(\Sigma x = 2300\) と表示されます。手計算と合っていれば、そこまでは正しいと分かります。

表示桁数を増やしておく

\(\sigma_x\) が \(2.138089\ldots\) のように続く値のとき、表示が短いと丸め方に困ります。

ctrl + doc → Document Settings → Display Digits → Float 6

くらいにしておくと、有効数字3桁に丸めるときに迷いません。

電卓で定数変化を確かめる

例 5 のような問題は、実際にやってみると納得できます。

Lists & Spreadsheet で、B列の一番上のグレーの行の下（式を入れる行）に

=a[]+3

と入れると、A列全部に \(3\) を足した列ができます。両方の \(\sigma_x\) を出して比べてみてください。同じ値になります。

=a[]*2

なら \(\sigma_x\) がちょうど \(2\) 倍になります。

Exercises

各問題に、折りたたみが3つ付いています。日本語訳、解答例（答案用紙に書くべきこと。英語です）、解説（なぜそうなるか。日本語です）。

まず自分で解いて、次に解答例と見くらべてください。解説は、合わなかったときだけ開けば十分です。

1 Find the mean, median and mode of the following data.

\[ 3, \quad 7, \quad 7, \quad 8, \quad 10, \quad 12, \quad 15 \]

\[\bar{x} = \frac{62}{7} = 8.857\ldots = 8.86 \ (3\text{ s.f.})\]

median \(= 8\), mode \(= 7\)

合計は \(3+7+7+8+10+12+15 = 62\)。\(7\) 個なので \(\bar{x} = \dfrac{62}{7} = 8.857\ldots\) です。

割り切れないときは、有効数字3桁にします（SL 1.6）。\(8.86\) です。

median は \(7\) 個なので4番目の値、つまり \(8\)。まん中2つの平均を取るのは、個数が偶数のときだけです。

mode は \(7\)（2回出てくる）。

2 The salaries of five employees, in thousands of dollars, are

\[ 38, \quad 42, \quad 45, \quad 48, \quad 320 . \]

Explain why the median is a better measure of central tendency than the mean for this data.

\[\bar{x} = \frac{493}{5} = 98.6, \qquad \text{median} = 45\]

The value \(320\) is an outlier which pulls the mean up to \(98.6\). This is higher than four of the five salaries, so the mean does not represent a typical employee. The median of \(45\) is close to most of the values, so it is a better measure here.

まず数字を出してください。 平均は \(\dfrac{493}{5} = 98.6\)（千ドル）です。

ここで気づいてほしいのは、\(5\) 人のうち \(4\) 人が平均より下だということです。「平均的な従業員」を表していません。

median は \(45\) で、\(38\)〜\(48\) の4人に近い値です。

「外れ値があるから」だけでは足りません。 「\(5\) 人中 \(4\) 人が平均より下」のような具体的な指摘があると、説明として完成します。

3 The table shows the number of pets owned by \(30\) students.

表 12: Pets owned
Number of pets, \(x\) Frequency, \(f\)
1 5
2 9
3 11
4 3
5 2

(a) Find the mean.

(b) Write down the mode.

(c) Find the median.

(a) \(\sum f x = 5 + 18 + 33 + 12 + 10 = 78\)

\[\bar{x} = \frac{78}{30} = 2.6\]

(b) mode \(= 3\)

(c) median \(= 3\)

(a) \(fx\) の列を作ります。\(1\times5=5\)、\(2\times9=18\)、\(3\times11=33\)、\(4\times3=12\)、\(5\times2=10\)。合計 \(78\)。\(n = 30\) なので \(\bar{x} = 2.6\)。

(b) 度数が一番大きいのは \(11\)。そのときの値は \(3\) です。「\(11\)」ではありません。

(c) \(30\) 個なので \(15\) 番目と \(16\) 番目の平均です。累積度数は \(5, 14, 25, 28, 30\)。

\(15\)〜\(25\) 番目が \(x = 3\) なので、\(15\) 番目も \(16\) 番目も \(3\)。よって median \(= 3\) です。

電卓に入れれば MedianX に \(3\) と出ます。Frequency List の指定を忘れずに。

4 The table shows the masses, in grams, of \(40\) eggs.

表 13: Masses of eggs
Mass, \(m\) (grams) Frequency
\(40 \leq m < 50\) 4
\(50 \leq m < 60\) 11
\(60 \leq m < 70\) 15
\(70 \leq m < 80\) 8
\(80 \leq m < 90\) 2

(a) Write down the modal class.

(b) Estimate the mean mass.

(a) \(60 \leq m < 70\)

(b) Mid-interval values: \(45, 55, 65, 75, 85\)

\[\sum f x = 180 + 605 + 975 + 600 + 170 = 2530\] \[\bar{x} = \frac{2530}{40} = 63.25 \ \text{grams}\]

(a) 度数が一番大きい \(15\) の階級です。不等式で書きます。

(b) estimate なので mid-interval value を使います。

\[\frac{40+50}{2} = 45, \quad \frac{50+60}{2} = 55, \quad \ldots\]

あとは \(fx\) を足すだけです。\(45\times4=180\)、\(55\times11=605\)、\(65\times15=975\)、\(75\times8=600\)、\(85\times2=170\)。

階級値を答案に書いてください。 どの値を使ったかが伝わらないと、途中点が付きません。

\(63.25\) g は、modal class の \(60 \leq m < 70\) の中に入っています。つじつまが合っています。

5 The heights, in cm, of six plants are

\[ 12, \quad 15, \quad 15, \quad 18, \quad 20, \quad 22 . \]

(a) Find the mean.

(b) Find the standard deviation, correct to three significant figures.

(c) Find the variance, correct to three significant figures.

(a) \(\bar{x} = \dfrac{102}{6} = 17\) cm

(b) \(\sigma = 3.3665\ldots = 3.37\) cm (3 s.f.)

(c) \(\sigma^{2} = 11.333\ldots = 11.3\) (3 s.f.)

(a) 合計 \(102\)、\(6\) 個なので \(17\)。

(b) 電卓の \(\sigma_x\) を読みます。\(3.3665\ldots\) なので \(3.37\)。

\(s_x\)（\(3.6878\ldots\)）を書かないでください。 2つ出てくるうちの小さいほうです。

(c) \(\sigma\) を2乗します。 ここで注意することが1つあります。

\[3.37^2 = 11.3569 \quad (\times)\]

丸めた \(3.37\) ではなく、電卓の中の値をそのまま2乗してください。

\[\sigma^2 = 11.3333\ldots \quad \longrightarrow \quad 11.3\]

丸めてから計算すると、答えがずれます（SL 1.6）。

6 (a) A data set has a standard deviation of \(3.5\). Find the variance.

(b) Another data set has a variance of \(20.25\). Find the standard deviation.

(a) \(\sigma^{2} = 3.5^{2} = 12.25\)

(b) \(\sigma = \sqrt{20.25} = 4.5\)

variance は standard deviation の2乗、それだけです（式 3）。

(a) 2乗する。 (b) 逆なので平方根を取ります。

どちらの向きか迷ったら、「\(\sigma^2\) のほうが大きい」と思い出してください（\(\sigma > 1\) のとき）。\(3.5\) と \(12.25\) なら、\(12.25\) が variance です。

7 A data set has a mean of \(40\) and a standard deviation of \(6\). Each value in the data set is decreased by \(5\).

Write down the new mean and the new standard deviation.

new mean \(= 40 - 5 = 35\)

new standard deviation \(= 6\)

引き算でも足し算でも、standard deviation は変わりません。

\(6 - 5 = 1\) としないでください。データ全部が同じだけ左にずれるので、点どうしの間隔は変わっていません（図 2）。

Write down なので、計算過程は不要です。答えだけで構いません。

8 A data set has a mean of \(12\) and a standard deviation of \(2.5\). Each value in the data set is multiplied by \(3\).

Find the new mean, the new standard deviation and the new variance.

new mean \(= 12 \times 3 = 36\)

new standard deviation \(= 2.5 \times 3 = 7.5\)

new variance \(= 7.5^{2} = 56.25\)

掛け算のときは、mean も standard deviation も同じだけ \(k\) 倍です。

variance は \(7.5\) を2乗して \(56.25\)。

検算：もとの variance は \(2.5^2 = 6.25\)。\(6.25 \times 9 = 56.25\) で、たしかに \(3^2 = 9\) 倍になっています。

variance を \(3\) 倍（\(18.75\)）としないでください。 \(k\) 倍のとき variance は \(k^2\) 倍です。

9 A student enters a data set into a GDC and sees two values displayed: \(\sigma_x = 4.82\) and \(s_x = 5.08\).

State which value should be written as the standard deviation, and give a reason.

\(\sigma_x = 4.82\)

In this course the data set is treated as the population unless the question says otherwise, so the population standard deviation \(\sigma_x\) should be used.

根拠は、シラバスの Topic 4 冒頭の一文です。

At SL the data set will be considered to be the population unless otherwise stated.

与えられたデータは母集団として扱うので、population standard deviation の \(\sigma_x\) を書きます。

\(\sigma_x\) のほうが小さい値になっている点も、見分けの手がかりです。

この判断が問われる設問は多くありませんが、\(\sigma_x\) と \(s_x\) を取り違えた答えは毎回のように失点します。 電卓の画面では、小さいほうが \(\sigma_x\) です。並び順ではなく、値の大小で見分けてください。

10 Two machines fill bottles with juice. The table shows the mean and standard deviation of the volume, in ml, of the juice in \(50\) bottles from each machine.

表 14: Bottle filling
Machine Mean (ml) Standard deviation (ml)
P 250 1.2
Q 250 4.5

Comment on the performance of the two machines.

Both machines have the same mean volume of \(250\) ml, so on average both fill the bottles correctly.

Machine P has a much smaller standard deviation (\(1.2\) ml) than Machine Q (\(4.5\) ml), so the volumes from Machine P are much more consistent. Machine P is therefore performing better.

平均が同じというのが、この問題の仕掛けです。平均だけ見ると差がありません。

差が出るのは standard deviation です。P は \(1.2\) ml、Q は \(4.5\) ml。Q のほうが3倍以上ばらついています。

ジュースの充填では、ばらつきが小さいほうがよい機械です。多すぎれば損、少なすぎれば苦情になります。

型は SL 4.2 の Compare と同じです。

  1. 数字を出す（両方に触れる）
  2. だから何が言えるかを書く

so the volumes from Machine P are much more consistent の一文が 2 です。ここを書かないと点が出ません。

図 1 が、まさにこの状況の絵です。