SL 5.2 — Increasing and decreasing functions（増加・減少と導関数の符号）

ノートWhat you should be able to do
  • increasing（増加）と decreasing（減少）の意味が、グラフで分かる。
  • \(f'(x) > 0\)、\(f'(x) = 0\)、\(f'(x) < 0\) を、グラフの形と結びつけられる。
  • 増加・減少する interval（区間）を、\(-2 < x < 2\) のような不等式で書ける。
  • \(y = f(x)\) のグラフと \(y = f'(x)\) のグラフを見分けられる。
  • \(f'(x)\) の式が与えられたとき、増加・減少する区間を求められる。
  • 電卓で \(f'(x) = 0\) となる \(x\) を見つけられる。
  • 文脈のあるグラフで、「増えている期間」「減っている期間」を答えられる。
重要Formula booklet に、この項目の式はありません

公式集の Topic 5 の欄は 5.3、5.5、5.8 だけです。5.2 の欄はありません。

この項目で覚えることは、次の3行だけです。

\[ f'(x) > 0 \ \Rightarrow \ \text{increasing}, \qquad f'(x) = 0, \qquad f'(x) < 0 \ \Rightarrow \ \text{decreasing} \tag{1}\]

シラバスの Content 欄も、この3つを名指ししています。

Graphical interpretation of \(f'(x) > 0\), \(f'(x) = 0\), \(f'(x) < 0\).

The idea

SL 5.1 で、導関数は傾きの関数だと見ました。この項目は、その符号だけを使います。

1. increasing と decreasing

グラフを左から右へたどってください。

  • 上がっていく → increasing（増加）
  • 下がっていく → decreasing（減少）
図 1: Increasing and decreasing parts of a graph

上がっているところでは接線が右上がりなので、傾きは正です。下がっているところでは負です。

表 1: グラフの形と導関数の符号
グラフの形 \(f'(x)\) 英語
右上がり ↗ \(f'(x) > 0\) \(f\) is increasing
水平 → \(f'(x) = 0\) —
右下がり ↘ \(f'(x) < 0\) \(f\) is decreasing
重要「\(y\) が正か負か」ではありません

図 1 の左のほうで、グラフは \(x\) 軸の下にあります。\(y\) の値は負です。

それでも \(f\) は increasing です。 見るのは \(y\) の値ではなく、上がっているか下がっているかです。

\(y\) が負のまま増えていく、ということはふつうに起こります。\(-6 \to -4 \to -2\) は、増えています。

2. 答えは「区間」で書きます

シラバスの Guidance 欄が、答え方を指定しています。

Identifying intervals on which functions are increasing (\(f'(x) > 0\)) or decreasing (\(f'(x) < 0\)).

interval（区間）とは、\(x\) の値の範囲のことです。「\(x = 1\) で増加」ではなく、「\(x > 2\) の範囲で増加」のように答えます。

図 2: Reading the intervals off the \(x\)-axis

区間の区切りになるのは、\(f'(x) = 0\) となる \(x\) の値です。図 2 では \(x = -2\) と \(x = 2\) で、\(x\) 軸が \(3\) つに分かれています。

表 2: 3つの区間
区間 \(f'(x)\) \(f\) は
\(x < -2\) 正 increasing
\(-2 < x < 2\) 負 decreasing
\(x > 2\) 正 increasing

不等式の書き方

答えは、次の形で書きます。

  • \(-2 < x < 2\) … \(-2\) と \(2\) のあいだ
  • \(x < -2\) … \(-2\) より小さいところ全部
  • \(x > 2\) … \(2\) より大きいところ全部
警告離れた2つの区間を、1つにまとめて書かないでください

increasing なのは \(x < -2\) と \(x > 2\) の2か所です。これを

\[ -2 > x > 2 \qquad ✗ \]

と書いてしまう誤りが、とても多いところです。この不等式をみたす \(x\) は \(1\) つもありません（\(-2\) より小さくて、同時に \(2\) より大きい数はありません）。

正しくは、\(2\) つを並べて書きます。

\[ x < -2 \quad \textbf{or} \quad x > 2 \qquad ✓ \]

答案では、次のように書きます。

\(f\) is increasing when \(x < -2\) or \(x > 2\).

「どちらか一方の範囲に入っていれば increasing」という意味なので、つなぐ語は or です。

区間の記号を使って \((-\infty,\ -2) \cup (2,\ \infty)\) と書くこともできます。AI SL では、\(2\) つの不等式を or で並べれば十分です。

ヒント端の値は、含めないほうが安全です

このページでは、シラバスの

\[ \text{increasing}: \ f'(x) > 0, \qquad \text{decreasing}: \ f'(x) < 0 \]

を基準にしています。\(f'(-2) = 0\) なので、\(x = -2\) は \(f'(x) > 0\) にも \(f'(x) < 0\) にも入りません。

ですから、\(f'(x) = 0\) となる端点は含めず、\(<\) を使うのがふつうで、そのほうが安全です。\(-2 \le x \le 2\) ではなく、\(-2 < x < 2\) と書いてください。

3. \(f\) のグラフと \(f'\) のグラフを見分ける

この項目で一番大事な区別です。試験では、どちらのグラフが与えられているのかを最初に確かめてください。

\(f'\) の右上の \('\) は、英語では prime（プライム）と読みます。日本の教室では「ダッシュ」と読むのがふつうですが、IB の授業と mark scheme では prime です。この本では「プライム」と書きます。

図 3: The graph of \(f\) and the graph of \(f'\)

図 3 の上が \(y = f(x)\)、下が \(y = f'(x)\) です。同じ \(x\) の位置で見くらべてください。

表 3: 上下のグラフの対応
\(y = f(x)\) のグラフ（上） \(y = f'(x)\) のグラフ（下）
上がっている \(x\) 軸より上にある
水平になっている（\(x = \pm 2\)） \(x\) 軸と交わる
下がっている \(x\) 軸より下にある
重要\(f'\) のグラフでは、「上がり下がり」ではなく「\(x\) 軸の上か下か」を見ます

下のグラフ（\(y = f'(x)\)）は、\(x = 0\) のあたりで上がり始めています。ですが、そこでの \(f\) は減少しています。

なぜなら、\(f'(x)\) の値そのものはまだ負（\(x\) 軸より下）だからです。

\(f'\) のグラフを見るときは、\(x\) 軸より上か下かだけを見てください。\(f'\) のグラフ自体の傾きは、AI SL では使いません。

ヒント問題文で見分けられます
  • The graph of y = f(x) is shown. → \(f\) のグラフ。上がり下がりを見る
  • The graph of y = f'(x) is shown. → \(f'\) のグラフ。\(x\) 軸の上下を見る
  • The derivative is given by f'(x) = ... → 式が与えられている。符号を計算する

読み違えると、答えがちょうど逆になることがあります。問題文のプライム（\('\)）を見落とさないでください。

4. \(f'(x)\) の式が与えられたとき

\(f'(x)\) の式が与えられることもあります。このときは、\(f'(x) = 0\) を解いてから、符号を調べます。

たとえば \(f'(x) = (x + 1)(x - 4)\) なら、

  1. \(f'(x) = 0\) となるのは \(x = -1\) と \(x = 4\)
  2. \(x\) 軸が \(3\) つに分かれる：\(x < -1\)、\(-1 < x < 4\)、\(x > 4\)
  3. それぞれの区間から \(1\) つ値を選んで、\(f'\) に入れて符号を見る
表 4: 区間ごとに符号を調べる
区間 試す値 \(f'\) の値 符号
\(x < -1\) \(x = -2\) \((-1)(-6) = 6\) 正
\(-1 < x < 4\) \(x = 0\) \((1)(-4) = -4\) 負
\(x > 4\) \(x = 5\) \((6)(1) = 6\) 正

答えは、\(x < -1\) と \(x > 4\) で increasing、\(-1 < x < 4\) で decreasing です。

ヒント試す値は、区間の中ならどれでも構いません

\(x < -1\) の代わりに \(x = -100\) を入れても、符号は同じ正になります。計算が楽な値を選んでください。

\(0\) が使える区間では、\(0\) を選ぶのが一番速いです。

5. 文脈のあるグラフで読む

AI では、\(x\) と \(y\) ではなく時間と温度、時間と売上のようなグラフで聞かれます。やることは同じです。

図 4: Temperature during one day

図 4 は、ある日の気温です。\(t\) は真夜中からの時間（時間単位）です。

  • \(0 \le t < 5\) … 下がっている（\(\dfrac{dT}{dt} < 0\)）
  • \(t = 5\) … 一番低い（\(\dfrac{dT}{dt} = 0\)）
  • \(5 < t < 15\) … 上がっている（\(\dfrac{dT}{dt} > 0\)）
  • \(t = 15\) … 一番高い（\(\dfrac{dT}{dt} = 0\)）
  • \(15 < t \le 24\) … 下がっている（\(\dfrac{dT}{dt} < 0\)）
重要文脈の問題では、範囲の端に気をつけてください

この問題の \(t\) は \(0\) から \(24\) までしかありません。ですから答えも、\(0 \le t < 5\) のように範囲の中に収めて書きます。

\(t < 5\) とだけ書くと、\(t = -3\)（前の日）も含んでしまいます。問題文に for 0 ≤ t ≤ 24 と書かれていたら、その範囲を守ってください。

Why it works

なぜ \(f'(x) > 0\) が「増加」を意味するのかを説明します。

\(f'(x)\) は、その点での接線の傾きです（SL 5.1）。

傾きが正の直線は、右へ行くほど上がります。傾きが負の直線は、右へ行くほど下がります。これは SL 2.1 で見たとおりです。

曲線は、その点のまわりでは接線とほとんど同じです（拡大するとまっすぐに見える、というあの話です）。ですから、

  • 接線が右上がり（\(f'(x) > 0\)）→ 曲線もそこで上がっている → increasing
  • 接線が右下がり（\(f'(x) < 0\)）→ 曲線もそこで下がっている → decreasing

\(f'(x) = 0\) のときは接線が水平なので、その瞬間は上がってもいないし下がってもいません。ですから、\(f'(x) = 0\) となる \(x\) の値が、increasing の区間と decreasing の区間を区切る候補になります。

ただし、\(f'(x) = 0\) だからといって、そこで必ず向きが変わるとはかぎりません。前後で \(f'\) の符号が変わったかどうかを、そのつど確かめてください（SL 5.6）。

Worked examples

問題文は英語です。意味が理解できなかったら、問題文の下の「日本語訳」を開いてください。解説は日本語です。

例題 1 The graph of \(y = f(x)\) is shown below. The graph has a local maximum point at \((-2, 4)\) and a local minimum point at \((2, -4)\).

図 5: The graph of \(y = f(x)\)

(a) Write down the two values of \(x\) for which \(f'(x) = 0\).

(b) State the interval on which \(f\) is decreasing.

(c) State the intervals on which \(f\) is increasing.

(a) \(f'(x) = 0\) は、接線が水平になっているところです。それは山のてっぺんと谷の底です。

\[ x = -2 \quad \text{と} \quad x = 2 \]

(b) \(x = -2\) から \(x = 2\) のあいだで、グラフは下がっています。

\[ -2 < x < 2 \]

(c) 残りの \(2\) か所です。\(2\) つに分けて書きます。

\[ x < -2 \quad \text{と} \quad x > 2 \]

警告(c) を \(-2 > x > 2\) と書かないでください

これはまとめて書けない形です。\(-2\) より小さくて、同時に \(2\) より大きい数は存在しません。

答案には \(x < -2\) or \(x > 2\) と、\(2\) つ並べて書いてください。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \(x = -2\) and \(x = 2\)

(b) \(-2 < x < 2\)

(c) \(x < -2\) or \(x > 2\)

例題 2 The graph of \(y = f(x)\) is shown below.

図 6: The graph of \(y = f(x)\)

(a) State whether \(f'(-3)\) is positive, negative or zero, giving a reason.

(b) State whether \(f'(0)\) is positive, negative or zero, giving a reason.

(c) The value \(a\) satisfies \(f'(a) = 0\) and \(a > 0\). Write down the value of \(a\).

(a) \(x = -3\) は \(x < -2\) の中にあります。そこでグラフは上がっています。

試験ではこう書く

Positive, because the graph is increasing at \(x = -3\).

(b) \(x = 0\) は \(-2 < x < 2\) の中にあります。そこでグラフは下がっています。

試験ではこう書く

Negative, because the graph is decreasing at \(x = 0\).

(c) \(f'(x) = 0\) となるのは \(x = -2\) と \(x = 2\) です。\(a > 0\) という条件があるので、

\[ a = 2 \]

ヒントまず「どの区間に入るか」を決めてください

(a) も (b) も、\(x\) の値をグラフの上で探して、\(-2\) と \(2\) のどちら側かを決めるだけです。

\(-3 < -2\) なので左の区間、\(-2 < 0 < 2\) なので真ん中の区間。それで符号が決まります。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) Positive, because the graph is increasing at \(x = -3\).

(b) Negative, because the graph is decreasing at \(x = 0\).

(c) \(a = 2\)

例題 3 The graph of \(y = f'(x)\) is shown in the lower part of the diagram below. It crosses the \(x\)-axis at \(x = -2\) and \(x = 2\).

図 7: The graph of \(f\) (upper) and the graph of \(f'\) (lower)

(a) Write down the values of \(x\) for which \(f'(x) = 0\).

(b) State the interval on which \(f\) is decreasing.

(c) State whether \(f\) is increasing or decreasing at \(x = 3\), giving a reason.

重要この問題は \(f'\) のグラフが与えられています

y = f'(x) とプライムが付いています。ですから見るのは「\(x\) 軸より上か下か」です。グラフ自体の上がり下がりは見ません。

(a) \(f'(x) = 0\) は、\(f'\) のグラフが \(x\) 軸と交わるところです。

\[ x = -2 \quad \text{と} \quad x = 2 \]

(b) \(f\) が減少するのは \(f'(x) < 0\) のとき、つまり \(f'\) のグラフが \(x\) 軸より下にあるところです。

図の下側で、放物線が軸より下にあるのは \(-2\) と \(2\) のあいだです。

\[ -2 < x < 2 \]

(c) \(x = 3\) のところで、\(f'\) のグラフは \(x\) 軸より上にあります。だから \(f'(3) > 0\) です。

試験ではこう書く

Increasing, because \(f'(3) > 0\) (the graph of \(f'\) is above the \(x\)-axis at \(x = 3\)).

警告「\(f'\) のグラフが上がっているから増加」は誤りです

\(x = 0\) のあたりで、\(f'\) のグラフは上がっています。ですが \(f'(0) < 0\) なので、\(f\) は減少しています。

\(f'\) のグラフを見るときに使うのは、\(x\) 軸の上か下かだけです。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \(x = -2\) and \(x = 2\)

(b) \(-2 < x < 2\)

(c) Increasing, because \(f'(3) > 0\).

例題 4 The graph below shows the temperature \(T\ ^\circ\)C in a town, where \(t\) is the time in hours after midnight, for \(0 \le t \le 24\).

図 8: Temperature during one day

(a) Write down the value of \(t\) at which the temperature is lowest.

(b) State the interval of \(t\) for which the temperature is increasing.

(c) State the value of \(\dfrac{dT}{dt}\) when \(t = 15\).

(d) Interpret what \(\dfrac{dT}{dt} < 0\) means at \(t = 20\).

(a) グラフの一番低いところは \(t = 5\) です。朝の \(5\) 時にあたります。

(b) \(t = 5\) から \(t = 15\) までのあいだ、グラフは上がっています。

\[ 5 < t < 15 \]

(c) \(t = 15\) はグラフの一番高いところで、接線が水平です。

\[ \frac{dT}{dt} = 0 \]

(d) Interpret なので、場面の言葉で書きます。

試験ではこう書く

At \(t = 20\) (that is, at 8 pm) the temperature is falling.

（\(t = 20\)、つまり夜の \(8\) 時に、気温は下がっています。）

ヒント(b) の答えを \(t > 5\) と書かないでください

\(t > 5\) だと、\(t = 20\) も入ってしまいます。ですが \(t = 20\) では気温は下がっています。

上がっているのは \(t = 15\) までです。必ず両側から挟んで \(5 < t < 15\) と書いてください。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \(t = 5\)

(b) \(5 < t < 15\)

(c) \(\dfrac{dT}{dt} = 0\)

(d) At \(t = 20\) the temperature is falling.

例題 5 The function \(f\) is given by \(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 5\).

(a) Use your graphic display calculator to find the coordinates of the local maximum point and the local minimum point on the graph of \(y = f(x)\).

(b) Hence state the interval on which \(f\) is decreasing.

(c) State the intervals on which \(f\) is increasing.

(a) Graphs ページに \(f1(x) = x^{3} - 6x^{2} + 5\) を入れて、Analyze Graph を使います。

  • Maximum … \((0, \ 5)\)
  • Minimum … \((4, \ -27)\)
ヒントウィンドウを広げてください

初期設定の画面（\(-10 \le y \le 10\)）では、極小点の \(y = -27\) が画面の外にあります。

menu → Window/Zoom → Window Settings

で \(y\) の範囲を \(-40\) から \(20\) くらいに広げると、両方が見えます。

(b) 極大点と極小点のあいだで、グラフは下がっています。\(x\) 座標だけを使います。

\[ 0 < x < 4 \]

(c) 残りの \(2\) か所です。

\[ x < 0 \quad \text{と} \quad x > 4 \]

重要区間は \(x\) 座標だけで書きます

極大点は \((0, 5)\) ですが、区間の答えに \(5\) は出てきません。区間は \(x\) の範囲だからです。

\(0 < y < 4\) や \(5 > x > -27\) のように書いてしまう誤りがあります。使うのは \(x\) 座標の \(0\) と \(4\) だけです。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) Maximum point \((0, 5)\); minimum point \((4, -27)\)

(b) \(0 < x < 4\)

(c) \(x < 0\) or \(x > 4\)

Common errors

警告離れた2つの区間を、1つの不等式にまとめる

\(x < -2\) と \(x > 2\) を、\(-2 > x > 2\) と書いてしまう誤りです。

この不等式をみたす \(x\) は存在しません。 「\(-2\) より小さくて、同時に \(2\) より大きい数」はないからです。

\(2\) つに分けて、or でつないで書いてください。

警告\(y\) の値の正負と、増加・減少を取り違える

グラフが \(x\) 軸の下にあっても、上がっていれば increasing です。

見るのは上がっているか下がっているかであって、\(y\) が正か負かではありません。

\(-6 \to -4 \to -2\) は増えています。マイナスの数でも、増えます。

警告\(f\) のグラフと \(f'\) のグラフを取り違える

問題文の \(f(x)\) と \(f'(x)\) は、プライム \(1\) つの違いです。読み飛ばすと、答えが逆になります。

  • \(f\) のグラフ → 上がり下がりを見る
  • \(f'\) のグラフ → \(x\) 軸の上か下かを見る

問題文を読んだら、まず「どちらのグラフか」を紙に書き留めてから解き始めてください。

警告\(f'\) のグラフで、グラフ自体の上がり下がりを見てしまう

\(f'\) のグラフが上がっていても、それは「\(f\) が増加している」という意味ではありません。

\(f'\) のグラフが軸より下にあるなら、\(f'(x) < 0\) なので \(f\) は減少しています。\(f'\) のグラフが上がっていようが下がっていようが、関係ありません。

警告区間に \(y\) 座標を書いてしまう

極大点が \((0, 5)\) のとき、区間の答えに \(5\) は出てきません。

区間は \(x\) の範囲です。使うのは \(x\) 座標だけです。

警告文脈の問題で、与えられた範囲をはみ出す

for 0 ≤ t ≤ 24 と書かれているのに \(t > 5\) と答えると、\(t = 30\)（翌日）まで含んでしまいます。

上限も下限も、問題文の範囲に収めてください。 \(5 < t < 15\) のように、両側から挟みます。

警告「増加している点」を答えてしまう

State the interval on which f is increasing は、範囲を聞いています。

\(x = 3\) のように \(1\) つの値だけを書くと、点になりません。不等式で書いてください。

警告\(f'(x) = 0\) の点を、区間に入れてしまう

このページは increasing: \(f'(x) > 0\)、decreasing: \(f'(x) < 0\) を基準にしています。\(f'(-2) = 0\) の点は、そのどちらにも入りません。

ですから \(-2 \le x \le 2\) ではなく、\(-2 < x < 2\) と書いてください（第2節）。

警告電卓のウィンドウが狭くて、停留点を見落とす

極小点が \(y = -27\) にあるのに、画面が \(-10 \le y \le 10\) のままだと、その点はそもそも画面に出てきません。

グラフをかいたら、まず全体が見えているかを確かめてください。見えていなければ、Window Settings で範囲を広げます。

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

この項目では、電卓は停留点（\(f'(x) = 0\) となる点）を見つけるために使います。

1. グラフをかいて、全体を見る

Graphs ページで \(f1(x)\) に式を入れます。

menu → Window/Zoom → Zoom - Fit

Zoom - Fit は、\(y\) の範囲を自動で合わせてくれます。これで山と谷が画面に入ります。

うまくいかないときは、手で設定します。

menu → Window/Zoom → Window Settings

2. 極大点・極小点を出す

menu → 6: Analyze Graph → 3: Maximum
menu → 6: Analyze Graph → 2: Minimum

操作は SL 2.4 と同じです。下限（lower bound）と上限（upper bound）を、その点をはさむように指定します。 enter は \(2\) 回です。

警告はさむ範囲に、山と谷の両方を入れないでください

Analyze Graph は、指定した範囲の中の \(1\) つしか返しません。

極大点を探しているのに範囲が広すぎると、思ったものが出てきません。山だけをはさむように、狭く指定してください。

3. 出てくるのは座標です

Maximum は \((0, 5)\) のように座標を返します。区間に使うのは \(x\) 座標だけです。

\(y\) 座標は、この項目では使いません（SL 5.6 の最大値・最小値では使います）。

4. \(f'(x) = 0\) を直接解く方法もあります

\(f'(x)\) の式が分かっているなら、nSolve で解けます。

nSolve(3x² - 12x = 0, x)

ただし nSolve は解を \(1\) つずつしか返しません。\(2\) つあるときは、探す範囲を変えて \(2\) 回使います。

nSolve(3x² - 12x = 0, x, -1, 1)
nSolve(3x² - 12x = 0, x, 2, 6)
ヒントSL 5.2 では、グラフから読むほうが速いことが多いです

\(f'(x)\) の式を作るのは SL 5.3 からです。この項目では、\(f\) のグラフをかいて山と谷を見つけるほうが、手数が少なくて済みます。

5. グラフを見て、答えを言葉にする

電卓が返すのは座標だけです。「\(0 < x < 4\) で decreasing」という答えは、自分で書きます。

画面を見ながら、山から谷までが下り、それ以外が上り、と確かめてください。

Exercises

各問題に、折りたたみが3つ付いています。日本語訳、解答例（答案用紙に書くべきこと。英語です）、解説（なぜそうなるか。日本語です）。

まず自分で解いて、次に解答例と見くらべてください。解説は、合わなかったときだけ開けば十分です。

ノート演習 1 と 2 は、次のグラフを使います
図 9: The graph of \(y=f(x)\) for Exercises 1 and 2

1 The graph of \(y = f(x)\) is shown in 図 9. It has a local maximum point at \((-1, 3)\) and a local minimum point at \((3, -3.4)\).

(a) Write down the values of \(x\) for which \(f'(x) = 0\).

(b) State the interval on which \(f\) is decreasing.

(c) State the intervals on which \(f\) is increasing.

(a) \(x = -1\) and \(x = 3\)

(b) \(-1 < x < 3\)

(c) \(x < -1\) or \(x > 3\)

接線が水平になっているのは、山のてっぺん \((-1,3)\) と谷の底 \((3,-3.4)\) です。使うのは \(x\) 座標だけなので、\(-1\) と \(3\) です。

(c) は \(2\) つに分けて書いてください。\(-1 > x > 3\) は存在しない範囲です。

\(3\) や \(-3.4\) という \(y\) 座標は、答えには出てきません。

2 For the graph in 図 9, state whether each of the following is positive, negative or zero.

(a) \(f'(-3)\)

(b) \(f'(0)\)

(c) \(f'(3)\)

(d) \(f'(5)\)

(a) Positive

(b) Negative

(c) Zero

(d) Positive

\(x\) の値が、\(-1\) と \(3\) で区切られたどの区間に入るかを見ます。

  • \(-3 < -1\) → 左の区間 → 上がっている → 正
  • \(-1 < 0 < 3\) → 真ん中 → 下がっている → 負
  • \(x = 3\) → ちょうど谷の底 → 水平 → \(0\)
  • \(5 > 3\) → 右の区間 → 上がっている → 正

(c) で「負」と答えてしまう人が多いところです。\(x = 3\) は境目そのものなので \(0\) です。

3 A function \(f\) has derivative \(f'(x) = 2x - 4\).

(a) Find the value of \(x\) for which \(f'(x) = 0\).

(b) State the interval on which \(f\) is decreasing.

(c) State the interval on which \(f\) is increasing.

(a) \(2x - 4 = 0\), so \(x = 2\)

(b) \(x < 2\)

(c) \(x > 2\)

\(f'(x) = 2x - 4\) は直線で、傾きが正なので右上がりです。\(x = 2\) で \(x\) 軸を横切ります。

  • \(x < 2\) … \(f'\) は負（試しに \(x=0\) で \(f'(0) = -4\)）→ \(f\) は減少
  • \(x > 2\) … \(f'\) は正（試しに \(x=3\) で \(f'(3) = 2\)）→ \(f\) は増加

区間は \(2\) つだけで、分けて書く必要はありません。

4 A function \(f\) has derivative \(f'(x) = (x + 1)(x - 4)\).

(a) Write down the values of \(x\) for which \(f'(x) = 0\).

(b) State the interval on which \(f\) is decreasing.

(c) State the intervals on which \(f\) is increasing.

(a) \(x = -1\) and \(x = 4\)

(b) \(f'(0) = (1)(-4) = -4 < 0\), so \(f\) is decreasing for \(-1 < x < 4\)

(c) \(f'(-2) = (-1)(-6) = 6 > 0\) and \(f'(5) = (6)(1) = 6 > 0\),

so \(f\) is increasing for \(x < -1\) or \(x > 4\)

すでに因数分解されているので、\(f'(x) = 0\) はカッコの中を \(0\) にする値です。\(x = -1\) と \(x = 4\)。

そのあとは区間ごとに値を入れて符号を調べます。\(0\) が使える区間では \(0\) を選ぶのが一番速いです。

答案に、試した値と符号を書いておくと、根拠が残ります。

5 A function \(f\) has derivative \(f'(x) = -(x - 1)(x - 5)\).

(a) Write down the values of \(x\) for which \(f'(x) = 0\).

(b) State the interval on which \(f\) is increasing.

(c) State the intervals on which \(f\) is decreasing.

(a) \(x = 1\) and \(x = 5\)

(b) \(f'(3) = -(2)(-2) = 4 > 0\), so \(f\) is increasing for \(1 < x < 5\)

(c) \(f'(0) = -(-1)(-5) = -5 < 0\) and \(f'(6) = -(5)(1) = -5 < 0\),

so \(f\) is decreasing for \(x < 1\) or \(x > 5\)

前にマイナスが付いていることに気をつけてください。 演習4とは、増加と減少がちょうど逆になります。

\(f'(x) = -(x-1)(x-5)\) は上に凸の放物線なので、真ん中で正、外側で負です。

符号を確かめずに演習4と同じ形で答えると、まるごと間違えます。必ず値を入れて確かめてください。

6 The function \(f\) is given by \(f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5\).

(a) Use your graphic display calculator to find the coordinates of the local maximum point and the local minimum point on the graph of \(y = f(x)\).

(b) State the interval on which \(f\) is decreasing.

(c) State the intervals on which \(f\) is increasing.

(a) Maximum point \((-1, 10)\); minimum point \((3, -22)\)

(b) \(-1 < x < 3\)

(c) \(x < -1\) or \(x > 3\)

\(y\) の範囲が \(-22\) から \(10\) まであるので、初期設定の画面（\(-10 \le y \le 10\)）では極小点が見えません。

Zoom - Fit を使うか、Window Settings で \(y\) を \(-30\) から \(20\) くらいにしてください。

検算：\(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10\) ✓　\(f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22\) ✓

7 The function \(f\) is given by \(f(x) = x^{3} + 2x\).

(a) Sketch the graph of \(y = f(x)\) using your graphic display calculator.

(b) State whether there are any values of \(x\) for which \(f\) is decreasing, giving a reason.

(a) A curve through the origin, increasing from bottom left to top right, with no maximum or minimum point.

(b) No. The graph is increasing everywhere, so there are no values of \(x\) for which \(f\) is decreasing.

グラフをかくと、山も谷もありません。 ずっと右上がりです。

\(f'(x) = 0\) となる \(x\) がないので、区間の区切りもありません。だから、全部の \(x\) で増加です。

このような関数は、英語で increasing for all values of x と言います。「減少する区間はない」という答えも、立派な答えです。

8 The number of visitors to a museum each month is recorded. The number rises from January to May, falls from May to August, and rises again from August to December.

Let \(V\) be the number of visitors and let \(m\) be the month number, where \(m = 1\) is January.

(a) State the interval of \(m\) for which \(\dfrac{dV}{dm}\) is negative.

(b) Write down the two values of \(m\) at which \(\dfrac{dV}{dm} = 0\).

(a) \(5 < m < 8\)

(b) \(m = 5\) and \(m = 8\)

グラフがなくても、文章がそのまま増減を教えてくれています。

  • \(1\) 月 → \(5\) 月：増える → \(\dfrac{dV}{dm} > 0\)
  • \(5\) 月 → \(8\) 月：減る → \(\dfrac{dV}{dm} < 0\)
  • \(8\) 月 → \(12\) 月：増える → \(\dfrac{dV}{dm} > 0\)

(b) 増加から減少へ、減少から増加へ切り替わるところが、\(\dfrac{dV}{dm} = 0\) です。\(m = 5\)（\(5\) 月）と \(m = 8\)（\(8\) 月）です。

9 A student is asked to state the intervals on which a function \(f\) is increasing. The correct answer is \(x < 1\) or \(x > 6\). The student writes \(1 > x > 6\).

Explain why the student’s answer cannot be correct.

The statement \(1 > x > 6\) means that \(x\) is less than \(1\) and greater than \(6\) at the same time. No number can satisfy both, so the statement describes no values of \(x\) at all. The two intervals are separate and must be written separately.

\(1 > x > 6\) を分けて読むと、\(x < 1\) かつ \(x > 6\) です。そんな数はありません。

\(-2 > x > 2\) や \(1 > x > 6\) のような書き方は、この項目で一番多い誤りです。

離れた \(2\) つの区間は、必ず \(2\) つに分けて書きます。

10 A company’s monthly profit is \(P\) thousand dollars, \(t\) months after it opened. It is known that \(\dfrac{dP}{dt} > 0\) for \(0 < t < 18\) and \(\dfrac{dP}{dt} < 0\) for \(t > 18\).

(a) State the value of \(t\) at which \(\dfrac{dP}{dt} = 0\).

(b) Interpret what happens to the monthly profit after \(t = 18\).

(c) State whether the monthly profit at \(t = 24\) is greater or smaller than at \(t = 18\), giving a reason.

(a) \(t = 18\)

(b) After \(18\) months the monthly profit starts to fall.

(c) Smaller, because the profit is decreasing for all \(t > 18\), so it has been falling for the six months from \(t = 18\) to \(t = 24\).

(a) 増加から減少へ切り替わるところが \(\dfrac{dP}{dt} = 0\) です。\(t = 18\) です。

(b) は Interpret なので、場面の言葉で書きます。「導関数が負になる」ではなく「利益が下がり始める」です。

(c) \(t = 18\) から \(t = 24\) までずっと減少しているので、\(t=24\) のほうが小さいです。giving a reason なので、「\(t > 18\) で減少しているから」の一言を添えてください。

この問題にはグラフも式もありません。 導関数の符号だけで、これだけのことが言えます。

11 The depth of water in a harbour is \(d\) metres, \(t\) hours after midnight. The table shows the depth every two hours.

\(t\) (hours) \(0\) \(2\) \(4\) \(6\) \(8\) \(10\) \(12\)
\(d\) (metres) \(5.3\) \(7.7\) \(8.9\) \(7.7\) \(5.3\) \(4.1\) \(5.3\)

(a) State the interval of \(t\) for which the depth is decreasing.

(b) Write down the two values of \(t\) at which \(\dfrac{dd}{dt} = 0\).

(c) Use the values at \(t = 0\) and \(t = 4\) to estimate \(\dfrac{dd}{dt}\) when \(t = 2\).

(d) Interpret your answer to part (c) in the context of the question.

(a) \(4 < t < 10\)

(b) \(t = 4\) and \(t = 10\)

(c) \(\dfrac{dd}{dt} \approx \dfrac{8.9 - 5.3}{4 - 0} = \dfrac{3.6}{4} = 0.9\) metres per hour

(d) Two hours after midnight, the depth of water in the harbour is increasing at about \(0.9\) metres per hour.

(a) 表の数を左から追ってください。\(5.3 \to 7.7 \to 8.9\) で増え、\(8.9 \to 7.7 \to 5.3 \to 4.1\) で減り、\(4.1 \to 5.3\) でまた増えます。減っているのは \(t = 4\) から \(t = 10\) までです。

(b) 一番高い \(t = 4\) と、一番低い \(t = 10\) が切り替わりの点です。

(c) は SL 5.1 の弦の傾きです。知りたい \(t = 2\) を、\(t = 0\) と \(t = 4\) ではさんでいます ✓

(d) 増えているので正の値です。increasing を入れてください。単位も忘れずに。