SL 1.7 — Amortization and annuities（ローン返済と年金）

What you should be able to do

amortization（ローンの返済）と annuity（年金）が、どういう仕組みなのかを説明できる。
Finance Solver の Pmt 欄を使って、毎回の返済額・受取額を求められる。
お金の流れから、$PV$・$Pmt$・$FV$ の符号を正しく決められる。
総返済額と支払った利息の総額を求められる。
途中の時点での outstanding balance（残高）を求められる。
返済期間や利率を、Finance Solver で逆に求められる。

Formula booklet には、何も載っていません

SL 1.7 の欄は、公式集にありません。 SL 1.2〜1.6 には式が印刷されていますが、1.7 は飛ばされています。

理由はシラバスに書いてあります。

Knowledge of the annuity formula will enhance understanding but will not be examined.

つまり annuity の公式は試験に出ません。 覚える必要もありません。

そのかわり、シラバスの Content 欄はこうなっています。

Amortization and annuities using technology.

この項目は、電卓で解くことが前提です。 公式を探すのではなく、Finance Solver の使い方を身につけてください。

支払いは「期末」と決まっています

シラバスに、はっきりこう書いてあります。

In examinations the payments will be made at the end of the period.

ですから Finance Solver の PmtAt は、いつも END です。BEGIN にする問題は出ません。触らないでください。

The idea

電卓を開きながら、このページを読んでください

このページは、Finance Solver を開いた状態で読むのが一番わかりやすいです。まず電卓を出してください。

menu → Finance → Finance Solver

N I(%) PV Pmt FV PpY CpY PmtAt の8つの欄が、縦に並んだ画面が出ます。

これから出てくる説明は、全部この8つの欄の話です。 読むだけだと記号の羅列に見えますが、画面を見ながらだと「ああ、この欄のことか」とすぐ分かります。

例題も、読みながら実際に打ち込んでみてください。 自分で数字を入れて答えが出た経験が1回あれば、試験でも手が動きます。

SL 1.4 と何が違うのか

SL 1.4 では、最初に1回お金を預けて、あとは放っておきました。途中でお金が動かないので、Finance Solver の Pmt はいつも $0$ でした。

SL 1.7 では、毎回お金が動きます。

ローンを組んだら、毎月返します
年金を積み立てるなら、毎月払い込みます
老後に受け取るなら、毎月受け取ります

この「毎回同じ額」が Pmt（payment）です。新しいのは、Pmt がゼロでなくなる、それだけです。

表 1: SL 1.4 と SL 1.7 の違い

	SL 1.4	SL 1.7
最初のお金	$PV$	$PV$
毎回のお金	なし（$Pmt = 0$）	あり（$Pmt \neq 0$）
最後のお金	$FV$	$FV$
使う道具	公式または Finance Solver	Finance Solver（公式集に式がない）

amortization（ローンの返済）

amortization（アモチゼーション、元利均等返済）は、借りたお金を毎回同じ額ずつ返して、最後にちょうど $0$ にする返し方です。日本語では「元利均等返済」といいます。

$\$15\,000$ を借りて、毎月同じ額を5年間返す。5年後に借金が $0$ になるように、毎月いくら返せばいいか。これが典型的な amortization の問題です。

お金の流れは3つです。

\[ \underbrace{\text{借りる}}_{PV \ (+)} \quad \longrightarrow \quad \underbrace{\text{毎月返す}}_{Pmt \ (-)} \quad \longrightarrow \quad \underbrace{\text{完済}}_{FV = 0} \]

借りたときはお金が入ってくるので $PV$ は正、返すときは出ていくので $Pmt$ は負。最後は借金がなくなるので $FV = 0$ です。

annuity（年金）

annuity（アニュイティ、年金）は、毎回同じ額を払い込む、または受け取る仕組みです。2つの向きがあります。

（1）積み立てる年金

毎月お金を払い込んで、将来まとまった額を作ります。

\[ \underbrace{PV = 0}_{\text{最初は空}} \quad \longrightarrow \quad \underbrace{\text{毎月払い込む}}_{Pmt \ (-)} \quad \longrightarrow \quad \underbrace{\text{受け取る}}_{FV \ (+)} \]

（2）受け取る年金

最初にまとまった額を預けて、毎月受け取っていき、最後に使い切ります。

\[ \underbrace{\text{預ける}}_{PV \ (-)} \quad \longrightarrow \quad \underbrace{\text{毎月受け取る}}_{Pmt \ (+)} \quad \longrightarrow \quad \underbrace{\text{使い切る}}_{FV = 0} \]

符号を決める、たったひとつの考え方

3つの場合を覚えようとしないでください。覚えるのは1つだけです。

お金が自分から出ていくなら負、入ってくるなら正

これだけです。SL 1.4 でも同じでした。

借りる → お金が入ってくる → 正
返す → お金が出ていく → 負
預ける・払い込む → お金が出ていく → 負
受け取る → お金が入ってくる → 正

$PV$、$Pmt$、$FV$ の3つに、この規則を1つずつ当てはめるだけです。

同じ符号ばかりが並ぶことは、まずありません。 3つとも負や3つとも正になったら、どこかで間違えています。

表にすると、こうなります。

表 2: 3つの場合の符号

	$PV$	$Pmt$	$FV$
ローンの返済（amortization）	$+$（借りる）	$-$（返す）	$0$
積み立てる年金	$0$	$-$（払い込む）	$+$（受け取る）
受け取る年金	$-$（預ける）	$+$（受け取る）	$0$

符号は反対でも通ります

ローンの問題を $PV = -15\,000$、$Pmt = +$（正）で入れても、同じ大きさの答えが出ます。 「銀行の側から見た流れ」になるだけで、$PV$ と $Pmt$ が反対の符号になっていることが大事だからです。

ただし混乱のもとなので、この本では「自分から見た流れ」で統一します。 どちらかに決めてしまってください。

答案には、絶対値（大きさ）を書きます。 「毎月 $\$289.99$ 返す」であって、$-289.99$ とは書きません。

総額と利息

この例では、Finance Solver で Pmt を求めました。Finance Solver は N、I(%)、PV、FV などどの欄でも求められます（表 5）。

ただし、総返済額と支払った利息は、どの欄にもありません。 画面には出てこないので、次の $2$ つは自分で計算します。

\[ \text{総返済額} = |Pmt| \times N \tag{1}\]

\[ \text{支払った利息} = \text{総返済額} - \text{借りた額} \tag{2}\]

$\$15\,000$ を借りて総額 $\$17\,399.52$ 返したなら、差額の $\$2399.52$ が利息です。「借りた額より多く返す」その差が利息、というだけの話です。

積み立てる年金なら、向きが逆になります。

\[ \text{受け取った利息} = FV - |Pmt| \times N \]

Why it works

クリックすると開きます

ここでは、なぜ電卓が必要なのかだけを見ます。annuity の公式はシラバスで試験に出ないと明記されているので、深入りしません。

$\$15\,000$ を年利 $6\%$（monthly）で借りて、毎月 $\$289.99$ 返すとします。1か月あたりの利率は $\dfrac{6\%}{12} = 0.5\%$ です。

1回目の返済で何が起きるかを追ってみましょう。

表 3: 1回目の返済の中身

	金額
1か月分の利息	$15\,000 \times 0.005 = \$75.00$
返した額	$\$289.99$
元本が減った分	$289.99 - 75.00 = \$214.99$
残高	$15\,000 - 214.99 = \$14\,785.01$

毎回の返済額は同じでも、中身は毎回違います。 残高が減ると利息も減るので、元本に回る分がだんだん増えていきます。

\[ \text{2回目の利息} = 14\,785.01 \times 0.005 = \$73.93 \quad (\text{1回目より少ない}) \]

つまり、残高が次の利息を決め、その利息が次の残高を決めるという繰り返しです。これを60回分たどらないと最終的な残高が分かりません。

手計算で60回たどるのは現実的ではありません。 だから電卓が要ります。シラバスが using technology と書いているのは、このためです。

「amortization（償却）」という言葉の意味

借金が少しずつ削られて、最後に $0$ になることを amortize（償却する）といいます。

表 3 の「元本が減った分」が、まさに削られている部分です。最初は利息の割合が大きく、終わりに近づくほど元本の割合が大きくなります。

ローンを組んだ最初の数年は、返しても返しても元本が減らない、と感じるのはこのためです。

Worked examples

問題文は英語です。意味が理解できなかったら、問題文の下の「日本語訳」を開いてください。解説は日本語です。

例題 1 Aiko borrows $\$15\,000$ to buy a car. The loan is charged interest at a nominal annual rate of $6\%$, compounded monthly. She repays the loan in equal monthly instalments over 5 years.

(a) Find her monthly repayment, correct to two decimal places.

(b) Find the total amount she repays.

(c) Find the total interest she pays.

日本語訳

愛子さんは車を買うために $\$15\,000$ を借りました。このローンには、名目年利 $6\%$、利息は毎月つく、という条件で利息がかかります。彼女は5年間、毎月同じ額を返します。

(a) 毎月の返済額を、小数第2位まで求めなさい。

(b) 返済の総額を求めなさい。

(c) 支払う利息の総額を求めなさい。

計算の前に：お金の流れを決める

借りるので $PV$ は正、返すので $Pmt$ は負、5年後に完済するので $FV = 0$（表 2）。

compounded monthly かつ毎月返すので $PpY = CpY = 12$。5年なので $N = 12 \times 5 = 60$ です。$N$ は年数ではありません。

(a) Finance Solver（GDCの使い方）に次のように入れて、Pmt の欄で enter を押します。

N     = 60
I(%)  = 6
PV    = 15000
Pmt   = （ここにカーソルを置いて enter）
FV    = 0
PpY   = 12
CpY   = 12
PmtAt = END

\[ Pmt = -289.9920\ldots \]

負の数で返ってきますが、これは「出ていくお金」という意味です。答えは大きさで書きます。

\[ \text{毎月の返済額} \approx \$289.99 \]

(b) 60回払うので

\[ 289.9920\ldots \times 60 = 17\,399.52\ldots \approx \$17\,399.52 \]

(c) 借りたのは $\$15\,000$ でした。

\[ 17\,399.52 - 15\,000 = \$2399.52 \]

(b) では、丸める前の値を掛けてください

$289.99 \times 60 = \$17\,399.40$ となり、正しい $\$17\,399.52$ と $12$ セントずれます。

電卓の Pmt 欄に入っているのは $-289.9920\ldots$ という正確な値です。手で打ち直さずに、その値をそのまま使ってください。

SL 1.4 でも書いた「途中で四捨五入しない」と同じ話です。

解答例（答案用紙にはこう書く）

\[N = 60, \quad I\% = 6, \quad PV = 15\,000, \quad FV = 0, \quad PpY = CpY = 12\]

(a) Using the GDC Finance Solver: \[Pmt = -289.992\ldots \quad \Rightarrow \quad \text{monthly repayment} = \$289.99\]

(b) \[289.992\ldots \times 60 = 17\,399.52\ldots \approx \$17\,399.52\]

(c) \[17\,399.52 - 15\,000 = \$2399.52\]

例題 2 Ben pays $\$200$ at the end of each month into a savings account. The account pays a nominal annual rate of $4.2\%$, compounded monthly. He does this for 15 years.

(a) Find the value of the account after 15 years.

(b) Find the total amount Ben has paid in.

(c) Find the total interest earned.

日本語訳

ベンさんは毎月末に $\$200$ を貯蓄口座に払い込みます。この口座には名目年利 $4.2\%$、利息は毎月つく、という条件がついています。彼はこれを15年間続けます。

(a) 15年後の口座の価値を求めなさい。

(b) ベンさんが払い込んだ総額を求めなさい。

(c) 得た利息の総額を求めなさい。

これは「積み立てる年金」です。 最初は空っぽなので $PV = 0$、毎月払い込むので $Pmt$ は負、最後に受け取るので $FV$ は正になります（表 2）。

(a)

N     = 180          ← 12 × 15
I(%)  = 4.2
PV    = 0
Pmt   = −200
FV    = （ここにカーソルを置いて enter）
PpY   = 12
CpY   = 12

\[ FV = 50\,031.23\ldots \approx \$50\,031.23 \]

(b) 毎月 $\$200$ を180回です。

\[ 200 \times 180 = \$36\,000 \]

(c) 増えた分が利息です。

\[ 50\,031.23 - 36\,000 = \$14\,031.23 \]

答えの大きさを確かめる習慣

払い込んだ $\$36\,000$ より $FV$ が大きくなるはずです。実際 $\$50\,031$ で、つじつまが合っています。

もし $FV$ が $\$36\,000$ より小さく出たら、$Pmt$ の符号を間違えています。 $Pmt$ を正にすると「毎月引き出す」意味になってしまい、口座が減っていきます。

解答例（答案用紙にはこう書く）

\[N = 180, \quad I\% = 4.2, \quad PV = 0, \quad Pmt = -200, \quad PpY = CpY = 12\]

(a) Using the GDC Finance Solver: \[FV = 50\,031.23\ldots \approx \$50\,031.23\]

(b) \[200 \times 180 = \$36\,000\]

(c) \[50\,031.23 - 36\,000 = \$14\,031.23\]

例題 3 Chen has $\$250\,000$ in a retirement account when he retires. The account pays a nominal annual rate of $5\%$, compounded monthly. He plans to withdraw an equal amount at the end of each month for 20 years, after which the account will be empty.

(a) Find the amount he can withdraw each month.

(b) Find the total amount he withdraws over the 20 years.

日本語訳

チェンさんは退職したとき、退職金の口座に $\$250\,000$ を持っています。この口座には名目年利 $5\%$、利息は毎月つく、という条件がついています。彼はこれから20年間、毎月末に同じ額を引き出していき、20年後に口座が空になるようにするつもりです。

(a) 毎月引き出せる額を求めなさい。

(b) 20年間で引き出す総額を求めなさい。

これは「受け取る年金」です。 最初に預けるので $PV$ は負、毎月受け取るので $Pmt$ は正、最後に使い切るので $FV = 0$（表 2）。

(a)

N     = 240          ← 12 × 20
I(%)  = 5
PV    = −250000
Pmt   = （ここにカーソルを置いて enter）
FV    = 0
PpY   = 12
CpY   = 12

\[ Pmt = 1649.89\ldots \approx \$1649.89 \]

(b)

\[ 1649.89\ldots \times 240 = 395\,973.44\ldots \approx \$395\,973.44 \]

$250\,000 \div 240$ ではありません

単純に割ると $\dfrac{250\,000}{240} = \$1041.67$ ですが、実際には $\$1649.89$ 引き出せます。 $600$ 以上も多いのです。

理由は、引き出さずに残っているお金にも、その間ずっと利息がついているからです。20年かけて $\$145\,973$ ほどの利息が生まれ、そのぶん多く受け取れます。

答えが $\$1041.67$ に近い値になったら、$FV$ か符号を間違えています。

解答例（答案用紙にはこう書く）

\[N = 240, \quad I\% = 5, \quad PV = -250\,000, \quad FV = 0, \quad PpY = CpY = 12\]

(a) Using the GDC Finance Solver: \[Pmt = 1649.89\ldots \approx \$1649.89\]

(b) \[1649.89\ldots \times 240 = 395\,973.44\ldots \approx \$395\,973.44\]

例題 4 Aiko’s loan is described in 例 1. She borrowed $\$15\,000$ at a nominal annual rate of $6\%$, compounded monthly, repaying $\$289.99$ at the end of each month for 5 years.

(a) Find the amount she still owes after 3 years.

(b) Hence find the total interest she has paid during those 3 years.

日本語訳

愛子さんのローンは例 1 のとおりです。名目年利 $6\%$、利息は毎月、$\$15\,000$ を借りて、毎月末に $\$289.99$ ずつ5年間返します。

(a) 3年後にまだ残っている借金の額を求めなさい。

(b) その結果を使って、その3年間に支払った利息の総額を求めなさい。

(a) 考え方は1つだけです。「3年で終わるローン」だと思って $FV$ を求めます。

$N$ だけを $36$ に変えて、あとは同じです。

N     = 36           ← 3年ぶんだけ払った時点
I(%)  = 6
PV    = 15000
Pmt   = −289.992...
FV    = （ここにカーソルを置いて enter）
PpY   = 12
CpY   = 12

\[ FV = -6543.05\ldots \]

負の数は「まだ返す側」という意味です。答えは大きさで書きます。

\[ \text{残っている借金} \approx \$6543.05 \]

(b) Hence とあるので、(a) の答えを使います。

3年間に払ったお金と、実際に減った借金を比べます。

\[ \text{払った額} = 289.9920\ldots \times 36 = \$10\,439.71 \]

\[ \text{減った借金} = 15\,000 - 6543.05 = \$8456.95 \]

差が利息です。

\[ 10\,439.71 - 8456.95 = \$1982.76 \]

5年ぶんの利息の、半分以上を3年で払っています

例 1 で、5年間の利息の総額は $\$2399.52$ でした。そのうち $\$1982.76$、$83\%$ を最初の3年で払っていることになります。

Why it works で見たとおり、最初は利息の割合が大きいからです。この非対称さが amortization の本質で、Comment on を求められたときに書ける内容です。

解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) Using the GDC Finance Solver with $N = 36$: \[FV = -6543.05\ldots \quad \Rightarrow \quad \text{amount still owed} = \$6543.05\]

(b) \[\text{paid} = 289.992\ldots \times 36 = \$10\,439.71\] \[\text{principal repaid} = 15\,000 - 6543.05 = \$8456.95\] \[\text{interest} = 10\,439.71 - 8456.95 = \$1982.76\]

例題 5 Maya owes $\$4000$ on a credit card. The card charges interest at a nominal annual rate of $19.9\%$, compounded monthly. She pays $\$100$ at the end of each month.

(a) Find the number of months it will take her to pay off the debt.

(b) Find the number of months it would take if she paid $\$200$ each month instead.

(c) Comment on your answers.

日本語訳

マヤさんはクレジットカードに $\$4000$ の借金があります。このカードには名目年利 $19.9\%$、利息は毎月つく、という条件で利息がかかります。彼女は毎月末に $\$100$ を支払います。

(a) 借金を返し終えるのに何か月かかるかを求めなさい。

(b) かわりに毎月 $\$200$ 支払った場合、何か月かかるかを求めなさい。

(c) 得られた答えについてコメントしなさい。

(a) 分からないのが $N$ なので、$N$ の欄で enter を押します。

N     = （ここにカーソルを置いて enter）
I(%)  = 19.9
PV    = 4000
Pmt   = −100
FV    = 0
PpY   = 12
CpY   = 12

\[ N = 66.19\ldots \]

小数で出ます。 $66$ 回では返しきれないので、切り上げて $67$ か月です（最後の1回は $\$100$ より少なくなります）。

(b) $Pmt = -200$ に変えるだけです。

\[ N = 24.50\ldots \quad \longrightarrow \quad \mathbf{25} \ \text{か月} \]

(c) 数値だけでは点になりません。

試験ではこう書く

Doubling the monthly payment from $100 to $200 reduces the time from 67 months to 25 months, which is much less than half. This is because a larger payment reduces the balance faster, so less interest is charged each month. Paying only $100 means that most of the early payments go towards interest rather than towards reducing the debt.

（毎月の支払いを $\$100$ から $\$200$ に倍にすると、期間は67か月から25か月に減ります。これは半分よりずっと短い期間です。支払いが多いほど残高が速く減り、毎月かかる利息も少なくなるからです。$\$100$ しか払わないと、最初のほうの支払いの大部分が、借金を減らすのではなく利息に消えてしまいます。）

数字を1つ出すと、説得力が上がります

1か月目の利息を計算してみてください。

\[ 4000 \times \frac{19.9}{1200} = \$66.33 \]

$\$100$ 払っても、借金が減るのは $\$33.67$ だけです。$3$ 分の $2$ が利息に消えています。

シラバスの Aim 8 には、こう書かれています。

Ethical perceptions of borrowing and lending money; short-term loans at high interest rates, how can knowledge of mathematics result in individuals being exploited or protected from extortion?

数学を知っていると、自分を守れる。 この項目は、そういう項目です。

解答例（答案用紙にはこう書く）

\[I\% = 19.9, \quad PV = 4000, \quad FV = 0, \quad PpY = CpY = 12\]

(a) With $Pmt = -100$: \[N = 66.19\ldots \quad \Rightarrow \quad \mathbf{67} \text{ months}\]

(b) With $Pmt = -200$: \[N = 24.50\ldots \quad \Rightarrow \quad \mathbf{25} \text{ months}\]

(c) Doubling the payment reduces the time from 67 months to 25 months, which is much less than half. A larger payment reduces the balance faster, so less interest is charged each month.

Common errors

$PV$ と $Pmt$ を同じ符号で入れる

これがこの項目で一番多い間違いです。

$PV = 15\,000$、$Pmt = 289.99$ と両方正にすると、「借りたうえに毎月さらに払い込む」という意味になり、答えが出ないか、まったく違う値が返ってきます。

お金が出ていくなら負、入ってくるなら正（表 2）。$PV$ と $Pmt$ が反対の符号になっているかを、enter を押す前に確認してください。

$N$ に年数を入れる

monthly で5年なら $N = 60$ です。$5$ ではありません。

$N$ は支払いの総回数なので、ふつうは $(\text{年数}) \times PpY$ で決めます。$PpY = 12$ で $5$ 年なら $N = 60$ です。

いっぽう $CpY$ は、問題文に書かれた複利計算の頻度に合わせます。compounded monthly なら $12$、compounded quarterly なら $4$ です。

答えが極端に小さい（または大きい）ときは、まず $N$ を疑ってください。

$FV = 0$ を入れ忘れる

ローンの問題では、$FV$ の欄が空だったり、前の問題の値が残っていたりすると、答えが変わってしまいます。

「最後に借金が $0$ になる」から $FV = 0$ です。使わない欄も、必ず $0$ を入れてください。

答えを負の数のまま書く

$Pmt = -289.99$ と出ても、答案には $\$289.99$ と書きます。

負の符号は「お金の向き」を表しているだけで、金額そのものではありません。「毎月 $-289.99$ 円返す」という日本語がおかしいのと同じです。

丸めた値を掛けて総額を出す

$289.99 \times 60 = \$17\,399.40$ は、正しい $\$17\,399.52$ とずれます。

電卓の中の値をそのまま使ってください。 手で打ち直すと、そこで丸めが入ります。

$N$ が小数のときに切り捨てる

$N = 66.19$ を $66$ とするのは間違いです。$66$ 回では返しきれません。

借金を返しきる問題では、いつも切り上げです。最後の1回が少なくなるだけで、回数としては1回多く必要になります。

「毎月の受取額 = 元金 ÷ 回数」だと思う

$\dfrac{250\,000}{240} = \$1041.67$ ではありません。正しくは $\$1649.89$ です。

残っているお金に利息がつき続けるので、そのぶん多く受け取れます。単純な割り算に近い値が出たら、どこかで利息が効いていません。

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

この項目は、電卓なしでは解けません。 シラバスが using technology と指定しているので、遠慮なく使ってください。

Finance Solver を開く

Calculator ページで、

menu → Finance → Finance Solver

SL 1.4 と同じ画面です。違うのは、Pmt の欄を実際に使うことだけです。

表 4: SL 1.7 での Finance Solver

欄	意味	SL 1.7 では
`N`	支払いの総回数	年数 $\times$ `PpY`
`I(%)`	名目年利	$r$
`PV`	present value	借りた額（$+$）／預けた額（$-$）／$0$
`Pmt`	毎回の支払額	返す・払い込む（$-$）／受け取る（$+$）
`FV`	future value	完済なら $0$／積み立ての受取額なら $+$
`PpY`	payments per year（$1$ 年間の支払回数）	毎月払いなら $12$
`CpY`	compoundings per year（$1$ 年間の複利計算回数）	`compounded monthly` なら $12$
`PmtAt`	支払いのタイミング	いつも `END`

PpY と CpY は別のものですが、この項目に出てくる問題は「毎月返して、毎月複利」のように $2$ つがそろっている場合がほとんどです。そのときは $PpY = CpY = 12$ のように同じ値を入れます。ずれている問題（たとえば毎月払いで四半期複利）が出たら、それぞれ別々に入れてください。

PmtAt は触らない

シラバスに In examinations the payments will be made at the end of the period と明記されています。BEGIN を使う問題は出ません。

もし間違えて BEGIN にすると、答えが少しだけ違ってしまいます。設定を確認する習慣をつけてください。

求めたい欄で `enter` を押す

Finance Solver の使い方は、いつも同じです。

分かっている欄を全部埋める（使わない欄には $0$）
求めたい欄にカーソルを置く
enter を押す

$Pmt$ でも $N$ でも $I\%$ でも $FV$ でも、同じやり方で求められます。 これが Finance Solver の強みです。

表 5: Finance Solver で求められるもの

何を求めるか	例
毎回の返済額	例 1
将来の価値	例 2
毎回の受取額	例 3
途中の残高	例 4
かかる回数	例 5

途中の残高を求める ── よく出ます

例 4 でやったやり方を、もう一度整理します。

「そこまでで終わるローン」だと思って、$FV$ を求めます。

$N$ を「そこまでに払った回数」にする
$Pmt$ は元のまま
$FV$ の欄で enter

返ってきた $FV$ の大きさが、その時点で残っている借金です。

Amortization の専用ツールもあります

menu → Finance の中には、Amortization（償却）というメニューもあり、残高や利息の合計を直接求める機能が入っています。

ただ、引数の順番を覚える必要があり、間違えやすいです。上に書いた「$N$ を変えて $FV$ を求める」方法なら、Finance Solver ひとつで足ります。

この本では Finance Solver に統一します。専用ツールを使いたい場合は、メニューから選ぶと入力欄に名前が出るので、それを見ながら埋めてください。

総額と利息は、自分で計算する

Finance Solver は総額を出してくれません。 出てきた $Pmt$ を使って、自分で掛け算します。

\[ \text{総返済額} = |Pmt| \times N, \qquad \text{利息} = \text{総返済額} - PV \]

このとき、丸める前の $Pmt$ を使ってください。Finance Solver の画面を閉じずに、そのまま計算式に使うのが確実です。

画面を閉じても値は残っています

Finance Solver を閉じたあと、Calculator ページで tvmPmt などの変数名を使うと、さっきの値が呼び出せます。

もっと簡単なのは、Finance Solver の画面を開いたまま、答えをメモしておくことです。試験中はそのほうが速いです。

答えが合っているかの検算

計算が終わったら、大きさが妥当かどうかを1回だけ見てください。

表 6: 答えの妥当性チェック

場面	確かめること
ローン	総返済額 $>$ 借りた額
積み立て	$FV$ $>$ 払い込んだ総額
受け取り	毎月の受取額 $>$ 元金 $\div$ 回数
残高	元の借金より小さい

どれかが逆になっていたら、符号を間違えています。 これで多くの失点を防げます。

Exercises

各問題に、折りたたみが3つ付いています。日本語訳、解答例（答案用紙に書くべきこと。英語です）、解説（なぜそうなるか。日本語です）。

まず自分で解いて、次に解答例と見くらべてください。解説は、合わなかったときだけ開けば十分です。

1 A loan of $\$8000$ is taken out at a nominal annual rate of $7\%$, compounded monthly, and repaid in equal monthly instalments over 4 years. Find the monthly repayment, correct to two decimal places.

日本語訳

$\$8000$ のローンを、名目年利 $7\%$（利息は毎月）で借り、4年間の毎月同額の返済で返します。毎月の返済額を、小数第2位まで求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[N = 48, \quad I\% = 7, \quad PV = 8000, \quad FV = 0, \quad PpY = CpY = 12\]

Using the GDC Finance Solver:

\[Pmt = -191.57\ldots \quad \Rightarrow \quad \text{monthly repayment} = \$191.57\]

解説

$N = 12 \times 4 = 48$ です。$4$ ではありません。

借りるので $PV$ は正、返すので $Pmt$ は負（表 2）。$Pmt$ が負で返ってきたら、正しく入力できています。

検算。 $191.57 \times 48 = \$9195.36$ で、借りた $\$8000$ より多い。つじつまが合っています（表 6）。

2 Sam pays $\$150$ at the end of each month into an account paying a nominal annual rate of $5\%$, compounded monthly, for 10 years.

(a) Find the value of the account after 10 years.

(b) Find the total interest earned.

日本語訳

サムさんは毎月末に $\$150$ を、名目年利 $5\%$（利息は毎月）の口座に10年間払い込みます。

(a) 10年後の口座の価値を求めなさい。

(b) 得た利息の総額を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[N = 120, \quad I\% = 5, \quad PV = 0, \quad Pmt = -150, \quad PpY = CpY = 12\]

(a) Using the GDC Finance Solver: \[FV = 23\,292.34\ldots \approx \$23\,292.34\]

(b) \[150 \times 120 = \$18\,000\] \[23\,292.34 - 18\,000 = \$5292.34\]

解説

積み立てる年金なので $PV = 0$ です。空欄のままにせず、$0$ と入れてください。

払い込むので $Pmt = -150$。$FV$ が正で返ってくれば正しい向きです。

$FV$ が $\$18\,000$ より小さく出たら、$Pmt$ の符号が逆になっています。

3 Priya has $\$180\,000$ in an account paying a nominal annual rate of $4.5\%$, compounded monthly. She withdraws an equal amount at the end of each month for 15 years, after which the account is empty. Find the monthly withdrawal.

日本語訳

プリヤさんは、名目年利 $4.5\%$（利息は毎月）の口座に $\$180\,000$ を持っています。彼女は15年間、毎月末に同じ額を引き出していき、15年後に口座が空になります。毎月の引き出し額を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[N = 180, \quad I\% = 4.5, \quad PV = -180\,000, \quad FV = 0, \quad PpY = CpY = 12\]

Using the GDC Finance Solver:

\[Pmt = 1376.99\ldots \approx \$1376.99\]

解説

受け取る年金なので、預ける $PV$ が負、受け取る $Pmt$ が正です（表 2）。

$\dfrac{180\,000}{180} = \$1000$ ですが、答えは $\$1376.99$。残っているお金に利息がつくので、単純な割り算より多く受け取れます（表 6）。

$\$1000$ に近い値が出たら、$I\%$ を入れ忘れています。

4 A loan of $\$22\,000$ is repaid in equal monthly instalments over 6 years. The nominal annual rate is $5.5\%$, compounded monthly.

(a) Find the monthly repayment.

(b) Find the total interest paid over the 6 years.

日本語訳

$\$22\,000$ のローンを、6年間の毎月同額の返済で返します。名目年利は $5.5\%$、利息は毎月つきます。

(a) 毎月の返済額を求めなさい。

(b) 6年間に支払う利息の総額を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[N = 72, \quad I\% = 5.5, \quad PV = 22\,000, \quad FV = 0, \quad PpY = CpY = 12\]

(a) Using the GDC Finance Solver: \[Pmt = -359.43\ldots \quad \Rightarrow \quad \$359.43\]

(b) \[359.43\ldots \times 72 = 25\,879.21\ldots\] \[25\,879.21 - 22\,000 = \$3879.21\]

解説

は式 1 と式 2 のとおりです。Finance Solver は総額を出してくれないので、自分で掛け算と引き算をします。

丸める前の $Pmt$ を使ってください。 $359.43 \times 72 = \$25\,878.96$ となり、正しい $\$25\,879.21$ と $25$ セントずれます。

5 For the loan in question 4, find the amount still owed after 4 years.

日本語訳

問題4のローンについて、4年後にまだ残っている借金の額を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

Using the GDC Finance Solver with $N = 48$ and the same $Pmt$:

\[N = 48, \quad I\% = 5.5, \quad PV = 22\,000, \quad Pmt = -359.43\ldots, \quad PpY = CpY = 12\]

\[FV = -8151.22\ldots \quad \Rightarrow \quad \text{amount still owed} = \$8151.22\]

解説

$N$ だけを $48$ に変えて、$FV$ を求めます。 「4年で終わるローン」だと思えばよい、というのが考え方です。

$FV$ は負で返ってきますが、答えは大きさで書きます。

検算。 元の $\$22\,000$ より小さい $\$8151.22$。6年のうち4年が過ぎたので、$3$ 分の $1$ ちょっとが残っているのは自然です（表 6）。

6 A debt of $\$12\,000$ is charged interest at a nominal annual rate of $8\%$, compounded monthly. Payments of $\$250$ are made at the end of each month. Find the number of months needed to repay the debt.

日本語訳

$\$12\,000$ の借金に、名目年利 $8\%$（利息は毎月）で利息がかかります。毎月末に $\$250$ ずつ支払います。借金を返し終えるのに必要な月数を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[I\% = 8, \quad PV = 12\,000, \quad Pmt = -250, \quad FV = 0, \quad PpY = CpY = 12\]

Using the GDC Finance Solver:

\[N = 58.04\ldots \quad \Rightarrow \quad \mathbf{59} \text{ months}\]

解説

$58.04$ を $58$ にしないでください。$58$ 回払っても、まだ $\$10.46$ 残っています。

$59$ 回目の支払いは $\$10.53$ で済みますが、回数としては $59$ 回必要です。

借金を返し終える問題では、いつも切り上げです。「あと少しだから」で切り捨てると失点します。

7 A loan of $\$10\,000$ is repaid by monthly instalments of $\$220$ over 5 years. Interest is compounded monthly. Find the nominal annual rate of interest, correct to three significant figures.

日本語訳

$\$10\,000$ のローンを、5年間、毎月 $\$220$ ずつで返します。利息は毎月つきます。名目年利を有効数字3桁で求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[N = 60, \quad PV = 10\,000, \quad Pmt = -220, \quad FV = 0, \quad PpY = CpY = 12\]

Using the GDC Finance Solver:

\[I\% = 11.51\ldots \approx 11.5\%\]

解説

Finance Solver は、どの欄でも求められます（表 5）。今回は $I\%$ の欄で enter を押すだけです。

検算。 総返済額は $220 \times 60 = \$13\,200$ で、借りた $\$10\,000$ より $\$3200$ 多い。5年で $32\%$ 多く返しているので、年利は $10\%$ を超えるくらい。$11.5\%$ はつじつまが合っています。

このように、答えを見て「だいたいこのくらいのはず」と確かめられると、符号ミスに気づけます。

8 A loan of $\$20\,000$ is charged interest at a nominal annual rate of $6\%$, compounded monthly.

(a) Find the monthly repayment if the loan is repaid over 3 years.

(b) Find the monthly repayment if the loan is repaid over 6 years.

(c) Find the total interest paid in each case, and comment on the difference.

日本語訳

$\$20\,000$ のローンに、名目年利 $6\%$（利息は毎月）で利息がかかります。

(a) 3年で返す場合の毎月の返済額を求めなさい。

(b) 6年で返す場合の毎月の返済額を求めなさい。

(c) それぞれの場合の利息の総額を求め、その違いについてコメントしなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[I\% = 6, \quad PV = 20\,000, \quad FV = 0, \quad PpY = CpY = 12\]

(a) $N = 36$: \[Pmt = -608.44\ldots \quad \Rightarrow \quad \$608.44\]

(b) $N = 72$: \[Pmt = -331.46\ldots \quad \Rightarrow \quad \$331.46\]

(c) \[\text{3 years: } 608.44\ldots \times 36 - 20\,000 = \$1903.79\] \[\text{6 years: } 331.46\ldots \times 72 - 20\,000 = \$3864.96\]

Repaying over 6 years gives a much smaller monthly payment, but the total interest is about twice as much. The debt is outstanding for twice as long, so interest is charged for twice as many months.

解説

期間を2倍にすると、毎月の返済は半分近くになりますが、利息は約2倍になります。

毎月の負担だけを見て「6年のほうが楽」と考えがちですが、払う総額は $\$1961$ 多くなります。 これが Comment on で書くべき内容です。

$608.44$ は $331.46$ の $2$ 倍より少し小さいことにも注目してください。期間が短いほうが、1回あたりの利息が少なくて済むからです。

9 Kenta wants to have $\$50\,000$ in 12 years’ time. He will pay an equal amount into an account at the end of each month. The account pays a nominal annual rate of $4.8\%$, compounded monthly.

(a) Find the amount he must pay in each month.

(b) Find the total amount he pays in.

日本語訳

健太さんは12年後に $\$50\,000$ を持っていたいと考えています。彼は毎月末に同じ額を口座に払い込みます。この口座には名目年利 $4.8\%$、利息は毎月、という条件がついています。

(a) 毎月払い込むべき額を求めなさい。

(b) 払い込む総額を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[N = 144, \quad I\% = 4.8, \quad PV = 0, \quad FV = 50\,000, \quad PpY = CpY = 12\]

(a) Using the GDC Finance Solver: \[Pmt = -257.44\ldots \quad \Rightarrow \quad \$257.44\]

(b) \[257.44\ldots \times 144 = 37\,072.04\ldots \approx \$37\,072.04\]

解説

目標額が $FV$ です。 $\$50\,000$ を $FV$ の欄に正の数で入れ、$PV = 0$、$Pmt$ の欄で enter を押します。

これまでと違って、求めるのが $Pmt$ で、$FV$ が分かっているという形です。Finance Solver はどの欄でも求められるので、やることは変わりません。

検算。 払い込む総額 $\$37\,072$ に対して受け取るのは $\$50\,000$。差の $\$12\,928$ が利息です。$FV$ のほうが大きいので、向きは合っています（表 6）。

$\dfrac{50\,000}{144} = \$347.22$ と比べると、利息のおかげで毎月の負担が $\$90$ ほど軽くなっていることが分かります。

10 A family takes out a mortgage of $\$320\,000$ at a nominal annual rate of $4.2\%$, compounded monthly, repaid over 25 years.

(a) Find the monthly repayment.

(b) Find the total interest paid over the 25 years.

(c) The family considers repaying the mortgage over 20 years instead. Find the monthly repayment and the total interest in this case.

(d) Comment on whether the family should choose the 20-year mortgage.

日本語訳

ある家族が $\$320\,000$ の住宅ローンを、名目年利 $4.2\%$（利息は毎月）で組み、25年で返します。

(a) 毎月の返済額を求めなさい。

(b) 25年間に支払う利息の総額を求めなさい。

(c) この家族は、かわりに20年で返すことも考えています。その場合の毎月の返済額と利息の総額を求めなさい。

(d) この家族が20年のローンを選ぶべきかどうか、コメントしなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[I\% = 4.2, \quad PV = 320\,000, \quad FV = 0, \quad PpY = CpY = 12\]

(a) $N = 300$: \[Pmt = -1724.62\ldots \quad \Rightarrow \quad \$1724.62\]

(b) \[1724.62\ldots \times 300 - 320\,000 = \$197\,384.63\]

(c) $N = 240$: \[Pmt = -1973.03\ldots \quad \Rightarrow \quad \$1973.03\] \[1973.03\ldots \times 240 - 320\,000 = \$153\,526.32\]

(d) The 20-year mortgage saves about $43 858 in interest, but the monthly repayment is about $248 higher. The family should choose it only if they can afford the higher monthly payment. If their income is uncertain, the lower payment of the 25-year mortgage may be safer, even though it costs more in total.

解説

(d) が、この問題の本体です。 Comment on whether ... should と聞かれたら、「どちらか一方が正しい」とは書けません。

数字だけ見れば20年のほうが $\$43\,858$ 得です。ですが毎月 $\$248$ 多く払える家族でなければ、その選択はできません。

両方の面に触れて、条件つきで答えるのが型です。

数字で差を示す — saves about $43 858 in interest
代償を示す — but the monthly repayment is about $248 higher
条件をつけて結論 — only if they can afford the higher payment

「20年を選ぶべきです」とだけ書くと、片面しか見ていないことになります。AI で問われているのは、この判断の質です。

	\(PV\)	\(Pmt\)	\(FV\)
ローンの返済（amortization）	\(+\)（借りる）	\(-\)（返す）	\(0\)
積み立てる年金	\(0\)	\(-\)（払い込む）	\(+\)（受け取る）
受け取る年金	\(-\)（預ける）	\(+\)（受け取る）	\(0\)

SL 1.7 — Amortization and annuities（ローン返済と年金）

The idea

SL 1.4 と何が違うのか

amortization（ローンの返済）

annuity（年金）

符号を決める、たったひとつの考え方

総額と利息

Why it works

Worked examples

Common errors

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

Finance Solver を開く

求めたい欄で enter を押す

途中の残高を求める ── よく出ます

総額と利息は、自分で計算する

答えが合っているかの検算

Exercises

求めたい欄で `enter` を押す