SL 5.7 — Optimisation（最適化問題）

What you should be able to do

文章から、自分で文字をおいて式を作れる。
constraint（条件式）を使って、文字を1つに減らせる。
できた式を微分し、$f'(x) = 0$ を解いて最大・最小を求められる。
求めたものが最大か最小かを、理由をつけて言える。
現実に意味のある範囲（domain）を考え、意味のない解を捨てられる。
答えを、単位を付けて、問題の言葉で書ける。
利益・費用・面積・体積の問題を扱える（シラバスが名指ししています）。

Formula booklet に、この項目の欄はありません

公式集の Topic 5 の欄は 5.3、5.5、5.8 だけです。5.7 の欄はありません。

新しい公式もありません。使うのは、SL 5.3 の微分と、SL 5.6 の $f'(x)=0$ だけです。

シラバスの Content 欄は、たった一行です。

Optimisation problems in context.

in context（文脈のある）── ここがこの項目の全部です。式は与えられません。自分で作ります。

SL では、運動（kinematics）の問題は出ません

シラバスの SL 5.7 の Guidance 欄に、はっきり書かれています。

In SL examinations, questions on kinematics will not be set.

「加速度から速度を出して、速度から変位を出して…」という物理の運動の問題は、SL では出題されません。 HL の内容です。

（SL 5.5 で見た「速度のグラフの面積＝距離」のように、velocity–time graph が文脈として出てくることはあります。それは Connections 欄に書かれています。ここで出ないと言っているのは、運動そのものを扱う設問です。）

出るのは、次の3つです（Guidance 欄）。

Examples: Maximizing profit, minimizing cost, maximizing volume for a given surface area.

The idea

1. 手順は5つです

SL 5.6 との違いは、最初の3つだけです。SL 5.6 では式が与えられていました。ここでは自分で作ります。

図 1: The five steps of an optimisation problem

文字をおく … 何を $x$ にするかを決めて、言葉で書く
constraint（条件式）を書く … 「フェンスは全部で $60$ m」など
文字を1つに減らす … 条件式から片方を消して、$A(x)$ の形にする
微分して $f'(x) = 0$ を解く
確かめて、答える … 最大か最小か、単位、問題の言葉

つまずくのは、ほぼ手順2と3です

微分（手順4）は SL 5.3 でやったとおりで、難しくありません。

難しいのは、文章から式を作るところです。だからこの項目では、手順1〜3にいちばん時間をかけて練習してください。

2. constraint（条件式）で、文字を1つに減らす

最適化の問題には、ふつう文字が2つ出てきます。たての長さと横の長さ、半径と高さ、など。

AI SL では $1$ 変数の微分を扱います。 ですから、目的の量を $1$ つの文字の関数にします。 もう $1$ つの文字を消す、ということです。

そのために使うのが constraint（条件式）── 問題文に必ず書いてある「決まっている量」です。

表 1: 条件式は問題文のここに書いてある

問題文の言葉	constraint
`has 60 m of fencing`	使う長さの合計 $= 60$
`made from 300 cm² of card`	表面積 $= 300$
`the volume is 500 cm³`	体積 $= 500$
`the two numbers add up to 20`	$x + y = 20$

やり方は、条件式を「$y = \ldots$」の形にして、もう一方の式に代入するだけです。

3. 例：壁ぎわの囲い

$60$ m のフェンスで、壁を1辺に使って長方形の囲いを作ります。面積を最大にするには？

図 2: Using a wall as one side, so only three sides need fencing

手順1 … 壁と垂直な辺を $x$ m とおきます。

手順2 … フェンスは3辺だけです。壁と平行な辺を $y$ m とすると、

\[ 2x + y = 60 \]

手順3 … $y = 60 - 2x$ を面積の式に入れます。

\[ A = xy = x(60 - 2x) = 60x - 2x^{2} \]

手順4 … 微分して $0$ とおきます。

\[ A'(x) = 60 - 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 15 \]

手順5 … $y = 60 - 30 = 30$、面積は $15 \times 30 = 450$ m²。

壁の側にはフェンスが要りません

$4$ 辺ぶんと考えて $2x + 2y = 60$ としてしまうのが、いちばん多い誤りです。

図をかいて、フェンスが何辺あるかを数えてください。 図 2 では3辺です。

4. 定義域を考える

現実には意味のない答えが出ることがあります。問題文には書いてなくても、自分で範囲を考える必要があります。

$12$ cm 四方の紙の四すみから $x$ cm の正方形を切って、箱を折る問題を見てみます。

図 3: Cutting corners from a square sheet and folding up the sides

\[ V = x(12 - 2x)^{2} \]

展開して微分すると

\[ V = 4x^{3} - 48x^{2} + 144x \]

\[ V'(x) = 12x^{2} - 96x + 144 = 12(x - 2)(x - 6) \]

解が2つ出ます。 $x = 2$ と $x = 6$。

図 4 のとおり、意味があるのは $0 < x < 6$ の部分だけです。

$x$ は正でなければなりません（切る大きさ）
$12 - 2x$ も正でなければなりません → $x < 6$

$x = 6$ は捨てます。 そのとき箱の底が消えて、体積が $0$ になるからです。

\[ V(2) = 2 \times 8^{2} = 128 \ \text{cm}^{3} \]

捨てた理由を、一言書いてください

\[ \text{Reject } x = 6 \text{ since } 12 - 2x > 0. \qquad ✓ \]

黙って捨てると、点になりません。 「なぜ捨てたか」の一言が method mark です。

同じ注意は SL 1.8 や SL 5.6 にも出てきました。AI では、ずっと同じことを求められます。

5. 最大か最小かを確かめる

SL 5.6 と同じです。$f'$ の符号の変化か、グラフで判断します。

$V'(x) = 12(x-2)(x-6)$ なら、

\[ V'(1) = 12(-1)(-5) = 60 > 0, \qquad V'(3) = 12(1)(-3) = -36 < 0 \]

$+$ から $-$ なので、$x = 2$ は最大です。

文脈から言い切ってしまえることもあります

$2$ 次関数で $x^{2}$ の係数が負なら、山が1つだけです。「上に凸だから最大」と一言書けば十分なことも多いです。

ただし justify や giving a reason と書かれていたら、必ず何か書いてください。 何も書かないのが一番いけません。

6. 答えの書き方

求められているのが $x$ なのか、$f(x)$ なのかを、必ず読み分けてください（SL 5.6 と同じです）。

表 2: 何を答えるか

問題文	答えるもの	例
`Find the value of x that maximises the area`	$x$	$15$ m
`Find the maximum area`	$f(x)$	$450$ m²
`Find the dimensions of the box`	辺の長さを全部	$8 \times 8 \times 2$ cm

単位を必ず付けてください。 面積なら m²、体積なら cm³、お金ならドル。

7. 立体の公式は、公式集にあります（一部だけ）

体積・表面積の問題では、公式集の Prior learning – SL と SL 3.1 の欄が使えます（SL 3.1）。

表 3: 立体の公式

公式集にあるもの	式
直方体の体積	$V = lwh$
円柱の体積	$V = \pi r^{2} h$
円柱の側面の面積	$A = 2\pi r h$
円の面積	$A = \pi r^{2}$
球・円錐・角錐	公式集にあります

図 5: The booklet gives only the curved surface of a cylinder

円柱の表面積は、公式集にはありません

公式集にあるのは Area of the curved surface of a cylinder、つまり側面だけです。

ふたや底の円は、自分で $\pi r^{2}$ を足します。

\[ \text{ふたなし：} \ S = 2\pi r h + \pi r^{2} \qquad\qquad \text{ふたあり：} \ S = 2\pi r h + 2\pi r^{2} \]

問題文が open か closed かを、必ず確かめてください。 ここで $\pi r^{2}$ を $1$ つ多く足す／足し忘れる、というのがとても多い失点です。

Why it works

クリックすると開きます

新しい理屈は、実は何もありません。SL 5.6 と同じことをしています。

$f'(x) = 0$ で山と谷が見つかる ── その理由は SL 5.6 で見たとおりです。

この項目で新しいのは、扱う関数を自分で作るところだけです。

では、なぜ条件式で文字を減らせるのでしょうか。

囲いの問題で、$x$ と $y$ の $2$ つが自由に動けるなら、面積 $xy$ はいくらでも大きくできます。$x = 100$、$y = 100$ にすればよいのですから。

そうならないのは、$60$ m しかフェンスがないからです。$x$ を大きくすれば、$y$ は必ず小さくなります。

\[ 2x + y = 60 \]

この式が、$x$ と $y$ を結びつけています。 $x$ を決めれば $y$ も決まる。だから、

\[ A = x(60 - 2x) \]

は $x$ だけの関数になります。

「使えるものが限られている」から、最適化という問題が生まれる。 制約がなければ、答えは「いくらでも大きく」になってしまいます。

$A = x(60-2x)$ は上に凸の $2$ 次関数なので、$x = 15$ で最大になるのは平方完成でも出せます（SL 2.4）。

$3$ 次以上になると平方完成は使えません。微分なら、どんな次数でも同じやり方で解けます。 そこが微分の強みです。

Worked examples

問題文は英語です。意味が理解できなかったら、問題文の下の「日本語訳」を開いてください。解説は日本語です。

例題 1 A farmer has $60$ metres of fencing. He uses a straight wall as one side of a rectangular pen, so only three sides need to be fenced.

The two sides perpendicular to the wall each have length $x$ metres.

(a) Show that the area of the pen is $A = 60x - 2x^{2}$.

(b) Find the value of $x$ that gives the greatest area.

(c) Find this greatest area.

日本語訳

ある農家が $60$ m のフェンスを持っています。長方形の囲いの1辺にまっすぐな壁を使うので、フェンスが必要なのは3辺だけです。

壁に垂直な2辺の長さは、それぞれ $x$ m です。

(a) 囲いの面積が $A = 60x - 2x^{2}$ となることを示しなさい。

(b) 面積が最大になる $x$ の値を求めなさい。

(c) その最大の面積を求めなさい。

(a) 壁と平行な辺を $y$ m とします。フェンスは3辺なので、

\[ 2x + y = 60 \quad \Rightarrow \quad y = 60 - 2x \]

\[ A = xy = x(60 - 2x) = 60x - 2x^{2} \quad ✓ \]

(b) 微分します。

\[ \frac{dA}{dx} = 60 - 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 15 \]

(c) $y = 60 - 30 = 30$ なので、

\[ A = 15 \times 30 = 450 \ \text{m}^{2} \]

試験ではこう書く

The greatest area is $450\ \text{m}^{2}$, when $x = 15$ metres.

Show that は、途中を全部書きます

答えが問題文に書いてあるので、点になるのは過程だけです。

$2x + y = 60$ の行（constraint）
$y = 60 - 2x$ の行
$A = xy$ に代入する行

この3行がそろって、はじめて満点です。 いきなり $A = 60x - 2x^2$ と書いても点になりません。

解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) Let the third side be $y$. Then $2x + y = 60$, so $y = 60 - 2x$.

$A = xy = x(60 - 2x) = 60x - 2x^{2}$ ✓

(b) $\dfrac{dA}{dx} = 60 - 4x = 0$, so $x = 15$

(c) $A = 60(15) - 2(225) = 900 - 450 = 450\ \text{m}^{2}$

例題 2 A shop sells $x$ umbrellas each week. The selling price of one umbrella, in dollars, is $30 - 0.5x$. The shop pays $\$10$ for each umbrella and has fixed weekly costs of $\$50$.

(a) Show that the weekly profit is $P(x) = 20x - 0.5x^{2} - 50$.

(b) Find the number of umbrellas that should be sold each week to maximise the profit.

(c) Find the maximum weekly profit.

日本語訳

ある店は 1 週間に $x$ 本のかさを売ります。かさ 1 本の販売価格は $30 - 0.5x$ ドルです。店はかさ 1 本を $10$ ドルで仕入れ、さらに毎週 $50$ ドルの固定費がかかります。

(a) 週の利益が $P(x) = 20x - 0.5x^{2} - 50$ となることを示しなさい。

(b) 利益を最大にするために、1 週間に何本売ればよいかを求めなさい。

(c) 最大の週の利益を求めなさい。

(a) 利益＝売上 − 費用です。

売上（revenue）は「$1$ 本の値段 × 本数」。

\[ R = x(30 - 0.5x) = 30x - 0.5x^{2} \]

費用（cost）は「仕入れ $+$ 固定費」。

\[ C = 10x + 50 \]

\[ P = R - C = 30x - 0.5x^{2} - 10x - 50 = 20x - 0.5x^{2} - 50 \quad ✓ \]

(b)

\[ P'(x) = 20 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \]

(c)

\[ P(20) = 400 - 200 - 50 = 150 \]

試験ではこう書く

The shop should sell $20$ umbrellas each week, giving a maximum weekly profit of $\$150$.

「値段 × 本数」を忘れないでください

$30 - 0.5x$ は $1$ 本の値段です。売上はそれに $x$ を掛けます。

\[ R = x(30 - 0.5x) \qquad ✓ \qquad\qquad R = 30 - 0.5x \qquad ✗ \]

値段が下がるほどたくさん売れる、というモデルです。だから $x$ が大きいと $1$ 本の値段は下がります。

解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) $R = x(30 - 0.5x) = 30x - 0.5x^{2}$; $C = 10x + 50$

$P = R - C = 20x - 0.5x^{2} - 50$ ✓

(b) $P'(x) = 20 - x = 0$, so $x = 20$ umbrellas

(c) $P(20) = 400 - 200 - 50 = \$150$

例題 3 A square sheet of card measures $12$ cm by $12$ cm. A square of side $x$ cm is cut from each corner, and the sides are folded up to make an open box.

(a) Write down an expression for the volume $V$ of the box in terms of $x$.

(b) Write down the possible values of $x$.

(c) Find the value of $x$ that gives the greatest volume, and find this volume.

日本語訳

正方形の厚紙は $12$ cm × $12$ cm です。四すみから $1$ 辺 $x$ cm の正方形を切り取り、辺を折り上げてふたのない箱を作ります。

(a) 箱の体積 $V$ を $x$ の式で書きなさい。

(b) $x$ のとりうる値を書きなさい。

(c) 体積が最大になる $x$ の値と、その体積を求めなさい。

(a) 底は $1$ 辺 $12 - 2x$ の正方形、高さは $x$（図 3）。

\[ V = x(12 - 2x)^{2} \]

(b) 定義域を考えます。

\[ 0 < x < 6 \]

(c) 展開して微分します。

\[ V = 4x^{3} - 48x^{2} + 144x \]

\[ V'(x) = 12x^{2} - 96x + 144 = 12(x - 2)(x - 6) = 0 \]

\[ x = 2 \quad \text{または} \quad x = 6 \]

$x = 6$ は範囲の外なので捨てます。

\[ V(2) = 2 \times 8^{2} = 128 \ \text{cm}^{3} \]

試験ではこう書く

Reject $x = 6$, since we need $12 - 2x > 0$.

$V'(1) = 60 > 0$ and $V'(3) = -36 < 0$, so $x = 2$ gives a maximum. The greatest volume is $128\ \text{cm}^{3}$.

展開してから微分します

$x(12-2x)^{2}$ のままでは、SL 5.3 の公式が使えません。かっこがあるからです。

\[ (12-2x)^{2} = 144 - 48x + 4x^{2} \]

\[ V = 144x - 48x^{2} + 4x^{3} \]

必ず展開してから微分してください。

解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) $V = x(12 - 2x)^{2}$

(b) $0 < x < 6$

(c) $V = 4x^{3} - 48x^{2} + 144x$; $V'(x) = 12(x-2)(x-6) = 0$

$x = 2$ or $x = 6$; reject $x = 6$ since $12 - 2x > 0$

$V(2) = 128\ \text{cm}^{3}$

例題 4 An open box has a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. It is made from $300\ \text{cm}^{2}$ of card, with no waste.

(a) Show that $h = \dfrac{300 - x^{2}}{4x}$.

(b) Show that the volume of the box is $V = 75x - \dfrac{x^{3}}{4}$.

(c) Find the dimensions of the box with the greatest volume.

日本語訳

ふたのない箱は、$1$ 辺 $x$ cm の正方形の底面と、高さ $h$ cm をもちます。むだなく $300\ \text{cm}^{2}$ の厚紙で作られています。

(a) $h = \dfrac{300 - x^{2}}{4x}$ となることを示しなさい。

(b) 箱の体積が $V = 75x - \dfrac{x^{3}}{4}$ となることを示しなさい。

(c) 体積が最大になる箱の各辺の長さを求めなさい。

(a) ふたがないので、面は底 $1$ 枚と側面 $4$ 枚です。

\[ x^{2} + 4xh = 300 \]

\[ 4xh = 300 - x^{2} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{300 - x^{2}}{4x} \quad ✓ \]

(b) 体積は「底面積 × 高さ」。

\[ V = x^{2}h = x^{2} \times \frac{300 - x^{2}}{4x} = \frac{x(300 - x^{2})}{4} = \frac{300x - x^{3}}{4} = 75x - \frac{x^{3}}{4} \quad ✓ \]

(c)

\[ \frac{dV}{dx} = 75 - \frac{3x^{2}}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^{2} = 300 \quad \Rightarrow \quad x^{2} = 100 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \]

$x > 0$ なので $x = -10$ は捨てます。

\[ h = \frac{300 - 100}{40} = \frac{200}{40} = 5 \]

試験ではこう書く

The box is $10\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}$, giving a volume of $500\ \text{cm}^{3}$.

open なので、面は $5$ 枚です

\[ \text{ふたなし：} \ x^{2} + 4xh \qquad\qquad \text{ふたあり：} \ 2x^{2} + 4xh \]

底 $1$ 枚 $+$ 側面 $4$ 枚か、底とふたで $2$ 枚 $+$ 側面 $4$ 枚か。

問題文の open / closed / with a lid / without a lid を、指で押さえて確かめてください。

Find the dimensions は、全部の辺を答えます

$x = 10$ だけでは足りません。$h$ も求めて、$10 \times 10 \times 5$ と書きます。

dimensions（寸法）は、箱の形が決まるだけの情報という意味です。

解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) Surface area $= x^{2} + 4xh = 300$, so $h = \dfrac{300 - x^{2}}{4x}$ ✓

(b) $V = x^{2}h = \dfrac{x(300 - x^{2})}{4} = 75x - \dfrac{x^{3}}{4}$ ✓

(c) $\dfrac{dV}{dx} = 75 - \dfrac{3x^{2}}{4} = 0$, so $x = 10$ (reject $x = -10$)

$h = 5$. The box is $10 \times 10 \times 5$ cm.

例題 5 An open cylindrical container has radius $r$ cm and height $h$ cm. Its volume is $1000\ \text{cm}^{3}$.

(a) Show that the surface area of the container is $S = \pi r^{2} + \dfrac{2000}{r}$.

(b) Use your graphic display calculator to find the value of $r$ that minimises $S$, correct to three significant figures.

(c) Find this minimum surface area.

日本語訳

ふたのない円柱形の容器は、半径 $r$ cm、高さ $h$ cm です。体積は $1000\ \text{cm}^{3}$ です。

(a) 容器の表面積が $S = \pi r^{2} + \dfrac{2000}{r}$ となることを示しなさい。

(b) 電卓を使って、$S$ を最小にする $r$ の値を、有効数字 $3$ 桁で求めなさい。

(c) その最小の表面積を求めなさい。

(a) 体積の式（公式集）から $h$ を出します。

\[ \pi r^{2} h = 1000 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{1000}{\pi r^{2}} \]

表面積は、底の円 $+$ 側面。ふたはありません。

\[ S = \pi r^{2} + 2\pi r h = \pi r^{2} + 2\pi r \times \frac{1000}{\pi r^{2}} \]

\[ = \pi r^{2} + \frac{2000}{r} \quad ✓ \]

(b) Graphs ページに $S$ を入れて、Analyze Graph → Minimum（GDCの使い方）で

\[ r = 6.83 \ \text{cm} \quad (3 \text{ s.f.}) \]

(c)

\[ S = 439 \ \text{cm}^{2} \quad (3 \text{ s.f.}) \]

$2\pi r \times \dfrac{1000}{\pi r^{2}}$ の約分を、ていねいに

\[ 2\pi r \times \frac{1000}{\pi r^{2}} = \frac{2000 \pi r}{\pi r^{2}} = \frac{2000}{r} \]

$\pi$ が消えて、$r$ が $1$ つ残るのがポイントです。ここが合えば、あとは電卓の仕事です。

参考：手で解くと $S' = 2\pi r - \dfrac{2000}{r^{2}} = 0$ から $r^{3} = \dfrac{1000}{\pi}$。

このとき $h = 6.83$ で、$r = h$ になります。「ふたのない円柱でむだが最小になるのは、高さと半径が等しいとき」という、きれいな結果です。

試験では、ここまで求められません。 シラバスは using technology で十分としています。

解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) $\pi r^{2}h = 1000$, so $h = \dfrac{1000}{\pi r^{2}}$

$S = \pi r^{2} + 2\pi rh = \pi r^{2} + \dfrac{2000}{r}$ ✓

(b) $r = 6.83$ cm (3 s.f.)

(c) $S = 439\ \text{cm}^{2}$ (3 s.f.)

Common errors

constraint を書かずに進む

この項目で一番多い失点です。

$1$ 変数の関数にしてからでないと、微分できません。「決まっている量」を式にする行が、必ず要ります。

壁ぎわの囲いで、$4$ 辺ぶん数えてしまう

壁を使うなら、フェンスは$3$ 辺です。

必ず図をかいて、辺を数えてください。

open と closed を読み落とす

ふたのない箱は面が $5$ 枚、ふたのある箱は $6$ 枚。円柱も同じです。

表面積の式が $1$ 面ぶん違うと、答えが全部変わります。

円柱の表面積を、公式集にあると思ってしまう

公式集にあるのは側面 $2\pi r h$ だけです。円は自分で足します。

かっこを展開せずに微分しようとする

$x(12-2x)^{2}$ は、そのままでは微分できません（AI SL に積の微分はありません）。

必ず展開して、$ax^{n}$ の形が並んだ式にしてから微分します。

意味のない解を捨てない

長さが負、または $12 - 2x$ が負になる解は捨てます。

捨てた理由を一言書くところまでが答案です。

最大か最小かを確かめない

justify や giving a reason があったら、符号の変化かグラフの形を一文で書いてください。

$x$ を答えるところで、最大値を答えてしまう

the value of x … $x$
the maximum area … $A$
the dimensions … 辺を全部

問題文の最後の名詞を、指で押さえて読んでください。

単位を付けない

$450$ ではなく $450\ \text{m}^{2}$、$128$ ではなく $128\ \text{cm}^{3}$。

面積は $2$ 乗、体積は $3$ 乗です。$\text{cm}^{2}$ と $\text{cm}^{3}$ を取りちがえないでください。

Show that で、答えだけを書く

答えが問題文に書いてあるので、過程だけが点です。

constraint の行、代入の行、整理の行 ── 全部書いてください。

途中で四捨五入する

$r = 6.83$ を使って $S$ を計算すると、わずかにずれることがあります。

電卓の中の値をそのまま使って最後に丸めてください。答えを Ans で受けるのが確実です。

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

式を作るところは手で、最大・最小を出すところは電卓、という分担になります。

1. グラフをかいて、山か谷を出す

自分で作った式を $f1(x)$ に入れます。

f1(x) = 4x^3-48x^2+144x
menu → Window/Zoom → Zoom - Fit
menu → Analyze Graph → Maximum

SL 5.6 と同じ操作です。その山だけをはさむように、下限と上限を指定します。lower bound? と upper bound? の $2$ 回、enter を押します（→ SL 2.4）。

ウィンドウを、意味のある範囲に合わせてください

箱の問題なら $0 < x < 6$ です。$x$ の範囲を $0$ から $6$ に設定しておくと、意味のない解が画面に出てこなくなります。

menu → Window/Zoom → Window Settings

これだけで、$x = 6$ を答えてしまう誤りが防げます。

2. $\pi$ の入った式も、そのまま入ります

f1(x) = pi*x^2 + 2000/x

$\pi$ は電卓の $\boxed{\pi}$ キーです。$3.14$ と打たないでください。 精度が落ちます。

3. 最小の値も、同時に出ます

Minimum は $(6.83,\ 439)$ のように座標を返します。

$x$ 座標 … 「どうすればよいか」（$r = 6.83$ cm）
$y$ 座標 … 「そのときいくつか」（$S = 439\ \text{cm}^{2}$）

答えの書き分けは、この $2$ つの読み分けと同じです。

4. 式を作る途中は、電卓に頼れません

constraint を書く、$h$ を消す、展開する ── ここは全部、手の仕事です。

答案には、式を作った行を必ず残してください

電卓が返すのは数だけです。

constraint（$2x + y = 60$ など）
$1$ 文字にした式（$A = 60x - 2x^{2}$）
微分した式、または「電卓で最大を求めた」と分かる行

この3行があれば、たとえ最後の数を間違えても、大半の点が残ります。

Exercises

各問題に、折りたたみが3つ付いています。日本語訳、解答例（答案用紙に書くべきこと。英語です）、解説（なぜそうなるか。日本語です）。

まず自分で解いて、次に解答例と見くらべてください。解説は、合わなかったときだけ開けば十分です。

1 A rectangular field is to be enclosed using $100$ metres of fencing on all four sides. One side has length $x$ metres.

(a) Show that the area of the field is $A = 50x - x^{2}$.

(b) Find the greatest possible area.

日本語訳

長方形の畑を、$4$ 辺すべてに $100$ m のフェンスを使って囲みます。$1$ 辺の長さは $x$ m です。

(a) 畑の面積が $A = 50x - x^{2}$ となることを示しなさい。

(b) とりうる最大の面積を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) Let the other side be $y$. Then $2x + 2y = 100$, so $y = 50 - x$.

$A = xy = x(50 - x) = 50x - x^{2}$ ✓

(b) $\dfrac{dA}{dx} = 50 - 2x = 0$, so $x = 25$

$A = 25 \times 25 = 625\ \text{m}^{2}$

解説

今度は$4$ 辺すべてにフェンスを使います。constraint は $2x + 2y = 100$、つまり $x + y = 50$。

壁を使う問題（例題1）と混同しないでください。 問題文をよく読むこと。

答えは $25 \times 25$、つまり正方形です。「周の長さが決まっているとき、面積が最大になるのは正方形」── 覚えておくと検算に使えます。

2 Two positive numbers add up to $20$. One of them is $x$.

(a) Write down an expression for their product $P$ in terms of $x$.

(b) Find the greatest possible value of $P$.

日本語訳

$2$ つの正の数の和は $20$ です。そのうち $1$ つは $x$ です。

(a) 積 $P$ を $x$ の式で書きなさい。

(b) $P$ のとりうる最大の値を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) The other number is $20 - x$, so $P = x(20 - x) = 20x - x^{2}$.

(b) $P'(x) = 20 - 2x = 0$, so $x = 10$

$P = 10 \times 10 = 100$

解説

constraint は $x + y = 20$。いちばん短い形です。

答えは $2$ つとも $10$。 和が決まっているとき、積が最大になるのは同じ数のときです。

演習1の「正方形が最大」と、実は同じことを言っています。

3 The weekly profit, in dollars, from selling $x$ items is modelled by

\[ P(x) = 60x - 0.2x^{2} - 500, \qquad 0 \le x \le 200 . \]

(a) Find the number of items that should be sold to maximise the profit.

(b) Find the maximum profit.

日本語訳

$x$ 個を売ったときの週の利益（ドル）は、次の式でモデル化されます。

\[ P(x) = 60x - 0.2x^{2} - 500, \qquad 0 \le x \le 200 . \]

(a) 利益を最大にするために、何個売ればよいかを求めなさい。

(b) 最大の利益を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $P'(x) = 60 - 0.4x = 0$, so $x = 150$ items

(b) $P(150) = 9000 - 4500 - 500 = \$4000$

解説

式が与えられているので、constraint は要りません。 SL 5.6 と同じ形の問題です。

$0.4x = 60$ から $x = \dfrac{60}{0.4} = 150$。小数で割るのを、電卓でやって構いません。

$0.2 \times 150^{2} = 0.2 \times 22500 = 4500$ です。

$150$ は $0 \le x \le 200$ の中なので ✓

4 The cost, in dollars, of running a machine for $x$ hours is modelled by

\[ C(x) = 0.5x^{2} - 30x + 700 . \]

(a) Find the number of hours that gives the lowest cost.

(b) Find this lowest cost.

日本語訳

機械を $x$ 時間動かすときの費用（ドル）は、次の式でモデル化されます。

\[ C(x) = 0.5x^{2} - 30x + 700 . \]

(a) 費用が最も低くなる時間数を求めなさい。

(b) その最低の費用を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $C'(x) = x - 30 = 0$, so $x = 30$ hours

(b) $C(30) = 450 - 900 + 700 = \$250$

解説

$0.5x^{2}$ を微分すると $0.5 \times 2 = 1$ で $x$。$1x$ とは書きません。

$x^{2}$ の係数が正なので下に凸、つまり谷が1つだけ。最小になるのは確かです。

$0.5 \times 900 = 450$ です。

5 A square sheet of card measures $20$ cm by $20$ cm. A square of side $x$ cm is cut from each corner, and the sides are folded up to make an open box.

(a) Write down an expression for the volume $V$ in terms of $x$.

(b) Write down the possible values of $x$.

(c) Find the value of $x$ that gives the greatest volume, and find this volume, correct to three significant figures.

日本語訳

正方形の厚紙は $20$ cm × $20$ cm です。四すみから $1$ 辺 $x$ cm の正方形を切り取り、辺を折り上げてふたのない箱を作ります。

(a) 体積 $V$ を $x$ の式で書きなさい。

(b) $x$ のとりうる値を書きなさい。

(c) 体積が最大になる $x$ の値と、その体積を、有効数字 $3$ 桁で求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $V = x(20 - 2x)^{2}$

(b) $0 < x < 10$

(c) $V = 4x^{3} - 80x^{2} + 400x$; $V'(x) = 12x^{2} - 160x + 400 = 4(x - 10)(3x - 10) = 0$

$x = 10$ or $x = \dfrac{10}{3}$; reject $x = 10$ since $20 - 2x > 0$

$x = 3.33$ cm (3 s.f.), $V = 593\ \text{cm}^{3}$ (3 s.f.)

解説

例題3と同じ形です。数字が $12$ から $20$ に変わっただけ。

今度は $x = \dfrac{10}{3} = 3.333\ldots$ と割り切れません。$3$ 桁の有効数字で $3.33$。

$V = \dfrac{16000}{27} = 592.59\ldots$ で、$593$。

$x$ は $\dfrac{10}{3}$ のまま $V$ に代入してください。 電卓の中の値を使い、丸めるのは最後の $1$ 回だけにします。

6 A closed box has a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. Its volume is $216\ \text{cm}^{3}$.

(a) Show that the surface area is $S = 2x^{2} + \dfrac{864}{x}$.

(b) Find the value of $x$ that minimises $S$.

(c) Find the dimensions of the box.

日本語訳

ふたのある箱は、$1$ 辺 $x$ cm の正方形の底面と高さ $h$ cm をもち、体積は $216\ \text{cm}^{3}$ です。

(a) 表面積が $S = 2x^{2} + \dfrac{864}{x}$ となることを示しなさい。

(b) $S$ を最小にする $x$ の値を求めなさい。

(c) 箱の各辺の長さを求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $x^{2}h = 216$, so $h = \dfrac{216}{x^{2}}$

$S = 2x^{2} + 4xh = 2x^{2} + 4x \times \dfrac{216}{x^{2}} = 2x^{2} + \dfrac{864}{x}$ ✓

(b) $S = 2x^{2} + 864x^{-1}$, so $\dfrac{dS}{dx} = 4x - \dfrac{864}{x^{2}} = 0$

$4x^{3} = 864$, so $x^{3} = 216$ and $x = 6$

(c) $h = \dfrac{216}{36} = 6$. The box is $6 \times 6 \times 6$ cm.

解説

closed なので面は $6$ 枚：底とふたで $2x^{2}$、側面で $4xh$。

$\dfrac{864}{x}$ は $864x^{-1}$ に書き直してから微分します（SL 5.3）。$864 \times (-1) = -864$、指数は $-2$ → $-864x^{-2}$。

答えは $6 \times 6 \times 6$、つまり立方体です。「体積が決まっているとき、表面積が最小になるのは立方体」── これも覚えておくと検算に使えます。

7 An open box has a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. Its volume is $500\ \text{cm}^{3}$.

(a) Show that the surface area is $S = x^{2} + \dfrac{2000}{x}$.

(b) Find the dimensions of the box that uses the least card.

日本語訳

ふたのない箱は、$1$ 辺 $x$ cm の正方形の底面と高さ $h$ cm をもち、体積は $500\ \text{cm}^{3}$ です。

(a) 表面積が $S = x^{2} + \dfrac{2000}{x}$ となることを示しなさい。

(b) 使う厚紙が最も少なくなる箱の各辺の長さを求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $x^{2}h = 500$, so $h = \dfrac{500}{x^{2}}$

$S = x^{2} + 4xh = x^{2} + \dfrac{2000}{x}$ ✓

(b) $\dfrac{dS}{dx} = 2x - \dfrac{2000}{x^{2}} = 0$, so $2x^{3} = 2000$ and $x = 10$

$h = \dfrac{500}{100} = 5$. The box is $10 \times 10 \times 5$ cm.

解説

演習6との違いは open（ふたなし） だけ。底が $x^{2}$ の $1$ 枚になります。

uses the least card は「表面積が最小」という意味です。言いかえに気づけるかどうかが、この問題の山です。

検算。 $S = 100 + 200 = 300\ \text{cm}^{2}$。

8 A closed cylindrical can has radius $r$ cm and height $h$ cm. Its volume is $500\ \text{cm}^{3}$.

(a) Show that the surface area is $S = 2\pi r^{2} + \dfrac{1000}{r}$.

(b) Use your graphic display calculator to find the value of $r$ that minimises $S$, correct to three significant figures.

(c) Find the minimum surface area.

日本語訳

ふたのある円柱形の缶は、半径 $r$ cm、高さ $h$ cm で、体積は $500\ \text{cm}^{3}$ です。

(a) 表面積が $S = 2\pi r^{2} + \dfrac{1000}{r}$ となることを示しなさい。

(b) 電卓を使って、$S$ を最小にする $r$ の値を、有効数字 $3$ 桁で求めなさい。

(c) 最小の表面積を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $\pi r^{2}h = 500$, so $h = \dfrac{500}{\pi r^{2}}$

$S = 2\pi r^{2} + 2\pi rh = 2\pi r^{2} + 2\pi r \times \dfrac{500}{\pi r^{2}} = 2\pi r^{2} + \dfrac{1000}{r}$ ✓

(b) $r = 4.30$ cm (3 s.f.)

(c) $S = 349\ \text{cm}^{2}$ (3 s.f.)

解説

closed なので、円は $2$ 枚です。$2\pi r^{2}$。

約分は $2\pi r \times \dfrac{500}{\pi r^{2}} = \dfrac{1000}{r}$。$\pi$ が消えて $r$ が $1$ つ残ります。

(b) は電卓で。$f1(x) = 2 \cdot \pi \cdot x^2 + 1000/x$ を入れて Analyze Graph → Minimum。

参考：このとき $h = 8.60$ cm で、$h = 2r$ になります。「体積が決まった缶で材料が最小になるのは、高さが直径と等しいとき」です。

9 An open box has a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. It is made from $192\ \text{cm}^{2}$ of card.

(a) Show that $h = \dfrac{192 - x^{2}}{4x}$.

(b) Show that $V = 48x - \dfrac{x^{3}}{4}$.

(c) Find the greatest possible volume.

日本語訳

ふたのない箱は、$1$ 辺 $x$ cm の正方形の底面と高さ $h$ cm をもち、$192\ \text{cm}^{2}$ の厚紙で作られています。

(a) $h = \dfrac{192 - x^{2}}{4x}$ となることを示しなさい。

(b) $V = 48x - \dfrac{x^{3}}{4}$ となることを示しなさい。

(c) とりうる最大の体積を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $x^{2} + 4xh = 192$, so $4xh = 192 - x^{2}$ and $h = \dfrac{192 - x^{2}}{4x}$ ✓

(b) $V = x^{2}h = \dfrac{x(192 - x^{2})}{4} = 48x - \dfrac{x^{3}}{4}$ ✓

(c) $\dfrac{dV}{dx} = 48 - \dfrac{3x^{2}}{4} = 0$, so $x^{2} = 64$ and $x = 8$ (reject $x = -8$)

$h = \dfrac{192 - 64}{32} = 4$, so $V = 64 \times 4 = 256\ \text{cm}^{3}$

解説

例題4とまったく同じ形です。$300$ が $192$ に変わっただけ。

$\dfrac{3x^{2}}{4} = 48$ から $3x^{2} = 192$、$x^{2} = 64$、$x = 8$。$x = -8$ を捨てる一言を忘れずに。

(c) は $V = x^{2}h$ でも $48(8) - \dfrac{512}{4} = 384 - 128 = 256$ でも同じです ✓

10 A factory’s weekly profit, in thousands of dollars, from producing $x$ hundred items is modelled by

\[ P(x) = 24x - x^{2} - 80 . \]

The factory can produce at most $800$ items per week, so $0 \le x \le 8$.

(a) Find the value of $x$ for which $P'(x) = 0$.

(b) Explain why this value cannot be the answer.

(c) Find the greatest weekly profit the factory can make.

日本語訳

ある工場が $x$ 百個を作るときの週の利益（千ドル）は、次の式でモデル化されます。

\[ P(x) = 24x - x^{2} - 80 . \]

工場は 1 週間に最大 $800$ 個までしか作れないので、$0 \le x \le 8$ です。

(a) $P'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めなさい。

(b) この値が答えになりえない理由を説明しなさい。

(c) 工場が得られる最大の週の利益を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $P'(x) = 24 - 2x = 0$, so $x = 12$

(b) $x = 12$ means $1200$ items, which is outside the domain $0 \le x \le 8$. The factory cannot produce that many.

(c) $P$ is increasing for $x < 12$, so on $0 \le x \le 8$ the greatest value is at $x = 8$.

$P(8) = 192 - 64 - 80 = 48$, so the greatest weekly profit is $\$48\,000$.

解説

SL 5.6 の「端も候補」が、文脈の問題になった形です。

$P'(x) = 0$ の解が範囲の外にあるので、そこでは答えられません。 $x < 12$ ではずっと増えているので、範囲の右端 $x = 8$ が最大です。

単位に注意。 $x$ は「百個」、$P$ は「千ドル」です。$48$ は $48\,000$ ドル、$x = 8$ は $800$ 個。

in thousands of dollars in hundreds のような言い方を、読み飛ばさないでください。

11 A rectangular sheet of card measures $30$ cm by $20$ cm. A square of side $x$ cm is cut from each corner, and the sides are folded up to make an open box.

(a) Write down an expression for the volume $V$ in terms of $x$.

(b) Write down the possible values of $x$.

(c) Use your graphic display calculator to find the value of $x$ that gives the greatest volume, correct to three significant figures, and find this volume to the nearest $\text{cm}^{3}$.

日本語訳

長方形の厚紙は $30$ cm × $20$ cm です。四すみから $1$ 辺 $x$ cm の正方形を切り取り、辺を折り上げてふたのない箱を作ります。

(a) 体積 $V$ を $x$ の式で書きなさい。

(b) $x$ のとりうる値を書きなさい。

(c) 電卓を使って、体積が最大になる $x$ の値を有効数字 $3$ 桁で求め、その体積を $\text{cm}^{3}$ の単位で四捨五入して整数で求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $V = x(30 - 2x)(20 - 2x)$

(b) $0 < x < 10$

(c) $x = 3.92$ cm (3 s.f.), $V = 1056\ \text{cm}^{3}$

解説

正方形ではないので、$2$ つのかっこが違う形になります。$30$ の側から $2x$、$20$ の側から $2x$。

(b) 短いほうの辺で決まります。$20 - 2x > 0$ より $x < 10$。$30 - 2x > 0$（$x<15$）よりきびしいほうを取ります。

(c) 展開すると $V = 4x^{3} - 100x^{2} + 600x$。$V'(x) = 12x^{2} - 200x + 600$ はきれいに因数分解できません。

だから電卓を使います。 $f1(x)$ に入れて、$0 < x < 10$ の範囲で Analyze Graph → Maximum。

$x = 3.9237\ldots \to 3.92$、$V = 1056.3\ldots \to 1056\ \text{cm}^{3}$。

もう1つの解 $x = 12.7$ は範囲の外です。ウィンドウを $0$ から $10$ にしておけば、そもそも画面に出てきません。

SL 5.7 — Optimisation（最適化問題）

The idea

1. 手順は5つです

2. constraint（条件式）で、文字を1つに減らす

3. 例：壁ぎわの囲い

4. 定義域を考える

5. 最大か最小かを確かめる

6. 答えの書き方

7. 立体の公式は、公式集にあります（一部だけ）

Why it works

Worked examples

Common errors

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

1. グラフをかいて、山か谷を出す

2. \(\pi\) の入った式も、そのまま入ります

3. 最小の値も、同時に出ます

4. 式を作る途中は、電卓に頼れません

Exercises