HL 5.19 — Maclaurin series（Maclaurin 級数）

ノートWhat you should be able to do
  • Maclaurin 級数の式を書き、coefficient（係数）を求められる。
  • 公式集にある \(e^{x}\)、\(\ln(1+x)\)、\(\sin x\)、\(\cos x\)、\(\arctan x\) の series（級数）を使える。
  • \((1+x)^{p}\)（\(p \in \mathbb{Q}\)）の展開を書ける（HL 1.10b）。
  • 置きかえで新しい級数を作れる。
  • かけ算で級数を作れる。
  • 微分・積分で級数を作れる。
  • differential equation（微分方程式）から級数を作れる。

The idea

1. The Maclaurin series（Maclaurin 級数）

関数を、\(x\) のべき乗を足し合わせた無限に続く式で表したものを、Maclaurin series（マクローリン級数）といいます。\(x = 0\) での値と導関数から作り、公式集の 5.19 の欄にあります。

\[ f(x) = f(0)+x\,f'(0)+\frac{x^{2}}{2!}f''(0)+\cdots \tag{1}\]

\(x = 0\) での値と derivative（導関数）だけで、関数を polynomial（多項式）に近づけます（Why it works）。

\(x^{n}\) の係数は \(\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\) です。分母の factorial（階乗）を落とさないでください。

図 1: 項を増やすほど、合う範囲が広がります。

2. The five standard series（公式集の \(5\) つ）

公式集には、よく使う関数の Maclaurin series（マクローリン級数）として、次の \(5\) つが印刷されています。

表 1: 公式集 5.19 の級数
関数 級数
\(e^{x}\) \(1+x+\dfrac{x^{2}}{2!}+\cdots\)
\(\ln(1+x)\) \(x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\cdots\)
\(\sin x\) \(x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}-\cdots\)
\(\cos x\) \(1-\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4!}-\cdots\)
\(\arctan x\) \(x-\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{5}}{5}-\cdots\)

分母に注意してください。 \(\sin\) と \(\cos\) は階乗、\(\ln(1+x)\) と \(\arctan\) はただの整数です。

\(\sin\) と \(\arctan\) は奇数次だけ、\(\cos\) は偶数次だけです。

3. \((1+x)^{p}\)（二項級数）

\(p\) が有理数のときの二項展開です（HL 1.10b）。

\[ (1+x)^{p} = 1+px+\frac{p(p-1)}{2!}x^{2}+\frac{p(p-1)(p-2)}{3!}x^{3}+\cdots \tag{2}\]

\(p\) が正の整数でなければ、項は無限に続きます。使えるのは \(\lvert x \rvert < 1\) のときです。

4. Substitution（置きかえで作る）

知っている級数から、置きかえ・かけ算・積分・微分で新しい級数を作れます。

図 2: 新しい級数を作る道は \(4\) つです。

\(e^{x}\) の級数の \(x\) に \(x^{2}\) を入れると、\(e^{x^{2}}\) の級数ができます。

\[ e^{x^{2}} = 1+x^{2}+\frac{x^{4}}{2!}+\cdots \]

もとの \(x\) のところに、まるごと入れます。 \(2x\) を入れるなら \((2x)^{2} = 4x^{2}\) のように、\(2\) 乗も忘れずに。

例題 1 Find the Maclaurin series for \(e^{2x}\) up to and including the term in \(x^{3}\).

\(e^{u}\) の級数に \(u = 2x\) を入れます（第 4 節）。

\[ e^{u} = 1+u+\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{3}}{3!}+\cdots \]

\[ e^{2x} = 1+2x+\frac{(2x)^{2}}{2}+\frac{(2x)^{3}}{6}+\cdots = 1+2x+2x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}+\cdots \]

検算。 微分してもどします。 級数を微分すると \(2+4x+4x^{2}\) で、もとの級数の \(2\) 倍 ✓ \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{2x} = 2e^{2x}\) と合います。

検算（\(x = 0\)）。 \(1\) ✓ \(e^{0} = 1\) です。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[e^{2x} = 1+(2x)+\frac{(2x)^{2}}{2!}+\frac{(2x)^{3}}{3!}+\cdots\]

\[= 1+2x+2x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}+\cdots\]

例題 2 Find the Maclaurin series for \(\ln(1+2x)\) up to and including the term in \(x^{3}\).

\(\ln(1+u) = u-\dfrac{u^{2}}{2}+\dfrac{u^{3}}{3}-\cdots\) に \(u = 2x\) を入れます。

\[ \ln(1+2x) = 2x-\frac{(2x)^{2}}{2}+\frac{(2x)^{3}}{3}-\cdots = 2x-2x^{2}+\frac{8}{3}x^{3}-\cdots \]

検算。 微分してもどします。 \(2-4x+8x^{2}\) で、\(\dfrac{2}{1+2x} = 2(1-2x+4x^{2}-\cdots)\) ✓

検算（範囲）。 \(\lvert 2x \rvert < 1\)、つまり \(\lvert x \rvert < \dfrac{1}{2}\) ✓（Why it works）

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\ln(1+2x) = (2x)-\frac{(2x)^{2}}{2}+\frac{(2x)^{3}}{3}-\cdots\]

\[= 2x-2x^{2}+\frac{8}{3}x^{3}-\cdots\]

5. Products（かけ算で作る）

たとえば \(e^{x}\sin x\) の展開です。

\(2\) つの級数をかけて、ほしい次数までの項だけを集めます。

\[ e^{x}\sin x = \left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots\right)\left(x-\frac{x^{3}}{6}+\cdots\right) \]

\(x^{3}\) までなら、\(x^{4}\) 以上になる組は捨てます。 どこまで書けばよいかを先に決めると、計算が減ります。

例題 3 Find the Maclaurin series for \(e^{x}\sin x\) up to and including the term in \(x^{3}\).

\(x^{3}\) までほしいので、それぞれ \(x^{3}\) までで十分です（第 5 節）。

\[ e^{x} = 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots, \qquad \sin x = x-\frac{x^{3}}{6}+\cdots \]

かけ算して、\(x^{3}\) 以下の項だけ集めます。

  • \(x\) の項 … \(1 \times x = x\)
  • \(x^{2}\) の項 … \(x \times x = x^{2}\)
  • \(x^{3}\) の項 … \(\dfrac{x^{2}}{2}\times x = \dfrac{x^{3}}{2}\)、\(1 \times\left(-\dfrac{x^{3}}{6}\right) = -\dfrac{x^{3}}{6}\)

\[ e^{x}\sin x = x+x^{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)x^{3}+\cdots = x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots \]

検算（定数項）。 \(\sin 0 = 0\) なので、定数項はありません ✓

検算（係数）。 \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6} = \dfrac{3-1}{6} = \dfrac{1}{3}\) ✓

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[e^{x}\sin x = \left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots\right) \left(x-\frac{x^{3}}{6}+\cdots\right)\]

\[= x+x^{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)x^{3}+\cdots = x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots\]

6. Differentiating and integrating（微分と積分で作る）

級数は、項ごとに微分・積分できます。

\[ \frac{1}{1+x^{2}} = 1-x^{2}+x^{4}-\cdots \quad \Longrightarrow \quad \arctan x = x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots \]

積分したときの定数は、\(x = 0\) を入れて決めます。\(\arctan 0 = 0\) なので \(C = 0\) です。

7. From a differential equation（微分方程式から作る）

微分方程式から Maclaurin 級数を作ることもできます。

\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) の式が与えられたら、くり返し微分して \(x = 0\) での値を並べます。

  1. \(y(0)\) は初期条件から。
  2. \(y'(0)\) は方程式に \(x = 0\) を入れて。
  3. 方程式の両辺を微分して \(y''\) の式を作り、\(x = 0\) を入れて。
  4. 必要な次数まで、くり返す。

separation of variables（変数分離）などで解けない式でも、級数なら作れます。 これが、この方法の強みです。

例題 4 Given that \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x+y\) and \(y = 1\) when \(x = 0\), find the Maclaurin series for \(y\) up to and including the term in \(x^{3}\).

\(x = 0\) での値を、順に出します（第 7 節）。

\[ y(0) = 1 \]

方程式に \(x = 0\)、\(y = 1\) を入れます。

\[ y'(0) = 0+1 = 1 \]

方程式の両辺を微分します。

\[ y'' = 1+y' \quad \Longrightarrow \quad y''(0) = 1+1 = 2 \]

もう一度微分します。

\[ y''' = y'' \quad \Longrightarrow \quad y'''(0) = 2 \]

式 1 に入れます。

\[ y = 1+x+\frac{2}{2!}x^{2}+\frac{2}{3!}x^{3}+\cdots = 1+x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots \]

検算。 級数を微分します。 \(1+2x+x^{2}\)。いっぽう \(x+y = x+1+x+x^{2} = 1+2x+x^{2}\) ✓

検算（初期条件）。 \(x = 0\) で \(y = 1\) ✓

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[y(0) = 1, \qquad y'(0) = 0+1 = 1\]

\[y'' = 1+y' \ \Rightarrow \ y''(0) = 2, \qquad y''' = y'' \ \Rightarrow \ y'''(0) = 2\]

\[y = 1+x+\frac{2}{2!}x^{2}+\frac{2}{3!}x^{3}+\cdots = 1+x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots\]

試験ではこう書く

The Maclaurin series needs the values of \(y\) and its derivatives at \(x = 0\), so these are found one at a time from the differential equation.

The initial condition gives \(y(0) = 1\) directly.

Substituting \(x = 0\) and \(y = 1\) into \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x+y\) gives \(y'(0) = 0+1 = 1\).

Differentiating the whole equation with respect to \(x\), and remembering that \(y\) is a function of \(x\), gives \(y'' = 1+y'\).

Substituting \(x = 0\) and the value \(y'(0) = 1\) already found gives \(y''(0) = 1+1 = 2\).

Differentiating once more gives \(y''' = y''\), so \(y'''(0) = 2\).

Substituting into \(y = y(0)+xy'(0)+\dfrac{x^{2}}{2!}y''(0)+\dfrac{x^{3}}{3!}y'''(0)+\cdots\),

\[y = 1+x+\frac{2}{2}x^{2}+\frac{2}{6}x^{3}+\cdots = 1+x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots\]

As a check, differentiating this series term by term gives \(1+2x+x^{2}\), while \(x+y = 1+2x+x^{2}\) to the same order, so the series satisfies the equation.

TI-Nspire CX II には taylor( があります。taylor(e^x, x, 3, 0) で、\(x = 0\) のまわりの \(3\) 次までが返ります。

\(4\) 番目の引数が展開の中心です。Maclaurin は中心が \(0\) なので、\(0\) を入れます。

答案には、式を書いてください。 係数を求めた行や、置きかえ・かけ算の行を見せます。

Paper 1 では使えません。 このページの例題と演習は、すべて手で解けるようにしてあります。

Why it works

なぜ \(x = 0\) での導関数だけで決まるのか

多項式 \(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots\) に \(x = 0\) を入れると、\(a_{0}\) だけが残ります。

\(1\) 回微分してから \(x = 0\) を入れると \(a_{1}\)、\(2\) 回微分してから入れると \(2a_{2}\) です。一般に

\[ f^{(n)}(0) = n!\,a_{n} \]

なので \(a_{n} = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\) です。階乗は、ここから出ています。

式 1 は「\(x = 0\) での値・傾き・曲がり方…をすべて合わせた多項式」だ、と読めます。

なぜ、項を増やすと合う範囲が広がるのか

\(1\) 次の項までなら、\(x = 0\) での値と傾きだけを合わせた tangent（接線）です。\(2\) 次まで入れると、曲がり方も合います。

合わせる条件が増えるほど、離れたところまで似てきます（図 1）。

ただし、どこまでも合うわけではありません。\(\ln(1+x)\) や \(\arctan x\) は、\(\lvert x \rvert > 1\) では級数が divergence（発散）します。

なぜ、置きかえてよいのか

\(e^{u} = 1+u+\dfrac{u^{2}}{2!}+\cdots\) は、どの \(u\) でも成り立ちます。

ですから \(u = x^{2}\) と置いてかまいません。\(u\) が \(x\) の式でも、等式は等式のままです。

ただし、範囲も置きかわります。 \(\ln(1+u)\) が使えるのは \(\lvert u \rvert < 1\) なので、\(u = 2x\) なら \(\lvert x \rvert < \dfrac{1}{2}\) です。

なぜ、項ごとに微分・積分してよいのか

級数が convergence（収束）する範囲の内側では、有限個の多項式と同じように項ごとの微分・積分ができます。

\(\dfrac{1}{1+x^{2}}\) は等比級数 \(1-x^{2}+x^{4}-\cdots\) です（SL 1.8）。公比が \(-x^{2}\) なので、\(\lvert x \rvert < 1\) で収束します。

これを項ごとに積分すると \(\arctan\) の級数になり、表 1 と一致します。公式集の級数どうしが、つながっているわけです。

Common errors

警告分母の階乗を落とす

\(x^{n}\) の係数は \(\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\) です（式 1）。

\(f^{(n)}(0)\) だけ書くと、\(n \geq 2\) で値がちがってしまいます。

警告\(\ln(1+x)\) や \(\arctan x\) の分母を階乗にする

この \(2\) つはただの整数です（表 1）。

\(\ln(1+x) = x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\cdots\) であって、\(\dfrac{x^{2}}{2!}\) ではありません。\(3\) 次の項でちがいが出ます。

警告置きかえのときに \(2\) 乗を忘れる

\(u = 2x\) なら \(u^{2} = 4x^{2}\) です（第 4 節）。

\(\dfrac{(2x)^{2}}{2} = 2x^{2}\) であって \(x^{2}\) ではありません。かっこを付けて書くと防げます。

警告かけ算で、必要な次数を超えた項まで計算する

\(x^{3}\) までなら、\(x^{4}\) 以上になる組は要りません（第 5 節）。

先にどこまで必要かを決めると、計算がぐっと減ります。

警告微分方程式から作るとき、\(y\) が \(x\) の関数であることを忘れる

\(y'' = 1+y'\) のように、\(y\) を微分すると \(y'\) が出ます（HL 5.14）。

\(y\) を定数とあつかうと、\(2\) 次以降の係数がすべてまちがいます。

警告収束する範囲を書かない

\(\ln(1+x)\) や \((1+x)^{p}\) の級数が使えるのは \(\lvert x \rvert < 1\) のときです（第 3 節）。

置きかえたら、範囲も置きかわります（Why it works）。

Exercises

1 Find the Maclaurin series for \(e^{-x}\) up to and including the term in \(x^{3}\).

\[e^{-x} = 1+(-x)+\frac{(-x)^{2}}{2!}+\frac{(-x)^{3}}{3!}+\cdots\]

\[= 1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{6}+\cdots\]

\(u = -x\) を入れるだけです。符号が交互になります。

検算（微分）。 \(-1+x-\dfrac{x^{2}}{2}\) で、もとの級数の \(-1\) 倍 ✓

検算（\(e^{x}\) とかける）。 \(\left(1+x+\dfrac{x^{2}}{2}\right)\left(1-x+\dfrac{x^{2}}{2}\right) = 1+0x+0x^{2}+\cdots\) ✓ \(e^{x}e^{-x} = 1\) と合います。

2 Find the Maclaurin series for \(\sin 2x\) up to and including the term in \(x^{3}\).

\[\sin 2x = (2x)-\frac{(2x)^{3}}{3!}+\cdots = 2x-\frac{8x^{3}}{6}+\cdots = 2x-\frac{4}{3}x^{3}+\cdots\]

\((2x)^{3} = 8x^{3}\) です。\(3\) 乗も忘れずに。

\(\sin\) は奇数次だけなので、\(x^{2}\) の項はありません（第 2 節）。

検算（\(x = 0\)）。 \(0\) ✓ \(\sin 0 = 0\) です。

検算（微分）。 \(2-4x^{2}\) で、\(2\cos 2x = 2\left(1-\dfrac{(2x)^{2}}{2}\right) = 2-4x^{2}\) ✓

3 Find the Maclaurin series for \(\cos\left(x^{2}\right)\) up to and including the term in \(x^{4}\).

\[\cos u = 1-\frac{u^{2}}{2!}+\cdots, \qquad u = x^{2}\]

\[\cos\left(x^{2}\right) = 1-\frac{x^{4}}{2}+\cdots\]

\(u^{2} = x^{4}\) なので、\(x^{4}\) までなら項は \(2\) つです。次は \(u^{4} = x^{8}\) です。

検算（\(x = 0\)）。 \(1\) ✓ \(\cos 0 = 1\) です。

検算（偶数次）。 出てくるのは \(x^{0}\) と \(x^{4}\) ✓ どちらも偶数次です。

4 Find the Maclaurin series for \(\sqrt{1+x}\) up to and including the term in \(x^{3}\).

With \(p = \dfrac{1}{2}\) in the binomial series,

\[\sqrt{1+x} = 1+\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)}{2!}x^{2} +\frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{3!}x^{3}+\cdots\]

\[= 1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}+\frac{x^{3}}{16}+\cdots\]

式 2 で \(p = \dfrac{1}{2}\) です。符号が途中で変わるところに気をつけてください。

検算（\(2\) 乗する）。 \(\left(1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^{2}}{8}\right)^{2} = 1+x+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)x^{2}+\cdots = 1+x\) ✓

検算（範囲）。 \(\lvert x \rvert < 1\) ✓

5 Find the Maclaurin series for \(\ln(1-x)\) up to and including the term in \(x^{3}\).

Putting \(u = -x\) in \(\ln(1+u)\):

\[\ln(1-x) = (-x)-\frac{(-x)^{2}}{2}+\frac{(-x)^{3}}{3}-\cdots = -x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\cdots\]

符号がすべてマイナスになります。\((-x)^{2} = x^{2}\) で、前の \(-\) がそのまま残るからです。

検算（微分）。 \(-1-x-x^{2}\) で、\(\dfrac{-1}{1-x} = -\left(1+x+x^{2}+\cdots\right)\) ✓

検算（\(\ln(1+x)\) と足す）。 \(\ln(1+x)+\ln(1-x) = -x^{2}-\cdots\) で、\(\ln\left(1-x^{2}\right)\) の級数 ✓

6 Write down the Maclaurin series for \(\dfrac{1}{1+x^{2}}\) up to the term in \(x^{4}\), and integrate it to obtain the series for \(\arctan x\) up to the term in \(x^{5}\).

\[\frac{1}{1+x^{2}} = 1-x^{2}+x^{4}-\cdots\]

\[\arctan x = \int\left(1-x^{2}+x^{4}-\cdots\right)\mathrm{d}x = x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+C\]

Since \(\arctan 0 = 0\), \(\ C = 0\).

\(\dfrac{1}{1+x^{2}}\) は、公比 \(-x^{2}\) の等比級数です（Why it works）。

項ごとに積分すると、公式集の \(\arctan\) の級数になります。\(C\) は \(x = 0\) で決めます。

検算。 表 1 と一致 ✓

検算（微分でもどす）。 \(1-x^{2}+x^{4}\) ✓ もとの級数です。

7 Find the Maclaurin series for \(x\cos x\) up to and including the term in \(x^{5}\).

\[\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots\]

\[x\cos x = x-\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{5}}{24}-\cdots\]

\(x\) をかけるだけなので、次数が \(1\) ずつ上がります。\(\cos\) を \(x^{4}\) まで書けば十分です。

\(2! = 2\)、\(4! = 24\) です。

検算（奇数次）。 偶数次の級数に \(x\) をかけたので、奇数次だけ ✓

検算（\(x = 0\)）。 \(0\) ✓ \(0 \times \cos 0 = 0\) です。

8 Given that \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y^{2}\) and \(y = 1\) when \(x = 0\), find the Maclaurin series for \(y\) up to and including the term in \(x^{3}\).

\[y(0) = 1, \qquad y'(0) = 1^{2} = 1\]

\[y'' = 2yy' \ \Rightarrow \ y''(0) = 2(1)(1) = 2\]

\[y''' = 2\left(y'\right)^{2}+2yy'' \ \Rightarrow \ y'''(0) = 2+4 = 6\]

\[y = 1+x+\frac{2}{2!}x^{2}+\frac{6}{3!}x^{3}+\cdots = 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\]

\(y^{2}\) の微分は積の微分公式で \(2yy'\) です（HL 5.14）。\(y\) が \(x\) の関数だからです。

\(y''\) を微分するときも、\(2yy'\) に積の微分公式を使います。

検算（厳密解）。 変数分離で解くと \(y = \dfrac{1}{1-x}\) ✓ その級数は \(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\) です。

検算（係数）。 \(\dfrac{6}{3!} = 1\) ✓ 階乗で割るのを忘れていません。

試験ではこう書く

The Maclaurin series requires \(y(0)\), \(y'(0)\), \(y''(0)\) and \(y'''(0)\), which are obtained from the differential equation by repeated differentiation.

The initial condition gives \(y(0) = 1\), and substituting into \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y^{2}\) gives \(y'(0) = 1^{2} = 1\).

Differentiating the equation with respect to \(x\) requires the chain rule on \(y^{2}\), since \(y\) is a function of \(x\):

\[y'' = 2y\,y', \qquad y''(0) = 2(1)(1) = 2\]

Differentiating again, this time with the product rule on \(2yy'\),

\[y''' = 2\left(y'\right)^{2}+2y\,y'', \qquad y'''(0) = 2(1)^{2}+2(1)(2) = 6\]

Substituting into the Maclaurin series,

\[y = 1+x+\frac{2}{2!}x^{2}+\frac{6}{3!}x^{3}+\cdots = 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\]

This equation can also be solved exactly by separating the variables, giving \(y = \dfrac{1}{1-x}\), whose expansion is the geometric series \(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\), confirming the answer.

9 Explain why the Maclaurin series of a function uses only the values of the function and its derivatives at \(x = 0\).

Suppose the function is written as a power series \(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots\).

Substituting \(x = 0\) leaves only \(a_{0}\). Differentiating once and then substituting \(x = 0\) leaves only \(a_{1}\), and in general differentiating \(n\) times leaves \(n!\,a_{n}\).

So \(a_{n} = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\): each coefficient is determined by one derivative at \(0\).

\(x = 0\) を入れると、\(1\) つの項だけが残るのが要点です（Why it works）。

だから、係数を \(1\) つずつ取り出せます。階乗は、\(x^{n}\) を \(n\) 回微分したときに出る \(n!\) です。

検算（\(n = 2\)）。 \(x^{2}\) を \(2\) 回微分すると \(2\) ✓ \(2! = 2\) です。

検算（\(n = 3\)）。 \(x^{3}\) を \(3\) 回微分すると \(6\) ✓ \(3! = 6\) です。

試験ではこう書く

Suppose that a function can be represented near \(x = 0\) by a power series

\[f(x) = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots\]

Substituting \(x = 0\) makes every term containing \(x\) vanish, leaving \(f(0) = a_{0}\).

Differentiating once gives \(f'(x) = a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+\cdots\), and substituting \(x = 0\) again removes every term with a factor \(x\), leaving \(f'(0) = a_{1}\).

Differentiating \(n\) times sends the term \(a_{n}x^{n}\) to the constant \(n!\,a_{n}\), while every earlier term has been differentiated away to zero and every later term still carries a factor of \(x\).

Hence \(f^{(n)}(0) = n!\,a_{n}\), that is

\[a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\]

Each coefficient is therefore fixed by a single derivative evaluated at the one point \(x = 0\), which is exactly the formula in the booklet.

The factorials in the denominators come from differentiating \(x^{n}\) repeatedly.

10 A student writes \(\cos x = 1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{4}-\cdots\). Identify the error and give the correct series.

The denominators for \(\cos x\) are factorials, not the exponents themselves.

\[\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots = 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\cdots\]

The term in \(x^{2}\) happens to agree, since \(2! = 2\), but the term in \(x^{4}\) does not, since \(4! = 24\).

\(2\) 次の項までは合っています。 \(2! = 2\) だからです。ちがいが出るのは \(4\) 次からです。

整数の分母をもつのは \(\ln(1+x)\) と \(\arctan x\) のほうです（表 1）。取りちがえやすいところです。

検算（微分）。 正しい級数を微分すると \(-x+\dfrac{x^{3}}{6}\) で、\(-\sin x\) ✓

検算（生徒の級数を微分）。 \(-x+x^{3}\) となり、\(-\sin x\) と合いません ✓

試験ではこう書く

The error is in the denominators.

For \(\cos x\) the coefficient of \(x^{n}\) is \(\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\), so the denominators are factorials:

\[\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots = 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\cdots\]

The student’s second term is correct only by coincidence, because \(2! = 2\).

The third term is wrong: \(4! = 24\), not \(4\).

The series with plain integer denominators belong to \(\ln(1+x) = x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\cdots\) and \(\arctan x = x-\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{5}}{5}-\cdots\), which is probably the source of the confusion.

A quick check catches the error: differentiating the correct series term by term gives \(-x+\dfrac{x^{3}}{6}-\cdots\), which is \(-\sin x\) as required, whereas differentiating the student’s series gives \(-x+x^{3}-\cdots\), which is not.