HL 3.11 — Relationships between trigonometric functions and symmetry（三角関数の関係式とグラフの対称性）

What you should be able to do

$\sin(\pi-\theta)$、$\cos(\pi-\theta)$、$\tan(\pi-\theta)$ を書ける。
これらを単位円からも compound angle identities（加法定理）からも導ける。
$\sin(-\theta)$、$\cos(-\theta)$、$\tan(-\theta)$ を、odd function（奇関数）・ even function（偶関数）の言葉で言える。
$\pi$ や $\dfrac{\pi}{2}$ をずらしたときの関係を使える。
同じことを、グラフの対称性として説明できる。
$1$ つの三角比の値から、関係する角の値をすべて出せる。

The idea

1. The unit circle behind the relationships（単位円から読む）

図 1: $\theta$ と $\pi-\theta$ は、高さが同じで横が逆です。

三角関数どうしの関係を、グラフの対称性から読み取ります。

単位円の上で、角 $\theta$ の点は $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ です（SL 3.5）。

図 1 のとおり、$\pi-\theta$ の点は、$\theta$ の点を $y$ 軸について折り返したものです。ですから

\[ (\text{$\pi-\theta$ の点}) = (-\cos\theta,\ \sin\theta) \]

です。$y$ 座標はそのまま、$x$ 座標だけ符号が変わります。

公式集には、この項目の欄がありません

覚える式はありません。単位円の図を $1$ つかけば、その場で読めます。

$\theta$ の点をかいて、聞かれている角の点がどこに移るかを見てください。

2. The three relationships for $\pi-\theta$（$\pi-\theta$ の $3$ つの関係）

関係は $3$ つあります。

\[ \sin(\pi-\theta) = \sin\theta \tag{1}\]

\[ \cos(\pi-\theta) = -\cos\theta \tag{2}\]

\[ \tan(\pi-\theta) = -\tan\theta \tag{3}\]

$\sin$ だけが符号を変えません。 $y$ 座標が $\sin$ だからです（第 1 節）。

$\tan$ は $\dfrac{\sin}{\cos}$ なので、分母だけ符号が変わって、全体が負になります。

例題 1 Use the compound angle identities to show that $\sin(\pi-\theta) = \sin\theta$ and that $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$.

日本語訳

加法定理を使って、$\sin(\pi-\theta) = \sin\theta$ と $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$ を示しなさい。

解説と解答例

$\sin(A-B)$ の形に当てはめます（HL 3.10）。$A = \pi$、$B = \theta$ です。

\[ \sin(\pi-\theta) = \sin\pi\cos\theta - \cos\pi\sin\theta \]

$\sin\pi = 0$、$\cos\pi = -1$ を入れます。

\[ = 0 \cdot \cos\theta - (-1)\sin\theta = \sin\theta \]

$\cos$ も同じです。$\cos(A-B)$ の右辺は $+$ です（HL 3.10）。

\[ \cos(\pi-\theta) = \cos\pi\cos\theta + \sin\pi\sin\theta = -\cos\theta + 0 = -\cos\theta \]

検算。 $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ で確かめます。 $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\dfrac{\pi}{3}$ ✓

検算（$\cos$ のほう）。 $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ で、$-\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ ✓ 符号が逆になっています。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[\sin(\pi-\theta) = \sin\pi\cos\theta-\cos\pi\sin\theta = 0\cdot\cos\theta-(-1)\sin\theta = \sin\theta\]

\[\cos(\pi-\theta) = \cos\pi\cos\theta+\sin\pi\sin\theta = (-1)\cos\theta+0\cdot\sin\theta = -\cos\theta\]

3. Negative angles: odd and even（負の角：奇関数と偶関数）

$-\theta$ の点は、$\theta$ の点を$x$ 軸について折り返したものです。ですから

\[ \sin(-\theta) = -\sin\theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos\theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan\theta \tag{4}\]

です。これは、$\sin$ と $\tan$ が odd function（奇関数）、$\cos$ が even function（偶関数）だと言っているのと同じです（HL 2.14）。

表 1: 偶関数か奇関数か

関数	$f(-x)$	種類	グラフ
$\sin$	$-\sin x$	odd	原点について点対称
$\cos$	$\cos x$	even	$y$ 軸について線対称
$\tan$	$-\tan x$	odd	原点について点対称

4. Shifting by $\pi$ and by $\dfrac{\pi}{2}$（$\pi$ と $\dfrac{\pi}{2}$ のずらし）

$\pi$ を足すと、単位円の点は原点について反対側に移ります。両方の座標の符号が変わるので

\[ \sin(\pi+\theta) = -\sin\theta, \qquad \cos(\pi+\theta) = -\cos\theta, \qquad \tan(\pi+\theta) = \tan\theta \tag{5}\]

です。$\tan$ だけ、符号が変わりません。 分子と分母の両方が負になるからです。$\tan$ の周期が $\pi$ であることが、ここに現れています。

$\dfrac{\pi}{2}$ をずらすと、$\sin$ と $\cos$ が入れかわります。

\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos\theta, \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin\theta \tag{6}\]

\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) = \cos\theta, \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) = -\sin\theta \tag{7}\]

迷ったら、$\theta = \dfrac{\pi}{6}$ で試す

どの関係式も、具体的な角を $1$ つ入れれば確かめられます。

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ で、$-\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$ ✓ 合っています。

符号を $1$ つ覚えまちがえても、$20$ 秒で見つかります。

例題 2 Let $\alpha$ be an angle with $\sin\alpha = \dfrac{2}{3}$ and $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

(a) Find the exact value of $\cos\alpha$.

(b) Find the exact value of $\sin(\pi-\alpha)$.

(c) Find the exact value of $\cos(\pi+\alpha)$.

日本語訳

$\sin\alpha = \dfrac{2}{3}$、$\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ とします。

(a) $\cos\alpha$ の正確な値を求めなさい。

(b) $\sin(\pi-\alpha)$ の正確な値を求めなさい。

(c) $\cos(\pi+\alpha)$ の正確な値を求めなさい。

解説と解答例

(a) $\cos^{2}\alpha = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$ なので $\cos\alpha = \pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ です。

$\alpha$ は第 $2$ 象限の角なので、$\cos$ は負です。

\[ \cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3} \]

(b) 式 1 から、そのままです。

\[ \sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha = \frac{2}{3} \]

(c) 式 5 から

\[ \cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \]

検算。 $\sin^{2}+\cos^{2} = 1$ で確かめます。 $\dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{9} = 1$ ✓

検算（象限で）。 $\pi + \alpha$ は $\pi$ と $\dfrac{3\pi}{2}$ のあいだ、つまり第 $3$ 象限…ではありません。$\alpha$ が $\dfrac{\pi}{2}$ と $\pi$ のあいだなので、$\pi+\alpha$ は $\dfrac{3\pi}{2}$ と $2\pi$ のあいだで、第 $4$ 象限です。第 $4$ 象限では $\cos$ が正 ✓ 答えが正であることと合っています。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $\cos^{2}\alpha = 1-\dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$, and $\alpha$ is in the second quadrant, so

\[\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}\]

(b) $\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha = \dfrac{2}{3}$

(c) $\cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$

5. The same facts read off the graphs（グラフの対称性として読む）

図 2: $\sin$ は $x = \dfrac{\pi}{2}$ で折り返せ、$\cos$ は $\left(\dfrac{\pi}{2},\ 0\right)$ で半回転できます。

図 2 の左は $y = \sin x$ です。$x = \dfrac{\pi}{2}$ について線対称になっています。

$\dfrac{\pi}{2}$ から左右に同じだけ離れた $2$ 点、つまり $\dfrac{\pi}{2}-a$ と $\dfrac{\pi}{2}+a$ で、高さが同じです。$\theta = \dfrac{\pi}{2}-a$ と置くと $\pi-\theta = \dfrac{\pi}{2}+a$ なので、これは式 1 そのものです。

右は $y = \cos x$ です。点 $\left(\dfrac{\pi}{2},\ 0\right)$ について点対称です。半回転すると重なるので、$\dfrac{\pi}{2}$ から左右に同じだけ離れた $2$ 点で、値の符号が逆になります。これが式 2 です。

例題 3 Explain, using the graph of $y = \cos x$, why $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$.

日本語訳

$y = \cos x$ のグラフを使って、$\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$ である理由を説明しなさい。

解説と解答例

$\theta$ と $\pi-\theta$ は、$\dfrac{\pi}{2}$ から左右に同じだけ離れています。 $2$ つの平均が

\[ \frac{\theta + (\pi-\theta)}{2} = \frac{\pi}{2} \]

だからです。

図 2 の右のとおり、$y = \cos x$ は点 $\left(\dfrac{\pi}{2},\ 0\right)$ について点対称です。

試験ではこう書く

The two inputs $\theta$ and $\pi-\theta$ have mean $\dfrac{\theta+(\pi-\theta)}{2} = \dfrac{\pi}{2}$, so they are the same distance to the left and to the right of $x = \dfrac{\pi}{2}$.

The graph of $y = \cos x$ has rotational symmetry of order two about the point $\left(\dfrac{\pi}{2},\ 0\right)$: a half turn about that point maps the curve onto itself.

A half turn about a point on the $x$-axis sends the point $\left(\dfrac{\pi}{2}-a,\ y\right)$ to the point $\left(\dfrac{\pi}{2}+a,\ -y\right)$, so the two heights are negatives of each other.

Writing $\theta = \dfrac{\pi}{2}-a$, the partner input is $\dfrac{\pi}{2}+a = \pi-\theta$, and the two heights give $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$.

（$\theta$ と $\pi-\theta$ は $\dfrac{\pi}{2}$ から等しく離れていて、$\cos$ のグラフはそこで点対称なので、高さの符号が逆になる、という意味です。）

検算。 $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ で見ます。 $\dfrac{\pi}{3}$ と $\dfrac{2\pi}{3}$ は、$\dfrac{\pi}{2}$ から $\dfrac{\pi}{6}$ ずつ離れています ✓

検算（値で）。 $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$、$\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ ✓ 符号だけが逆です。

解答例（答案用紙に書くこと）

The inputs $\theta$ and $\pi-\theta$ are equally spaced either side of $x = \dfrac{\pi}{2}$, since their mean is $\dfrac{\pi}{2}$.

The graph of $y = \cos x$ has a half-turn symmetry about $\left(\dfrac{\pi}{2},\ 0\right)$, so two inputs equally spaced either side of $\dfrac{\pi}{2}$ give heights that are negatives of each other.

\[\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta\]

6. Using the relationships（使い方）

よく出るのは、$1$ つの値から、関係する角の値を書く問題です。

$\sin\dfrac{\pi}{5} = p$ とします。すると

$\sin\dfrac{4\pi}{5} = \sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{5}\right) = p$（式 1）
$\sin\dfrac{6\pi}{5} = \sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{5}\right) = -p$（式 5）
$\cos\dfrac{3\pi}{10} = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{5}\right) = p$（式 6）

です。まず、与えられた角との関係を式で書くのが手順です。

角を $\pi-\theta$、$\pi+\theta$、$\dfrac{\pi}{2}\pm\theta$ のどれかの形に直します。

例題 4 Let $\sin\dfrac{\pi}{5} = p$. Write each of the following in terms of $p$.

(a) $\sin\dfrac{4\pi}{5}$

(b) $\sin\dfrac{6\pi}{5}$

(c) $\cos\dfrac{3\pi}{10}$

日本語訳

$\sin\dfrac{\pi}{5} = p$ とします。次のそれぞれを $p$ で表しなさい。

解説と解答例

まず、$\dfrac{\pi}{5}$ との関係を式で書きます（第 6 節）。

(a) $\dfrac{4\pi}{5} = \pi - \dfrac{\pi}{5}$ です。

\[ \sin\frac{4\pi}{5} = \sin\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right) = \sin\frac{\pi}{5} = p \]

(b) $\dfrac{6\pi}{5} = \pi + \dfrac{\pi}{5}$ です。

\[ \sin\frac{6\pi}{5} = -\sin\frac{\pi}{5} = -p \]

(c) $\dfrac{3\pi}{10} = \dfrac{5\pi - 2\pi}{10} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{5}$ です。

\[ \cos\frac{3\pi}{10} = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right) = \sin\frac{\pi}{5} = p \]

検算。 象限で符号を見ます。 $\dfrac{4\pi}{5}$ は第 $2$ 象限なので $\sin$ は正 ✓ $\dfrac{6\pi}{5}$ は第 $3$ 象限なので $\sin$ は負 ✓

検算（(c) の角）。 $\dfrac{3\pi}{10}$ は $\dfrac{\pi}{2}$ より小さいので第 $1$ 象限、$\cos$ は正 ✓ $p$ は正なので、合っています。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $\dfrac{4\pi}{5} = \pi-\dfrac{\pi}{5}$, so $\sin\dfrac{4\pi}{5} = \sin\dfrac{\pi}{5} = p$.

(b) $\dfrac{6\pi}{5} = \pi+\dfrac{\pi}{5}$, so $\sin\dfrac{6\pi}{5} = -\sin\dfrac{\pi}{5} = -p$.

(c) $\dfrac{3\pi}{10} = \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{5}$, so $\cos\dfrac{3\pi}{10} = \sin\dfrac{\pi}{5} = p$.

Paper 2 では、電卓で符号だけ確かめられます

TI-Nspire CX II で $\sin(\pi - 0.7)$ と $\sin(0.7)$ を計算すると、どちらも同じ値になります。関係式を覚えまちがえていないかの確かめに使えます。

RAD になっているかを、必ず見てください。度のままだと $\pi$ が $3.14^{\circ}$ として扱われます。

ただし、in terms of $p$ と書かれた問題では、電卓は答えになりません。 $p$ を使った式で答える必要があります。

Paper 1 では使えません。 このページの例題と演習は、すべて手で解けるようにしてあります。

Why it works

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単位円から読む

角 $\theta$ の点を $P$ とします。$P = (\cos\theta,\ \sin\theta)$ です。

$\pi - \theta$ の点は、$P$ を $y$ 軸について折り返した点です。正の $x$ 軸から測って $\pi-\theta$ の向きは、$\pi$ の向き（負の $x$ 軸）から $\theta$ だけ戻った向きだからです。

折り返しは $x$ 座標の符号だけを変えるので、その点は $(-\cos\theta,\ \sin\theta)$ です。座標がそのまま $\cos$ と $\sin$ の値なので、式 1 と式 2 が読めます。

$\tan$ は $\dfrac{y}{x}$ なので

\[ \tan(\pi-\theta) = \frac{\sin\theta}{-\cos\theta} = -\tan\theta \]

です。$3$ つとも、$1$ つの図から出ます。

$\pi$ を足すと、なぜ $\tan$ だけ符号が変わらないのか

$\pi$ を足すと、点は原点について反対側に移り、両方の座標の符号が変わります。

\[ \tan(\pi+\theta) = \frac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta \]

負が $2$ つで消えます。 ですから $\tan$ の周期は $\pi$ で、$\sin$ や $\cos$ の $2\pi$ の半分です。

$\dfrac{\pi}{2}$ のずらしで、なぜ入れかわるのか

直角三角形で考えると分かりやすいです。$2$ つの acute angle（鋭角）は足して $\dfrac{\pi}{2}$ になります。

角 $\theta$ から見た対辺は、角 $\dfrac{\pi}{2}-\theta$ から見れば隣辺です。ですから

\[ \sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \]

です。$\cos$ の co は complementary（余角）から来ています。 「$\cos$ は余角の $\sin$」という意味です。

グラフの対称性との対応

式 1 で $\theta = \dfrac{\pi}{2}-a$ と置くと

\[ \pi - \theta = \pi - \frac{\pi}{2} + a = \frac{\pi}{2}+a \]

なので、式は

\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}+a\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right) \]

になります。これは「$x = \dfrac{\pi}{2}$ から左右に同じだけ離れた $2$ 点で、値が等しい」という意味で、線対称そのものです。

式 2 で同じ置きかえをすると

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right) \]

で、値の符号が逆になります。これは点 $\left(\dfrac{\pi}{2},\ 0\right)$ についての点対称です（HL 2.14）。

Common errors

$\cos(\pi-\theta)$ を $\cos\pi - \cos\theta$ とする

$\cos$ はかっこの中を分けられません（HL 3.10）。

加法定理を使うか、単位円をかいてください。 $\cos\pi - \cos\theta = -1-\cos\theta$ は、まったく別の式です。

$\sin(\pi-\theta)$ の符号を変えてしまう

$\sin$ だけはそのままです（式 1）。$\cos$ と $\tan$ は符号が変わります。

単位円で、高さ（$y$ 座標）が変わらないことを見てください（第 1 節）。

象限を確かめずに、平方根の符号を決める

$\cos^{2}\alpha = \dfrac{5}{9}$ から $\cos\alpha$ を出すときは、$\alpha$ がどの象限にあるかを見ます（例題 2）。

$\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ なら $\cos$ は負です。$\pm$ のまま答えないでください。

$\pi+\theta$ で $\tan$ の符号も変える

$\tan(\pi+\theta) = \tan\theta$ です（式 5）。$\tan$ だけ、符号が変わりません。

分子と分母の両方が負になるからです（Why it works）。

$\dfrac{\pi}{2}-\theta$ と $\pi-\theta$ を取りちがえる

$\dfrac{\pi}{2}-\theta$ では $\sin$ と $\cos$ が入れかわります（式 6）。$\pi-\theta$ では入れかわりません。

引く数が $\dfrac{\pi}{2}$ か $\pi$ かを、先に見てください。

角を書きかえずに、そのまま電卓に入れる

in terms of $p$ と書かれた問題では、$p$ を使った式が答えです（第 6 節）。

小数を書いても点になりません。まず $\pi-\theta$ などの形に直してください。

Exercises

1 Write $\sin(\pi-\theta)$, $\cos(\pi-\theta)$ and $\tan(\pi-\theta)$ in terms of $\sin\theta$, $\cos\theta$ and $\tan\theta$.

日本語訳

$\sin(\pi-\theta)$、$\cos(\pi-\theta)$、$\tan(\pi-\theta)$ を、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ で表しなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[\sin(\pi-\theta) = \sin\theta, \qquad \cos(\pi-\theta) = -\cos\theta, \qquad \tan(\pi-\theta) = -\tan\theta\]

解説

$\sin$ だけ符号がそのままです（第 2 節）。単位円で、高さが変わらないことから読めます。

検算。 $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ で試します。$\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\dfrac{\pi}{4}$ ✓

検算（$\tan$ で）。 $\tan\dfrac{3\pi}{4} = -1$、$-\tan\dfrac{\pi}{4} = -1$ ✓

2 Let $\beta$ be an angle with $\cos\beta = -\dfrac{1}{4}$ and $\dfrac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Find the exact value of (a) $\cos(\pi-\beta)$, (b) $\cos(-\beta)$, (c) $\cos(\pi+\beta)$.

日本語訳

$\cos\beta = -\dfrac{1}{4}$、$\dfrac{\pi}{2} < \beta < \pi$ とします。(a) $\cos(\pi-\beta)$、(b) $\cos(-\beta)$、(c) $\cos(\pi+\beta)$ の正確な値を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $\cos(\pi-\beta) = -\cos\beta = \dfrac{1}{4}$

(b) $\cos(-\beta) = \cos\beta = -\dfrac{1}{4}$

(c) $\cos(\pi+\beta) = -\cos\beta = \dfrac{1}{4}$

解説

(b) は $\cos$ が偶関数であることを使います（式 4）。符号は変わりません。

と (c) は、どちらも $-\cos\beta$ になります。$\cos$ では、$\pi-\beta$ と $\pi+\beta$ が同じ値です。

検算。 $\cos$ は偶関数なので、$\cos(\pi-\beta)$ と $\cos(\beta-\pi)$ も同じです。$\beta-\pi = -(\pi-\beta)$ ✓

検算（象限で）。 $\pi-\beta$ は $0$ と $\dfrac{\pi}{2}$ のあいだ、つまり第 $1$ 象限です。$\cos$ は正 ✓ 答えが $\dfrac{1}{4} > 0$ と合っています。

3 Let $\sin\dfrac{\pi}{7} = q$. Write each of the following in terms of $q$: (a) $\sin\dfrac{6\pi}{7}$, (b) $\sin\dfrac{8\pi}{7}$, (c) $\cos\dfrac{5\pi}{14}$.

日本語訳

$\sin\dfrac{\pi}{7} = q$ とします。次のそれぞれを $q$ で表しなさい。(a) $\sin\dfrac{6\pi}{7}$、(b) $\sin\dfrac{8\pi}{7}$、(c) $\cos\dfrac{5\pi}{14}$。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $\dfrac{6\pi}{7} = \pi-\dfrac{\pi}{7}$, so $\sin\dfrac{6\pi}{7} = q$.

(b) $\dfrac{8\pi}{7} = \pi+\dfrac{\pi}{7}$, so $\sin\dfrac{8\pi}{7} = -q$.

(c) $\dfrac{5\pi}{14} = \dfrac{7\pi-2\pi}{14} = \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{7}$, so $\cos\dfrac{5\pi}{14} = \sin\dfrac{\pi}{7} = q$.

解説

(c) は分母を $14$ にそろえると見つかります。$\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{7\pi}{14}$、$\dfrac{\pi}{7} = \dfrac{2\pi}{14}$ です（例題 4）。

検算。 (a) は第 $2$ 象限なので $\sin$ は正 ✓ (b) は第 $3$ 象限なので負 ✓

検算（和で）。 $\dfrac{5\pi}{14}+\dfrac{\pi}{7} = \dfrac{5\pi+2\pi}{14} = \dfrac{\pi}{2}$ ✓ 余角の組になっています。

4 Use the compound angle identity to show that $\cos(\pi+\theta) = -\cos\theta$.

日本語訳

加法定理を使って、$\cos(\pi+\theta) = -\cos\theta$ を示しなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[\cos(\pi+\theta) = \cos\pi\cos\theta-\sin\pi\sin\theta = (-1)\cos\theta-0\cdot\sin\theta = -\cos\theta\]

解説

$\cos(A+B)$ の右辺は $-$ です（HL 3.10）。$A = \pi$、$B = \theta$ とします。

$\sin\pi = 0$ なので、$2$ 項目はいつも消えます。

検算。 $\theta = 0$ では、左辺 $\cos\pi = -1$、右辺 $-\cos 0 = -1$ ✓

検算（$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ で）。 左辺は $\cos\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$、右辺は $-\dfrac{1}{2}$ ✓

5 Simplify $\sin(\pi-\theta)\cos(-\theta) + \cos(\pi-\theta)\sin(-\theta)$.

日本語訳

$\sin(\pi-\theta)\cos(-\theta) + \cos(\pi-\theta)\sin(-\theta)$ を簡単にしなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[\sin(\pi-\theta) = \sin\theta, \quad \cos(-\theta) = \cos\theta, \quad \cos(\pi-\theta) = -\cos\theta, \quad \sin(-\theta) = -\sin\theta\]

\[\sin\theta\cos\theta + (-\cos\theta)(-\sin\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta\]

解説

$4$ つの部分を、それぞれ書きかえてからかけ算します。$2$ 項目は負 $\times$ 負で正になります。

最後は $2$ 倍角の形です（HL 3.10）。

検算。 $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ で試します。$\sin\dfrac{3\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{4} + \cos\dfrac{3\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} = 1$ で、$\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$ ✓

検算（$\theta = \dfrac{\pi}{6}$ で）。 $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ で、$2\sin\dfrac{\pi}{6}\cos\dfrac{\pi}{6} = 2 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ✓

6 Show that $\tan(\pi-\theta) = -\tan\theta$, using $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.

日本語訳

$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を使って、$\tan(\pi-\theta) = -\tan\theta$ を示しなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[\tan(\pi-\theta) = \frac{\sin(\pi-\theta)}{\cos(\pi-\theta)} = \frac{\sin\theta}{-\cos\theta} = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\tan\theta\]

解説

分子はそのまま、分母だけ符号が変わります。 ですから、全体が負になります（Why it works）。

$\cos\theta \neq 0$ が要ります。$\tan$ が定義されている角で考えています。

検算。 $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ では、$\tan\dfrac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$、$-\tan\dfrac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$ ✓

検算（$\theta = \dfrac{\pi}{6}$ で）。 $\tan\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ✓

7 Solve $\sin(\pi-\theta) = \cos\theta$ for $0 \leq \theta \leq 2\pi$.

日本語訳

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲で $\sin(\pi-\theta) = \cos\theta$ を解きなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[\sin(\pi-\theta) = \sin\theta, \quad \text{so the equation is} \quad \sin\theta = \cos\theta\]

Dividing by $\cos\theta$ (which is not zero at any solution, since $\sin\theta$ and $\cos\theta$ cannot both be zero):

\[\tan\theta = 1, \qquad \theta = \frac{\pi}{4}, \quad \frac{5\pi}{4}\]

解説

左辺を先に書きかえます（式 1）。$\sin\theta = \cos\theta$ になれば、知っている形です。

$\cos\theta$ で割るときは、$\cos\theta = 0$ が解でないことを書き添えます。$\cos\theta = 0$ なら $\sin\theta = \pm 1 \neq 0$ なので、等式が成り立ちません。

検算。 $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ では、$\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$、$\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ✓

検算（$\theta = \dfrac{5\pi}{4}$ で）。 $\sin\left(\pi-\dfrac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$、$\cos\dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ✓

8 The graph of $y = \sin x$ is symmetric about the line $x = \dfrac{\pi}{2}$. Explain how this symmetry gives $\sin(\pi-\theta) = \sin\theta$.

日本語訳

$y = \sin x$ のグラフは、直線 $x = \dfrac{\pi}{2}$ について対称です。この対称性から $\sin(\pi-\theta) = \sin\theta$ が得られる理由を説明しなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

The inputs $\theta$ and $\pi-\theta$ have mean $\dfrac{\pi}{2}$, so they are the same distance either side of the line $x = \dfrac{\pi}{2}$.

Reflecting in a vertical line does not change heights, so the two inputs give the same value of $\sin$.

\[\sin(\pi-\theta) = \sin\theta\]

解説

$2$ つの角の平均が $\dfrac{\pi}{2}$ であることを、はじめに書きます（例題 3）。

線対称では、$x$ 座標だけが動いて高さは変わりません。 ここが $\cos$ の場合（点対称）とのちがいです。

検算。 $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ では、$\dfrac{\pi}{6}$ と $\dfrac{5\pi}{6}$ が $\dfrac{\pi}{2}$ から $\dfrac{\pi}{3}$ ずつ離れています ✓

検算（値で）。 $\sin\dfrac{\pi}{6} = \sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ ✓

試験ではこう書く

Take any $\theta$ and consider the two inputs $\theta$ and $\pi-\theta$.

Their mean is $\dfrac{\theta+(\pi-\theta)}{2} = \dfrac{\pi}{2}$, so writing $\theta = \dfrac{\pi}{2}-a$ gives $\pi-\theta = \dfrac{\pi}{2}+a$: the two inputs lie the same distance $a$ to the left and to the right of the line $x = \dfrac{\pi}{2}$.

The graph of $y = \sin x$ is symmetric about that line, which means that reflecting the curve in it maps the curve onto itself.

A reflection in a vertical line changes the $x$-coordinate of a point but leaves its $y$-coordinate unchanged, so the two points of the curve at $x = \dfrac{\pi}{2}-a$ and $x = \dfrac{\pi}{2}+a$ have the same height.

That height is $\sin\theta$ for the first and $\sin(\pi-\theta)$ for the second, so $\sin(\pi-\theta) = \sin\theta$.

9 Show that $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right) = \cos\theta$, and state what this says about the graphs of $y = \sin x$ and $y = \cos x$.

日本語訳

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right) = \cos\theta$ を示し、これが $y = \sin x$ と $y = \cos x$ のグラフについて何を言っているかを述べなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) = \sin\frac{\pi}{2}\cos\theta+\cos\frac{\pi}{2}\sin\theta = 1\cdot\cos\theta+0\cdot\sin\theta = \cos\theta\]

So the value of $\sin$ at $\dfrac{\pi}{2}+\theta$ equals the value of $\cos$ at $\theta$: the graph of $y = \sin x$ translated $\dfrac{\pi}{2}$ to the left is the graph of $y = \cos x$.

解説

平行移動として読むところが、後半のポイントです。$y = \sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ は、$y = \sin x$ を左に $\dfrac{\pi}{2}$ ずらしたグラフです（SL 2.11）。

検算。 $\theta = 0$ では、$\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$、$\cos 0 = 1$ ✓

検算（$\theta = \dfrac{\pi}{2}$ で）。 $\sin\pi = 0$、$\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$ ✓

試験ではこう書く

Apply the compound angle identity for $\sin(A+B)$ with $A = \dfrac{\pi}{2}$ and $B = \theta$:

\[\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) = \sin\frac{\pi}{2}\cos\theta+\cos\frac{\pi}{2}\sin\theta\]

Since $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$ and $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$, this reduces to $\cos\theta$, which proves the identity.

Read as a statement about graphs, it says that the height of $y = \sin x$ at $x = \dfrac{\pi}{2}+\theta$ is the same as the height of $y = \cos x$ at $x = \theta$, for every $\theta$.

Equivalently, the curve $y = \sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ is the curve $y = \cos x$, so translating the graph of $y = \sin x$ by $\dfrac{\pi}{2}$ in the negative $x$-direction gives exactly the graph of $y = \cos x$.

The two curves have the same shape and differ only by a horizontal shift of a quarter of a period.

10 A student writes $\cos(\pi-\theta) = \cos\pi - \cos\theta = -1-\cos\theta$. Explain the error, and give the correct value when $\theta = \dfrac{\pi}{3}$.

日本語訳

ある生徒が $\cos(\pi-\theta) = \cos\pi - \cos\theta = -1-\cos\theta$ と書きました。まちがいを説明し、$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ のときの正しい値を書きなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

Cosine is a function, not a quantity being multiplied out, so $\cos(A-B)$ cannot be split as $\cos A-\cos B$. The correct identity is

\[\cos(\pi-\theta) = \cos\pi\cos\theta+\sin\pi\sin\theta = -\cos\theta\]

At $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ the correct value is $-\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$, while the student’s formula gives $-1-\dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2}$, which is impossible since $\lvert\cos x\rvert \leq 1$.

解説

答えが $-\dfrac{3}{2}$ になった時点で、まちがいと分かります。 $\cos$ の値は $-1$ 以上 $1$ 以下です。

大きさを見るのは、いちばん早い見つけ方です。

検算。 $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ ✓ 正しい式と合います。

検算（$\theta = 0$ で）。 生徒の式なら $-1-1 = -2$ ですが、$\cos\pi = -1$ です ✓ ここでも合いません。

試験ではこう書く

The step $\cos(\pi-\theta) = \cos\pi-\cos\theta$ treats $\cos$ as if it distributed over a subtraction, but $\cos$ is a function applied to the single angle $\pi-\theta$, and $\cos(A-B)$ is not $\cos A - \cos B$ in general.

The correct tool is the compound angle identity $\cos(A-B) = \cos A\cos B+\sin A\sin B$, which with $A = \pi$ and $B = \theta$ gives $\cos(\pi-\theta) = (-1)\cos\theta+0\cdot\sin\theta = -\cos\theta$.

At $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ the correct value is therefore $-\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$, and indeed $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$.

The student’s formula gives $-1-\dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2}$, which lies outside the interval $[-1,\ 1]$ and so cannot be the cosine of any angle; that alone shows the step is wrong.

HL 3.11 — Relationships between trigonometric functions and symmetry（三角関数の関係式とグラフの対称性）

The idea

1. The unit circle behind the relationships（単位円から読む）

2. The three relationships for \(\pi-\theta\)（\(\pi-\theta\) の \(3\) つの関係）

3. Negative angles: odd and even（負の角：奇関数と偶関数）

4. Shifting by \(\pi\) and by \(\dfrac{\pi}{2}\)（\(\pi\) と \(\dfrac{\pi}{2}\) のずらし）

5. The same facts read off the graphs（グラフの対称性として読む）

6. Using the relationships（使い方）

Why it works

単位円から読む

\(\pi\) を足すと、なぜ \(\tan\) だけ符号が変わらないのか

\(\dfrac{\pi}{2}\) のずらしで、なぜ入れかわるのか

グラフの対称性との対応

Common errors

Exercises

関数	\(f(-x)\)	種類	グラフ
\(\sin\)	\(-\sin x\)	odd	原点について点対称
\(\cos\)	\(\cos x\)	even	\(y\) 軸について線対称
\(\tan\)	\(-\tan x\)	odd	原点について点対称