HL 3.10 — Compound angle identities and the double angle identity for \(\tan\)（加法定理と \(2\) 倍角）

ノートWhat you should be able to do

• compound angle identities（加法定理）を公式集から正しく写せる。
• \(\pm\) と \(\mp\) の複号の読み方が分かる。
• \(\dfrac{\pi}{12}\) のような角の正確な値を出せる。
• 加法定理に \(B = A\) を入れて、\(2\) 倍角の公式を導ける。
• \(\tan 2\theta\) の公式を使える。
• 加法定理を使って、identity（恒等式）を示せる。
• \(2\) 倍角を含む三角方程式を解ける。

The idea

1. The compound angle identities（加法定理）

ここでは、\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\) の compound angle identities（加法定理）を扱います。

\(2\) つの角の和や差の三角比を、それぞれの三角比で表す式です。公式集の 3.10 の欄に、次の \(3\) つがあります。

\[ \sin(A \pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B \]

\[ \cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B \]

\[ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A\tan B} \]

覚える必要はありません。 大事なのは、複号の読み方（第 2 節）と、どこで使うかです。

重要\(\sin(A+B)\) は \(\sin A + \sin B\) ではありません

いちばん多いまちがいです。\(\sin\) は「かっこの中をそのまま分けられる」関数ではありません。

\(A = B = \dfrac{\pi}{2}\) で試すと、\(\sin\pi = 0\) ですが \(\sin\dfrac{\pi}{2}+\sin\dfrac{\pi}{2} = 2\) です。まったく違います。

2. Reading the \(\pm\) and \(\mp\) signs（複号の読み方）

公式集の式には、\(\pm\)（上が \(+\)）と \(\mp\)（上が \(-\)）が出てきます。上どうし・下どうしで読みます。

表 1: \(\cos(A \pm B)\) の読み方

左辺	右辺
\(\cos(A+B)\)	\(\cos A\cos B - \sin A\sin B\)
\(\cos(A-B)\)	\(\cos A\cos B + \sin A\sin B\)

\(\cos\) では、符号が逆になります。 足し算のほうに \(-\)、引き算のほうに \(+\) が付きます。

\(\sin\) のほうは、そのままです。

\[ \sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B \tag{1}\]

\[ \cos(A+B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B \tag{2}\]

ヒント迷ったら、\(A = B = \dfrac{\pi}{2}\) で試す

\(\cos\pi = -1\) です。\(\cos(A+B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B\) に入れると \(0 - 1 = -1\) ✓ 符号が合っています。

\(+\) にしてしまうと \(0+1 = 1\) で、合いません。\(30\) 秒で確かめられます。

例題 1 Let \(A\) and \(B\) be acute angles with \(\sin A = \dfrac{3}{5}\) and \(\cos B = \dfrac{5}{13}\).

(a) Find the exact value of \(\sin(A+B)\).

(b) Find the exact value of \(\tan(A+B)\).

日本語訳

\(A\)、\(B\) を鋭角として、\(\sin A = \dfrac{3}{5}\)、\(\cos B = \dfrac{5}{13}\) とします。

(a) \(\sin(A+B)\) の正確な値を求めなさい。

(b) \(\tan(A+B)\) の正確な値を求めなさい。

ヒント解説と解答例

足りない値を、先にそろえます。 どちらも鋭角なので、正の平方根を取ります。

\[ \cos A = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5}, \qquad \sin B = \sqrt{1-\frac{25}{169}} = \frac{12}{13} \]

(a) 式 1 に入れます。

\[ \sin(A+B) = \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13} + \frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13} = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65} \]

(b) \(\tan(A+B) = \dfrac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)}\) なので、\(\cos(A+B)\) も出します。

\[ \cos(A+B) = \frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13} - \frac{3}{5}\cdot\frac{12}{13} = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = -\frac{16}{65} \]

\[ \tan(A+B) = \frac{63/65}{-16/65} = -\frac{63}{16} \]

検算。 \(\sin^{2} + \cos^{2} = 1\) で確かめます。

\[ \left(\frac{63}{65}\right)^{2} + \left(\frac{16}{65}\right)^{2} = \frac{3969 + 256}{4225} = \frac{4225}{4225} = 1 \]

合いました ✓

検算（符号のほう）。 \(\cos(A+B)\) が負なので、\(A+B\) は第 \(2\) 象限の角です。\(\sin\) が正で \(\tan\) が負 ✓ \(3\) つの符号が、たがいに合っています。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\cos A = \frac{4}{5}, \qquad \sin B = \frac{12}{13} \quad (\text{both acute})\]

(a) \(\sin(A+B) = \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{13}+\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{12}{13} = \dfrac{63}{65}\)

(b) \(\cos(A+B) = \dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{13}-\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{12}{13} = -\dfrac{16}{65}\)

\[\tan(A+B) = \frac{63/65}{-16/65} = -\frac{63}{16}\]

3. Exact values for new angles（新しい角の正確な値）

\(\dfrac{\pi}{12}\)（\(15^{\circ}\)）のような角は、知っている角の和や差に書き直せます。

\[ \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \]

なので

\[ \cos\frac{\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \]

です。\(\cos\) の差なので、右辺は \(+\) です（第 2 節）。

使える角は \(\dfrac{\pi}{6}\)、\(\dfrac{\pi}{4}\)、\(\dfrac{\pi}{3}\)、\(\dfrac{\pi}{2}\) です（SL 3.5）。この \(4\) つの和や差で書ける角なら、正確な値が出せます。

例題 2 Find the exact value of \(\cos\dfrac{\pi}{12}\).

日本語訳

\(\cos\dfrac{\pi}{12}\) の正確な値を求めなさい。

ヒント解説と解答例

知っている角の差に書き直します（第 3 節）。

\[ \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \]

\(\cos(A-B)\) なので、右辺は \(+\) です（第 2 節）。

\[ \cos\frac{\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} \]

\[ = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \]

検算。 大きさを見ます。 \(\sqrt{2} \approx 1.41\)、\(\sqrt{6} \approx 2.45\) なので、答えは約 \(\dfrac{3.86}{4} \approx 0.97\) です。\(\dfrac{\pi}{12}\) は小さい角なので、\(\cos\) は \(1\) に近いはずです ✓

検算（符号のほう）。 \(A = B\) として \(\cos 0 = 1\) で試します。\(\cos^{2}A + \sin^{2}A = 1\) ✓ \(+\) で合っています。 \(-\) だと \(\cos 2A\) になってしまいます。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\]

\[\cos\frac{\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\]

4. Deriving the double angle identities（\(2\) 倍角を導く）

図 1: 加法定理に \(B = A\) を入れると、\(2\) 倍角が出ます。

\(2\) 倍角の公式は、加法定理に \(B = A\) を入れるだけで出ます。図 1 のとおりです。

式 1 で \(B = A\) とすると

\[ \sin 2A = \sin A\cos A + \cos A\sin A = 2\sin A\cos A \tag{3}\]

式 2 で \(B = A\) とすると

\[ \cos 2A = \cos^{2}A - \sin^{2}A \tag{4}\]

この \(2\) つは、公式集の 3.6 の欄にもあります（SL の範囲です）。\(\cos 2A\) には、\(\cos^{2}A + \sin^{2}A = 1\) を使った書きかえが \(2\) つあります。

\[ \cos 2A = 2\cos^{2}A - 1 = 1 - 2\sin^{2}A \tag{5}\]

ヒント\(3\) つの形は、使い分けます

方程式に\(\sin\) だけが残ってほしいときは \(1-2\sin^{2}A\)、\(\cos\) だけが残ってほしいときは \(2\cos^{2}A-1\) を選びます（第 7 節）。

選び方を先に決めると、途中で行きづまりません。

5. The double angle identity for \(\tan\)（\(\tan\) の \(2\) 倍角）

\(\tan\) の \(2\) 倍角だけは、HL の範囲です。公式集の 3.10 の欄にあります。

\[ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta} \tag{6}\]

これも、\(\tan(A+B)\) に \(B = A\) を入れて出ます。

分母が \(0\) になる \(\theta\) では使えません。 \(\tan^{2}\theta = 1\)、つまり \(\theta = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}\) のときです。そこでは \(\tan 2\theta\) に値がありません。

例題 3 Let \(t = \tan\dfrac{\pi}{8}\).

(a) Use the double angle identity for \(\tan\) to show that \(t^{2}+2t-1 = 0\).

(b) Hence find the exact value of \(\tan\dfrac{\pi}{8}\).

日本語訳

\(t = \tan\dfrac{\pi}{8}\) とします。

(a) \(\tan\) の \(2\) 倍角の公式を使って、\(t^{2}+2t-1 = 0\) を示しなさい。

(b) それを使って \(\tan\dfrac{\pi}{8}\) の正確な値を求めなさい。

ヒント解説と解答例

(a) 式 6 で \(\theta = \dfrac{\pi}{8}\) とします。\(2\theta = \dfrac{\pi}{4}\) なので

\[ \tan\frac{\pi}{4} = \frac{2t}{1-t^{2}} \]

左辺は \(1\) です。

\[ 1 = \frac{2t}{1-t^{2}} \ \Rightarrow \ 1 - t^{2} = 2t \ \Rightarrow \ t^{2}+2t-1 = 0 \]

分母をはらうとき、\(1-t^{2} \neq 0\) が要ります。 \(\dfrac{\pi}{8}\) では \(\tan^{2} \neq 1\) なので、かまいません。

(b) 解の公式から

\[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} \]

試験ではこう書く

The quadratic \(t^{2}+2t-1 = 0\) has the two roots \(t = -1+\sqrt{2}\) and \(t = -1-\sqrt{2}\), so one of them must be rejected.

The angle \(\dfrac{\pi}{8}\) lies strictly between \(0\) and \(\dfrac{\pi}{2}\), so it is in the first quadrant and its tangent is positive.

Now \(-1-\sqrt{2}\) is negative, so it cannot be \(\tan\dfrac{\pi}{8}\), while \(-1+\sqrt{2} = \sqrt{2}-1 \approx 0.414\) is positive.

Hence \(\tan\dfrac{\pi}{8} = \sqrt{2}-1\).

（\(2\) 次方程式の解は \(2\) つあるが、\(\dfrac{\pi}{8}\) は第 \(1\) 象限の角なので \(\tan\) は正。負のほうは捨てる、という意味です。）

\[ \tan\frac{\pi}{8} = \sqrt{2}-1 \]

検算。 \(2\) 倍角の式に戻します。 \(t = \sqrt{2}-1\) なら \(t^{2} = 3-2\sqrt{2}\) なので

\[ \frac{2t}{1-t^{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{1-(3-2\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}-2} = 1 \]

\(\tan\dfrac{\pi}{4} = 1\) に戻りました ✓

検算（大きさで）。 \(\sqrt{2}-1 \approx 0.414\) です。\(\dfrac{\pi}{8}\) は \(\dfrac{\pi}{4}\) の半分なので、\(\tan\) は \(1\) より小さいはずです ✓

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(\tan\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{2t}{1-t^{2}}\) and \(\tan\dfrac{\pi}{4} = 1\), so

\[1-t^{2} = 2t, \qquad t^{2}+2t-1 = 0\]

(b) \(t = \dfrac{-2\pm\sqrt{8}}{2} = -1\pm\sqrt{2}\)

Since \(\dfrac{\pi}{8}\) is in the first quadrant, \(t > 0\), so \(\tan\dfrac{\pi}{8} = \sqrt{2}-1\).

6. Proving identities（恒等式を示す）

Show that の問題では、左辺から始めて右辺にたどり着きます（SL 1.6）。

\[ \cos 3\theta = \cos(2\theta + \theta) \]

のように、大きい角を \(2\) つに割るのが定石です。あとは加法定理と \(2\) 倍角でほどきます（演習 9）。

De Moivre の定理からも、同じ式が出ます（HL 1.14）。\((\cos\theta+i\sin\theta)^{2}\) を展開して real part（実部）と imaginary part（虚部）をくらべると、\(2\) 倍角の \(2\) つの式が同時に出ます。

7. Solving equations with a double angle（\(2\) 倍角を含む方程式）

\(\cos 2\theta\) と \(\sin\theta\) が混ざった方程式は、角をそろえてから解きます。

\[ \cos 2\theta + 3\sin\theta = 2 \]

\(\sin\) だけにしたいので、式 5 の \(1-2\sin^{2}\theta\) を使います。

\[ 1 - 2\sin^{2}\theta + 3\sin\theta = 2 \ \Rightarrow \ 2\sin^{2}\theta - 3\sin\theta + 1 = 0 \]

\[ (2\sin\theta - 1)(\sin\theta - 1) = 0 \]

\(\sin\theta\) の \(2\) 次方程式になりました。\(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\) または \(\sin\theta = 1\) です。

角をそろえる → \(1\) 種類の三角比の \(2\) 次方程式にする

例題 4 (a) Show that \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta\).

(b) Hence solve \(\cos 2\theta + 3\sin\theta = 2\) for \(0 \leq \theta \leq 2\pi\).

日本語訳

(a) \(\cos 2\theta = 1-2\sin^{2}\theta\) を示しなさい。

(b) それを使って、\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) の範囲で \(\cos 2\theta + 3\sin\theta = 2\) を解きなさい。

ヒント解説と解答例

(a) 加法定理で \(B = A = \theta\) とします（第 4 節）。

\[ \cos 2\theta = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta \]

\(\cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta\) を入れます。

\[ = \left(1-\sin^{2}\theta\right) - \sin^{2}\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta \]

(b) (a) を使って、\(\sin\) だけにそろえます（第 7 節）。

\[ 1 - 2\sin^{2}\theta + 3\sin\theta = 2 \]

\[ 2\sin^{2}\theta - 3\sin\theta + 1 = 0 \ \Rightarrow \ (2\sin\theta-1)(\sin\theta-1) = 0 \]

\(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\) または \(\sin\theta = 1\) です。\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) で

\[ \theta = \frac{\pi}{6}, \qquad \frac{\pi}{2}, \qquad \frac{5\pi}{6} \]

検算。 \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) を入れます。 \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\)、\(3\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3}{2}\) で、和は \(2\) ✓

検算（\(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) で）。 \(\cos\pi = -1\)、\(3\sin\dfrac{\pi}{2} = 3\) で、和は \(2\) ✓ \(3\) つとも入れて確かめてください。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(\cos 2\theta = \cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta = \left(1-\sin^{2}\theta\right)-\sin^{2}\theta = 1-2\sin^{2}\theta\)

(b) \(1-2\sin^{2}\theta+3\sin\theta = 2 \ \Rightarrow \ 2\sin^{2}\theta-3\sin\theta+1 = 0\)

\[(2\sin\theta-1)(\sin\theta-1) = 0, \quad \sin\theta = \frac{1}{2} \ \text{or} \ \sin\theta = 1\]

\[\theta = \frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{2}, \quad \frac{5\pi}{6}\]

ヒントPaper 2 では、電卓で答え合わせができます

TI-Nspire CX II の Graphs ページに、左辺と右辺の \(2\) つを入れて menu → Analyze Graph → Intersection を使うと、point of intersection（交点）から解が読めます。

範囲の指定に気をつけてください。 \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) なら、Window Settings で \(x\) の範囲をその通りにします。そうしないと、範囲外の解まで拾ってしまいます。

恒等式の確かめにも使えます。\(y_{1}\) に左辺、\(y_{2}\) に右辺を入れて、\(2\) 本のグラフが重なれば、まず合っています。

Paper 1 では使えません。 このページの例題と演習は、すべて手で解けるようにしてあります。

Why it works

ヒントクリックすると開きます

\(\tan\) の加法定理は、割り算から出ます

\(\tan(A+B) = \dfrac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)}\) に、式 1 と 式 2 を入れます。

\[ \tan(A+B) = \frac{\sin A\cos B + \cos A\sin B}{\cos A\cos B - \sin A\sin B} \]

分子と分母を \(\cos A\cos B\) で割ります（どちらも \(0\) でないとします）。

\[ = \frac{\dfrac{\sin A}{\cos A} + \dfrac{\sin B}{\cos B}}{1 - \dfrac{\sin A}{\cos A}\cdot\dfrac{\sin B}{\cos B}} = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\tan B} \]

です（演習 8）。\(\cos A\cos B\) で割るところが、この導出のポイントです。

\(\cos 2A\) の \(3\) つの形

式 4 は \(\cos^{2}A - \sin^{2}A\) でした。ここに \(\sin^{2}A = 1 - \cos^{2}A\) を入れると

\[ \cos 2A = \cos^{2}A - \left(1-\cos^{2}A\right) = 2\cos^{2}A - 1 \]

です。\(\cos^{2}A = 1 - \sin^{2}A\) を入れると

\[ \cos 2A = \left(1-\sin^{2}A\right) - \sin^{2}A = 1 - 2\sin^{2}A \]

です。\(3\) つは同じ式で、見た目だけが違います。

De Moivre の定理とのつながり

\((\cos\theta + i\sin\theta)^{2}\) を、\(2\) 通りに計算します。

展開すると

\[ \cos^{2}\theta + 2i\cos\theta\sin\theta + i^{2}\sin^{2}\theta = \left(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\right) + i\left(2\sin\theta\cos\theta\right) \]

De Moivre の定理を使うと（HL 1.14）

\[ (\cos\theta+i\sin\theta)^{2} = \cos 2\theta + i\sin 2\theta \]

です。実部どうし・虚部どうしをくらべると、式 4 と 式 3 が同時に出ます。

\(3\) 乗にすれば \(3\) 倍角が出ます。 同じやり方が、何倍角でも使えます（演習 9）。

Common errors

警告\(\sin(A+B)\) を \(\sin A + \sin B\) とする

\(\sin\) はかっこの中をそのまま分けられません（第 1 節）。

公式集の式を、そのまま写してください。 \(A = B = \dfrac{\pi}{2}\) で試すと、すぐにちがいが分かります。

警告\(\cos\) の複号を、そのままの符号で読む

\(\cos(A+B)\) の右辺は \(-\) です（第 2 節）。公式集では \(\mp\) と書かれています。

\(\sin\) は同じ、\(\cos\) は逆と覚えておいてください。

警告\(\cos 2\theta\) の形を選ばずに進む

\(3\) つの形があります（式 5）。残したい三角比で選びます（第 4 節）。

\(\sin\) の式なら \(1-2\sin^{2}\theta\)、\(\cos\) の式なら \(2\cos^{2}\theta-1\) です。選ばずに \(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\) のまま進むと、\(2\) 種類が残って解けません。

警告\(\tan 2\theta\) の分母を \(1+\tan^{2}\theta\) とする

正しくは \(1-\tan^{2}\theta\) です（式 6）。\(1+\tan^{2}\theta\) は \(\sec^{2}\theta\) のほうです（HL 3.9）。

公式集の 3.10 と 3.9 は、となり合っています。 見る欄をまちがえないでください。

警告\(\sin 2\theta = \cos\theta\) で、両辺を \(\cos\theta\) で割る

\(\cos\theta\) が \(0\) になる \(\theta\) が、答えから消えてしまいます（HL 2.15）。

\(2\sin\theta\cos\theta - \cos\theta = 0\) と寄せてから、\(\cos\theta\) でくくってください。

警告\(2\) 次方程式の解を、片方だけ捨てずに残す

\(\tan\dfrac{\pi}{8}\) のような問題では、\(2\) 次方程式の解が \(2\) つ出ます。象限から符号を決めて、片方を捨てます（例題 3）。

捨てた理由を書くところまでが答えです。

Exercises

1 Find the exact value of \(\sin\dfrac{7\pi}{12}\).

日本語訳

\(\sin\dfrac{7\pi}{12}\) の正確な値を求めなさい。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\]

\[\sin\frac{7\pi}{12} = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\]

ヒント解説

\(\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{4\pi+3\pi}{12}\) です。分母を \(12\) にそろえてから、\(4\) と \(3\) に分けると見つかります（第 3 節）。

検算。 \(\dfrac{7\pi}{12}\) は \(\dfrac{\pi}{2}\) より少し大きい角なので、\(\sin\) は \(1\) に近い正の値です。\(\dfrac{2.45+1.41}{4} \approx 0.97\) ✓

検算（補角で）。 \(\sin\dfrac{7\pi}{12} = \sin\dfrac{5\pi}{12}\) のはずです（\(\pi\) から引いた角）。\(\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}\) から計算しても、同じ値になります ✓

2 Find the exact value of \(\tan\dfrac{\pi}{12}\), giving your answer in the form \(a+b\sqrt{3}\) where \(a\) and \(b\) are integers.

日本語訳

\(\tan\dfrac{\pi}{12}\) の正確な値を、\(a\)、\(b\) を整数として \(a+b\sqrt{3}\) の形で求めなさい。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\tan\frac{\pi}{12} = \tan\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{3}-\tan\frac{\pi}{4}}{1+\tan\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}\]

Multiplying numerator and denominator by \(\sqrt{3}-1\):

\[= \frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}\]

ヒント解説

\(\tan(A-B)\) では、分母が \(1+\tan A\tan B\) です。 公式集の \(\mp\) を、下の符号で読みます（第 2 節）。

分母に \(\sqrt{3}\) が残っているので、有理化します（SL 1.5）。

検算。 \(2-\sqrt{3} \approx 0.27\) です。\(\dfrac{\pi}{12}\) は小さい角なので、\(\tan\) も小さいはずです ✓

検算（\(\tan\dfrac{\pi}{12}\tan\dfrac{5\pi}{12}\) で）。 \(\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{2}\) なので、\(2\) つの \(\tan\) の積は \(1\) のはずです。\((2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 4-3 = 1\) ✓

3 Let \(A\) and \(B\) be acute angles with \(\cos A = \dfrac{8}{17}\) and \(\sin B = \dfrac{4}{5}\). Find the exact value of \(\cos(A-B)\).

日本語訳

\(A\)、\(B\) を acute angle（鋭角）として、\(\cos A = \dfrac{8}{17}\)、\(\sin B = \dfrac{4}{5}\) とします。\(\cos(A-B)\) の正確な値を求めなさい。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\sin A = \sqrt{1-\frac{64}{289}} = \frac{15}{17}, \qquad \cos B = \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \frac{3}{5}\]

\[\cos(A-B) = \cos A\cos B+\sin A\sin B = \frac{8}{17}\cdot\frac{3}{5}+\frac{15}{17}\cdot\frac{4}{5}\]

\[= \frac{24}{85}+\frac{60}{85} = \frac{84}{85}\]

ヒント解説

足りない値を先に出します（例題 1）。どちらも鋭角なので、正の平方根です。

\(\cos(A-B)\) なので、右辺は \(+\) です。

検算。 \(8\) 対 \(15\) 対 \(17\) と \(3\) 対 \(4\) 対 \(5\) の直角三角形です。\(8^{2}+15^{2} = 289 = 17^{2}\) ✓

検算（大きさで）。 \(\dfrac{84}{85} \approx 0.99\) です。\(\cos\) の値は \(1\) 以下でなければなりません ✓ \(A\) と \(B\) が近い角だと、差が小さく \(\cos\) は \(1\) に近くなります。

4 Show that \(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\), starting from the compound angle identity for \(\sin(A+B)\).

日本語訳

\(\sin(A+B)\) の加法定理から出発して、\(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\) を示しなさい。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\sin(A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B\]

Putting \(A = B = \theta\):

\[\sin 2\theta = \sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta = 2\sin\theta\cos\theta\]

ヒント解説

\(B = A\) を入れるだけです（第 4 節）。\(2\) つの項が同じものになるので、\(2\) 倍になります。

検算。 \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) で確かめます。\(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1\)、右辺は \(2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1\) ✓

検算（\(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) で）。 \(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)、右辺は \(2 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ✓

5 Solve \(\cos 2\theta = \sin\theta\) for \(0 \leq \theta \leq 2\pi\).

日本語訳

\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) の範囲で \(\cos 2\theta = \sin\theta\) を解きなさい。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[1-2\sin^{2}\theta = \sin\theta \ \Rightarrow \ 2\sin^{2}\theta+\sin\theta-1 = 0\]

\[(2\sin\theta-1)(\sin\theta+1) = 0\]

\(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\) gives \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) or \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\).

\(\sin\theta = -1\) gives \(\theta = \dfrac{3\pi}{2}\).

\[\theta = \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5\pi}{6}, \quad \frac{3\pi}{2}\]

ヒント解説

右辺が \(\sin\) なので、\(1-2\sin^{2}\theta\) を選びます（第 4 節）。

\(\sin\theta = -1\) になるのは \(\dfrac{3\pi}{2}\) の \(1\) つだけです。\(-1\) は \(\sin\) の最小値なので、\(1\) 周に \(1\) 回しか出ません。

検算。 \(\theta = \dfrac{3\pi}{2}\) では \(\cos 3\pi = -1\)、\(\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1\) ✓

検算（\(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) で）。 \(\cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\)、\(\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\) ✓

6 Solve \(\sin 2\theta = \cos\theta\) for \(0 \leq \theta \leq 2\pi\).

日本語訳

\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) の範囲で \(\sin 2\theta = \cos\theta\) を解きなさい。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[2\sin\theta\cos\theta = \cos\theta \ \Rightarrow \ \cos\theta\left(2\sin\theta-1\right) = 0\]

\(\cos\theta = 0\) gives \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) or \(\theta = \dfrac{3\pi}{2}\).

\(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\) gives \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) or \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\).

\[\theta = \frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{2}, \quad \frac{5\pi}{6}, \quad \frac{3\pi}{2}\]

ヒント解説

両辺を \(\cos\theta\) で割らないでください。 \(\cos\theta = 0\) の解が \(2\) つ消えます。寄せてから、\(\cos\theta\) でくくります。

検算。 \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) では \(\sin\pi = 0\)、\(\cos\dfrac{\pi}{2} = 0\) ✓ 割っていたら、この解が出ませんでした。

検算（\(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) で）。 \(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ✓

7 Show that \(\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^{2} = 1+\sin 2\theta\).

日本語訳

\(\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^{2} = 1+\sin 2\theta\) を示しなさい。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\text{LHS} = \sin^{2}\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^{2}\theta\]

\[= \left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)+2\sin\theta\cos\theta = 1+\sin 2\theta = \text{RHS}\]

ヒント解説

展開してから、\(2\) つに分けて読むのがポイントです。\(\sin^{2}+\cos^{2}\) が \(1\)、残りの \(2\sin\theta\cos\theta\) が \(\sin 2\theta\) です。

検算。 \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) では、左辺は \(\left(\sqrt{2}\right)^{2} = 2\)、右辺は \(1+\sin\dfrac{\pi}{2} = 2\) ✓

検算（\(\theta = 0\) で）。 左辺は \(1\)、右辺は \(1+0 = 1\) ✓

8 Show that \(\tan(A+B) = \dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\), starting from the compound angle identities for \(\sin(A+B)\) and \(\cos(A+B)\).

日本語訳

\(\sin(A+B)\) と \(\cos(A+B)\) の加法定理から出発して、\(\tan(A+B) = \dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\) を示しなさい。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\tan(A+B) = \frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)} = \frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\cos A\cos B-\sin A\sin B}\]

Dividing the numerator and the denominator by \(\cos A\cos B\):

\[= \frac{\dfrac{\sin A}{\cos A}+\dfrac{\sin B}{\cos B}} {1-\dfrac{\sin A}{\cos A}\cdot\dfrac{\sin B}{\cos B}} = \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\]

ヒント解説

\(\cos A\cos B\) で割るところが、この導出のポイントです（Why it works）。分子の \(2\) 項も分母の \(2\) 項も、きれいに \(\tan\) になります。

検算。 \(A = B = \dfrac{\pi}{6}\) で確かめます。左辺は \(\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\)、右辺は \(\dfrac{2/\sqrt{3}}{1-1/3} = \dfrac{2/\sqrt{3}}{2/3} = \sqrt{3}\) ✓

検算（\(B = 0\) で）。 右辺は \(\dfrac{\tan A+0}{1-0} = \tan A\) ✓ 左辺も \(\tan A\) です。

試験ではこう書く

By definition \(\tan(A+B) = \dfrac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)}\), provided \(\cos(A+B) \neq 0\).

Substituting the compound angle identities gives

\[\tan(A+B) = \frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\cos A\cos B-\sin A\sin B}\]

Assume also that \(\cos A \neq 0\) and \(\cos B \neq 0\), so that \(\tan A\) and \(\tan B\) are defined.

Dividing both the numerator and the denominator by the non-zero quantity \(\cos A\cos B\) leaves the value of the fraction unchanged.

In the numerator, \(\dfrac{\sin A\cos B}{\cos A\cos B} = \tan A\) and \(\dfrac{\cos A\sin B}{\cos A\cos B} = \tan B\).

In the denominator, \(\dfrac{\cos A\cos B}{\cos A\cos B} = 1\) and \(\dfrac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B} = \tan A\tan B\).

Hence \(\tan(A+B) = \dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\).

9 Show that \(\cos 3\theta = 4\cos^{3}\theta - 3\cos\theta\).

日本語訳

\(\cos 3\theta = 4\cos^{3}\theta-3\cos\theta\) を示しなさい。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\cos 3\theta = \cos(2\theta+\theta) = \cos 2\theta\cos\theta - \sin 2\theta\sin\theta\]

\[= \left(2\cos^{2}\theta-1\right)\cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta\sin\theta\]

\[= 2\cos^{3}\theta-\cos\theta-2\cos\theta\sin^{2}\theta\]

\[= 2\cos^{3}\theta-\cos\theta-2\cos\theta\left(1-\cos^{2}\theta\right) = 4\cos^{3}\theta-3\cos\theta\]

ヒント解説

\(3\theta\) を \(2\theta+\theta\) に割るのが第一歩です（第 6 節）。あとは \(2\) 倍角と \(\sin^{2}\theta = 1-\cos^{2}\theta\) でほどきます。

\(\cos 2\theta\) には \(2\cos^{2}\theta-1\) を選びます。\(\cos\) だけを残したいからです。

検算。 \(\theta = 0\) では、左辺 \(1\)、右辺 \(4-3 = 1\) ✓

検算（\(\theta = \dfrac{\pi}{3}\) で）。 左辺は \(\cos\pi = -1\)、右辺は \(4 \times \dfrac{1}{8} - 3 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2} = -1\) ✓

試験ではこう書く

Write \(3\theta = 2\theta+\theta\) and apply the compound angle identity for cosine:

\[\cos 3\theta = \cos 2\theta\cos\theta - \sin 2\theta\sin\theta\]

Now substitute the double angle identities, choosing the form of \(\cos 2\theta\) that contains only cosines:

\[= \left(2\cos^{2}\theta-1\right)\cos\theta - \left(2\sin\theta\cos\theta\right)\sin\theta = 2\cos^{3}\theta-\cos\theta-2\cos\theta\sin^{2}\theta\]

Finally replace \(\sin^{2}\theta\) by \(1-\cos^{2}\theta\), which removes the last sine:

\[= 2\cos^{3}\theta-\cos\theta-2\cos\theta+2\cos^{3}\theta = 4\cos^{3}\theta-3\cos\theta\]

as required.

The same identity also follows from De Moivre’s theorem by expanding \((\cos\theta+i\sin\theta)^{3}\) and comparing real parts.

10 A student writes \(\cos(A-B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B\). Explain the error, and give a value of \(A\) and of \(B\) that shows the formula is wrong.

日本語訳

ある生徒が \(\cos(A-B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B\) と書きました。まちがいを説明し、この式が正しくないことを示す \(A\) と \(B\) の値を挙げなさい。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

The correct identity is \(\cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B\): in the booklet the sign is \(\mp\), so the minus on the left goes with a plus on the right.

Take \(A = B = \dfrac{\pi}{3}\). Then \(\cos(A-B) = \cos 0 = 1\), but

\[\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{4}-\frac{3}{4} = -\frac{1}{2}\]

which is not \(1\).

ヒント解説

\(\mp\) は「上が \(-\)、下が \(+\)」です（第 2 節）。左辺が \(-\) のときは、右辺が \(+\) になります。

\(A = B\) で試すと、左辺が \(\cos 0 = 1\) になるので、すぐに見分けられます。

検算。 正しい式で \(A = B = \dfrac{\pi}{3}\) を入れると \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4} = 1\) ✓

検算（生徒の式が何なのか）。 生徒の書いた式は \(\cos(A+B)\) です ✓ 符号を \(1\) つ取りちがえると、別の公式になります。

試験ではこう書く

The formula booklet gives \(\cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B\), where the signs are read together: the upper sign on the left goes with the upper sign on the right.

Taking the lower signs gives \(\cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B\), so the student has used a minus where a plus is needed; the expression written is in fact \(\cos(A+B)\).

A single pair of values settles it.

Take \(A = B = \dfrac{\pi}{3}\).

The left-hand side is \(\cos(A-B) = \cos 0 = 1\), while the student’s right-hand side is \(\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{3}-\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{2}\).

Since \(1 \neq -\dfrac{1}{2}\), the formula as written is false.