HL 3.13 — The scalar product and the angle between two vectors（内積となす角）

ノートWhat you should be able to do
  • scalar product（内積。dot product ともいいます）を成分から出せる。
  • \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = \lvert\mathbf{v}\rvert\lvert\mathbf{w}\rvert\cos\theta\) を使える。
  • \(2\) つのベクトルの angle between（なす角）を出せる（公式集の 3.13）。
  • \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = 0\) と perpendicular（垂直）が同値であることを使える。
  • parallel（平行）なベクトルでは \(\lvert\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\rvert = \lvert\mathbf{v}\rvert\lvert\mathbf{w}\rvert\) であることを知っている。
  • 内積の性質（交換・分配・スカラー倍・\(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\)）を使える。
  • 内積を使って、図形の性質を証明できる。

The idea

1. The definition of the scalar product（内積の定義）

scalar product（内積）の定義と、\(2\) つのベクトルのなす角、垂直・平行の判定を扱います。

内積は、\(2\) つのベクトルから \(1\) つの数（スカラー）をつくる計算です。結果はベクトルではありません。

公式集の 3.13 の欄に、次の形で印刷されています。

\[ \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3} \tag{1}\]

成分どうしをかけて、全部足すだけです。

重要答えはスカラーです

\(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\) は数です。ベクトルではありません。

答えを \(\begin{pmatrix} \ \\ \ \\ \ \end{pmatrix}\) の形で書いたら、まちがいです。\(-8\) のような数を書いてください。

2. The two formulas（\(2\) つの式）

図 1: なす角と、片方をもう片方に落とした影です。

公式集には、もう \(1\) つの式もあります。

\[ \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = \lvert\mathbf{v}\rvert\lvert\mathbf{w}\rvert\cos\theta \tag{2}\]

図 1 のとおり、\(\lvert\mathbf{w}\rvert\cos\theta\) は \(\mathbf{w}\) を \(\mathbf{v}\) の向きに落とした影の長さです。内積は、その影と \(\lvert\mathbf{v}\rvert\) の積です。

この \(2\) つの式があることが、内積の強みです。 成分から数を出し、その数から角を出せます。

3. The angle between two vectors（なす角）

式 1 と 式 2 を等しいと置けば、\(\cos\theta\) が出ます。公式集には、その形も印刷されています。

\[ \cos\theta = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\lvert\mathbf{v}\rvert\lvert\mathbf{w}\rvert} \tag{3}\]

手順は \(3\) つです。

  1. 内積を成分から出す。
  2. \(2\) つの大きさを出す。
  3. 式 3 に入れて、\(\theta = \arccos(\cdots)\) とする。

\(\theta\) は \(0\) から \(\pi\) までの角です。\(\arccos\) の range（値域）と同じです（HL 3.9）。

図 2 のとおり、内積の符号が角の種類を教えてくれます。

図 2: 内積の符号で、角の種類が分かります。
表 1: 内積の符号と角
\(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\) \(\cos\theta\) \(\theta\)
正 正 鋭角（\(0 \leq \theta < \dfrac{\pi}{2}\)）
\(0\) \(0\) 直角
負 負 鈍角（\(\dfrac{\pi}{2} < \theta \leq \pi\)）

例題 1 Let \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) and \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\).

(a) Find \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\).

(b) State whether the angle between \(\mathbf{a}\) and \(\mathbf{b}\) is acute, right or obtuse.

(a) 式 1 のとおり、成分どうしをかけて足します。

\[ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (2)(1)+(-1)(4)+(3)(-2) = 2-4-6 = -8 \]

(b) 内積が負なので、\(\cos\theta < 0\) です。\(0 \leq \theta \leq \pi\) で \(\cos\) が負になるのは \(\dfrac{\pi}{2}\) より大きい角なので、鈍角です（第 3 節）。

検算。 順番を入れかえて計算します。 \(\mathbf{b}\cdot\mathbf{a} = (1)(2)+(4)(-1)+(-2)(3) = -8\) ✓ 交換法則どおりです。

検算（符号だけ）。 \(3\) つの積は \(2\)、\(-4\)、\(-6\) です。負が大きいので、和は負 ✓ 鈍角と合っています。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (2)(1)+(-1)(4)+(3)(-2) = -8\)

(b) The scalar product is negative, so \(\cos\theta < 0\) and the angle is obtuse.

例題 2 Find the angle between \(\mathbf{u} = \mathbf{i}+\mathbf{j}\) and \(\mathbf{w} = \mathbf{i}+\mathbf{k}\).

成分に直します。 \(\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)、\(\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) です。

内積。

\[ \mathbf{u}\cdot\mathbf{w} = (1)(1)+(1)(0)+(0)(1) = 1 \]

大きさ。

\[ \lvert\mathbf{u}\rvert = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}, \qquad \lvert\mathbf{w}\rvert = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2} \]

式 3 に入れます。

\[ \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \]

\[ \theta = \frac{\pi}{3} \]

検算。 \(\cos\theta\) の大きさを見ます。 \(\dfrac{1}{2}\) は \(-1\) と \(1\) のあいだです ✓ \(1\) より大きくなったら、どこかがまちがっています。

検算（符号）。 内積が正なので、鋭角のはずです。\(\dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{2}\) ✓

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\mathbf{u}\cdot\mathbf{w} = 1, \qquad \lvert\mathbf{u}\rvert = \sqrt{2}, \qquad \lvert\mathbf{w}\rvert = \sqrt{2}\]

\[\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}}{\lvert\mathbf{u}\rvert\lvert\mathbf{w}\rvert} = \frac{1}{2}, \qquad \theta = \frac{\pi}{3}\]

4. Perpendicular vectors（垂直なベクトル）

\(\mathbf{0}\) でない \(2\) つのベクトルでは、内積が \(0\) になることと、垂直であることは同じです。

\[ \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = 0 \iff \mathbf{v} \perp \mathbf{w} \qquad (\mathbf{v} \neq \mathbf{0},\ \mathbf{w} \neq \mathbf{0}) \tag{4}\]

垂直なら \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) なので、式 2 に入れると

\[ \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = \lvert\mathbf{v}\rvert\lvert\mathbf{w}\rvert\cos\frac{\pi}{2} = \lvert\mathbf{v}\rvert\lvert\mathbf{w}\rvert \times 0 = 0 \]

となります。

垂直かどうかの判定は、内積 \(1\) 回で終わります。 角を出す必要はありません。

例題 3 Find the value of \(k\) for which \(\begin{pmatrix} 2 \\ k \\ -3 \end{pmatrix}\) and \(\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) are perpendicular.

垂直なので、内積が \(0\) です（式 4）。

\[ (2)(4)+(k)(-1)+(-3)(2) = 0 \]

\[ 8 - k - 6 = 0 \ \Rightarrow \ 2 - k = 0 \ \Rightarrow \ k = 2 \]

検算。 \(k = 2\) を入れ直します。

\[ (2)(4)+(2)(-1)+(-3)(2) = 8-2-6 = 0 \]

\(0\) になりました ✓

検算（角のほう）。 内積が \(0\) なら \(\cos\theta = 0\) で、\(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) です ✓ 大きさを計算する必要はありません。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

Perpendicular means the scalar product is zero.

\[(2)(4)+(k)(-1)+(-3)(2) = 0\]

\[8-k-6 = 0, \qquad k = 2\]

5. Parallel vectors and the scalar product（平行なベクトルと内積）

parallel vectors（平行なベクトル）では、内積の絶対値が、それぞれのベクトルの大きさの積に等しくなります。

平行なら \(\theta = 0\) か \(\theta = \pi\) なので、\(\cos\theta = \pm 1\) です。ですから

\[ \lvert\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\rvert = \lvert\mathbf{v}\rvert\lvert\mathbf{w}\rvert \tag{5}\]

です。絶対値が付いているところに気をつけてください。向きが逆なら、内積そのものは負になります。

重要平行の判定には、内積を使いません

平行かどうかは、スカラー倍になっているかで見ます（HL 3.12）。

式 5 は「平行ならこうなる」という性質で、判定に使うには \(2\) つの大きさを計算しなければならず、遠回りです。

6. Properties of the scalar product（内積の性質）

内積には、\(4\) つの性質があります。

\[ \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = \mathbf{w}\cdot\mathbf{v}, \qquad \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{w} \]

\[ (k\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} = k(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}), \qquad \mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = \lvert\mathbf{v}\rvert^{2} \]

\(4\) つ目が、とくによく使います。

\[ \mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = \lvert\mathbf{v}\rvert^{2} \tag{6}\]

\(\theta = 0\) なので \(\cos\theta = 1\) で、式 2 が \(\lvert\mathbf{v}\rvert^{2}\) になります。

分配できる（\(2\) つ目）ので、ふつうの式のように展開できます。

\[ (\mathbf{u}+\mathbf{w})\cdot(\mathbf{u}-\mathbf{w}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} - \mathbf{w}\cdot\mathbf{w} = \lvert\mathbf{u}\rvert^{2} - \lvert\mathbf{w}\rvert^{2} \tag{7}\]

\(2\) 乗の差の形になりました（演習 9）。

7. Using the scalar product in geometry（図形で使う）

図形の問題では、次の \(2\) つに使います。

  • 角を出す（三角形の内角など）
  • 垂直を示す（\(2\) つのベクトルの内積が \(0\)）

三角形 \(ABC\) の角 \(BAC\) を出すなら、\(A\) から出る \(2\) 本、つまり \(\overrightarrow{AB}\) と \(\overrightarrow{AC}\) の内積を使います（図 3）。

図 3: 角 \(BAC\) は、\(A\) から出る \(2\) 本のベクトルのなす角です。

\[ \cos(\angle BAC) = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}} {\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\lvert\overrightarrow{AC}\rvert} \tag{8}\]

向きをそろえるところがポイントです。\(\overrightarrow{BA}\) と \(\overrightarrow{AC}\) を使うと、\(\pi\) から引いた角が出てしまいます。

例題 4 In triangle \(OAB\), \(\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}\) and \(\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}\), and \(M\) is the midpoint of \(AB\). Show that if \(\lvert\mathbf{a}\rvert = \lvert\mathbf{b}\rvert\) then \(OM\) is perpendicular to \(AB\).

\(2\) 本のベクトルを、\(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}\) で書きます（HL 3.12）。

\[ \overrightarrow{OM} = \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}, \qquad \overrightarrow{AB} = \mathbf{b}-\mathbf{a} \]

内積を計算します。 式 7 の形です。

\[ \overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a}) = \frac{1}{2}\left(\lvert\mathbf{b}\rvert^{2}-\lvert\mathbf{a}\rvert^{2}\right) \]

\(\lvert\mathbf{a}\rvert = \lvert\mathbf{b}\rvert\) なので、これは \(0\) です。

試験ではこう書く

Since \(M\) is the midpoint of \(AB\), \(\overrightarrow{OM} = \dfrac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}\), and \(\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}-\mathbf{a}\).

Using the distributive property of the scalar product,

\[\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a}) = \frac{1}{2}\left(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} +\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}\right)\]

The scalar product is commutative, so \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\) and \(\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}\) cancel, and \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} = \lvert\mathbf{a}\rvert^{2}\), \(\mathbf{b}\cdot\mathbf{b} = \lvert\mathbf{b}\rvert^{2}\).

Hence

\[\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\left(\lvert\mathbf{b}\rvert^{2}-\lvert\mathbf{a}\rvert^{2}\right)\]

If \(\lvert\mathbf{a}\rvert = \lvert\mathbf{b}\rvert\) this is zero.

Neither \(\overrightarrow{OM}\) nor \(\overrightarrow{AB}\) is the zero vector in a genuine triangle, so a zero scalar product means the two vectors are perpendicular: \(OM \perp AB\).

（\(\overrightarrow{OM}\) と \(\overrightarrow{AB}\) の内積を展開すると \(\dfrac{1}{2}\left(\lvert\mathbf{b}\rvert^{2}-\lvert\mathbf{a}\rvert^{2}\right)\) になり、\(2\) 辺が等しいとき \(0\) になる、という意味です。）

検算。 数で確かめます。 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)、\(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) なら \(\overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} 1.5 \\ 1.5 \end{pmatrix}\)、\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) です。内積は \(-4.5+4.5 = 0\) ✓

検算（等しくないとき）。 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\)、\(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) なら内積は \(\dfrac{1}{2}(9-16) = -3.5 \neq 0\) ✓ 条件が要ることが分かります。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\overrightarrow{OM} = \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}, \qquad \overrightarrow{AB} = \mathbf{b}-\mathbf{a}\]

\[\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a}) = \frac{1}{2}\left(\lvert\mathbf{b}\rvert^{2}-\lvert\mathbf{a}\rvert^{2}\right)\]

If \(\lvert\mathbf{a}\rvert = \lvert\mathbf{b}\rvert\) then this is \(0\), so \(OM\) is perpendicular to \(AB\).

TI-Nspire CX II には dotP( があります。dotP([1,2,3],[4,5,6]) のように使います。

なす角は dotP と norm を組み合わせて、\(\arccos\) に入れます。RAD になっているかを見てください。

答案には、式を書いてください。 式 3 の形を書いてから値を入れます。dotP(...) と書いても点になりません。

Paper 1 では使えません。 このページの例題と演習は、すべて手で解けるようにしてあります。

Why it works

なぜ \(2\) つの式が同じものなのか

\(\mathbf{v}\)、\(\mathbf{w}\) と \(\mathbf{v}-\mathbf{w}\) で三角形をつくります。cosine rule（余弦定理）（SL 3.2）から

\[ \lvert\mathbf{v}-\mathbf{w}\rvert^{2} = \lvert\mathbf{v}\rvert^{2} + \lvert\mathbf{w}\rvert^{2} - 2\lvert\mathbf{v}\rvert\lvert\mathbf{w}\rvert\cos\theta \]

です。左辺を成分で書くと

\[ (v_{1}-w_{1})^{2}+(v_{2}-w_{2})^{2}+(v_{3}-w_{3})^{2} \]

で、展開すると

\[ = \lvert\mathbf{v}\rvert^{2} + \lvert\mathbf{w}\rvert^{2} - 2\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right) \]

です。\(2\) つをくらべると、最後のかっこの中が \(\lvert\mathbf{v}\rvert\lvert\mathbf{w}\rvert\cos\theta\) に等しいと分かります。

式 1 と 式 2 が同じものである理由が、これです。

なぜ、内積が \(0\) で垂直なのか

\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)、\(\mathbf{w} \neq \mathbf{0}\) とすると \(\lvert\mathbf{v}\rvert > 0\)、\(\lvert\mathbf{w}\rvert > 0\) です。ですから 式 2 で

\[ \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = 0 \iff \cos\theta = 0 \]

です。\(0 \leq \theta \leq \pi\) で \(\cos\theta = 0\) になるのは \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) だけなので、垂直と同値です。

片方が \(\mathbf{0}\) だと、\(\theta\) が決まりません。 だから条件に \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\) が要ります。

\(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = \lvert\mathbf{v}\rvert^{2}\) の \(2\)通りの見方

成分で。 式 1 で \(\mathbf{w} = \mathbf{v}\) とすると

\[ v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2} = \lvert\mathbf{v}\rvert^{2} \]

です（HL 3.12）。

角で。 \(\mathbf{v}\) と \(\mathbf{v}\) のなす角は \(0\) なので \(\cos 0 = 1\)、式 2 は \(\lvert\mathbf{v}\rvert\lvert\mathbf{v}\rvert\) です。

どちらでも同じです。この式のおかげで、\(\lvert\ \rvert^{2}\) を内積に、内積を \(\lvert\ \rvert^{2}\) に置きかえられます。図形の証明で何度も使います。

内積は展開できます

\(u \cdot (v+w) = u\cdot v + u\cdot w\) は、成分で書けばすぐに見えます。

\[ u_{1}(v_{1}+w_{1}) + u_{2}(v_{2}+w_{2}) + u_{3}(v_{3}+w_{3}) \]

を並べかえるだけだからです。

交換法則 \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = \mathbf{w}\cdot\mathbf{v}\) も、\(v_{i}w_{i} = w_{i}v_{i}\) から出ます。

ですから、\((\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b})\) のような式は、ふつうの展開と同じように扱えます。 ただし\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\) は数なので、それ以上「割る」ことはできません。ベクトルの割り算はありません。

Common errors

警告答えをベクトルの形で書く

内積の答えは数です（第 1 節）。

成分を縦に並べて書いたら、まちがいです。ベクトルを返す積は、次の項目 AHL 3.16 の外積のほうです。

警告大きさを出すのを忘れて、内積だけで角を出す

\(\cos\theta = \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\) ではありません。\(2\) つの大きさで割ります（式 3）。

割り忘れると、\(\cos\theta\) が \(1\) より大きくなることがあります。\(\lvert\cos\theta\rvert \leq 1\) を確かめてください。

警告三角形の角で、向きをそろえない

\(\angle BAC\) を出すには、\(A\) から出る \(2\) 本、\(\overrightarrow{AB}\) と \(\overrightarrow{AC}\) を使います（第 7 節）。

\(\overrightarrow{BA}\) を使うと、\(\pi\) から引いた角が出ます。符号がちょうど逆になるので、気づきにくいまちがいです。

警告平行の判定に内積を使う

平行はスカラー倍で判定します（HL 3.12）。

式 5 は「平行ならこうなる」という性質で、判定の道具ではありません。

警告\(\lvert\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\rvert\) の絶対値を落とす

平行なとき、内積は \(\pm\lvert\mathbf{v}\rvert\lvert\mathbf{w}\rvert\) です（第 5 節）。

向きが逆なら負になります。絶対値を落とすと、符号を取りちがえます。

警告ベクトルで割ろうとする

\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}\) から \(\mathbf{b} = \mathbf{c}\) とは言えません。

ベクトルの割り算はありません。 \(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c}) = 0\) なので、\(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}-\mathbf{c}\) が垂直だ、としか言えません。

Exercises

1 Let \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) and \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\). Find \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\).

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (3)(-1)+(-2)(4)+(1)(2) = -3-8+2 = -9\]

成分どうしをかけて足すだけです（式 1）。符号をていねいに。

検算。 順番を入れかえても \(-9\) ✓

検算（符号）。 内積が負なので、なす角は鈍角です ✓ \(3\) つの積のうち \(2\) つが負です。

2 Find the angle between \(\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) and \(\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

\[\mathbf{u}\cdot\mathbf{w} = 0+0+1 = 1, \qquad \lvert\mathbf{u}\rvert = \sqrt{2}, \qquad \lvert\mathbf{w}\rvert = \sqrt{2}\]

\[\cos\theta = \frac{1}{2}, \qquad \theta = \frac{\pi}{3}\]

例題 2 と同じ手順です。\(\sqrt{2}\times\sqrt{2} = 2\) のところで、根号が消えます。

検算。 \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) は \(-1\) と \(1\) のあいだ ✓

検算（符号）。 内積が正なので鋭角 ✓ \(\dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{2}\) です。

3 Find the value of \(t\) for which \(\begin{pmatrix} 1 \\ t \\ 3 \end{pmatrix}\) and \(\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) are perpendicular.

\[(1)(2)+(t)(4)+(3)(-2) = 0\]

\[2+4t-6 = 0, \qquad 4t = 4, \qquad t = 1\]

内積 \(= 0\) を立てるだけです（式 4）。大きさは要りません。

検算。 \(t = 1\) で \(2+4-6 = 0\) ✓

検算（角のほう）。 内積が \(0\) なら \(\cos\theta = 0\)、\(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) ✓

4 Show that \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) and \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) are perpendicular.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(2)+(2)(1)+(2)(-2) = 2+2-4 = 0\]

Both vectors are non-zero, so they are perpendicular.

「どちらも \(\mathbf{0}\) でない」と書き添えるところまでが答えです（式 4）。

検算。 \(\lvert\mathbf{a}\rvert = 3\)、\(\lvert\mathbf{b}\rvert = 3\) で、どちらも \(\mathbf{0}\) ではありません ✓

検算（角のほう）。 \(\cos\theta = \dfrac{0}{9} = 0\) なので \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) ✓

5 The vectors \(\mathbf{a}\) and \(\mathbf{b}\) satisfy \(\lvert\mathbf{a}\rvert = 3\), \(\lvert\mathbf{b}\rvert = 5\), and the angle between them is \(\dfrac{\pi}{3}\). Find \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\).

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \lvert\mathbf{a}\rvert\lvert\mathbf{b}\rvert\cos\theta = 3 \times 5 \times \cos\frac{\pi}{3} = 15 \times \frac{1}{2} = \frac{15}{2}\]

成分が分からなくても、式 2 なら出ます。 \(2\) つの式の使い分けです（第 2 節）。

検算。 鋭角なので、内積は正のはずです ✓ \(\dfrac{15}{2} > 0\) です。

検算（大きさ）。 平行なら \(15\) になります。\(\dfrac{15}{2}\) はそれより小さい ✓ \(\lvert\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\rvert \leq \lvert\mathbf{a}\rvert\lvert\mathbf{b}\rvert\) が成り立っています。

6 Let \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Find \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}\) and \(\lvert\mathbf{a}\rvert\), and comment on your answers.

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} = 4+1+4 = 9, \qquad \lvert\mathbf{a}\rvert = \sqrt{9} = 3\]

The scalar product of a vector with itself is the square of its magnitude: \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} = \lvert\mathbf{a}\rvert^{2}\).

式 6 の確かめです。\(9 = 3^{2}\) ✓

根号を付けるかどうかのちがいだけ、という見方もできます。

検算。 角で考えても同じです。\(\theta = 0\) なので \(\cos 0 = 1\)、\(3 \times 3 \times 1 = 9\) ✓

検算（別のベクトルで）。 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) なら内積は \(9\)、大きさは \(3\) ✓

7 The points \(A\), \(B\) and \(C\) have coordinates \((1,\ 0,\ 0)\), \((0,\ 1,\ 0)\) and \((0,\ 0,\ 1)\). Find the angle \(BAC\).

\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 1, \qquad \left\lvert\overrightarrow{AB}\right\rvert = \left\lvert\overrightarrow{AC}\right\rvert = \sqrt{2}\]

\[\cos(\angle BAC) = \frac{1}{2}, \qquad \angle BAC = \frac{\pi}{3}\]

\(A\) から出る \(2\) 本を使います（第 7 節）。\(\overrightarrow{BA}\) を使ってはいけません。

検算。 \(A\)、\(B\)、\(C\) はどれも原点から距離 \(1\) で、たがいの距離も \(\sqrt{2}\) です。正三角形なので、角は \(\dfrac{\pi}{3}\) ✓

検算（別の角）。 同じ理由で \(\angle ABC\) も \(\dfrac{\pi}{3}\) です ✓

8 Show that if \(\lvert\mathbf{a}\rvert = \lvert\mathbf{b}\rvert\) then \(\mathbf{a}+\mathbf{b}\) and \(\mathbf{a}-\mathbf{b}\) are perpendicular.

\[(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b}) = \mathbf{a}\cdot\mathbf{a}-\mathbf{b}\cdot\mathbf{b} = \lvert\mathbf{a}\rvert^{2}-\lvert\mathbf{b}\rvert^{2}\]

If \(\lvert\mathbf{a}\rvert = \lvert\mathbf{b}\rvert\) this is \(0\), so the two vectors are perpendicular (provided neither is the zero vector).

展開すると \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\) と \(\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}\) が消えます（交換法則）。残るのが \(2\) 乗の差です（式 7）。

これは、ひし形の対角線が垂直であることの証明でもあります。\(\mathbf{a}+\mathbf{b}\) と \(\mathbf{a}-\mathbf{b}\) が \(2\) 本の対角線だからです。

検算。 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)、\(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) なら、和は \(\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\)、差は \(\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) で、内積は \(9-9 = 0\) ✓

検算（等しくないとき）。 \(\lvert\mathbf{a}\rvert = 4\)、\(\lvert\mathbf{b}\rvert = 3\) なら \(16-9 = 7 \neq 0\) ✓

試験ではこう書く

Using the distributive and commutative properties of the scalar product,

\[(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b}) = \mathbf{a}\cdot\mathbf{a}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} +\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}-\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}\]

The middle two terms are equal in size and opposite in sign, since \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \mathbf{b}\cdot\mathbf{a}\), so they cancel.

Using \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = \lvert\mathbf{v}\rvert^{2}\) on the remaining terms gives

\[(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b}) = \lvert\mathbf{a}\rvert^{2}-\lvert\mathbf{b}\rvert^{2}\]

If \(\lvert\mathbf{a}\rvert = \lvert\mathbf{b}\rvert\) then this scalar product is zero.

For non-zero vectors a zero scalar product means the vectors are perpendicular, so \(\mathbf{a}+\mathbf{b}\) is perpendicular to \(\mathbf{a}-\mathbf{b}\).

Geometrically this says that the diagonals of a rhombus are perpendicular.

9 Prove that \((\mathbf{u}+\mathbf{w})\cdot(\mathbf{u}-\mathbf{w}) = \lvert\mathbf{u}\rvert^{2}-\lvert\mathbf{w}\rvert^{2}\) for any vectors \(\mathbf{u}\) and \(\mathbf{w}\).

\[(\mathbf{u}+\mathbf{w})\cdot(\mathbf{u}-\mathbf{w}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{u}-\mathbf{u}\cdot\mathbf{w} +\mathbf{w}\cdot\mathbf{u}-\mathbf{w}\cdot\mathbf{w}\]

Since \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w} = \mathbf{w}\cdot\mathbf{u}\), the middle terms cancel, and \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = \lvert\mathbf{v}\rvert^{2}\) gives

\[= \lvert\mathbf{u}\rvert^{2}-\lvert\mathbf{w}\rvert^{2}\]

使う性質を、名前で書くところが大事です。分配法則・交換法則・\(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = \lvert\mathbf{v}\rvert^{2}\) の \(3\) つです（第 6 節）。

検算。 \(\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)、\(\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) なら、左辺は \(\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} = 9-16 = -7\)、右辺は \(9-16 = -7\) ✓

検算（成分で）。 \(2\) 次元で文字のまま計算しても、\(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-w_{1}^{2}-w_{2}^{2}\) になります ✓

試験ではこう書く

The scalar product distributes over addition, so the product can be expanded exactly like an ordinary product of brackets:

\[(\mathbf{u}+\mathbf{w})\cdot(\mathbf{u}-\mathbf{w}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{u}-\mathbf{u}\cdot\mathbf{w} +\mathbf{w}\cdot\mathbf{u}-\mathbf{w}\cdot\mathbf{w}\]

The scalar product is commutative, so \(\mathbf{w}\cdot\mathbf{u} = \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}\) and the two middle terms cancel exactly.

For any vector \(\mathbf{v}\) the scalar product with itself is \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = \lvert\mathbf{v}\rvert\lvert\mathbf{v}\rvert\cos 0 = \lvert\mathbf{v}\rvert^{2}\).

Applying this to the first and last terms gives \((\mathbf{u}+\mathbf{w})\cdot(\mathbf{u}-\mathbf{w}) = \lvert\mathbf{u}\rvert^{2}-\lvert\mathbf{w}\rvert^{2}\), which holds for any two vectors \(\mathbf{u}\) and \(\mathbf{w}\).

10 A student says: “For parallel vectors \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \lvert\mathbf{a}\rvert\lvert\mathbf{b}\rvert\), so for \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) and \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) we get \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2\).” Explain the error.

The guidance says \(\lvert\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\rvert = \lvert\mathbf{a}\rvert\lvert\mathbf{b}\rvert\) for parallel vectors: the modulus signs on the left matter.

Here the vectors point in opposite directions, so the angle between them is \(\pi\) and \(\cos\pi = -1\):

\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(-2)+0+0 = -2\]

The size is \(2\), as the rule says, but the scalar product itself is \(-2\).

絶対値を落としたのが、まちがいのもとです（第 5 節）。平行には「同じ向き」と「逆向き」の \(2\) 通りがあります。

\(\cos\theta = \pm 1\) なので、内積は \(\pm\lvert\mathbf{a}\rvert\lvert\mathbf{b}\rvert\) です。

検算。 成分で計算すると \(-2\) ✓ 生徒の答えと符号が逆です。

検算（角のほう）。 \(\lvert\mathbf{a}\rvert = 1\)、\(\lvert\mathbf{b}\rvert = 2\)、\(\theta = \pi\) なので \(1 \times 2 \times (-1) = -2\) ✓

試験ではこう書く

The statement in the guidance is \(\lvert\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\rvert = \lvert\mathbf{a}\rvert\lvert\mathbf{b}\rvert\) for parallel vectors, with modulus signs around the scalar product on the left-hand side.

Dropping them changes the claim, because parallel vectors can point either the same way or opposite ways.

Here \(\mathbf{b} = -2\mathbf{a}\), so the vectors are parallel but point in opposite directions and the angle between them is \(\pi\), giving \(\cos\pi = -1\).

Then \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \lvert\mathbf{a}\rvert\lvert\mathbf{b}\rvert\cos\pi = (1)(2)(-1) = -2\), and computing from components confirms it: \((1)(-2)+(0)(0)+(0)(0) = -2\).

The size of the scalar product is indeed \(2 = \lvert\mathbf{a}\rvert\lvert\mathbf{b}\rvert\), which is what the rule asserts, but the scalar product itself is \(-2\), not \(2\).