HL 5.18a — Euler’s method and separation of variables（Euler 法と変数分離）
- first order differential equation（\(1\) 階微分方程式）の解が何かを言える。
- slope field（傾きの場）を読める。
- Euler 法の式を使って、数値解を求められる。
- 計算を表にして進められる。
- variables separable（変数分離）で解ける。
- 初期条件からparticular solution（特殊解）を求められる。
- logistic equation（ロジスティック方程式）を、partial fractions（部分分数）を使って解ける（HL 1.11）。
The idea
1. First order differential equations（\(1\) 階微分方程式）
\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) を含む方程式を、differential equation（微分方程式）といいます。\(1\) 階というのは、\(2\) 階以上の derivative（導関数）が出てこないという意味です。
解は、数ではなく関数です。\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2x\) の解は \(y = x^{2}+C\) で、\(C\) の数だけ解があります。
- general solution（一般解）… \(C\) を含む形。
- particular solution（特殊解）… 初期条件で \(C\) を決めた形。
2. Slope fields（傾きの場）
\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x,\ y)\) では、傾きが \(x\) と \(y\) の関数で表されています。つまり、平面の各点で傾きが \(1\) つ決まります。
格子状にとった点ごとに \((x,\ y)\) を \(f(x,\ y)\) に入れて傾きを計算し、その傾きの短い線分をかいたものが slope field（傾きの場）です。解の曲線は、その線分の向きに沿って進みます。
3. Euler’s method（Euler 法）
積分して \(y\) を式で求めるのではなく、傾きをたどって \(y\) の値を近似する方法が Euler’s method（Euler 法）です。
公式集の 5.18 の欄にあります。
\[ y_{n+1} = y_{n}+h \times f(x_{n},\ y_{n}), \qquad x_{n+1} = x_{n}+h \tag{1}\]
\(h\) は一定の値で、step length（刻み幅）といいます。
いまいる点の傾きで、まっすぐ \(h\) だけ進むという方法です。傾きは進むあいだに変わるので、誤差が出ます（Why it works）。
4. Working in a table（表で計算する）
手で計算するときは、表にすると落としにくくなります。
| \(n\) | \(x_{n}\) | \(y_{n}\) | \(f(x_{n},\ y_{n})\) | \(h\,f\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(x_{0}\) | \(y_{0}\) | 計算する | 計算する |
| \(1\) | \(x_{0}+h\) | \(y_{0}+hf\) | 計算する | 計算する |
\(f\) の欄には、\(x_{n}\) と \(y_{n}\) の両方を入れます。 \(y\) を入れ忘れるのが、いちばん多いまちがいです。
例題 1 Use Euler’s method with step length \(h = 0.1\) to estimate \(y\) at \(x = 0.3\) for \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x+y\) with \(y = 1\) when \(x = 0\).
日本語訳
\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x+y\)、\(x = 0\) のとき \(y = 1\) について、刻み幅 \(h = 0.1\) の Euler 法で \(x = 0.3\) における \(y\) を見積もりなさい。
式 1 を \(3\) 回使います。表にします（表 1）。\(f(x,\ y) = x+y\)、\(h = 0.1\) です。
| \(n\) | \(x_{n}\) | \(y_{n}\) | \(f(x_{n},\ y_{n}) = x_{n}+y_{n}\) | \(y_{n+1} = y_{n}+0.1\,f\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1.1\) |
| \(1\) | \(0.1\) | \(1.1\) | \(1.2\) | \(1.22\) |
| \(2\) | \(0.2\) | \(1.22\) | \(1.42\) | \(1.362\) |
| \(3\) | \(0.3\) | \(1.362\) |
\(x = 0.3\) のとき \(y \approx 1.362\) です。
検算。 \(y\) は増え続けています。 \(f = x+y > 0\) なので、増加で正しい ✓
検算（刻みの数）。 \(\dfrac{0.3-0}{0.1} = 3\) 歩 ✓ ちょうど \(3\) 回使いました。
| \(n\) | \(x_{n}\) | \(y_{n}\) | \(x_{n}+y_{n}\) | \(y_{n}+0.1(x_{n}+y_{n})\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1.1\) |
| \(1\) | \(0.1\) | \(1.1\) | \(1.2\) | \(1.22\) |
| \(2\) | \(0.2\) | \(1.22\) | \(1.42\) | \(1.362\) |
| \(3\) | \(0.3\) | \(1.362\) |
So \(y \approx 1.362\) when \(x = 0.3\).
5. Separation of variables（変数分離）
separation of variables（変数分離）は、\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) が「\(x\) だけの式」\(\times\)「\(y\) だけの式」に分かれるときに使える方法です。\(y\) を左辺に、\(x\) を右辺に分けてから、両辺を積分します。
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x)\,h(y) \quad \Longrightarrow \quad \int \frac{1}{h(y)}\,\mathrm{d}y = \int g(x)\,\mathrm{d}x \tag{2}\]
手順は \(4\) つです。
- \(y\) のものを左、\(x\) のものを右に分ける。
- 両辺を積分する。
- \(C\) を片側だけに書く。
- できれば \(y\) について解く。
6. The particular solution（初期条件で \(C\) を決める）
初期条件（\(x = 0\) のとき \(y = 2\) など）が与えられたら、積分したすぐあとに代入して \(C\) を求めます。
\(y\) について解いてから代入すると、計算が重くなります。 先に \(C\) を決めるほうが速いです。
例題 2 Solve \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = xy\) given that \(y = 2\) when \(x = 0\).
日本語訳
\(x = 0\) のとき \(y = 2\) という条件のもとで \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = xy\) を解きなさい。
分けます（式 2）。
\[ \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = x\,\mathrm{d}x \]
両辺を積分します。
\[ \ln\lvert y \rvert = \frac{x^{2}}{2}+C \]
ここで初期条件を入れます（第 6 節）。\(x = 0\)、\(y = 2\) で
\[ \ln 2 = 0+C, \qquad C = \ln 2 \]
\[ \ln\lvert y \rvert = \frac{x^{2}}{2}+\ln 2, \qquad y = 2e^{x^{2}/2} \]
検算。 微分してもどします。 \(y' = 2e^{x^{2}/2}\times x = xy\) ✓
検算（初期条件）。 \(x = 0\) で \(y = 2e^{0} = 2\) ✓
\[\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = \int x\,\mathrm{d}x, \qquad \ln\lvert y \rvert = \frac{x^{2}}{2}+C\]
When \(x = 0\), \(y = 2\): \(\ \ln 2 = C\).
\[y = 2e^{x^{2}/2}\]
例題 3 Solve \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2xy^{2}\) given that \(y = 1\) when \(x = 0\).
日本語訳
\(x = 0\) のとき \(y = 1\) という条件のもとで \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2xy^{2}\) を解きなさい。
\[ \frac{1}{y^{2}}\,\mathrm{d}y = 2x\,\mathrm{d}x \]
\[ -\frac{1}{y} = x^{2}+C \]
\(x = 0\)、\(y = 1\) を入れると \(-1 = C\) です。
\[ -\frac{1}{y} = x^{2}-1, \qquad y = \frac{1}{1-x^{2}} \]
検算。 微分してもどします。 \(y' = \dfrac{2x}{\left(1-x^{2}\right)^{2}} = 2xy^{2}\) ✓
検算（初期条件）。 \(x = 0\) で \(y = 1\) ✓
\[\int y^{-2}\,\mathrm{d}y = \int 2x\,\mathrm{d}x, \qquad -\frac{1}{y} = x^{2}+C\]
When \(x = 0\), \(y = 1\): \(\ -1 = C\).
\[y = \frac{1}{1-x^{2}}\]
7. The logistic equation（ロジスティック方程式）
変数分離で解く微分方程式のうち、試験によく出る例が logistic equation（ロジスティック方程式）です。部分分数（HL 1.11、HL 5.15）を使って解きます。
\[ \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}t} = kn(a-n) \tag{3}\]
分離すると、左辺に \(\dfrac{1}{n(a-n)}\) が出ます。そのままでは積分できないので、部分分数に直します（HL 5.15）。
\[ \frac{1}{n(a-n)} = \frac{1}{a}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{a-n}\right) \tag{4}\]
\(n\) が小さいうちは \(a-n\) がほぼ \(a\) なので、ほぼ指数増加です。\(n\) が \(a\) に近づくと \(a-n\) が小さくなり、増え方が止まります。
例題 4 A population \(N\) satisfies \(\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = 0.1N(100-N)\), with \(N = 10\) when \(t = 0\). Find \(N\) in terms of \(t\).
日本語訳
ある個体数 \(N\) が \(\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = 0.1N(100-N)\) を満たし、\(t = 0\) のとき \(N = 10\) です。\(N\) を \(t\) の式で表しなさい。
分けます。
\[ \frac{1}{N(100-N)}\,\mathrm{d}N = 0.1\,\mathrm{d}t \]
左辺を部分分数に直します（式 4、\(a = 100\)）。
\[ \frac{1}{N(100-N)} = \frac{1}{100}\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{100-N}\right) \]
積分します。
\[ \frac{1}{100}\left(\ln N-\ln(100-N)\right) = 0.1t+C \]
\[ \ln\left(\frac{N}{100-N}\right) = 10t+C' \]
\(t = 0\)、\(N = 10\) を入れると \(\ln\dfrac{10}{90} = C'\)、つまり \(C' = \ln\dfrac{1}{9}\) です。
\[ \frac{N}{100-N} = \frac{1}{9}e^{10t}, \qquad N = \frac{100}{1+9e^{-10t}} \]
検算（\(t = 0\)）。 \(N = \dfrac{100}{1+9} = 10\) ✓
検算（\(t \to \infty\)）。 \(e^{-10t} \to 0\) なので \(N \to 100\) ✓ 上限に近づきます。
\[\frac{1}{N(100-N)} = \frac{1}{100}\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{100-N}\right)\]
\[\frac{1}{100}\ln\left(\frac{N}{100-N}\right) = 0.1t+C\]
When \(t = 0\), \(N = 10\): \(\ C = \dfrac{1}{100}\ln\dfrac{1}{9}\).
\[N = \frac{100}{1+9e^{-10t}}\]
試験ではこう書く
The equation is separable, so divide by \(N(100-N)\) and multiply by \(\mathrm{d}t\):
\[\int \frac{1}{N(100-N)}\,\mathrm{d}N = \int 0.1\,\mathrm{d}t\]
The left integrand is rewritten in partial fractions.
Writing \(\dfrac{1}{N(100-N)} = \dfrac{A}{N}+\dfrac{B}{100-N}\) and clearing denominators gives \(1 = A(100-N)+BN\); putting \(N = 0\) gives \(A = \dfrac{1}{100}\) and putting \(N = 100\) gives \(B = \dfrac{1}{100}\).
Hence
\[\frac{1}{100}\int\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{100-N}\right)\mathrm{d}N = \int 0.1\,\mathrm{d}t\]
Integrating, and noting that the second term gives \(-\ln(100-N)\) because of the inner derivative \(-1\),
\[\frac{1}{100}\left(\ln N-\ln(100-N)\right) = 0.1t+C\]
Multiplying by \(100\) and combining the logarithms, \(\ln\left(\dfrac{N}{100-N}\right) = 10t+C'\).
The initial condition \(N = 10\) at \(t = 0\) gives \(C' = \ln\dfrac{10}{90} = \ln\dfrac{1}{9}\).
Taking exponentials, \(\dfrac{N}{100-N} = \dfrac{1}{9}e^{10t}\), and solving for \(N\) gives
\[N = \frac{100}{1+9e^{-10t}}\]
Both checks hold: \(N = 10\) at \(t = 0\), and \(N \to 100\) as \(t \to \infty\), which is the ceiling predicted by the factor \(100-N\).
TI-Nspire CX II には deSolve( があります。deSolve(y'=x*y and y(0)=2, x, y) のように、初期条件も一緒に入れられます。
Euler 法は、Lists & Spreadsheet で列に順に計算するのが速いです。\(1\) 行目に \(x_{0}\)、\(y_{0}\) を入れ、\(2\) 行目に 式 1 の式を入れて下へコピーします。
答案には、式を書いてください。 Euler 法なら表、変数分離なら分けた行と積分した行を見せます。
Paper 1 では使えません。 このページの例題と演習は、すべて手で解けるようにしてあります。
Why it works
なぜ Euler 法に誤差が出るのか
式 1 は、tangent（接線）で近似しています。
\[ y(x+h) \approx y(x)+h\,y'(x) \]
本当の解は曲がっているので、まっすぐ進むとずれます。しかも次の一歩は、ずれた点から始まります。誤差はたまっていきます（図 1）。
\(h\) を小さくすると \(1\) 歩あたりの誤差は小さくなりますが、歩数が増えます。ふつうは、それでも全体の誤差は小さくなります。
なぜ、変数分離ができるのか
\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x)h(y)\) の両辺を \(h(y)\) で割ります。
\[ \frac{1}{h(y)}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x) \]
両辺を \(x\) で積分すると、左辺は integration by substitution（置換積分）の形です（SL 5.10）。
\[ \int \frac{1}{h(y)}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{h(y)}\,\mathrm{d}y \]
ですから 式 2 が成り立ちます。\(\mathrm{d}y\) と \(\mathrm{d}x\) を分数のように動かしてよいのは、この置換積分のおかげです。
なぜ、\(C\) は片側だけでよいのか
両辺に \(C_{1}\)、\(C_{2}\) と付けても、移項すれば \(C_{2}-C_{1}\) という \(1\) つの定数にまとまります。
\(2\) つ書く意味がありません。 ふつうは右辺に \(1\) つだけ書きます。
\(\ln\) が出るときは、\(C\) を \(\ln A\) と置きなおすと式がきれいになることがあります。どちらでも正解です。
なぜ、ロジスティック曲線は S 字になるのか
式 3 の右辺は、\(n\) の \(2\) 次式です。\(n = 0\) と \(n = a\) で \(0\)、\(n = \dfrac{a}{2}\) で最大になります。
つまり増え方が最大になるのは、上限のちょうど半分のときです。そこが S 字の point of inflexion（変曲点）です（図 3）。
\(n\) が小さいときは \(\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}t} \approx kan\) で指数増加、\(n \to a\) では \(\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}t} \to 0\) で頭打ちです。
Common errors
\(y_{n+1} = y_{n}+h\,f\) です。\(f\) をそのまま足してはいけません。
「傾き \(\times\) 進んだ量」が、\(y\) の増分です。
\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x+y\) は分けられません。和の形だからです（第 5 節）。
分けられるのは積の形のときだけです。分けられないものは、AHL 5.18b の方法で解きます。
積分したその行で \(C\) を書きます。あとから足すと、\(\ln\) の中や指数の肩に入れそこねます。
\(\ln\lvert y \rvert = x+C\) から \(y = e^{x+C} = Ae^{x}\) です。\(y = e^{x}+C\) ではありません。
\(\displaystyle\int \frac{1}{a-n}\,\mathrm{d}n = -\ln\lvert a-n \rvert+C\) です。
中身の微分が \(-1\) なので、マイナスが付きます。ここを落とすと、答えの形がまったく変わります。
Exercises
1 Use Euler’s method with \(h = 0.2\) to estimate \(y\) at \(x = 0.4\) for \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x+y\) with \(y = 1\) when \(x = 0\).
日本語訳
\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x+y\)、\(x = 0\) のとき \(y = 1\) について、\(h = 0.2\) の Euler 法で \(x = 0.4\) における \(y\) を見積もりなさい。
\[y_{1} = 1+0.2(0+1) = 1.2\]
\[y_{2} = 1.2+0.2(0.2+1.2) = 1.2+0.28 = 1.48\]
So \(y \approx 1.48\) when \(x = 0.4\).
\(2\) 歩で着きます。\(h\) が大きいぶん、誤差も大きくなります。
検算（歩数）。 \(\dfrac{0.4}{0.2} = 2\) ✓
検算（\(h\) を小さくすると）。 例題 \(1\) の \(h = 0.1\) では \(x = 0.3\) で \(1.362\) ✓ こまかく刻むほど本当の解に近づきます。
2 Use Euler’s method with \(h = 0.1\) to estimate \(y\) at \(x = 0.2\) for \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y-x\) with \(y = 2\) when \(x = 0\).
日本語訳
\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y-x\)、\(x = 0\) のとき \(y = 2\) について、\(h = 0.1\) の Euler 法で \(x = 0.2\) における \(y\) を見積もりなさい。
\[y_{1} = 2+0.1(2-0) = 2.2\]
\[y_{2} = 2.2+0.1(2.2-0.1) = 2.2+0.21 = 2.41\]
So \(y \approx 2.41\) when \(x = 0.2\).
\(f = y-x\) なので、引く順番に気をつけてください。
検算（増加）。 \(y > x\) のあいだは \(f > 0\) で増加 ✓
検算（\(2\) 歩目の \(x\)）。 \(x_{1} = 0.1\) を使いました ✓ \(x_{0} = 0\) ではありません。
3 Solve \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2}y\) given that \(y = 1\) when \(x = 0\).
日本語訳
\(x = 0\) のとき \(y = 1\) という条件のもとで \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2}y\) を解きなさい。
\[\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = \int 3x^{2}\,\mathrm{d}x, \qquad \ln\lvert y \rvert = x^{3}+C\]
When \(x = 0\), \(y = 1\): \(\ C = 0\).
\[y = e^{x^{3}}\]
\(\ln 1 = 0\) なので \(C = 0\) です。きれいな形になります。
検算。 微分すると \(e^{x^{3}}\times 3x^{2} = 3x^{2}y\) ✓
検算（初期条件）。 \(x = 0\) で \(e^{0} = 1\) ✓
4 Solve \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{y}{x}\) for \(x > 0\), given that \(y = 2\) when \(x = 1\).
日本語訳
\(x > 0\) で、\(x = 1\) のとき \(y = 2\) という条件のもとで \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{y}{x}\) を解きなさい。
\[\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x, \qquad \ln\lvert y \rvert = \ln x+C\]
When \(x = 1\), \(y = 2\): \(\ C = \ln 2\).
\[y = 2x\]
\(\ln y = \ln x+\ln 2 = \ln 2x\) なので \(y = 2x\) です。対数の法則でまとめると早いです。
検算。 \(y' = 2\)、\(\dfrac{y}{x} = \dfrac{2x}{x} = 2\) ✓
検算（初期条件）。 \(x = 1\) で \(y = 2\) ✓
5 Solve \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 1+y^{2}\) given that \(y = 0\) when \(x = 0\).
日本語訳
\(x = 0\) のとき \(y = 0\) という条件のもとで \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 1+y^{2}\) を解きなさい。
\[\int \frac{1}{1+y^{2}}\,\mathrm{d}y = \int 1\,\mathrm{d}x, \qquad \arctan y = x+C\]
When \(x = 0\), \(y = 0\): \(\ C = 0\).
\[y = \tan x\]
左辺の積分が \(\arctan\) です（HL 5.15）。右辺は \(x\) だけなので \(x+C\) です。
検算。 \(y' = \sec^{2}x = 1+\tan^{2}x = 1+y^{2}\) ✓
検算（範囲）。 \(\tan x\) は \(x = \dfrac{\pi}{2}\) で定義されません ✓ 解が使えるのは \(-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}\) です。
6 Solve \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = e^{x-y}\) given that \(y = 0\) when \(x = 0\).
日本語訳
\(x = 0\) のとき \(y = 0\) という条件のもとで \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = e^{x-y}\) を解きなさい。
\[e^{x-y} = \frac{e^{x}}{e^{y}}, \qquad \int e^{y}\,\mathrm{d}y = \int e^{x}\,\mathrm{d}x\]
\[e^{y} = e^{x}+C\]
When \(x = 0\), \(y = 0\): \(\ 1 = 1+C\), so \(C = 0\) and \(y = x\).
指数法則で分けます。 \(e^{x-y} = e^{x}e^{-y}\) なので、\(x\) の部分と \(y\) の部分に分かれます。
検算。 \(y = x\) なら \(y' = 1\)、\(e^{x-y} = e^{0} = 1\) ✓
検算（初期条件）。 \(x = 0\) で \(y = 0\) ✓
7 Find the general solution of \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{x}{y}\).
日本語訳
\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{x}{y}\) の一般解を求めなさい。
\[\int y\,\mathrm{d}y = \int x\,\mathrm{d}x, \qquad \frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2}+C\]
\[y^{2} = x^{2}+A \qquad (A = 2C)\]
初期条件がないので、\(C\) が残ります。 これが一般解です（第 1 節）。
\(2\) をかけて \(A = 2C\) と置きなおすと、式がきれいになります。定数の置きなおしは自由です。
検算。 両辺を \(x\) で微分すると \(2y\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2x\) ✓
検算（図形）。 \(A > 0\) なら双曲線、\(A = 0\) なら \(y = \pm x\) ✓ 曲線の族です。
8 Solve \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y(1-y)\) given that \(y = \dfrac{1}{2}\) when \(x = 0\).
日本語訳
\(x = 0\) のとき \(y = \dfrac{1}{2}\) という条件のもとで \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y(1-y)\) を解きなさい。
\[\frac{1}{y(1-y)} = \frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\]
\[\ln y-\ln(1-y) = x+C, \qquad \ln\left(\frac{y}{1-y}\right) = x+C\]
When \(x = 0\), \(y = \dfrac{1}{2}\): \(\ \ln 1 = C\), so \(C = 0\).
\[\frac{y}{1-y} = e^{x}, \qquad y = \frac{1}{1+e^{-x}}\]
\(a = 1\)、\(k = 1\) のロジスティック方程式です（式 3）。部分分数が要ります。
\(\dfrac{y}{1-y} = e^{x}\) から \(y\) を解くときは、両辺に \(1-y\) をかけて整理します。
検算（\(x = 0\)）。 \(y = \dfrac{1}{2}\) ✓
検算（\(x \to \infty\)）。 \(y \to 1\) ✓ 上限 \(a = 1\) に近づきます。
試験ではこう書く
The equation is separable with \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y(1-y)\), so
\[\int \frac{1}{y(1-y)}\,\mathrm{d}y = \int 1\,\mathrm{d}x\]
The integrand on the left is rewritten in partial fractions.
Writing \(\dfrac{1}{y(1-y)} = \dfrac{A}{y}+\dfrac{B}{1-y}\) gives \(1 = A(1-y)+By\); putting \(y = 0\) gives \(A = 1\) and putting \(y = 1\) gives \(B = 1\).
Hence
\[\int\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right)\mathrm{d}y = \int 1\,\mathrm{d}x\]
Integrating, and remembering that the inner derivative of \(1-y\) is \(-1\),
\[\ln\lvert y \rvert-\ln\lvert 1-y \rvert = x+C, \qquad \ln\left(\frac{y}{1-y}\right) = x+C\]
The initial condition \(y = \dfrac{1}{2}\) at \(x = 0\) gives \(\ln 1 = C\), so \(C = 0\).
Taking exponentials, \(\dfrac{y}{1-y} = e^{x}\).
Multiplying up gives \(y = e^{x}-ye^{x}\), so \(y\left(1+e^{x}\right) = e^{x}\) and
\[y = \frac{e^{x}}{1+e^{x}} = \frac{1}{1+e^{-x}}\]
As \(x \to \infty\) this tends to \(1\), the value that makes the factor \(1-y\) vanish, which is the ceiling of the logistic model.
9 Explain why Euler’s method gives only an approximation, and describe what happens to the estimate as the step length is reduced.
日本語訳
Euler 法が近似しか与えない理由を説明し、刻み幅を小さくしたときに見積もりがどうなるかを述べなさい。
Each step replaces the curve by its tangent at the starting point of that step. The gradient changes along the step, so the estimate leaves the true solution.
Every later step starts from a point that is already wrong, so the errors accumulate.
Reducing \(h\) makes each step shorter, so the tangent is a better approximation over that step, and the estimate generally becomes closer to the true value, at the cost of more steps.
接線で近似していることが、誤差のもとです（Why it works）。
図 1 では、Euler の折れ線が本当の解より下にずれています。曲線が上に凸だからです。
検算（例題 \(1\) と演習 \(1\)）。 \(h\) を \(0.2\) から \(0.1\) にすると、真の値に近づきます ✓
検算（歩数）。 \(h\) を半分にすると歩数は \(2\) 倍 ✓ 手計算の手間は増えます。
試験ではこう書く
Euler’s method uses the formula \(y_{n+1} = y_{n}+h\,f(x_{n},\ y_{n})\), which is the equation of the tangent to the solution curve at the point \((x_{n},\ y_{n})\), evaluated a distance \(h\) further along.
The true solution is generally curved, so over the whole step the gradient is not constant, and the straight-line step ends at a point slightly off the true curve.
The error is not merely repeated but compounded: the next step starts from the point just reached, which is already inaccurate, and computes its gradient there rather than on the true solution.
Successive steps therefore drift further from the exact curve, which is why the gap in the diagram widens from left to right.
Reducing the step length \(h\) shortens each straight segment, over which the tangent is a better model of the curve, so each individual error is smaller.
In general the estimate converges towards the true value as \(h\) decreases.
The cost is that reaching the same final value of \(x\) requires more steps: halving \(h\) doubles the number of calculations.
10 A student tries to solve \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x+y\) by writing \(\displaystyle\int 1\,\mathrm{d}y = \int (x+y)\,\mathrm{d}x\). Identify the error and state what method should be used instead.
日本語訳
ある生徒が \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x+y\) を \(\displaystyle\int 1\,\mathrm{d}y = \int (x+y)\,\mathrm{d}x\) と書いて解こうとしました。まちがいを指摘し、代わりに使うべき方法を述べなさい。
Separation of variables requires the right-hand side to be a product of a function of \(x\) and a function of \(y\). Here it is a sum, so the variables cannot be separated.
The right-hand integral still contains \(y\), which is an unknown function of \(x\), so it cannot be evaluated.
This equation is linear and is solved with an integrating factor.
和は分けられません（第 5 節）。分けられるのは積の形だけです。
\(\displaystyle\int y\,\mathrm{d}x\) は、\(y\) が分からないので計算できません。式が進みません。
検算（積の形なら）。 \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = xy\) は分けられます ✓ 例題 \(2\) がそれです。
検算（この式の解法）。 \(y'-y = x\) と書けます ✓ AHL 5.18b の積分因子で解きます。
試験ではこう書く
Separation of variables applies to equations of the form \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x)h(y)\), where the right-hand side factorises into a part depending only on \(x\) and a part depending only on \(y\).
Only then can all the \(y\) terms be collected on one side and all the \(x\) terms on the other.
Here the right-hand side is \(x+y\), a sum rather than a product.
There is no way to write it as \(g(x)h(y)\), so the variables cannot be separated.
The student’s line leaves a \(y\) inside the integral \(\displaystyle\int (x+y)\,\mathrm{d}x\), and since \(y\) is the unknown function of \(x\) that is being sought, this integral cannot be evaluated.
The method stops before it starts.
The equation can, however, be written as \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y = x\), which has the form \(y'+P(x)y = Q(x)\) with \(P(x) = -1\) and \(Q(x) = x\).
This is a linear first order equation and is solved using an integrating factor.
A numerical estimate is also available: Euler’s method works whatever the form of \(f(x,\ y)\), which is exactly why it is useful for equations that cannot be separated.