HL 5.15 — Further derivatives and their integrals（さらに進んだ導関数と、その不定積分）

ノートWhat you should be able to do
  • \(\tan x\)、\(\sec x\)、\(\operatorname{cosec} x\)、\(\cot x\) の derivative（導関数）を使える。
  • \(a^{x}\)、\(\log_{a}x\) の導関数を使える。
  • \(\arcsin x\)、\(\arccos x\)、\(\arctan x\) の導関数を使える。
  • それらを逆に読んで、indefinite integral（不定積分）に使える。
  • \(ax+b\) との合成の形を積分できる。
  • partial fractions（部分分数）に直してから積分できる（HL 1.11）。

The idea

1. The new standard derivatives（新しい標準的な導関数）

\(\tan x\)、\(\sec x\)、\(\operatorname{cosec} x\)、\(\cot x\)、\(a^{x}\)、\(\log_{a} x\)、\(\arcsin x\)、\(\arccos x\)、\(\arctan x\) の導関数を扱います。

公式集の 5.15 の欄に、まとめて印刷されています。

表 1: 公式集 5.15 の標準的な導関数
\(f(x)\) \(f'(x)\)
\(\tan x\) \(\sec^{2}x\)
\(\sec x\) \(\sec x\tan x\)
\(\operatorname{cosec} x\) \(-\operatorname{cosec} x\cot x\)
\(\cot x\) \(-\operatorname{cosec}^{2}x\)
\(a^{x}\) \(a^{x}(\ln a)\)
\(\log_{a}x\) \(\dfrac{1}{x\ln a}\)
\(\arcsin x\) \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
\(\arccos x\) \(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
\(\arctan x\) \(\dfrac{1}{1+x^{2}}\)

覚えるのではなく、使えるようにしておきます。 頭に co が付く \(3\) つ（\(\cos\)、\(\operatorname{cosec}\)、\(\cot\)、それに \(\arccos\)）は、導関数にマイナスが付きます。

例題 1 Differentiate each of the following.

(a) \(y = \tan 3x\)

(b) \(y = x\sec x\)

(c) \(y = \arctan 2x\)

(a) 連鎖律です。外は \(\tan\)、中は \(3x\) です。

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3\sec^{2}3x \]

(b) 積の微分公式です（SL 5.6）。

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \sec x+x\sec x\tan x \]

(c) 外は \(\arctan\)、中は \(2x\) です。

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{1+(2x)^{2}}\times 2 = \frac{2}{1+4x^{2}} \]

検算（(a)）。 \(x = 0\) で \(3\sec^{2}0 = 3\) ✓ \(\tan 3x\) は原点で傾き \(3\) です。

検算（(c)）。 \(x = 0\) で \(2\) ✓ \(\arctan 2x\) も原点で傾き \(2\) です。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3\sec^{2}3x\)

(b) \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \sec x+x\sec x\tan x\)

(c) \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{2}{1+4x^{2}}\)

2. Where the \(\tan\) family comes from（\(\tan\) の仲間はどこから出るか）

\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) に商の微分公式を使います（SL 5.6）。

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x = \frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x} = \sec^{2}x \tag{1}\]

\(\sec x = (\cos x)^{-1}\) も、chain rule（連鎖律）で出ます。どれも新しい原理ではありません（Why it works）。

3. \(a^{x}\) and \(\log_{a}x\)（底が \(e\) でないとき）

\(a^{x}\) は \(e\) の形に直します。\(a = e^{\ln a}\) なので

\[ a^{x} = e^{x\ln a}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^{x} = a^{x}\ln a \tag{2}\]

\(\log_{a}x\) は底の変換で \(\dfrac{\ln x}{\ln a}\) です（SL 1.7b）。\(\ln a\) は定数なので

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{a}x = \frac{1}{x\ln a} \tag{3}\]

\(a = e\) のとき \(\ln a = 1\) になり、SL で習った形にもどります。

例題 2 Differentiate \(y = 3^{x}\) and \(y = \log_{2}x\).

式 2 と 式 3 に当てはめます。

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}3^{x} = 3^{x}\ln 3, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{2}x = \frac{1}{x\ln 2} \]

検算（\(e\) にもどす）。 \(a = e\) なら \(\ln e = 1\) で、\(e^{x}\) と \(\dfrac{1}{x}\) ✓ 見慣れた形です。

検算（符号）。 \(\ln 3 > 0\)、\(\ln 2 > 0\) なので、どちらの導関数も正 ✓ グラフはどちらも増加です。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}3^{x} = 3^{x}\ln 3\]

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{2}x = \frac{1}{x\ln 2}\]

4. The inverse trigonometric derivatives（逆三角関数の導関数）

\(y = \arcsin x\) は \(\sin y = x\) という意味です（HL 3.9）。両辺を \(x\) で微分します（HL 5.14）。

\[ \cos y\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 1, \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\cos y} \]

図 1: 三角形から \(\cos y\) が読めます。

三角形から \(\cos y = \sqrt{1-x^{2}}\) なので、表 1 の形になります。

\(\arccos\) は符号が逆、\(\arctan\) は \(\sqrt{\ }\) が付きません。\(\arctan\) の導関数は、どの \(x\) でも定義されます。

5. Reading them backwards（逆に読む：不定積分）

不定積分は、\(+C\) の分だけ上下にずれた曲線の族を表します。

表 1 を右から左に読めば、そのまま不定積分です。公式集の 5.15 には、次の \(3\) つも印刷されています。

\[ \int a^{x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\ln a}a^{x}+C \tag{4}\]

\[ \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C \tag{5}\]

\[ \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\,\mathrm{d}x = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+C, \qquad \lvert x \rvert < a \tag{6}\]

図 2: \(C\) がちがうだけで、傾きは同じです。

\(+C\) を忘れないこと。 \(C\) がちがう曲線は上下にずれているだけで、どこでも傾きが同じです。

6. Composites with \(ax+b\)（\(ax+b\) との合成関数）

\(ax+b\) との合成関数の積分なら、\(\dfrac{1}{a}\) をかけるだけです（SL 5.10）。

たとえば、次のようになります。

\[ \int \sec^{2}(2x+5)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\tan(2x+5)+C \]

\[ \int \frac{1}{x^{2}+2x+5}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right)+C \]

こちらは平方完成が先です。\(x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2}+4\) と直してから 式 5 を使います。

例題 3 Find each of the following integrals.

(a) \(\displaystyle\int \sec^{2}(2x+5)\,\mathrm{d}x\)

(b) \(\displaystyle\int \frac{1}{x^{2}+2x+5}\,\mathrm{d}x\)

(a) \(\sec^{2}\) の積分は \(\tan\) です。\(2x+5\) との合成なので \(\dfrac{1}{2}\) をかけます（第 6 節）。

\[ \int \sec^{2}(2x+5)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\tan(2x+5)+C \]

(b) まず平方完成です。

\[ x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2}+4 \]

式 5 で \(a = 2\)、\(x\) の代わりに \(x+1\) です。

\[ \int \frac{1}{(x+1)^{2}+2^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right)+C \]

検算（(a)）。 微分してもどします。 \(\dfrac{1}{2}\times 2\sec^{2}(2x+5) = \sec^{2}(2x+5)\) ✓

検算（(b)）。 微分すると \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1+\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2}}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{(x+1)^{2}+4}\) ✓

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(\displaystyle\int \sec^{2}(2x+5)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\tan(2x+5)+C\)

(b) \(x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2}+4\), so

\[\int \frac{1}{x^{2}+2x+5}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right)+C\]

7. Partial fractions in the integrand（部分分数にしてから積分）

分母が \(1\) 次式の積に因数分解できるときは、partial fractions（部分分数）に直します（HL 1.11）。たとえば \(x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2)\) なので、次のようになります。

\[ \int \frac{1}{x^{2}+3x+2}\,\mathrm{d}x = \ln\left| \frac{x+1}{x+2} \right|+C \]

分母が因数分解できるかどうかが、分かれ道です。できれば部分分数、できなければ平方完成して \(\arctan\) です。

例題 4 Find \(\displaystyle\int \frac{1}{x^{2}+3x+2}\,\mathrm{d}x\).

分母が因数分解できます。

\[ x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2) \]

partial fractions（部分分数）に直します（HL 1.11）。

\[ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2} \]

\(1 = A(x+2)+B(x+1)\) で、\(x = -1\) から \(A = 1\)、\(x = -2\) から \(B = -1\) です。

\[ \int\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)\mathrm{d}x = \ln\lvert x+1 \rvert-\ln\lvert x+2 \rvert+C = \ln\left\lvert \frac{x+1}{x+2} \right\rvert+C \]

検算。 足しもどします。 \(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2} = \dfrac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\) ✓

検算（\(x = 0\) で）。 もとの式は \(\dfrac{1}{2}\)、部分分数は \(1-\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\) ✓

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\frac{1}{x^{2}+3x+2} = \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\]

\[\int \frac{1}{x^{2}+3x+2}\,\mathrm{d}x = \ln\lvert x+1 \rvert-\ln\lvert x+2 \rvert+C = \ln\left\lvert \frac{x+1}{x+2} \right\rvert+C\]

試験ではこう書く

The denominator factorises as \(x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2)\), a product of two distinct linear factors, so the integrand can be written in partial fractions:

\[\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}\]

Multiplying through by \((x+1)(x+2)\) gives \(1 = A(x+2)+B(x+1)\).

Substituting \(x = -1\) gives \(1 = A\), and substituting \(x = -2\) gives \(1 = -B\), so \(B = -1\).

Hence

\[\int \frac{1}{x^{2}+3x+2}\,\mathrm{d}x = \int\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)\mathrm{d}x = \ln\lvert x+1 \rvert-\ln\lvert x+2 \rvert+C\]

The two logarithms may be combined using the laws of logarithms, giving \(\ln\left\lvert \dfrac{x+1}{x+2} \right\rvert+C\).

The modulus signs are needed because the integrand is defined for \(x < -2\) and for \(-2 < x < -1\) as well as for \(x > -1\).

Note that completing the square would not help here: the quadratic has real roots, so the answer involves logarithms rather than \(\arctan\).

TI-Nspire CX II は、不定積分もそのまま返します。積分のテンプレートは menu → 4: Calculus → 3: Integral です。

電卓は \(+C\) を付けません。 自分で書き足してください。

\(\arctan\) や \(\arcsin\) の形は、電卓の答えが公式集と見た目でちがうことがあります。微分して元にもどるかを見れば、どちらも正しいと分かります。

答案には、式を書いてください。 平方完成や部分分数の行を見せてから、公式集の形に当てはめます。

Paper 1 では使えません。 このページの例題と演習は、すべて手で解けるようにしてあります。

Why it works

なぜ \(\tan\) の導関数が \(\sec^{2}\) なのか

商の微分公式に入れると、分子が \(\cos^{2}x+\sin^{2}x = 1\) になります（式 1）。

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x = \frac{1}{\cos^{2}x} = \sec^{2}x \]

Pythagoras の identity（恒等式）が効いています（HL 3.9）。

\(\sec x = (\cos x)^{-1}\) なら連鎖律で

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x = -(\cos x)^{-2}(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^{2}x} = \sec x\tan x \]

です。\(\operatorname{cosec}\) と \(\cot\) も同じ計算で、符号だけが逆になります。

なぜ \(a^{x}\) の導関数に \(\ln a\) が出るのか

\(a^{x} = e^{x\ln a}\) と書きなおします。指数の部分は \(x\) の \(1\) 次式で、その導関数が \(\ln a\) です。

連鎖律から

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{x\ln a} = e^{x\ln a}\times\ln a = a^{x}\ln a \]

です。\(\ln a\) は「\(a\) を \(e\) の何乗で書くか」を表す数で、それがそのまま出てきます。

\(a = e\) なら \(\ln e = 1\) で、\(e^{x}\) の導関数が \(e^{x}\) という見慣れた形になります。

なぜ \(\arcsin\) の導関数に \(\sqrt{1-x^{2}}\) が出るのか

\(\sin y = x\) を微分すると \(\cos y\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 1\) です。

\(\cos y\) を \(x\) で書きたいので、\(\sin^{2}y+\cos^{2}y = 1\) を使います。

\[ \cos y = \sqrt{1-\sin^{2}y} = \sqrt{1-x^{2}} \]

ここで正の平方根を取ってよいのは、\(\arcsin\) の range（値域）が \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2}\right]\) で、そこでは \(\cos y \geq 0\) だからです（HL 3.9）。

\(\arccos\) の値域は \([0,\ \pi]\) で、\(\sin y \geq 0\) です。同じ計算で符号だけが逆になります。

なぜ \(\dfrac{1}{a^{2}+x^{2}}\) の積分に \(\dfrac{1}{a}\) が付くのか

\(\dfrac{1}{a^{2}+x^{2}} = \dfrac{1}{a^{2}}\cdot\dfrac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^{2}}\) と書きなおします。

\(\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)\) を微分すると、連鎖律で \(\dfrac{1}{a}\) が出ます。

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) = \frac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^{2}}\times\frac{1}{a} = \frac{a}{a^{2}+x^{2}} \]

ほしいのは \(\dfrac{1}{a^{2}+x^{2}}\) なので、\(\dfrac{1}{a}\) をかけます。\(\arcsin\) のほうに \(\dfrac{1}{a}\) が付かないのは、\(\sqrt{\ }\) の中も外も同じだけ \(a\) で割れるからです。

Common errors

警告co の付く関数の符号を落とす

\(\operatorname{cosec}\)、\(\cot\)、\(\arccos\) の導関数にはマイナスが付きます（表 1）。

符号を落とすと、あとの計算が全部ずれます。公式集を見て確かめてください。

警告\(a^{x}\) を \(xa^{x-1}\) と微分する

それは \(x^{a}\) の微分です。指数に \(x\) があるときは 式 2 です。

\(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}2^{x} = 2^{x}\ln 2\) であって \(x2^{x-1}\) ではありません。

警告\(\dfrac{1}{1+x^{2}}\) の積分を \(\ln\) にする

\(\ln\) になるのは \(\dfrac{f'}{f}\) の形のときだけです。分子が \(2x\) なら \(\ln\)、分子が \(1\) なら \(\arctan\) です。

分子を見てから決めてください（式 5）。

警告平方完成をせずに \(\arctan\) の形に当てはめる

\(x^{2}+2x+5\) はそのままでは \(a^{2}+x^{2}\) の形ではありません（第 6 節）。

\((x+1)^{2}+4\) に直してから使います。\(1\) 次の項があれば、まず平方完成です。

警告因数分解できる分母に平方完成を使う

分母が実数の範囲で因数分解できるなら、答えは \(\ln\) です（第 7 節）。

判別式を見ると早いです。\(b^{2}-4ac > 0\) なら部分分数、\(< 0\) なら平方完成して \(\arctan\) です。

警告\(+C\) を書かない

不定積分の答えは曲線の族です（図 2）。

\(+C\) がないと、答えが \(1\) 本の曲線に限られてしまいます。毎回書いてください。

Exercises

1 Differentiate \(y = \tan 4x\).

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 4\sec^{2}4x\]

外は \(\tan\)、中は \(4x\) です。連鎖律で \(4\) をかけます。

検算（\(x = 0\)）。 \(4\sec^{2}0 = 4\) ✓ 原点での傾きです。

検算（符号）。 \(\sec^{2}\) はつねに正 ✓ \(\tan\) はどこでも増加です。

2 Differentiate \(y = \arcsin 3x\).

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\sqrt{1-(3x)^{2}}}\times 3 = \frac{3}{\sqrt{1-9x^{2}}}\]

中の \(3x\) を \(2\) 乗するのを忘れないこと。\(9x^{2}\) です。

検算（\(x = 0\)）。 \(3\) ✓ 原点での傾きです。

検算（domain（定義域））。 \(1-9x^{2} > 0\) から \(\lvert x \rvert < \dfrac{1}{3}\) ✓ \(\arcsin 3x\) の定義域と合います。

3 Differentiate \(y = 2^{x}\).

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2^{x}\ln 2\]

式 2 です。\(x2^{x-1}\) ではありません。

検算（\(x = 0\)）。 \(\ln 2 \approx 0.69\) ✓ \(1\) より小さい傾きです。

検算（\(e\) と比べて）。 \(e^{x}\) なら原点の傾きは \(1\) ✓ \(2 < e\) なので、\(2^{x}\) のほうがゆるやかです。

4 Differentiate \(y = \log_{5}x\).

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x\ln 5}\]

式 3 です。\(\ln 5\) は分母に来ます。

検算（底の変換）。 \(\log_{5}x = \dfrac{\ln x}{\ln 5}\) を微分しても同じ ✓

検算（\(x = 1\)）。 \(\dfrac{1}{\ln 5} \approx 0.62\) ✓ \(\ln x\) なら \(1\) です。

5 Find \(\displaystyle\int \frac{1}{9+x^{2}}\,\mathrm{d}x\).

\[\int \frac{1}{9+x^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x}{3}\right)+C\]

式 5 で \(a = 3\) です。\(a\) は \(\sqrt{9}\)、つまり \(3\) です。

検算。 微分すると \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{1+\frac{x^{2}}{9}}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9+x^{2}}\) ✓

検算（\(+C\)）。 書き忘れていないか ✓

6 Find \(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,\mathrm{d}x\).

\[\int \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,\mathrm{d}x = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+C\]

式 6 で \(a = 2\) です。こちらには \(\dfrac{1}{a}\) が付きません（Why it works）。

検算。 微分すると \(\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\) ✓

検算（定義域）。 \(\lvert x \rvert < 2\) ✓ 公式集の条件と合います。

7 Find \(\displaystyle\int 5^{x}\,\mathrm{d}x\).

\[\int 5^{x}\,\mathrm{d}x = \frac{5^{x}}{\ln 5}+C\]

式 4 です。微分で \(\ln a\) をかけたので、積分では割ります。

検算。 微分すると \(\dfrac{5^{x}\ln 5}{\ln 5} = 5^{x}\) ✓

検算（\(a = e\)）。 \(\ln e = 1\) なので \(e^{x}+C\) ✓ 見慣れた形です。

8 Find \(\displaystyle\int \frac{1}{x^{2}+4x+13}\,\mathrm{d}x\).

\[x^{2}+4x+13 = (x+2)^{2}+9\]

\[\int \frac{1}{(x+2)^{2}+3^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x+2}{3}\right)+C\]

判別式は \(16-52 = -36 < 0\) なので因数分解できません。平方完成して \(\arctan\) です（第 7 節）。

\(a = 3\) なので、前に \(\dfrac{1}{3}\) が付きます。

検算。 微分すると \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{1+\left(\frac{x+2}{3}\right)^{2}}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{(x+2)^{2}+9}\) ✓

検算（平方完成）。 \((x+2)^{2}+9 = x^{2}+4x+4+9 = x^{2}+4x+13\) ✓

試験ではこう書く

The denominator has discriminant \(4^{2}-4(1)(13) = -36 < 0\), so it does not factorise over the real numbers and partial fractions are not available.

The method is to complete the square:

\[x^{2}+4x+13 = \left(x^{2}+4x+4\right)+9 = (x+2)^{2}+9\]

This is now of the form \(u^{2}+a^{2}\) with \(u = x+2\) and \(a = 3\), which matches the standard integral

\[\int \frac{1}{a^{2}+u^{2}}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{u}{a}\right)+C\]

Since \(u = x+2\) is a linear function of \(x\) with coefficient \(1\), no extra factor is needed, and

\[\int \frac{1}{x^{2}+4x+13}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x+2}{3}\right)+C\]

Differentiating the answer confirms it: the chain rule gives a factor \(\dfrac{1}{3}\) from the inside and the derivative of \(\arctan\) supplies \(\dfrac{1}{1+\left(\frac{x+2}{3}\right)^{2}}\), and the two factors of \(\dfrac{1}{3}\) combine with the \(9\) to return the original integrand.

9 Explain why the derivative of \(\arccos x\) is the negative of the derivative of \(\arcsin x\).

For \(-1 \leq x \leq 1\), \(\ \arcsin x+\arccos x = \dfrac{\pi}{2}\).

Differentiating both sides with respect to \(x\) gives

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos x = 0\]

since the right-hand side is a constant. Hence the two derivatives are negatives of each other.

\(2\) つを足すと定数になります（HL 3.9）。定数の微分は \(0\) です。

直接計算しても同じです。\(\cos y = x\) を微分すると \(-\sin y\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 1\) で、マイナスが出ます。

検算（\(x = 0\)）。 \(\arcsin 0+\arccos 0 = 0+\dfrac{\pi}{2}\) ✓

検算（\(x = 1\)）。 \(\dfrac{\pi}{2}+0\) ✓ どの \(x\) でも和は \(\dfrac{\pi}{2}\) です。

試験ではこう書く

The two inverse functions are linked by the identity \(\arcsin x+\arccos x = \dfrac{\pi}{2}\) for all \(x\) in \([-1,\ 1]\).

This holds because if \(y = \arcsin x\) then \(\sin y = x\), so \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-y\right) = x\), and \(\dfrac{\pi}{2}-y\) lies in \([0,\ \pi]\), the range of \(\arccos\); hence \(\arccos x = \dfrac{\pi}{2}-y\).

Differentiating the identity with respect to \(x\), and using the fact that the derivative of the constant \(\dfrac{\pi}{2}\) is zero,

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos x = 0\]

so \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos x = -\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin x = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\), which is what the formula booklet records.

Geometrically, the graphs of \(\arcsin\) and \(\arccos\) are reflections of each other in a horizontal line, so wherever one rises the other falls at exactly the same rate.

10 A student writes \(\displaystyle\int \frac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x = \ln\left\lvert 1+x^{2} \right\rvert+C\). Identify the error and give the correct integral.

The form \(\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x = \ln\lvert f(x) \rvert+C\) requires the numerator to be the derivative of the denominator. Here the derivative of \(1+x^{2}\) is \(2x\), not \(1\).

The correct integral is

\[\int \frac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x = \arctan x+C\]

分子を見るのが決め手です（第 5 節）。\(\ln\) になるのは \(\dfrac{f'}{f}\) のときだけです。

\(\displaystyle\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x\) なら \(\ln\left(1+x^{2}\right)+C\) で正解です。

検算。 生徒の答えを微分すると \(\dfrac{2x}{1+x^{2}}\) ✓ もとの式とちがいます。

検算（正しい答え）。 \(\arctan x\) を微分すると \(\dfrac{1}{1+x^{2}}\) ✓

試験ではこう書く

The rule the student has used is \(\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x = \ln\lvert f(x) \rvert+C\), which applies only when the numerator is exactly the derivative of the denominator.

Here \(f(x) = 1+x^{2}\) has \(f'(x) = 2x\), while the numerator is \(1\), so the rule does not apply.

This is easily checked by differentiating the student’s answer:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln\left\lvert 1+x^{2} \right\rvert = \frac{2x}{1+x^{2}}\]

which is not the original integrand.

The integrand \(\dfrac{1}{1+x^{2}}\) matches the standard integral with \(a = 1\), so

\[\int \frac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x = \arctan x+C\]

and differentiating \(\arctan x\) returns \(\dfrac{1}{1+x^{2}}\) as required.

The general lesson is to look at the numerator first: a numerator equal to the derivative of the denominator gives a logarithm, while a constant numerator over a sum of squares gives an inverse tangent.