SL 3.2 — Right-angled trigonometry and the sine and cosine rules（三角比・正弦定理・余弦定理）

ノートWhat you should be able to do
  • 直角三角形で sine（正弦）・cosine（余弦）・tangent（正接）を使い、辺と角を求められる。
  • 辺と角の名前のつけ方（\(a\) は \(A\) の向かい）が分かる。
  • sine rule（正弦定理）と cosine rule（余弦定理）を、場面に応じて使い分けられる。
  • 三角形の面積を \(\dfrac{1}{2}ab\sin C\) で求められる。
  • 問題文から、ラベルを付けた図をかける。

The idea

1. Right-angled triangle trigonometry（直角三角形の三角比）

直角三角形で、ある角 \(\theta\) から見て

  • hypotenuse（斜辺）… 直角の向かいの、いちばん長い辺
  • opposite（対辺）… \(\theta\) の向かいの辺
  • adjacent（隣辺）… \(\theta\) をはさむ、斜辺でないほうの辺

と呼びます。

図 1: 斜辺、対辺、隣辺です。

図 1 を見てください。opposite と adjacent は、どの角から見るかで入れかわります。 hypotenuse だけは、どちらの角から見ても同じ辺です。

この \(3\) 辺の組み合わせが、\(3\) つの比になります。

\[ \sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}} \tag{1}\]

SOH-CAH-TOA と覚える人が多い形です。この \(3\) つは、直角三角形でしか使えません。

このページで使う正確な値だけ、先に載せておきます（くわしくは SL 3.5 で扱います）。

表 1: このページで使う正確な値
\(\theta\) \(30°\) \(45°\) \(60°\)
\(\sin\theta\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos\theta\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\)
\(\tan\theta\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(1\) \(\sqrt{3}\)

\(120°\) については \(\sin 120° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\cos 120° = -\dfrac{1}{2}\) を、直角については \(\sin 90° = 1\)、\(\cos 90° = 0\) を使います。

この表は公式集にはありません。 Paper 1 は電卓なしなので、覚える必要があります。

例題 1 In triangle \(ABC\), the angle at \(B\) is a right angle, \(AB = 8\) cm and \(BC = 15\) cm.

(a) Find the length of \(AC\).

(b) Write down the value of \(\sin \hat{A}\).

(c) Write down the value of \(\tan \hat{C}\).

(d) Explain why \(\sin \hat{A} = \cos \hat{C}\) in this triangle.

(a) \(AC\) が斜辺です。ピタゴラスの定理を使います。

\[ AC = \sqrt{8^{2}+15^{2}} = \sqrt{64+225} = \sqrt{289} = 17 \]

(b) \(\hat{A}\) から見て、\(BC\) が対辺、\(AC\) が斜辺です（式 1）。

\[ \sin \hat{A} = \frac{15}{17} \]

(c) \(\hat{C}\) から見て、\(AB\) が対辺、\(BC\) が隣辺です。

\[ \tan \hat{C} = \frac{8}{15} \]

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

The angles of a triangle add to \(180°\), and \(\hat{B} = 90°\), so \(\hat{A} + \hat{C} = 90°\).

The side opposite \(\hat{A}\) is \(BC\), and \(BC\) is also the side adjacent to \(\hat{C}\).

Both ratios are therefore \(\dfrac{BC}{AC}\): \(\sin \hat{A} = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}\) and \(\cos \hat{C} = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\) use the same two lengths.

（三角形の角の和は \(180°\) で \(\hat{B} = 90°\) なので、\(\hat{A}+\hat{C} = 90°\) である。\(\hat{A}\) の対辺は \(BC\) で、その \(BC\) は \(\hat{C}\) の隣辺でもある。したがってどちらの比も \(\dfrac{BC}{AC}\) になる。\(\sin \hat{A} = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}\) と \(\cos \hat{C} = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\) は、同じ \(2\) 辺を使っているのである、という意味です。）

検算（(a) について）。 \(2\) 乗の差で見ます。 \(17^{2}-15^{2} = (17-15)(17+15) = 2 \times 32 = 64 = 8^{2}\) ✓ 足し算ではなく、かけ算で確かめました。

検算（(b) について）。 \(\sin^{2}+\cos^{2}\) で見ます。 \(\cos \hat{A} = \dfrac{8}{17}\) なので \(\left(\dfrac{15}{17}\right)^{2} + \left(\dfrac{8}{17}\right)^{2} = \dfrac{225+64}{289} = 1\) ✓

検算（(c) について）。 \(\hat{A}\) の比と見くらべます。 \(\tan \hat{A} = \dfrac{15}{8}\) で、\(\tan \hat{C} = \dfrac{8}{15}\) はその逆数です ✓ \(\hat{A}+\hat{C} = 90°\) のとき、こうなります。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(AC = \sqrt{64+225}\) \[AC = 17 \text{ cm}\]

(b) \[\sin \hat{A} = \frac{15}{17}\]

(c) \[\tan \hat{C} = \frac{8}{15}\]

(d) \(\hat{A}+\hat{C} = 90°\), and \(BC\) is opposite \(\hat{A}\) but adjacent to \(\hat{C}\), so both ratios equal \(\dfrac{BC}{AC}\).

2. Inverse trigonometric ratios（三角比から角を求める）

辺の長さから角を出すときは、inverse trigonometric ratios（逆三角関数）を使います（SL 2.2）。

\[ \sin\theta = k \ \Rightarrow \ \theta = \sin^{-1}k \tag{2}\]

\(\sin^{-1}\) は arcsin とも書きます。\(\dfrac{1}{\sin}\) ではありません。

警告\(\sin^{-1}x\) と \((\sin x)^{-1}\) はちがいます

\(\sin^{-1}\) は inverse function（逆関数）の記号です。\(\dfrac{1}{\sin x}\) とはまったく別のものです。

答案では、迷ったら arcsin と書いてもかまいません。

3. Labelling sides and angles（辺と角の名前）

三角形の辺と角に、名前を付けるときの決まりを見ます。図は、三角形 \(ABC\) で、辺 \(a\) が角 \(A\) の向かいにあることを示しています。

図 2: 三角形 \(ABC\) では、辺 \(a\) は角 \(A\) の向かいにあります。

三角形 \(ABC\) では、小文字の辺は、同じ文字の角の向かいにあります。

  • \(a\) は \(\hat{A}\) の向かい（つまり \(BC\)）
  • \(b\) は \(\hat{B}\) の向かい（つまり \(CA\)）
  • \(c\) は \(\hat{C}\) の向かい（つまり \(AB\)）

図 2 がその決まりです。この約束を先に確かめてから、定理に代入してください。

4. The sine rule（正弦定理）

辺と、その向かいの角の組を結びつける sine rule（正弦定理）の公式は、次のとおりです。

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \tag{3}\]

重要この式は公式集にあります

公式集の 3.2 の欄に Sine rule として印刷されています。

\(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\)

逆数の形 \(\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c}\) も同じ式です。角を求めるときは、こちらが便利です。

「向かい合う組」が \(1\) つそろっていれば使えます。 たとえば \(\hat{A}\) と \(a\) が分かっていて、\(\hat{B}\) も分かっているなら \(b\) が出ます。

\(\hat{A} = 30°\)、\(\hat{C} = 45°\)、\(c = 4\) なら

\[ \frac{a}{\sin 30°} = \frac{4}{\sin 45°} \ \Rightarrow \ a = \frac{4 \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \]

警告正弦定理は、辺と「その向かいの角」を組にします

\(\dfrac{a}{\sin B}\) のように、ちがう文字を組にしてはいけません（第 3 節）。

代入する前に、その辺がどの角の向かいかを図で確かめてください。

なお、SL 3.2 では ambiguous case（あいまいな場合）は扱いません。 \(2\) 辺とその一方の向かいの角から \(2\) 通りの三角形ができる場合のことで、SL 3.5 で扱います。

例題 2 In triangle \(ABC\), \(\hat{A} = 30°\), \(\hat{B} = 45°\) and \(a = 8\) cm.

(a) Find \(\hat{C}\).

(b) Find the exact value of \(b\).

(c) Explain why \(b > a\).

(d) A student writes \(\dfrac{a}{\sin B} = \dfrac{b}{\sin A}\). Identify the error, and write down the correct statement.

(a) 角の和は \(180°\) です。

\[ \hat{C} = 180° - 30° - 45° = 105° \]

(b) \(a\) と \(\hat{A}\) の組がそろっているので、正弦定理です（式 3）。

\[ \frac{8}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°} \ \Rightarrow \ b = \frac{8 \sin 45°}{\sin 30°} = \frac{8 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} \]

\[ b = 8\sqrt{2} \]

(c) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

By the sine rule \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}\), so \(b = a \cdot \dfrac{\sin B}{\sin A}\).

Here \(\hat{A} = 30°\) and \(\hat{B} = 45°\) are both acute, and the sine function is increasing between \(0°\) and \(90°\), so \(\sin B > \sin A\).

The factor \(\dfrac{\sin B}{\sin A}\) is therefore greater than \(1\), and so \(b > a\).

（正弦定理から \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}\) なので \(b = a \cdot \dfrac{\sin B}{\sin A}\) である。ここで \(\hat{A} = 30°\) と \(\hat{B} = 45°\) はどちらも鋭角で、\(0°\) から \(90°\) のあいだで正弦は増加するので \(\sin B > \sin A\) である。よってかける数 \(\dfrac{\sin B}{\sin A}\) は \(1\) より大きく、\(b > a\) である。という意味です。なお「長い辺は大きい角に向かい合う」はどの三角形でも成り立ちますが、鈍角がある三角形では \(0°\) から \(90°\) の増加だけでは説明できません。一般の場合は SL 3.5 の \(\sin(180° - \theta) = \sin\theta\) を使います。）

(d) Identify the error なので、英語でどこが違うかを書いてから、正しい式を書きます。

試験ではこう書く

In the sine rule each side must be paired with the angle opposite it, not with another angle.

The side \(a\) faces \(\hat{A}\) and the side \(b\) faces \(\hat{B}\), so the student has swapped the two angles.

The correct statement is \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}\).

（正弦定理では、それぞれの辺をその向かいの角と組にしなければならず、別の角と組にしてはいけない。辺 \(a\) は \(\hat{A}\) の向かい、辺 \(b\) は \(\hat{B}\) の向かいなので、この生徒は \(2\) つの角を入れかえている。正しい式は \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}\) である、という意味です。）

検算（(a) について）。 足して \(180°\) になるかを見ます。 \(30+45+105 = 180\) ✓

検算（(b) について）。 正弦定理に戻して、両辺の値を出します。 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{8}{\frac{1}{2}} = 16\)、\(\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{16\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 16\) ✓ \(2\) つが一致しました。

検算（(c) について）。 辺と角の並びで見ます。 角は \(30° < 45° < 105°\)、辺は \(a = 8 < b = 8\sqrt{2} < c\) です ✓ 小さい角には短い辺が向かい合っています。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[\hat{C} = 105°\]

(b) \(\dfrac{8}{\sin 30°} = \dfrac{b}{\sin 45°}\) \[b = 8\sqrt{2} \text{ cm}\]

(c) \(\hat{A}\) and \(\hat{B}\) are both acute with \(\hat{B} > \hat{A}\), and sine is increasing on \(0°\) to \(90°\), so \(\sin B > \sin A\) and \(b = a\cdot\dfrac{\sin B}{\sin A} > a\).

(d) Each side pairs with the angle opposite it. \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\]

5. The cosine rule（余弦定理）

\(2\) 辺とそのあいだの角から残りの辺を求める cosine rule（余弦定理）と、それを角について解いた形は、次のとおりです。

\[ c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C \tag{4}\]

\[ \cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \tag{5}\]

重要この式も公式集にあります

公式集の 3.2 の欄に Cosine rule として印刷されています。

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) ; \(\cos C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

\(2\) とおりの形が、どちらも印刷されています。 上は辺を求めるとき、下は角を求めるときに使います。

\(C\) は、\(a\) と \(b\) が「はさむ」角です。\(c\) はその向かいです。

\(a = 3\)、\(b = 5\)、\(\hat{C} = 60°\) なら

\[ c^{2} = 9 + 25 - 2(3)(5)\left(\frac{1}{2}\right) = 34 - 15 = 19 \]

なので \(c = \sqrt{19}\) です。

警告\(\cos\) が負になることがあります

\(\hat{C}\) が \(90°\) より大きい（鈍角）と \(\cos C < 0\) なので、\(-2ab\cos C\) は足し算になります。

\(\cos 120° = -\dfrac{1}{2}\) です。符号を落とすと、答えが小さくなりすぎます。

6. Choosing a rule（使う定理の選び方）

ここまでの道具を、どの場面で使うかを整理します。図は、分かっているものから使う定理を選ぶ流れです。

図 3: 分かっているものから、使う定理を選びます。

三角形の問題では、何が分かっているかで、使う道具が決まります。図 3 が、その見分け方です。

表 2: どの道具を使うか
分かっているもの 使うもの
直角三角形で、辺 \(2\) つ、または辺 \(1\) つと角 \(1\) つ 三角比（第 1 節）
辺とその向かいの角の組が \(1\) つそろっている 正弦定理
\(2\) 辺と、そのはさむ角 余弦定理（辺を求める形）
\(3\) 辺すべて 余弦定理（角を求める形）

まず「向かい合う組」があるかを見ます。 なければ余弦定理です。

7. Area of a triangle（三角形の面積）

\(2\) 辺とそのあいだの角から、三角形の面積を求める公式は、次のとおりです。

\[ A = \frac{1}{2}ab\sin C \tag{6}\]

重要この式も公式集にあります

公式集の 3.2 の欄に Area of a triangle として印刷されています。

\(A = \dfrac{1}{2}ab\sin C\)

\(C\) は、\(a\) と \(b\) がはさむ角です。余弦定理と同じ組み合わせです。

\(a = 4\)、\(b = 6\)、\(\hat{C} = 30°\) なら \(A = \dfrac{1}{2}(4)(6)\left(\dfrac{1}{2}\right) = 6\) です。

例題 3 In triangle \(ABC\), \(a = 5\) cm, \(b = 8\) cm and \(\hat{C} = 60°\).

(a) Find \(c\).

(b) Find the area of the triangle, giving your answer in exact form.

(c) Find the value of \(\cos \hat{A}\).

(d) Explain why the sine rule cannot be used to find \(c\) from the information given.

(a) \(\hat{C}\) が \(a\) と \(b\) のはさむ角なので、余弦定理です（式 4）。

\[ c^{2} = 5^{2}+8^{2} - 2(5)(8)\cos 60° = 25 + 64 - 80\left(\frac{1}{2}\right) = 89 - 40 = 49 \]

\[ c = 7 \]

(b) 同じ \(2\) 辺とはさむ角で、面積が出ます（式 6）。

\[ A = \frac{1}{2}(5)(8)\sin 60° = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \]

(c) \(3\) 辺がそろったので、角を求める形を使います（式 5）。文字を \(A\) に合わせると、はさむ \(2\) 辺は \(b\) と \(c\) です。

\[ \cos \hat{A} = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} = \frac{64+49-25}{2(8)(7)} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14} \]

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

The sine rule needs a side together with the angle facing it.

Here the known angle is \(\hat{C}\), but the side \(c\) facing it is exactly what we are asked to find, and neither \(\hat{A}\) nor \(\hat{B}\) is known.

So no complete pair is available and the sine rule cannot be started.

The cosine rule is the right tool, because it uses two sides and the angle between them.

（正弦定理には、辺とその向かいの角の組が要る。ここで分かっている角は \(\hat{C}\) だが、その向かいの辺 \(c\) こそが求めたいものであり、\(\hat{A}\) も \(\hat{B}\) も分かっていない。よって完全な組がそろわず、正弦定理は始められない。\(2\) 辺とそのはさむ角を使う余弦定理が、正しい道具である、という意味です。）

検算（(a) について）。 辺の大小で見ます。 \(\hat{A}+\hat{B} = 180°-60° = 120°\) なので、\(\hat{A}\) と \(\hat{B}\) の一方は \(60°\) より小さく、他方は \(60°\) より大きくなります。\(a = 5 < b = 8\) だから \(\hat{A} < \hat{B}\) で、\(\hat{A} < 60° < \hat{B}\) です。したがって \(c\) は \(a = 5\) と \(b = 8\) のあいだに来るはずです。\(c = 7\) ✓ 余弦定理の計算とは別の道すじで、大小の並びが合っています。

検算（(b) について）。 別の \(2\) 辺と、そのはさむ角で出し直します。 (c) から \(\cos \hat{A} = \dfrac{11}{14}\)、\(\sin \hat{A} = \dfrac{5\sqrt{3}}{14}\) です。\(b\) と \(c\) がはさむ角は \(\hat{A}\) なので、面積は \(\dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}(8)(7) \times \dfrac{5\sqrt{3}}{14} = 28 \times \dfrac{5\sqrt{3}}{14} = 10\sqrt{3}\) ✓ ちがう \(2\) 辺・ちがう角を使って、同じ値になりました。

検算（(c) について）。 正弦定理でつじつまを見ます。 \(\cos \hat{A} = \dfrac{11}{14}\) なら \(\sin \hat{A} = \dfrac{\sqrt{196-121}}{14} = \dfrac{5\sqrt{3}}{14}\) です。すると \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{5}{\frac{5\sqrt{3}}{14}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}\)、\(\dfrac{c}{\sin C} = \dfrac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}\) ✓ \(2\) つが一致しました。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(c^{2} = 25+64-2(5)(8)\cos 60° = 49\) \[c = 7 \text{ cm}\]

(b) \(A = \dfrac{1}{2}(5)(8)\sin 60°\) \[A = 10\sqrt{3} \text{ cm}^{2}\]

(c) \(\cos \hat{A} = \dfrac{64+49-25}{2(8)(7)}\) \[\cos \hat{A} = \frac{11}{14}\]

(d) The only known angle is \(\hat{C}\), and the side facing it is the unknown, so there is no complete side–angle pair.

例題 4 A triangular flower bed \(ABC\) has \(AB = 7\) m, \(BC = 3\) m and \(A\hat{B}C = 120°\).

(a) Find the exact value of \(AC\).

(b) Find the area of the flower bed, giving your answer in exact form.

(c) A student calculates the area as \(\dfrac{1}{2}(7)(AC)\sin 120°\). Comment on this.

(d) Explain why \(AC\) is longer than both \(AB\) and \(BC\).

(a) まず図をかきます（第 7 節）。\(\hat{B}\) が \(AB\) と \(BC\) のはさむ角なので、余弦定理です。

\[ AC^{2} = 7^{2}+3^{2} - 2(7)(3)\cos 120° = 49 + 9 - 42\left(-\frac{1}{2}\right) = 58 + 21 = 79 \]

\[ AC = \sqrt{79} \]

(b) はさむ角がそのまま使えます（式 6）。

\[ A = \frac{1}{2}(7)(3)\sin 120° = \frac{21}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{21\sqrt{3}}{4} \]

(c) Comment on なので、英語で判断とその理由を書きます。

試験ではこう書く

This is not correct.

The formula \(\dfrac{1}{2}ab\sin C\) needs the angle between the two sides used.

The angle \(120°\) lies between \(AB\) and \(BC\), not between \(AB\) and \(AC\), so it cannot be paired with \(AB\) and \(AC\).

Using \(AB\) and \(BC\) with \(120°\) gives the correct area.

The student’s expression would need the angle \(B\hat{A}C\) instead.

（これは正しくない。公式 \(\dfrac{1}{2}ab\sin C\) には、使う \(2\) 辺のあいだの角が要る。\(120°\) は \(AB\) と \(BC\) のあいだの角であって、\(AB\) と \(AC\) のあいだの角ではないので、\(AB\) と \(AC\) に組み合わせることはできない。\(AB\) と \(BC\) に \(120°\) を使えば正しい面積が出る。この生徒の式には、かわりに \(B\hat{A}C\) が必要である、という意味です。）

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

The angles of a triangle add to \(180°\), so with \(\hat{B} = 120°\) the other two angles add to \(60°\) and each is less than \(120°\).

Hence \(\hat{B}\) is the largest angle.

In any triangle the largest angle faces the longest side, and the side facing \(\hat{B}\) is \(AC\).

So \(AC\) is the longest side.

（三角形の角の和は \(180°\) なので、\(\hat{B} = 120°\) のとき残りの \(2\) 角の和は \(60°\) で、どちらも \(120°\) より小さい。よって \(\hat{B}\) がいちばん大きい角である。どの三角形でもいちばん大きい角にいちばん長い辺が向かい合い、\(\hat{B}\) の向かいの辺は \(AC\) である。よって \(AC\) がいちばん長い、という意味です。）

検算（(a) について）。 鈍角のはたらきを見ます。 もし \(\hat{B} = 90°\) なら \(AC^{2} = 49+9 = 58\) でした。\(120°\) は鈍角なので、\(AC\) はそれより長いはずです。\(79 > 58\) ✓ 符号を落として \(58 - 21 = 37\) としていないかも、ここで分かります。

検算（(b) について）。 底辺と高さで出し直します。 \(BC = 3\) を底辺とすると、\(A\) から \(BC\) を延ばした直線までの高さは \(7\sin 60° = \dfrac{7\sqrt{3}}{2}\) です（\(180°-120° = 60°\)）。面積は \(\dfrac{1}{2}(3)\left(\dfrac{7\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{21\sqrt{3}}{4}\) ✓

検算（(c) について）。 数でちがいを見ます。 生徒の式は \(\dfrac{1}{2}(7)\sqrt{79}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{7\sqrt{237}}{4}\) です。\(\sqrt{237} > 15\) なので \(26\) より大きく、正しい \(\dfrac{21\sqrt{3}}{4}\)（およそ \(9.1\)）とはまるでちがいます ✓

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(AC^{2} = 49+9-2(7)(3)\cos 120° = 79\) \[AC = \sqrt{79} \text{ m}\]

(b) \(A = \dfrac{1}{2}(7)(3)\sin 120°\) \[A = \frac{21\sqrt{3}}{4} \text{ m}^{2}\]

(c) Not correct: \(\dfrac{1}{2}ab\sin C\) needs the angle between the two sides, and \(120°\) is between \(AB\) and \(BC\), not between \(AB\) and \(AC\).

(d) \(\hat{B} = 120°\) is the largest angle, and the longest side faces the largest angle.

TI-Nspire の Calculator 画面で、\(\sin\)・\(\cos\)・\(\tan\) と、その逆の \(\sin^{-1}\) などが使えます。ハンドヘルドでは trig キーでパレットが開きますが、sin( のように直接打ち込んでもかまいません。

角の単位を、問題文に合わせてください。 doc → Settings → Document Settings の Angle が Degree か Radian かで、答えが変わります。三角形の問題は度で与えられることが多いですが、問題文を見て決めます。

途中の値を丸めないでください。 \(\cos C\) を小数にしてから角を出すと、最後の答えがずれます。電卓の中に値を持たせたまま次に進みます。

Paper 1 では使えません。 このページの例題と演習は、すべて手で解ける形にしてあります。

Why it works

なぜ、正弦定理が成り立つのでしょうか。

三角形 \(ABC\) で、\(C\) から辺 \(AB\) に垂線を下ろし、その足を \(H\)、長さを \(h\) とします。すると直角三角形が \(2\) つできます。

  • 三角形 \(ACH\) で、\(\sin A = \dfrac{h}{b}\)、つまり \(h = b\sin A\)
  • 三角形 \(BCH\) で、\(\sin B = \dfrac{h}{a}\)、つまり \(h = a\sin B\)

ここでは \(H\) が \(A\) と \(B\) のあいだにある図で考えました。\(\hat{A}\) が鈍角だと \(H\) は \(A\) の外側に出て、直角三角形 \(ACH\) の \(A\) のところの角は \(\hat{A}\) ではなく \(180° - \hat{A}\) になります。それでも \(\sin(180° - \hat{A}) = \sin \hat{A}\)（SL 3.5 で扱います）なので、\(h = b\sin A\) はそのままの形で成り立ちます。\(\hat{B}\) が鈍角のときも同じです。

同じ \(h\) を \(2\) とおりに書いたので

\[ b\sin A = a\sin B \ \Rightarrow \ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]

になります。\(A\) から \(BC\) に垂線を下ろせば、同じやり方で \(\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\) が出ます。

なぜ、三角形の面積が \(\dfrac{1}{2}ab\sin C\) なのでしょうか。 三角形の面積は \(\dfrac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ})\) でした。底辺を \(a\)（つまり \(BC\)）とすると、高さは \(A\) から直線 \(BC\) に下ろした垂線の長さ \(h\) です。その足を \(K\) とすると、直角三角形 \(ACK\) の斜辺は \(b\)（\(= CA\)）で、\(C\) のところの角は \(\hat{C}\) ですから、\(h = b\sin C\) です。（\(\hat{C}\) が鈍角のときは \(K\) が \(BC\) の外に出て、\(C\) のところの角は \(180° - \hat{C}\) になりますが、\(\sin(180° - \hat{C}) = \sin \hat{C}\) なので同じ式です。）

だから

\[ \text{面積} = \frac{1}{2} \times a \times b\sin C = \frac{1}{2}ab\sin C \]

です。「はさむ角」でなければならないのは、この高さの作り方から来ています。

なぜ、余弦定理が成り立つのでしょうか。 \(C\) から \(AB\) に垂線を下ろし、足を \(H\) とします。\(AH = b\cos A\)、\(CH = b\sin A\) です。すると \(HB = c - b\cos A\) で、直角三角形 \(CHB\) にピタゴラスの定理を使うと

\[ a^{2} = (b\sin A)^{2} + (c - b\cos A)^{2} \]

展開すると

\[ a^{2} = b^{2}\sin^{2}A + c^{2} - 2bc\cos A + b^{2}\cos^{2}A \]

で、\(\sin^{2}A + \cos^{2}A = 1\)（SL 3.6 で扱います）を使うと \(b^{2}\) にまとまり

\[ a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A \]

になります。文字を入れかえれば、公式集の形と同じです。

この図では、垂線の足 \(H\) が \(A\) と \(B\) のあいだにあるとしました。\(\hat{A}\) が鈍角だと \(H\) は \(A\) の外側に出ます。このとき直角三角形 \(ACH\) の \(A\) のところの角は \(180° - \hat{A}\) なので、\(CH = b\sin(180° - A) = b\sin A\)、\(AH = b\cos(180° - A) = -b\cos A\)（\(\cos A < 0\) なので、これは正の長さです）となり、\(HB = AH + AB = c - b\cos A\) です。式はそのままの形で成り立ちます。 \(\hat{B}\) が鈍角で \(H\) が \(B\) の外側に出るときは \(HB\) の長さが \(b\cos A - c\) になりますが、\(2\) 乗するので結果は変わりません。

なぜ、\(\hat{C} = 90°\) のときピタゴラスの定理に戻るのでしょうか。 \(\cos 90° = 0\) なので \(-2ab\cos C = 0\) となり、\(c^{2} = a^{2}+b^{2}\) が残ります。余弦定理は、ピタゴラスの定理を鈍角・鋭角にも広げたものだと言えます。

Common errors

警告直角三角形でないのに SOH-CAH-TOA を使う

\(\sin\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}\) は直角三角形だけの関係です（第 1 節）。直角がなければ、正弦定理か余弦定理です。

警告正弦定理で、辺と角の組をまちがえる

\(a\) は \(\hat{A}\) と組にします（第 3 節）。図で向かい合わせを確かめてください。

警告余弦定理で、はさむ角以外を使う

\(c^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\) の \(\hat{C}\) は、\(a\) と \(b\) のあいだの角です（第 5 節）。

警告鈍角のとき、\(\cos\) の符号を落とす

\(\cos 120° = -\dfrac{1}{2}\) です（第 5 節）。マイナスどうしで足し算になります。

警告面積の式で、はさむ角でない角を使う

\(\dfrac{1}{2}ab\sin C\) の \(\hat{C}\) も、\(a\) と \(b\) のあいだです（第 7 節）。

警告図をかかずに、いきなり代入する

辺と角に文字を付けた図を、先にかいてください（第 3 節）。図があると、使う定理がその場で見えます。

Exercises

1 In a right-angled triangle the hypotenuse is \(13\) cm and one of the other sides is \(5\) cm. Find the length of the third side.

\[x = \sqrt{13^{2}-5^{2}} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144}\]

\[x = 12 \text{ cm}\]

斜辺が \(13\) なので、引き算です。\(5\)-\(12\)-\(13\) はよく出る組です。

検算。 \(2\) 乗の差で見ます。 \(13^{2}-5^{2} = (13-5)(13+5) = 8 \times 18 = 144\) ✓ かけ算で確かめました。

\(\sqrt{169+25}\) としないでください。 斜辺は \(13\) のほうです。

2 In triangle \(PQR\), the angle at \(Q\) is a right angle, \(PQ = 9\) cm and \(QR = 12\) cm. Write down the value of \(\tan \hat{P}\).

\[\tan \hat{P} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\]

\(\hat{P}\) から見て \(QR\) が対辺、\(PQ\) が隣辺です（式 1）。\(\tan\) に斜辺は出てきません。

検算。 \(\hat{R}\) の比と見くらべます。 \(\tan \hat{R} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\) で、\(\dfrac{4}{3}\) の逆数です ✓ \(\hat{P}+\hat{R} = 90°\) なので、こうなります。

約分を忘れないでください。 \(\dfrac{12}{9}\) は \(\dfrac{4}{3}\) にできます。

3 In triangle \(ABC\), \(\hat{A} = 30°\), \(\hat{B} = 90°\) and \(a = 6\) cm. Find \(b\).

\[\frac{6}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 90°}\]

\[b = 12 \text{ cm}\]

\(a\) と \(\hat{A}\) の組がそろっているので正弦定理です（式 3）。\(\sin 90° = 1\)、\(\sin 30° = \dfrac{1}{2}\) です。

検算。 直角三角形として見ます。 \(\hat{B} = 90°\) なので \(b\) は斜辺です。\(\sin 30° = \dfrac{6}{b}\) から \(b = \dfrac{6}{1/2} = 12\) ✓ 正弦定理を通らない道すじでも同じです。

\(b\) がいちばん長いはずです。 直角がいちばん大きい角だからです。

4 In triangle \(ABC\), \(b = 4\) cm, \(c = 6\) cm and \(\hat{A} = 60°\). Find the exact value of \(a\).

\[a^{2} = 4^{2}+6^{2}-2(4)(6)\cos 60° = 16+36-24 = 28\]

\[a = 2\sqrt{7} \text{ cm}\]

\(\hat{A}\) が \(b\) と \(c\) のはさむ角なので、余弦定理です（式 4）。文字を \(A\) に合わせて \(a^{2} = b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\) とします。

検算。 大小で見ます。 \(\hat{A} = 60°\) は \(90°\) より小さいので、\(a\) は「直角のとき」の \(\sqrt{16+36} = \sqrt{52}\) より短いはずです。\(28 < 52\) ✓

\(\sqrt{28}\) のままにしないでください。 \(4\) が外に出せて \(2\sqrt{7}\) です。

5 Find the area of a triangle with sides of length \(6\) cm and \(10\) cm and an included angle of \(30°\).

\[A = \frac{1}{2}(6)(10)\sin 30° = 30 \times \frac{1}{2}\]

\[A = 15 \text{ cm}^{2}\]

included angle は「はさむ角」です。そのまま 式 6 に入れられます。

検算。 底辺と高さで出し直します。 \(10\) を底辺とすると、高さは \(6\sin 30° = 3\) です。\(\dfrac{1}{2}(10)(3) = 15\) ✓

\(30\) としないでください。 \(\dfrac{1}{2}\) と \(\sin 30° = \dfrac{1}{2}\) の \(2\) つがかかります。

6 (a) In triangle \(ABC\), \(a = 7\) cm, \(b = 8\) cm and \(c = 13\) cm. Find the exact value of \(\cos \hat{C}\), and hence find \(\hat{C}\).

(b) In a second triangle, \(a = 7\) cm, \(b = 8\) cm and \(c = 11\) cm. Use your calculator to find \(\hat{C}\), correct to three significant figures. State the angle setting the calculator must be in.

(a)

\[\cos \hat{C} = \frac{7^{2}+8^{2}-13^{2}}{2(7)(8)} = \frac{49+64-169}{112} = \frac{-56}{112} = -\frac{1}{2}\]

\[\hat{C} = 120°\]

(b) calculator in degree mode

\[\cos \hat{C} = \frac{49+64-121}{112} = -\frac{1}{14}, \qquad \hat{C} = 94.1° \quad (3 \text{ s.f.})\]

(a) \(3\) 辺がそろっているので、角を求める形です（式 5）。\(\cos \hat{C} = -\dfrac{1}{2}\) になる角は、\(0° < \hat{C} < 180°\) の中では \(120°\) だけです（SL 3.2 の表）。

負でも、まちがいではありません。 \(c\) がいちばん長いので、\(\hat{C}\) は鈍角です。

(b) \(\cos \hat{C} = -\dfrac{1}{14} = -0.0714\ldots\) で、これは覚えている値ではありません。ここではじめて電卓が要ります。

角度の設定を Degree にしてください。 Radian のままだと \(1.64\ldots\) という別の数が返ります。TI-Nspire では doc → Settings → Document Settings の Angle です（SL 3.3）。

\(\cos^{-1}(-0.0714\ldots) = 94.0965\ldots°\) なので、\(94.1°\) です。途中で丸めず、最後に有効数字 \(3\) 桁にします。

検算（(a)）。 辺に戻します。 \(\cos \hat{C} = -\dfrac{1}{2}\) を \(c^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\) に入れると \(49+64+56 = 169 = 13^{2}\) ✓ もとの \(c\) に戻りました。

検算（(b)）。 \(c\) を短くしたのだから、角も小さくなるはずです。 \(c = 13\) で \(120°\)、\(c = 11\) で \(94.1°\) ✓ また \(c = 11\) でも \(\cos \hat{C} < 0\) なので、\(\hat{C}\) は \(90°\) より大きいはずです。\(94.1° > 90°\) ✓

検算（三角形になるか）。 \(7 + 8 = 15 > 11\) ✓ \(3\) 辺は三角形をつくれます。

7 In triangle \(ABC\), \(\hat{B} = 45°\), \(\hat{C} = 60°\) and \(b = 10\) cm. Find the exact value of \(c\).

\[\frac{10}{\sin 45°} = \frac{c}{\sin 60°}\]

\[c = 5\sqrt{6} \text{ cm}\]

\(b\) と \(\hat{B}\) の組がそろっているので正弦定理です（式 3）。\(c = \dfrac{10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) を有理化します。

検算。 大小で見ます。 \(\hat{C} = 60° > 45° = \hat{B}\) なので、\(c > b = 10\) のはずです。\(5\sqrt{6} = 5 \times 2.44\ldots\) でおよそ \(12.2\) ✓

\(\dfrac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) のままにしないでください。 分母を有理化して \(5\sqrt{6}\) にします。

8 In triangle \(ABC\), \(a = 4\) cm and \(b = 7\) cm, and the angle \(\hat{C}\) can vary. Explain why the area of the triangle can never be greater than \(14\) cm\(^{2}\), and write down the value of \(\hat{C}\) for which the area is greatest.

Area \(= \dfrac{1}{2}(4)(7)\sin \hat{C} = 14\sin \hat{C}\), and \(\sin \hat{C} \le 1\), so the area is at most \(14\) cm\(^{2}\).

\[\hat{C} = 90°\]

Explain why なので、まず面積の式を書き、\(\sin \hat{C}\) のとりうる値から結論を出します（式 6）。\(a\) と \(b\) は決まっていて、変わるのは \(\sin \hat{C}\) だけです。\(\sin\) が \(1\) を超えないことは、SL 3.5 でくわしく扱います。

検算。 直角三角形として出し直します。 \(\hat{C} = 90°\) なら \(a\) と \(b\) が直角をはさむ \(2\) 辺なので、面積は \(\dfrac{1}{2}(4)(7) = 14\) です ✓ 面積の公式を通らない道すじでも、同じ \(14\) になりました。

試験ではこう書く

The area of the triangle is \(\dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}(4)(7)\sin \hat{C} = 14\sin \hat{C}\).

The value of \(\sin \hat{C}\) can never be greater than \(1\), so the area can never be greater than \(14\) cm\(^{2}\).

The greatest area occurs when \(\sin \hat{C} = 1\), that is when \(\hat{C} = 90°\); the triangle is then right-angled with the two given sides as its legs.

9 A triangle has sides of length \(5\) cm, \(7\) cm and \(9\) cm. Find the cosine of its largest angle.

The largest angle faces the side of length \(9\).

\[\cos\theta = \frac{5^{2}+7^{2}-9^{2}}{2(5)(7)} = \frac{25+49-81}{70} = \frac{-7}{70}\]

\[\cos\theta = -\frac{1}{10}\]

いちばん長い辺の向かいが、いちばん大きい角です。そこに 式 5 を使います。

検算。 辺に戻します。 \(5^{2}+7^{2}-2(5)(7)\left(-\dfrac{1}{10}\right) = 25+49+7 = 81 = 9^{2}\) ✓

負なので、鈍角です。 いちばん大きい角が鈍角の三角形でした。

10 In triangle \(ABC\), \(AB = 6\) cm, \(BC = 8\) cm and \(B\hat{A}C = 30°\). A student writes that the area is \(\dfrac{1}{2}(6)(8)\sin 30° = 12\) cm\(^{2}\). Identify the error.

The angle \(30°\) is at \(A\), so it is not the angle between \(AB\) and \(BC\); the formula needs the included angle, which here is \(A\hat{B}C\).

Identify the error なので、どこが違うのかを名指しします。

\(\dfrac{1}{2}ab\sin C\) の角は、使う \(2\) 辺のあいだにある角です（第 7 節）。\(AB\) と \(BC\) のあいだにあるのは \(A\hat{B}C\) で、\(B\hat{A}C\) ではありません。

検算。 どの \(2\) 辺のあいだかを言いかえます。 \(B\hat{A}C\) は \(AB\) と \(AC\) のあいだの角です。だからこの角で面積を出すなら、\(\dfrac{1}{2}(AB)(AC)\sin B\hat{A}C\) の形になります ✓ 使う辺が \(BC\) ではなく \(AC\) に変わります。

試験ではこう書く

The formula \(\dfrac{1}{2}ab\sin C\) requires the angle between the two sides that are used.

The student has used \(AB\) and \(BC\), and the angle between those two sides is \(A\hat{B}C\), not \(B\hat{A}C\).

The given angle of \(30°\) is at \(A\), so it lies between \(AB\) and \(AC\).

To use \(30°\) the second side must be \(AC\), giving \(\dfrac{1}{2}(AB)(AC)\sin 30°\) instead.