SL 5.10 — Standard integrals, reverse chain rule and substitution（標準的な不定積分・逆連鎖律・置換積分）

ノートWhat you should be able to do
  • \(x^{n}\)、\(\dfrac{1}{x}\)、\(\sin x\)、\(\cos x\)、\(e^{x}\) の indefinite integral（不定積分）を書ける。
  • 根号や分数を、まず指数の形に直してから積分できる。
  • 中身が \(ax + b\) のとき、\(\dfrac{1}{a}\) をかける形を使える。
  • \(\displaystyle\int g'(x)\,f(g(x))\,dx\) の形を見分けられる。
  • 逆連鎖律（見て書く）で積分できる。
  • \(u = g(x)\) と置いて、integration by substitution（置換積分）で積分できる。
  • 足りない定数を、前に出して合わせられる。
  • \(\dfrac{g'(x)}{g(x)}\) の形を、\(\ln\lvert g(x)\rvert\) と書ける。
  • 答えを微分して確かめられる。

The idea

1. Standard integrals（標準的な \(5\) つの形）

よく使う関数の不定積分を、standard integrals（標準的な不定積分）といいます。微分の表を、逆向きに読めば得られます（SL 5.6）。

\[ \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1 \tag{1}\]

\[ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \tag{2}\]

\[ \int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C \tag{3}\]

\[ \int e^{x}\,dx = e^{x} + C \tag{4}\]

重要この式は公式集にあります

公式集の 5.10 の欄に、式 2、式 3 の \(2\) 本、式 4 が印刷されています。おぼえる必要はありませんが、どこにあるかは知っておいてください。

\(\dfrac{1}{x}\) だけは 式 1 が使えません（\(n = -1\) とすると \(0\) で割ることになります）。絶対値が付いているのは \(x < 0\) の側もふくめるためで、domain（定義域）が \(x > 0\) と分かっているときは \(\ln x\) と書いてかまいません。

\(+C\) を忘れないでください（SL 5.5）。不定積分の答えには、必ず付けます。

\(\sin\) と \(\cos\) の \(x\) は radian（ラジアン）で測った角です（SL 5.6）。度で測った角には、この形は使えません。

例題 1 Find \(\displaystyle\int \left(\frac{3}{x} + 2e^{x} - \sin x\right)dx\).

項ごとに、式 2 から 式 4 を使います（第 1 節）。

\[ \int \frac{3}{x}\,dx = 3\ln|x| \]

\[ \int 2e^{x}\,dx = 2e^{x} \]

\[ \int (-\sin x)\,dx = \cos x \]

\[ \int \left(\frac{3}{x} + 2e^{x} - \sin x\right)dx = 3\ln|x| + 2e^{x} + \cos x + C \]

検算（符号）。 \(\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x\) ✓ もとの \(-\sin x\) にもどりました。

検算（\(x < 0\) でも）。 \(x < 0\) では \(\ln|x| = \ln(-x)\) で、微分すると \(\dfrac{1}{-x} \times (-1) = \dfrac{1}{x}\) ✓ 負の側でも、もとの \(\dfrac{3}{x}\) にもどります（第 1 節）。

検算（\(e^{x}\)）。 \(\dfrac{d}{dx}(2e^{x}) = 2e^{x}\) ✓ 変わらないのが \(e^{x}\) の性質です。

検算（定数を足しても）。 \(3\ln|x| + 2e^{x} + \cos x + 7\) を微分しても同じ式にもどります ✓ 定数が決まらないので、\(C\) を残します。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\int \left(\frac{3}{x} + 2e^{x} - \sin x\right)dx = 3\ln|x| + 2e^{x} + \cos x + C\]

2. Rational exponents（指数が分数のとき）

式 1 は、\(n\) が分数でも使えます。 \(n\) が有理数（\(n \in \mathbb{Q}\)、ただし \(n \ne -1\)）なら、同じ式で積分できます。

重要この式は公式集にあります

式 1 は公式集の 5.5 の欄に、Integral of \(x^{n}\) として印刷されています（SL 5.5）。5.10 の欄ではありません。

やることは変わりません。 指数を \(1\) 増やして、その新しい指数で割ります。

表 1: 分数の指数
もとの形 指数の形 不定積分
\(\sqrt{x}\) \(x^{\frac{1}{2}}\) \(\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) \(x^{-\frac{1}{2}}\) \(2x^{\frac{1}{2}} + C\)
\(\sqrt[3]{x}\) \(x^{\frac{1}{3}}\) \(\dfrac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C\)

分数で割るときは、逆数をかけます。 \(\dfrac{3}{2}\) で割ることは、\(\dfrac{2}{3}\) をかけることです。

まず指数の形に直してください（SL 5.3）。根号や分数のままでは、式 1 にあてはめられません。

根号があるときは、定義域に気をつけてください。 \(\sqrt{x}\) が使えるのは \(x \geq 0\)、\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) が使えるのは \(x > 0\) のところだけです。このページでは、\(n\) が整数でない \(x^{n}\) は \(x > 0\) の範囲で考えます。

3. Composites with \(ax + b\)（\(ax + b\) との合成）

中身が \(1\) 次式（\(ax + b\)）のとき、つまり中身に \(x^{2}\) や \(\sin x\) のようなものが入っていないときは、最後に \(\dfrac{1}{a}\) をかけます。

\[ \int f'(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}f(ax + b) + C, \qquad a \ne 0 \tag{5}\]

式 5 は公式集にありません。 この形は自分で使えるようにしておいてください。

表 2: \(ax + b\) との合成
積分 答え
\(\displaystyle\int (ax + b)^{n}\,dx\)（\(n \ne -1\)） \(\dfrac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C\)
\(\displaystyle\int \frac{1}{ax + b}\,dx\) \(\dfrac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C\)
\(\displaystyle\int \sin(ax + b)\,dx\) \(-\dfrac{1}{a}\cos(ax + b) + C\)
\(\displaystyle\int \cos(ax + b)\,dx\) \(\dfrac{1}{a}\sin(ax + b) + C\)
\(\displaystyle\int e^{ax + b}\,dx\) \(\dfrac{1}{a}e^{ax + b} + C\)

割るのは \(a\) だけで、\(b\) では割りません。 \(b\) は中身にそのまま残します。\(\displaystyle\int e^{5x - 1}\,dx\) なら、答えの中身も \(5x - 1\) のままです。

最後に、必ず微分して確かめてください。 微分してもとの式にもどり、\(+C\) が書いてあれば、その答えで合っています（SL 5.6）。これは自分でできる検算です。

例題 2 Find each of the following.

(a) \(\displaystyle\int \cos(3x - 1)\,dx\)

(b) \(\displaystyle\int e^{5x - 1}\,dx\)

(a) 中身は \(3x - 1\) なので \(a = 3\) です（第 3 節）。\(\cos\) の積分は \(\sin\) で、それに \(\dfrac{1}{3}\) をかけます。

\[ \int \cos(3x - 1)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x - 1) + C \]

(b) 中身は \(5x - 1\) なので \(a = 5\) です。\(e^{x}\) の積分は \(e^{x}\) のままで、\(\dfrac{1}{5}\) をかけます。

\[ \int e^{5x - 1}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x - 1} + C \]

検算（(a) を微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{3}\sin(3x - 1)\right) = \dfrac{1}{3} \times 3\cos(3x - 1) = \cos(3x - 1)\) ✓

検算（(b) を微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{5}e^{5x - 1}\right) = \dfrac{1}{5} \times 5e^{5x - 1} = e^{5x - 1}\) ✓

検算（中身を落としたら）。 もし \(\dfrac{1}{3}\sin(3x)\) と書くと、微分して \(\cos(3x)\) になり、もとの \(\cos(3x - 1)\) とはちがう関数です ✓ 中身の \(-1\) は落とせません。

検算（かけるのは \(\dfrac{1}{a}\)）。 \(a = 3\) なら \(\dfrac{1}{3}\)、\(a = 5\) なら \(\dfrac{1}{5}\) です ✓ \(3\) や \(5\) をかけるのではありません。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[\int \cos(3x - 1)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x - 1) + C\]

(b) \[\int e^{5x - 1}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x - 1} + C\]

4. Reverse chain rule（逆連鎖律）

reverse chain rule（逆連鎖律）は、chain rule（連鎖律）で微分したあとの形を見分けて、逆向きに積分する方法です。たとえば、次の \(2\) つの積分を見てください。

\[ \int 3x^{2}\,\bigl(x^{3} - 4\bigr)^{5}dx, \qquad \int 4x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx \]

\(1\) つ目は、composite function（合成関数）の中身が \(x^{3} - 4\) で、その derivative（導関数）\(3x^{2}\) がかけてあります。 \(2\) つ目は、合成関数の中身が \(x^{2}\) で、その導関数 \(2x\) が、\(2\) 倍された \(4x\) の形でかけてあります。

このように、中身の導関数がかけ算でくっついている形を探します。

\[ \int g'(x)\,f(g(x))\,dx \tag{6}\]

\(g(x)\) が「合成関数の中身」、\(g'(x)\) が「中身の導関数」、\(f\) が「外側の関数」です。 中身は、かっこの中、根号の中、\(\sin\) や \(e\) の右にあるものです。それを微分したものが（定数倍のちがいを除いて）かけてあるかどうかを見ます。中身が \(ax + b\) のときは、第 3 節 の形で足ります。

この形は、chain rule で微分したあとの姿です（SL 5.6）。合成関数を微分すると、外側を微分したものに、中身の導関数 \(g'(x)\) がかかります。かけてある \(g'(x)\) は、その「微分したときに出てきた分」です。

だから、外側だけを積分して、中身はそのままにします。 \(g'(x)\) は役目を終えるので、答えには残りません。

はじめの例 \(\displaystyle\int 3x^{2}\bigl(x^{3} - 4\bigr)^{5}dx\) でやってみます。外側は \(5\) 乗なので、積分すると \(6\) 乗を \(6\) で割った形です。中身は \(x^{3} - 4\) のままにします。

\[ \int 3x^{2}\bigl(x^{3} - 4\bigr)^{5}dx = \frac{\bigl(x^{3} - 4\bigr)^{6}}{6} + C \]

必ず微分して確かめてください。 これが自分でできる検算です。

\[ \frac{d}{dx}\frac{\bigl(x^{3} - 4\bigr)^{6}}{6} = \frac{6\bigl(x^{3} - 4\bigr)^{5} \times 3x^{2}}{6} = 3x^{2}\bigl(x^{3} - 4\bigr)^{5} \]

5. The \(\dfrac{g'(x)}{g(x)}\) form（対数になる形）

分子が分母の導関数なら、答えは \(\ln\) です。

\[ \int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln\lvert g(x)\rvert + C \tag{7}\]

式 7 は、式 6 で \(f(u) = \dfrac{1}{u}\) とした場合です。 新しい規則ではありません（第 1 節）。

定義域から \(g(x) > 0\) と分かるときだけ、絶対値を外して \(\ln g(x)\) と書けます（第 1 節）。分からないときは \(\ln\lvert g(x)\rvert\) のままにしてください。 \(g(x)\) が負になる範囲もあるからです。

分子と分母がこの関係になっている例を \(1\) つ見ておきます。分母を \(g(x) = \cos x\) とすると \(g'(x) = -\sin x\) なので、分子は \(-g'(x)\) です。

\[ \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C \tag{8}\]

式 8 の負号は、\(-g'(x)\) の \(-\) です。 分子が \(g'(x)\) の \(-1\) 倍だから、答えにも \(-\) が付きます。

6. Adjusting the constant（定数を合わせる）

\(g'(x)\) がぴったりでなくても、定数倍なら直せます。 定数は積分の外に出せるからです（SL 5.5）。次の \(3\) つが典型です（表 3）。

表 3: 定数を合わせる
見えている形 中身 \(g(x)\) \(g'(x)\) 不定積分
\(x\left(x^{2}+1\right)^{3}\) \(x^{2}+1\) \(2x\) \(\dfrac{\left(x^{2}+1\right)^{4}}{8} + C\)
\(x^{4}\left(x^{5}+2\right)^{3}\) \(x^{5}+2\) \(5x^{4}\) \(\dfrac{\left(x^{5}+2\right)^{4}}{20} + C\)
\(\dfrac{x}{x^{2}+3}\) \(x^{2}+3\) \(2x\) \(\dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+3\right) + C\)

どれも、見えている形が \(g'(x)\) の定数倍になっています。 \(1\) つ目は \(x = \dfrac{1}{2} \times 2x\)、\(2\) つ目は \(x^{4} = \dfrac{1}{5} \times 5x^{4}\)、\(3\) つ目は分子の \(x\) が \(\dfrac{1}{2} \times 2x\) です。その分だけ、答えにも \(\dfrac{1}{2}\) や \(\dfrac{1}{5}\) がかかります。

\(3\) つ目に絶対値が要らないのは、\(x^{2}+3\) がつねに正だからです（第 5 節）。

\(x\) を含むものは、外に出せません。 \(\dfrac{1}{x}\) や \(\dfrac{1}{2x}\) を積分の外に出すことはできません。

7. Integration by substitution（置換積分）

第 4 節 で見て書いた積分は、別のやり方でも解けます。 それが integration by substitution（置換積分）です。合成関数の中身を \(u\) と置くのがコツです。

\[ u = g(x), \qquad \frac{du}{dx} = g'(x), \qquad du = g'(x)\,dx \tag{9}\]

\(g'(x)\,dx\) のかたまりを、まるごと \(du\) に置きかえるのが要点です。 \(dx\) だけを \(du\) に書き替えるのではありません。

同じ例 \(\displaystyle\int 3x^{2}\bigl(x^{3} - 4\bigr)^{5}dx\) でやってみます。中身が \(x^{3} - 4\) なので、\(u = x^{3} - 4\) と置きます。微分すると \(\dfrac{du}{dx} = 3x^{2}\) なので、\(du = 3x^{2}\,dx\) です。

\[ \int \bigl(x^{3} - 4\bigr)^{5}\,3x^{2}\,dx = \int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C \]

最後に \(u = x^{3} - 4\) をもどします。 答えは \(\dfrac{\bigl(x^{3} - 4\bigr)^{6}}{6} + C\) で、第 4 節 で見て書いたものと同じです。

\(x\) が \(1\) つでも残っていたら、まだ積分できません。 すべて \(u\) で書けてから積分します。\(u\) が残ったままでも、もとの積分の答えになっていません。 \(u = g(x)\) をもどすところまでが答えです。

例題 3 Find \(\displaystyle\int 6x\left(x^{2} + 5\right)^{3}dx\).

中身は \(x^{2} + 5\) です（第 4 節）。これを微分すると \(2x\) で、式には \(6x\) があります。

\[ 6x = 3 \times 2x \]

\(u = x^{2} + 5\)、\(du = 2x\,dx\) と置きます（第 7 節）。

\[ \int 6x\left(x^{2} + 5\right)^{3}dx = 3\int u^{3}\,du = \frac{3u^{4}}{4} + C \]

\(u\) をもどします。

\[ \int 6x\left(x^{2} + 5\right)^{3}dx = \frac{3\left(x^{2} + 5\right)^{4}}{4} + C \]

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{3(x^{2}+5)^{4}}{4}\right) = \dfrac{3}{4} \times 4(x^{2}+5)^{3} \times 2x = 6x(x^{2}+5)^{3}\) ✓ もとの式にもどりました。

検算（\(3\) の出どころ）。 \(3 \times 2x = 6x\) です ✓ この \(3\) が積分の外に出た定数です。

検算（\(x\) にもどしたか）。 答えに \(u\) が残っていません ✓

検算（展開しても合うか）。 \(6x(x^{2}+5)^{3}\) を展開すると \(6x^{7} + 90x^{5} + 450x^{3} + 750x\) で、項ごとに積分すると \(\dfrac{3}{4}x^{8} + 15x^{6} + \dfrac{225}{2}x^{4} + 375x^{2}\) です。答えを展開したものとは定数だけちがいます ✓ 原始関数は定数のちがいを除いて決まるので、これで合っています。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[u = x^{2} + 5, \quad du = 2x\,dx\] \[\int 6x\left(x^{2} + 5\right)^{3}dx = 3\int u^{3}\,du = \frac{3u^{4}}{4} + C\] \[= \frac{3\left(x^{2} + 5\right)^{4}}{4} + C\]

例題 4 Find each of the following.

(a) \(\displaystyle\int x\,e^{x^{2}}\,dx\)

(b) \(\displaystyle\int \frac{2x + 3}{x^{2} + 3x + 1}\,dx\)

(a) 中身は \(e\) の肩の \(x^{2}\) です。微分すると \(2x\) で、式には \(x\) があります。

\[ u = x^{2}, \qquad du = 2x\,dx, \qquad x\,dx = \frac{1}{2}\,du \]

\[ \int x\,e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{u} + C = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C \]

(b) 分母を \(g(x) = x^{2} + 3x + 1\) とすると、\(g'(x) = 2x + 3\) です。分子がちょうどそれになっています（第 5 節）。

\[ \int \frac{2x + 3}{x^{2} + 3x + 1}\,dx = \ln\lvert x^{2} + 3x + 1\rvert + C \]

検算（(a) を微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}\right) = \dfrac{1}{2}e^{x^{2}} \times 2x = x\,e^{x^{2}}\) ✓

検算（(b) を微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\ln\lvert x^{2}+3x+1\rvert = \dfrac{2x+3}{x^{2}+3x+1}\) ✓

検算（(b) の絶対値）。 \(x^{2} + 3x + 1\) は discriminant（判別式）が \(9 - 4 = 5 > 0\) なので、負になる範囲があります ✓ 絶対値を落とせません。

検算（(a) で \(e^{x^{2}}\) の中身）。 答えの肩も \(x^{2}\) のままです ✓ \(u\) が残っていません。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[u = x^{2}, \quad du = 2x\,dx\] \[\int x\,e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C\]

(b) \[\int \frac{2x + 3}{x^{2} + 3x + 1}\,dx = \ln\lvert x^{2} + 3x + 1\rvert + C\]

8. Choosing \(u\)（\(u\) の選び方）

\(u\) には「中身」を選びます。 外側ではありません。かっこの中、根号の中、\(\sin\) や \(e\) の右、分数の分母が候補です。

選んだ \(u\) を微分して、その形が式の中にあるか確かめてください。 なければ、その選び方はうまくいきません。

\(g'(x)\) がまったくないときは、この方法は使えません。 たとえば \(\displaystyle\int \left(x^{2}+3\right)^{2}dx\) には \(2x\) がかかっていないので、\(u = x^{2}+3\) と置いても \(dx\) を \(du\) に直せません。この積分は展開して求めます。

中身が \(ax+b\) でもなく、\(g'(x)\) もかかっていないときは、置換以外の方法を考えます。 かっこを展開できるものは、展開して項ごとに積分します。\(\displaystyle\int \cos(x^{2})\,dx\) のように展開もできないものは、AA SL の範囲では原始関数を書けません。

警告この項目は電卓なしで解きます

逆連鎖律も置換積分も、手で計算する方法です。Paper 1 の項目です。

置換で解いたときは、\(u\) と \(du\) を書いた行を答案に残してください。 見て書いたとき（第 4 節）は、答えを書いてから微分して確かめた行を残します。どちらでも、途中の式が読み手に見える形にします。

もとの被積分関数のグラフと、自分の答えを微分したもののグラフを重ねてかくと、\(2\) つが同じ曲線になるかどうかが見えます。

それでも、答案には手で書いた式が要ります。 電卓は確かめに使ってください。

Why it works

図 1: 微分すると \(a\) がかかるので、積分では \(a\) で割ります。

なぜ、\(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx\) に絶対値が付くのでしょうか。 \(x < 0\) の側も表したいからです。

\(x > 0\) では \(\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}\) です（SL 5.6）。\(x < 0\) のときは \(-x > 0\) なので \(\ln(-x)\) が使えて、連鎖律で微分すると次のようになります。

\[ \frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{-x} \times (-1) = \frac{1}{x} \]

どちらの側でも、導関数は \(\dfrac{1}{x}\) です。 \(2\) つをまとめて書いたものが \(\ln|x|\) です。

なぜ、\(\displaystyle\int \sin x\,dx\) に負号が付くのでしょうか。 微分して確かめれば分かります。

原始関数の候補を \(\cos x\) にしてみます。\(\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x\) なので、これでは \(\sin x\) ではなく \(-\sin x\) にもどってしまいます。符号を合わせるために、\(-\cos x\) のほうを選びます。 \(\dfrac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x\) です。

なぜ、\(ax + b\) の合成には \(\dfrac{1}{a}\) が要るのでしょうか。 微分すると \(a\) がかかるからです。

連鎖律で \(f(ax + b)\) を微分すると、中身の導関数 \(a\) がかかります（SL 5.6）。

\[ \frac{d}{dx}f(ax + b) = a\,f'(ax + b) \]

よけいな \(a\) を打ち消すために、\(\dfrac{1}{a}\) をかけておきます（図 1）。\(\dfrac{1}{a}\) は定数なので、微分してもそのまま残ります。

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a}f(ax + b)\right) = \frac{1}{a} \times a\,f'(ax + b) = f'(ax + b) \]

なぜ、中身が \(x^{2}\) ではだめなのでしょうか。 \(\dfrac{1}{2x}\) が定数ではないからです。

\(\dfrac{1}{a}\) を前に出せたのは、\(a\) が定数だったからです。中身が \(x^{2}\) なら、かかるのは \(2x\) で、\(x\) を含みます。\(x\) を含むものを、積分の外には出せません。

なぜ、\(g'(x)\) がかかっていると積分できるのでしょうか。 連鎖律が、ちょうどその形を作るからです。

\(F' = f\) となる \(F\) があるとき、\(F(g(x))\) を微分すると次のようになります（SL 5.6）。

\[ \frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x)) \times g'(x) = g'(x)\,f(g(x)) \]

右辺が、まさに見分けたい形です。 だから、その積分は \(F(g(x)) + C\) です。

なぜ、\(du = g'(x)\,dx\) と書いてよいのでしょうか。 上の計算を、記号で短く書いたものだからです。

\(u = g(x)\) とすると \(\dfrac{du}{dx} = g'(x)\) です。ここで \(du\) と \(dx\) を別々の数のように動かすのは、連鎖律の計算を短く書くための記法です。分数の計算をしているわけではありませんが、AA SL ではこの書き方でかまいません。

なぜ、\(g'(x)\) がないと使えないのでしょうか。 定数しか外に出せないからです。

\(\displaystyle\int \sqrt{x^{2}+1}\,dx\) で \(u = x^{2}+1\) と置くと \(du = 2x\,dx\) ですが、式に \(2x\) がありません。\(dx = \dfrac{du}{2x}\) と書いても \(x\) が残り、\(x\) を含むものは積分の外に出せません（第 6 節）。

なぜ、\(\displaystyle\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx\) が \(\ln\) になるのでしょうか。 \(f(u) = \dfrac{1}{u}\) の場合だからです。

\(\dfrac{g'(x)}{g(x)}\) は \(g'(x) \times \dfrac{1}{g(x)}\) です。\(\dfrac{1}{u}\) の原始関数は \(\ln\lvert u\rvert\) なので（第 1 節）、答えは \(\ln\lvert g(x)\rvert + C\) になります。

Common errors

警告\(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx\) を \(\ln x\) と書く

定義域が \(x > 0\) と分かっていないかぎり、\(\ln|x|\) が要ります（第 1 節）。

警告\(\displaystyle\int \sin x\,dx\) を \(\cos x\) と書く

負号が付いて \(-\cos x + C\) です（第 1 節）。微分して確かめてください。

警告\(ax + b\) の合成で \(\dfrac{1}{a}\) をかけ忘れる

中身を写すだけでは足りません（第 3 節）。微分すると \(a\) が余ります。

警告\(\dfrac{1}{a}\) ではなく \(a\) をかける

微分で \(a\) がかかるので、積分では \(a\) で割ります（第 3 節）。

警告中身が \(ax + b\) でないのに \(\dfrac{1}{a}\) の形を使う

\(\dfrac{1}{a}\) を前に出せるのは、\(a\) が定数のときだけです（第 3 節）。

警告根号のまま積分しようとする

先に \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) のように指数の形へ直します（第 2 節）。

警告\(g'(x)\) がないのに、逆連鎖律を使う

中身の導関数がかかっていることが条件です（第 4 節）。\(\displaystyle\int \left(x^{2}+3\right)^{2}dx\) には使えません。

警告定数を合わせ忘れる

\(du = g'(x)\,dx\) の行を書けば、必要な定数が見えます（第 6 節）。

警告\(u\) のままで答えを書く

最後に \(u = g(x)\) をもどします（第 7 節）。\(x\) の式にするまでが答えです。

警告\(dx\) を \(du\) に直さないまま積分する

\(dx\) が残っていると、\(u\) で積分できません（第 7 節）。

警告\(\displaystyle\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx\) で絶対値を落とす

\(g(x)\) が負になる範囲もあります（第 5 節）。

警告\(x\) を含むものを、積分の外に出す

外に出せるのは定数だけです（第 6 節）。\(\dfrac{1}{2x}\) は出せません。

Exercises

1 Find \(\displaystyle\int \left(\frac{2}{\sqrt{x}} - x^{3}\right)dx\), for \(x > 0\).

\[\frac{2}{\sqrt{x}} - x^{3} = 2x^{-\frac{1}{2}} - x^{3}\]

\[\int \left(2x^{-\frac{1}{2}} - x^{3}\right)dx = 4\sqrt{x} - \frac{x^{4}}{4} + C\]

指数が負の分数でも、やることは変わりません（第 2 節）。\(-\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}\) で、\(\dfrac{1}{2}\) で割ることは \(2\) をかけることです。

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(4x^{\frac{1}{2}}\right) = 4 \times \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = 2x^{-\frac{1}{2}}\) ✓ もとの第 \(1\) 項にもどりました。

検算（第 \(2\) 項）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{x^{4}}{4}\right) = -x^{3}\) ✓

検算（指数が \(1\) 増えたか）。 \(-\dfrac{1}{2}\) が \(\dfrac{1}{2}\) に、\(3\) が \(4\) になっています ✓

検算（定義域）。 \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) が使えるのは \(x > 0\) のところだけです ✓ 問題文の条件と合っています。

2 Find \(\displaystyle\int \sqrt{4x + 1}\,dx\).

\[\sqrt{4x + 1} = (4x + 1)^{\frac{1}{2}}\]

\[\int \sqrt{4x + 1}\,dx = \frac{(4x + 1)^{\frac{3}{2}}}{6} + C\]

指数の形に直してから、表 2 の \(1\) 行目を使います。\(n = \dfrac{1}{2}\)、\(a = 4\) なので、割る数は \(a(n + 1) = 4 \times \dfrac{3}{2} = 6\) です。

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{(4x + 1)^{\frac{3}{2}}}{6}\right) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{3}{2}(4x + 1)^{\frac{1}{2}} \times 4 = (4x + 1)^{\frac{1}{2}}\) ✓

検算（規則を \(2\) つ使う）。 分数の指数（第 2 節）と \(ax + b\)（第 3 節）の両方が要ります ✓ どちらか一方だけでは足りません。

検算（定義域）。 \(\sqrt{4x + 1}\) が使えるのは \(4x + 1 \geq 0\)、つまり \(x \geq -\dfrac{1}{4}\) のところです ✓

3 Find \(\displaystyle\int \frac{1}{5x - 2}\,dx\).

\[\int \frac{1}{5x - 2}\,dx = \frac{1}{5}\ln\lvert 5x - 2\rvert + C\]

式 2 に合成の \(\dfrac{1}{5}\) をかけます（第 3 節）。

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{5}\ln\lvert 5x - 2\rvert\right) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{5}{5x - 2} = \dfrac{1}{5x - 2}\) ✓

検算（絶対値）。 定義域の指定がないので、\(5x - 2 < 0\) の側も表せる形にします ✓

検算（指数の公式を使っていないか）。 指数が \(-1\) なので 式 1 は使えません ✓（第 1 節）。

4 A curve is defined for \(x > 0\), and its gradient is given by \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2}{x} + e^{x}\). The curve passes through the point \((1, 4)\). Find \(y\) in terms of \(x\).

\[y = 2\ln x + e^{x} + C\]

\[2\ln 1 + e + C = 4 \quad \Rightarrow \quad C = 4 - e\]

\[y = 2\ln x + e^{x} + 4 - e\]

積分してから、通る点を代入して \(C\) を決めます（SL 5.5）。

検算（絶対値を外してよい理由）。 定義域が \(x > 0\) なので \(\ln x\) と書けます ✓（第 1 節）。

検算（\(\ln 1\)）。 \(\ln 1 = 0\) なので、残るのは \(e + C = 4\) です ✓

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(2\ln x + e^{x} + 4 - e\right) = \dfrac{2}{x} + e^{x}\) ✓ \(4 - e\) は定数なので消えます。

検算（\(C\) の形）。 \(4 - e\) は \(1\) つの数です ✓ \(e\) は約 \(2.718\) なので、\(C\) は約 \(1.28\) です。

5 A student writes \(\displaystyle\int \cos(2x)\,dx = 2\sin(2x) + C\). Identify the error and give the correct answer.

the student multiplied by \(a\) instead of dividing by \(a\)

\[\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C\]

合成のときにかけるのは \(\dfrac{1}{a}\) です（第 3 節）。

検算（生徒の答えを微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\bigl(2\sin(2x)\bigr) = 4\cos(2x)\) ✓ もとの式の \(4\) 倍になってしまいます。

検算（正しい答えを微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{2}\sin(2x)\right) = \dfrac{1}{2} \times 2\cos(2x) = \cos(2x)\) ✓

検算（ずれの大きさ）。 \(\dfrac{1}{2}\) をかけるべきところを \(2\) にしたので、生徒の答えは正しい値の \(4\) 倍になっています ✓ \(2\) は \(\dfrac{1}{2}\) の \(4\) 倍だからです。

試験ではこう書く

The student multiplied by \(a\) instead of dividing by \(a\).

Here \(a = 2\), so the factor should be \(\frac{1}{2}\), not \(2\).

Differentiating \(2\sin(2x)\) gives \(4\cos(2x)\), not \(\cos(2x)\).

The correct answer is \(\frac{1}{2}\sin(2x) + C\).

6 Find \(\displaystyle\int \frac{\cos x}{2 + \sin x}\,dx\).

\[\int \frac{\cos x}{2 + \sin x}\,dx = \ln\left(2 + \sin x\right) + C\]

分子が分母の導関数そのものです（第 5 節）。\(g(x) = 2 + \sin x\) とすると \(g'(x) = \cos x\) です。

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\ln\left(2+\sin x\right) = \dfrac{\cos x}{2+\sin x}\) ✓

検算（絶対値を外してよい理由）。 \(\sin x\) は \(-1\) 以上なので、\(2 + \sin x\) は \(1\) 以上です ✓ つねに正なので、絶対値は要りません。

検算（\(0\) にならないか）。 \(2 + \sin x\) が \(0\) になることはありません ✓ どの \(x\) でも使えます。

7 Find \(\displaystyle\int \cos x\,e^{\sin x}\,dx\) by inspection, without writing a substitution. Verify your answer by differentiating it.

\[\int \cos x\,e^{\sin x}\,dx = e^{\sin x} + C\]

\[\frac{d}{dx}e^{\sin x} = e^{\sin x} \times \cos x \ \checkmark\]

\(e\) の肩が中身で、その導関数 \(\cos x\) がそのままかかっています（第 4 節）。\(e^{u}\) の原始関数は \(e^{u}\) なので、中身を \(\sin x\) のまま書けば終わりです。

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}e^{\sin x} = e^{\sin x} \times \cos x\) ✓ もとの式にもどりました。

検算（定数を落としていないか）。 \(du = \cos x\,dx\) で、式の \(\cos x\,dx\) がそのまま \(du\) になります ✓ もし式が \(2\cos x\,e^{\sin x}\) なら、答えは \(2e^{\sin x} + C\) です。

検算（肩を \(u\) のままにしていないか）。 答えの肩は \(\sin x\) です ✓ \(u\) が残っていたら、まだ答えになっていません。

8 Find \(\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\,dx\).

\[u = x^{2} + 9, \quad du = 2x\,dx\]

\[\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}\,du = u^{\frac{1}{2}} + C\]

\[= \sqrt{x^{2} + 9} + C\]

根号の中が中身です。\(\dfrac{1}{\sqrt{u}} = u^{-\frac{1}{2}}\) と書き直してから積分します（第 2 節）。

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\sqrt{x^{2}+9} = \dfrac{1}{2}\left(x^{2}+9\right)^{-\frac{1}{2}} \times 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\) ✓

検算（係数）。 \(\dfrac{1}{2} \times 2 = 1\) です ✓ \(u^{\frac{1}{2}}\) の前に係数が残りません。

検算（指数）。 \(-\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}\) ✓

9 Consider \(\displaystyle\int \frac{6x^{2}}{\left(x^{3} + 2\right)^{2}}\,dx\).

(a) Write down a suitable substitution \(u\), and find \(du\).

(b) Write the integral in terms of \(u\).

(c) Hence find the integral in terms of \(x\).

(a) \[u = x^{3} + 2, \quad du = 3x^{2}\,dx\]

(b) \[2\int u^{-2}\,du\]

(c) \[2 \times \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{2}{x^{3} + 2} + C\]

\(u\) を置き、\(du\) を書き、定数を合わせてから積分します（第 7 節）。分母は \(u^{2}\) なので、\(u^{-2}\) と書き直してから積分します。

検算（(a) の \(du\)）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(x^{3}+2\right) = 3x^{2}\) ✓

検算（(b) の \(2\)）。 \(6x^{2} = 2 \times 3x^{2}\) です ✓

検算（(c) を微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(-2\left(x^{3}+2\right)^{-1}\right) = 2\left(x^{3}+2\right)^{-2} \times 3x^{2} = \dfrac{6x^{2}}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}\) ✓

検算（\(\ln\) ではない）。 分母が \(2\) 乗なので、\(\dfrac{g'}{g}\) の形ではありません ✓ 答えは \(\ln\) になりません（第 5 節）。

10 Explain why \(\displaystyle\int 2x\left(x^{2} + 1\right)^{4}dx\) can be found by substitution, but \(\displaystyle\int \left(x^{2} + 1\right)^{4}dx\) cannot.

with \(u = x^{2} + 1\), \(du = 2x\,dx\), and the first integral already contains the factor \(2x\)

the second has no factor of \(x\), so \(dx\) cannot be replaced by \(du\) without leaving an \(x\)

the second integral is found by expanding the bracket instead

置換積分ができるのは、\(g'(x)\) がかかっているときだけです（第 8 節）。

検算（\(1\) つめ）。 \(\dfrac{d}{dx}\dfrac{\left(x^{2}+1\right)^{5}}{5} = \left(x^{2}+1\right)^{4} \times 2x\) ✓ うまくいきます。

検算（\(2\) つめで試すと）。 \(dx = \dfrac{du}{2x}\) と書いても \(x\) が残ります ✓ \(\dfrac{1}{2x}\) は定数ではないので、外に出せません（第 6 節）。

検算（展開すると）。 \(\left(x^{2}+1\right)^{4} = x^{8} + 4x^{6} + 6x^{4} + 4x^{2} + 1\) で、\(5\) 項とも \(x^{n}\) の公式で積分できます ✓（第 2 節）。

試験ではこう書く

Substitution needs the derivative of the inside function to appear as a factor.

With \(u = x^{2}+1\) we have \(du = 2x\,dx\), and the first integral contains exactly that factor \(2x\), so it becomes \(\int u^{4}\,du\).

The second integral has no factor of \(x\), so replacing \(dx\) by \(\frac{du}{2x}\) leaves an \(x\) in the integrand, and only constants may be taken outside an integral.

The second integral is found by expanding the bracket and integrating term by term.