SL 1.7b — Laws of logarithms, change of base and exponential equations（対数法則・底の変換・指数方程式）

ノートWhat you should be able to do
  • 公式集の logarithm（対数）法則 \(3\) つ（積・商・累乗）を、両向きに使える。
  • change of base（底の変換）の式を使って、底のちがう対数をそろえられる。
  • \(\log_{a} a^{x} = x\) と \(a^{\log_{a} x} = x\) が、打ち消し合う組であることが分かる。
  • 指数方程式を、両辺の底をそろえて解ける。
  • 底がそろえられないときに、両辺の対数をとって解ける。
  • 答えを \(\dfrac{\ln p}{\ln q}\) や \(\log_{a} b\) の形で、正確に書ける。

The idea

1. Laws of logarithms（対数法則は、指数法則の言いかえ）

対数法則が、指数法則から出てくることを見ます。図は、値を掛けると指数が足されるようすです。

図 1: 値を掛けると、指数は足し算になります。

SL 1.5 で、対数は指数を取り出すものだと見ました（図 1）。

指数の世界では、掛け算をすると指数が足し算になります（SL 1.5 第 2 節）。

\[ 2^{3} \times 2^{2} = 2^{5} \]

これを対数で書き直すと、

\[ \log_{2} 8 + \log_{2} 4 = \log_{2} 32 \]

\(3 + 2 = 5\) です。掛け算が、足し算に変わりました。

これが laws of logarithms（対数法則）の正体です。新しい規則ではなく、指数法則を別の言葉で言っただけです。

2. The three laws（\(3\) つの法則）

かけ算・わり算・累乗を、\(\log\) の足し算・引き算・かけ算に変える法則は、次の \(3\) つです。

\[ \log_{a} xy = \log_{a} x + \log_{a} y \tag{1}\]

\[ \log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y \tag{2}\]

\[ \log_{a} x^{m} = m \log_{a} x \tag{3}\]

重要この \(3\) つは公式集にあります

公式集の 1.7 の欄に、そのまま印刷されています。

\(\log_{a} xy = \log_{a} x + \log_{a} y\)

\(\log_{a} \dfrac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y\)

\(\log_{a} x^{m} = m \log_{a} x\)

使える範囲は、\(a\)、\(x\)、\(y\) がどれも正（\(a, x, y > 0\)）のときです。

これに加えて、底は \(a \neq 1\) でなければなりません。\(1\) は何乗しても \(1\) なので、\(\log_{1}\) は決まらないからです（SL 1.5）。

\(3\) つとも、底 \(a\) は動きません。 変わるのは中身だけです。

警告足し算・引き算には、法則がありません

\(\log_{a}(x + y)\) を、\(\log_{a} x\) と \(\log_{a} y\) に分ける法則はありません。

\[ \log_{a}(x+y) \neq \log_{a} x + \log_{a} y \]

法則が使えるのは、中身が掛け算・割り算・累乗のときだけです（Common errors）。

（正確には「一般には等しくない」です。\(x + y = xy\) になる特別な場合、たとえば \(x = y = 2\) なら、たまたま両辺が一致します。\(4 = 2 \times 2\) だからです。）

式 3 は、\(2\) 通りに使えます。

  • 前に出す。 \(\log_{2} 4^{5} = 5 \log_{2} 4 = 5 \times 2 = 10\)
  • 中に入れる。 \(3 \log 2 = \log 2^{3} = \log 8\)

どちらの向きも使えるようにしておいてください。

3. Change of base（底の変換）

底のちがう対数を、同じ底にそろえる方法を見ます。図は、底の変換を \(2\) つの対数の比として表したものです。

図 2: 底の変換は、\(2\) つの対数の比で表せます。

底がそろっていないと、第 2 節 の法則は使えません。そこで、底をそろえる change of base（底の変換）の式を使います。

\[ \log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a} \tag{4}\]

重要この式も公式集にあります

公式集の 1.7 の欄に、次の形で印刷されています（図 2）。

\(\log_{a} x = \dfrac{\log_{b} x}{\log_{b} a}\)

条件は、\(a\)、\(b\)、\(x\) がどれも正（\(a, b, x > 0\)）であることです。

これに加えて、\(a \neq 1\) と \(b \neq 1\) が要ります。\(b = 1\) だと分母が \(0\)、\(a = 1\) だと左辺が決まらないからです。

たとえば、次のように使います。

\(\log_47 = \dfrac{\ln7}{\ln4}\)

新しい底の \(b\) は、こちらが選べます。 選び方は \(2\) つです。

表 1: \(b\) の選び方
目的 選ぶ \(b\) 例
手で値を出す \(a\) と \(x\) の共通の底 \(\log_{25} 125 = \dfrac{\log_{5} 125}{\log_{5} 25} = \dfrac{3}{2}\)
電卓で値を出す \(10\) か \(e\) \(\log_{4} 7 = \dfrac{\ln 7}{\ln 4}\)

\(25 = 5^{2}\)、\(125 = 5^{3}\) なので、\(b = 5\) を選べば上下とも整数になります。Paper 1 では、この選び方がポイントになります。

4. Inverse operations（打ち消し合う \(2\) つの式）

指数と対数が、たがいに打ち消し合うことを表す式は、次のとおりです。

\[ \log_{a} a^{x} = x, \qquad a^{\log_{a} x} = x \tag{5}\]

重要これも公式集にあります

公式集の 1.7 の欄に、Exponential and logarithmic functions として印刷されています。

\(a^{x} = \mathrm{e}^{x \ln a}\) ; \(\log_{a} a^{x} = x = a^{\log_{a} x}\)（\(a, x > 0\), \(a \neq 1\)）

前半の \(a^{x} = \mathrm{e}^{x\ln a}\) は、SL では Topic 2（Functions） の exponential function（指数関数）で使います。このページで使うのは、後半のほうです。

意味は単純です。\(\log_{a} x\) は「\(a\) を何乗すれば \(x\) になるか」でした。その答えを、実際に \(a\) の指数に入れ直せば、\(x\) に戻ります。\(\log_{a}\) と \(a^{\square}\) は、たがいに打ち消し合います。

どちらの式も、\(a > 0\)、\(a \neq 1\)、\(x > 0\) のときに使えます。

\[ \log_{2} 2^{7} = 7, \qquad 5^{\log_{5} 9} = 9 \]

指数方程式を解くときに、この打ち消しをそのまま使います（第 7 節）。

例題 1 Find the value of each expression without using a calculator.

(a) \(\log_{2} 40 - \log_{2} 5\)

(b) \(\log_{3} 9^{4}\)

(c) \(\log_{10} 4 + \log_{10} 25\)

(d) \(\log_{9} 27\)

(a) 引き算なので、中身を割ります。

\[ \log_{2} 40 - \log_{2} 5 = \log_{2} 8 = 3 \]

(b) 指数を前に出します（式 3）。

\[ \log_{3} 9^{4} = 4 \log_{3} 9 = 4 \times 2 = 8 \]

(c) 足し算なので、中身を掛けます。\(4 \times 25 = 100\) です。

\[ \log 4 + \log 25 = \log 100 = 2 \]

(d) 底の変換を使います（式 4）。\(9\) も \(27\) も \(3\) の累乗なので、\(b = 3\) を選びます。

\[ \log_{9} 27 = \frac{\log_{3} 27}{\log_{3} 9} = \frac{3}{2} \]

検算（(b) について）。 中身を先に \(3\) の累乗にします。\(9^{4} = \left(3^{2}\right)^{4} = 3^{8}\) なので、\(\log_{3} 3^{8} = 8\) ✓（式 5）式 3 を使わない別の道すじです。

検算（(d) について）。 答えを指数の形に戻します。\(9^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{9}\right)^{3} = 3^{3} = 27\) ✓（SL 1.7a）

(d) を \(\dfrac{2}{3}\) としていたら、上下が逆です。\(9^{\frac{2}{3}} < 9^{1} = 9\) なので、\(27\) には届きません。「\(9\) を何乗したら \(27\) か」を思い出せば、\(1\) より大きいはずだと分かります。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \(\log_{2} 40 - \log_{2} 5 = \log_{2} 8 = 3\)

(b) \(\log_{3} 9^{4} = 4\log_{3} 9 = 8\)

(c) \(\log 4 + \log 25 = \log 100 = 2\)

(d) \(\log_{9} 27 = \dfrac{\log_{3} 27}{\log_{3} 9} = \dfrac{3}{2}\)

5. Combining and splitting logarithms（まとめる・ばらす）

対数の式を変形する問題は、たいてい次のどちらかを求めています。

まとめる。 いくつかの対数を、\(1\) つの対数にします。

\[ 2\log_{3} 2 + \log_{3} 5 = \log_{3} 2^{2} + \log_{3} 5 = \log_{3} 4 + \log_{3} 5 = \log_{3} 20 \]

係数を先に中へ入れるのが順です（式 3）。そうしないと 式 1 が使えません。

ばらす。 \(1\) つの対数を、与えられた記号で表します。

\(\log_{a} 2 = p\)、\(\log_{a} 3 = q\) が与えられていて、\(\log_{a} 12\) を表すなら、

\[ 12 = 2^{2} \times 3, \qquad \log_{a} 12 = 2\log_{a} 2 + \log_{a} 3 = 2p + q \]

中身を素因数に分けるのが、カギです。

例題 2 Write each expression as a single logarithm.

(a) \(\log 6 + \log 5\)

(b) \(\log_{2} 24 - \log_{2} 3\)

(c) \(2\log_{5} 3 + \log_{5} 2\)

(d) Explain why \(\log 6 + \log 5\) can be written as a single logarithm, referring to a law of exponents.

(a) 足し算なので、中身を掛けます（式 1）。

\[ \log 6 + \log 5 = \log 30 \]

(b) 引き算なので、中身を割ります（式 2）。

\[ \log_{2} 24 - \log_{2} 3 = \log_{2} 8 \]

\(8 = 2^{3}\) なので、値まで出ます。\(\log_{2} 8 = 3\) です。

(c) 係数を先に中へ入れます（式 3）。

\[ 2\log_{5} 3 = \log_{5} 3^{2} = \log_{5} 9 \]

\[ \log_{5} 9 + \log_{5} 2 = \log_{5} 18 \]

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

Writing \(6 = 10^{m}\) and \(5 = 10^{n}\) means \(m = \log 6\) and \(n = \log 5\).

The product law of exponents gives \(6 \times 5 = 10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}\), so \(30 = 10^{m+n}\) and therefore \(\log 30 = m + n = \log 6 + \log 5\).

Multiplying the numbers adds their exponents, which is exactly what the first law of logarithms states.

（\(6 = 10^m\)、\(5 = 10^n\) と書けば \(m = \log 6\)、\(n = \log 5\) である。指数の積の法則から \(6 \times 5 = 10^{m+n}\) なので \(30 = 10^{m+n}\) であり、\(\log 30 = m+n = \log 6 + \log 5\) となる。数を掛けると指数が足されるという事実が、対数の第 \(1\) 法則の中身である、という意味です。）

検算（(b) について）。 答えから逆にたどります。\(\log_{2} 8 = 3\) は \(2^{3} = 8\) ということです。この \(8\) に、引いた \(\log_{2} 3\) の中身 \(3\) を掛け戻すと \(8 \times 3 = 24\) ✓ もとの中身に戻りました。

大きさも見ておきます。\(\log_{2} 24\) は \(\log_{2} 16 = 4\) と \(\log_{2} 32 = 5\) の間、\(\log_{2} 3\) は \(1\) と \(2\) の間なので、差は \(2\) と \(4\) の間です。\(3\) はこの中に入ります ✓ 範囲を絞るだけで、値を決める検算ではありません。

検算（(c) について）。 両辺を \(5\) の指数に戻します（式 5）。

\[ 5^{\log_{5} 18} = 18, \qquad 5^{2\log_{5} 3 + \log_{5} 2} = \left(5^{\log_{5} 3}\right)^{2} \times 5^{\log_{5} 2} = 3^{2} \times 2 = 18 \]

どちらも \(18\) です ✓ 対数法則を使わない道すじで、同じところに着きました。

(c) で \(\log_{5} 6\) としていたら、\(2\) を係数のまま \(3 \times 2\) にしています。係数は、中身の指数になります。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \(\log 6 + \log 5 = \log 30\)

(b) \(\log_{2} 24 - \log_{2} 3 = \log_{2} 8 = 3\)

(c) \(2\log_{5} 3 + \log_{5} 2 = \log_{5} 9 + \log_{5} 2 = \log_{5} 18\)

(d) With \(6 = 10^{m}\) and \(5 = 10^{n}\), the product law gives \(30 = 10^{m+n}\), so \(\log 30 = m + n = \log 6 + \log 5\).

6. Exponential equations with a common base（底をそろえて解く指数方程式）

\(x\) が指数にある方程式を exponential equation（指数方程式）と言います。両辺を同じ底の累乗にできるなら、対数は要りません。

\[ 8^{x} = 4 \]

\(8 = 2^{3}\)、\(4 = 2^{2}\) なので、

\[ 2^{3x} = 2^{2} \ \Rightarrow \ 3x = 2 \ \Rightarrow \ x = \frac{2}{3} \]

底がそろえば、指数どうしを比べるだけになります。\(a > 0\)、\(a \neq 1\) のとき \(a^{x}\) は同じ値を \(2\) 度とらないので、両辺の指数を比べてよいのです。

\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\) のような形も、\(2^{-x}\) と書きかえれば同じです（SL 1.5）。

例題 3 Solve each equation.

(a) \(2^{x} = 32\)

(b) \(9^{x} = 27\)

(c) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} = 8\)

(d) \(4^{x+1} = 8^{x}\)

(a) \(32 = 2^{5}\) です。

\[ 2^{x} = 2^{5} \ \Rightarrow \ x = 5 \]

(b) どちらも \(3\) の累乗にします。\(9 = 3^{2}\)、\(27 = 3^{3}\) です。

\[ 3^{2x} = 3^{3} \ \Rightarrow \ 2x = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{3}{2} \]

(c) \(\dfrac{1}{2} = 2^{-1}\) です。

\[ 2^{-x} = 2^{3} \ \Rightarrow \ -x = 3 \ \Rightarrow \ x = -3 \]

(d) どちらも \(2\) の累乗にします。\(4 = 2^{2}\)、\(8 = 2^{3}\) です。

\[ 2^{2(x+1)} = 2^{3x} \ \Rightarrow \ 2x + 2 = 3x \ \Rightarrow \ x = 2 \]

検算。 すべて、もとの式に入れ直します。

(a) \(2^{5} = 32\) ✓ (b) \(9^{\frac{3}{2}} = 3^{3} = 27\) ✓ (c) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3} = 2^{3} = 8\) ✓ (d) \(4^{3} = 64\)、\(8^{2} = 64\) ✓

(d) の検算が、いちばん役に立ちます。 \(2\) の累乗に書き直す作業をやり直さずに、両辺をそのまま計算して同じ \(64\) になることを確かめられます。

(c) で \(x = 3\) としていたら、\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = \dfrac{1}{8}\) となり、\(8\) と逆数の関係になります。\(\dfrac{1}{2} = 2^{-1}\) の \(-1\) を落としています。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \(2^{x} = 2^{5}\), so \(x = 5\)

(b) \(3^{2x} = 3^{3}\), so \(2x = 3\) and \(x = \dfrac{3}{2}\)

(c) \(2^{-x} = 2^{3}\), so \(x = -3\)

(d) \(2^{2x+2} = 2^{3x}\), so \(2x + 2 = 3x\) and \(x = 2\)

7. Taking logarithms（両辺の対数をとって解く）

底がそろえられないときは、両辺の対数をとります。

\[ 3^{x} = 7 \]

\(7\) は \(3\) の累乗ではないので、第 6 節 の方法は使えません。両辺に \(\ln\) をつけます。

\[ \ln 3^{x} = \ln 7 \]

\[ x \ln 3 = \ln 7 \]

\[ x = \frac{\ln 7}{\ln 3} \]

\(2\) 行目で 式 3 を使いました。指数の \(x\) が、前に出ます。 これが対数を使う理由のすべてです。

底は \(10\) でも \(e\) でもかまいません。\(\dfrac{\log 7}{\log 3}\) でも同じ値です（式 4）。

TI-Nspire なら ln(7)/ln(3) で \(1.7712\ldots\) と出ます。solve(3^x = 7, x) でも解けます。

最終解答は、指示がなければ有効数字 \(3\) 桁で \(x = 1.77\) と書きます。

Paper 2 でも、まず正確な形を書いてから小数に直してください。方法点（M mark）を得るためにも、途中式を書いておくのが安全です。

Paper 1 では、\(\dfrac{\ln 7}{\ln 3}\) が答えです。 小数に直す必要はありません。

例題 4 (a) Solve \(5^{x} = 12\), giving your answer in the form \(\dfrac{\ln p}{\ln q}\).

(b) Solve \(2^{x-1} = 10\), giving your answer in the form \(a + \log_{2} b\), where \(a\) and \(b\) are integers.

(c) Explain why \(\log(x+y)\) is not equal to \(\log x + \log y\) for all positive \(x\) and \(y\).

(a) \(12\) は \(5\) の累乗ではないので、両辺の対数をとります（第 7 節）。

\[ \ln 5^{x} = \ln 12 \ \Rightarrow \ x \ln 5 = \ln 12 \ \Rightarrow \ x = \frac{\ln 12}{\ln 5} \]

(b) 指数 \(x - 1\) を、\(1\) つのかたまりと見ます。\(2^{\square} = 10\) は、対数の定義（SL 1.5）から \(\square = \log_{2} 10\) ということです。

\[ x - 1 = \log_{2} 10 \ \Rightarrow \ x = 1 + \log_{2} 10 \]

\(\ln\) をとって \(x = 1 + \dfrac{\ln 10}{\ln 2}\) と書いても、同じ値です（式 4）。

(c) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

The laws of logarithms come from the laws of exponents, and those laws describe products, quotients and powers, not sums.

There is no exponent law that turns \(a^{m} + a^{n}\) into a single power, so no logarithm law can split \(\log(x+y)\).

A single counterexample settles it: with \(x = y = 1\), \(\log(x+y) = \log 2\), while \(\log x + \log y = \log 1 + \log 1 = 0\), and \(\log 2 \neq 0\).

The two sides do agree for the special pairs with \(x + y = xy\), such as \(x = y = 2\), but not in general.

（対数法則は指数法則から出ており、指数法則が述べているのは積・商・累乗であって和ではない。\(a^m + a^n\) を \(1\) つの累乗にする指数法則はないので、\(\log(x+y)\) を分ける対数法則もない。数で見ても違う。\(x = y = 1\) のとき \(\log(x+y) = \log 2\) だが、\(\log x + \log y = 0\) である、という意味です。）

検算（(a) について）。 答えの大きさを見ます。\(5^{1} = 5\)、\(5^{2} = 25\) なので、\(x\) は \(1\) と \(2\) の間のはずです。\(\ln 12\) は \(\ln 5\) の \(2\) 倍より小さいので、\(\dfrac{\ln 12}{\ln 5}\) も \(2\) より小さくなります ✓

検算（(b) について）。 答えをもとの式に入れ直します。

\[ 2^{(1 + \log_{2} 10) - 1} = 2^{\log_{2} 10} = 10 \]

合いました ✓（式 5）打ち消し合う組が、そのまま働いています。

(a) を \(\dfrac{\ln 5}{\ln 12}\) としていたら、上下が逆です。この値は \(1\) より小さくなり、\(1\) と \(2\) の間という見当と合いません。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[x \ln 5 = \ln 12, \qquad x = \frac{\ln 12}{\ln 5}\]

(b) \[x - 1 = \log_{2} 10, \qquad x = 1 + \log_{2} 10\]

(c) The laws of logarithms follow from the laws of exponents, which deal with products, quotients and powers, not sums. Taking \(x = y = 1\) gives \(\log 2\) on one side and \(0\) on the other, so the two are not equal in general.

例題 5 (a) Solve \(4^{x} - 5(2^{x}) + 4 = 0\).

(b) Solve \((\log_{2} x)^{2} - 3\log_{2} x + 2 = 0\).

(a) \(4^{x}\) を \(2^{x}\) で書き直すのが、最初のステップです。 \(4 = 2^{2}\) なので

\[ 4^{x} = \left(2^{2}\right)^{x} = \left(2^{x}\right)^{2} \]

\(y = 2^{x}\) とおくと、方程式は \(2\) 次式になります。

\[ y^{2} - 5y + 4 = 0 \ \Rightarrow \ (y-1)(y-4) = 0 \ \Rightarrow \ y = 1 \ \text{または} \ y = 4 \]

\(y\) で止めないでください。 聞かれているのは \(x\) です。\(y = 2^{x}\) に戻します。

\[ 2^{x} = 1 \ \Rightarrow \ x = 0, \qquad 2^{x} = 4 = 2^{2} \ \Rightarrow \ x = 2 \]

\(2^{x}\) は、どんな \(x\) でも正です（SL 2.9）。ですから \(y\) が負や \(0\) になる解が出たときは、その \(y\) は捨てます。 ここでは \(1\) も \(4\) も正なので、両方とも使えます。

(b) 同じ手です。\(y = \log_{2} x\) とおきます。

\[ y^{2} - 3y + 2 = 0 \ \Rightarrow \ (y-1)(y-2) = 0 \ \Rightarrow \ y = 1 \ \text{または} \ y = 2 \]

\(y = \log_{2} x\) に戻します。対数の定義（SL 1.5）から

\[ \log_{2} x = 1 \ \Rightarrow \ x = 2, \qquad \log_{2} x = 2 \ \Rightarrow \ x = 4 \]

\(\log_{2} x\) の中身は正でなければなりません。 \(x = 2\) も \(x = 4\) も正なので、どちらも答えです。

検算（(a) について）。 出した \(x\) を、もとの式に入れ直します。\(x = 0\) なら \(4^{0} - 5(2^{0}) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0\) ✓ \(x = 2\) なら \(4^{2} - 5(2^{2}) + 4 = 16 - 20 + 4 = 0\) ✓

検算（(b) について）。 \(x = 2\) なら \(\log_{2} 2 = 1\) で \(1 - 3 + 2 = 0\) ✓ \(x = 4\) なら \(\log_{2} 4 = 2\) で \(4 - 6 + 2 = 0\) ✓

\((\log_{2} x)^{2}\) と \(\log_{2} x^{2}\) は別ものです。 後者は \(2\log_{2} x\) で、\(1\) 次式になってしまいます（第 2 節）。かっこの位置を、必ず確かめてください。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[4^{x} = \left(2^{x}\right)^{2}, \qquad y = 2^{x}\]

\[y^{2} - 5y + 4 = 0, \qquad (y-1)(y-4) = 0, \qquad y = 1 \ \text{or} \ y = 4\]

\[2^{x} = 1 \Rightarrow x = 0, \qquad 2^{x} = 4 \Rightarrow x = 2\]

(b) \[y = \log_{2} x, \qquad y^{2} - 3y + 2 = 0, \qquad (y-1)(y-2) = 0\]

\[\log_{2} x = 1 \Rightarrow x = 2, \qquad \log_{2} x = 2 \Rightarrow x = 4\]

Why it works

式 1 は、指数法則から \(3\) 行で出ます。

以下、\(a > 0\)、\(a \neq 1\)、\(x > 0\)、\(y > 0\) とします。\(\log_{a} x = m\)、\(\log_{a} y = n\) とおきます。定義（SL 1.5）から

\[ x = a^{m}, \qquad y = a^{n} \]

掛けると、指数法則で

\[ xy = a^{m} \times a^{n} = a^{m+n} \]

これを対数の形に戻すと（式 5）、

\[ \log_{a} xy = m + n = \log_{a} x + \log_{a} y \]

同じやり方で、割り算からは 式 2 が、累乗からは 式 3 が出ます。 覚える式は \(3\) つですが、もとは指数法則の \(3\) つです。

底の変換の式も、同じ道すじで出ます。 \(\log_{a} x = m\) とおくと \(x = a^{m}\) です。両辺に \(\log_{b}\) をつけて、

\[ \log_{b} x = \log_{b} a^{m} = m \log_{b} a \]

\(m\) について解けば、

\[ m = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a} \]

これが 式 4 です。

\(b\) は、\(b > 0\)、\(b \neq 1\) でありさえすれば、どれを選んでも同じ値になります。 どの \(b\) を選ぶかは、この導き方のどこにも影響していないからです。

ただし最後に \(\log_{b} a\) で割っているので、\(\log_{b} a \neq 0\)、つまり \(a \neq 1\) が要ります。\(x > 0\) も、\(\log_{b} x\) が書ける条件として要ります。

Common errors

警告\(\log(x+y)\) を分ける

一般に \(\log_{a}(x + y) \neq \log_{a} x + \log_{a} y\) です（第 2 節）。

法則があるのは、中身が掛け算・割り算・累乗のときだけです。

\(x = y = 1\) を入れれば、すぐ分かります。左辺は \(\log 2\)、右辺は \(0\) です。

警告\(\dfrac{\log x}{\log y}\) を \(\log x - \log y\) にする

割り算の法則は、\(\log\) の中身が分数のときです（式 2）。

\[ \log_{a}\frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y, \qquad \frac{\log_{a} x}{\log_{a} y} \ \text{は別の式} \]

\(\dfrac{\log_{b} x}{\log_{b} a}\) の形は、底の変換のほうです（式 4）。分数の形を見たら、まずどちらかを見分けてください。

\(\dfrac{\ln 7}{\ln 3}\) を \(\ln \dfrac{7}{3}\) にするのも、同じ誤りです。\(\ln \dfrac{7}{3} = \ln 7 - \ln 3\) であって、割り算ではありません。\(\dfrac{\ln 7}{\ln 3}\) は、これ以上簡単になりません。

警告係数を、中身に掛ける

\(2\log_{5} 3\) は \(\log_{5} 6\) ではありません。\(\log_{5} 3^{2} = \log_{5} 9\) です（式 3）。

係数は、中身の指数になります。

警告底の変換で、上下を逆にする

\(\log_{a} x = \dfrac{\log_{b} x}{\log_{b} a}\) です。上に来るのは \(x\)、下に来るのは \(a\) です。

迷ったら、\(a = b\) で試してください。\(\dfrac{\log_{a} x}{\log_{a} a} = \dfrac{\log_{a} x}{1} = \log_{a} x\) となり、正しい向きだと分かります。

逆にしていたら \(\dfrac{1}{\log_{a} x}\) になり、合いません。ただし \(x = a\) のときは両方とも \(1\) になるので、\(x\) は \(a\) とちがう数で試してください。

警告Paper 1 で、小数に直そうとする

\(\dfrac{\ln 7}{\ln 3}\) のような形が、そのまま答えです（第 7 節）。電卓がないので、小数にはできません。

問題文が giving your answer in the form と言っていたら、その形のまま書いてください。 直そうとして時間を使うほうが、損です。

Exercises

1 Write \(\log 7 + \log 4\) as a single logarithm.

\[\log 7 + \log 4 = \log 28\]

足し算なので、中身を掛けます（式 1）。\(7 \times 4 = 28\) です。

検算。 別の法則で戻します（式 2）。\(\log 28 - \log 4 = \log \dfrac{28}{4} = \log 7\) ✓ 足した \(\log 4\) が、引くとちょうど消えました。

\(\log 11\) としていたら、中身を足しています。同じ検算をすると \(\log 11 - \log 4 = \log \dfrac{11}{4}\) となり、\(\log 7\) に戻りません。足すのは対数のほう、掛けるのは中身のほうです。

2 Find the value of each of the following without using a calculator.

(a) \(\log_{3} 45 - \log_{3} 5\)

(b) \(\log_{2} 8^{3}\)

(a) \[\log_{3} 45 - \log_{3} 5 = \log_{3} 9 = 2\]

(b) \[\log_{2} 8^{3} = 3\log_{2} 8 = 3 \times 3 = 9\]

(a) 中身を割ります。\(\dfrac{45}{5} = 9 = 3^{2}\) です。

(b) 指数を前に出します（式 3）。\(\log_{2} 8 = 3\) です。

検算。

(a) 答えを指数に戻します。\(3^{2} = 9\) ✓ そして \(9 \times 5 = 45\) ✓ もとの \(45\) に戻りました。

(b) 中身を先に \(2\) の累乗にします。\(8^{3} = \left(2^{3}\right)^{3} = 2^{9}\) なので \(\log_{2} 2^{9} = 9\) ✓ 式 3 を使わない別の道すじです。

3 Find the value of \(\log_{10} 50 + \log_{10} 2\).

\[\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2\]

中身を掛けると、ちょうど \(100\) になります。 底が \(10\) の対数の値を問う問題では、中身を掛けると \(10\) の累乗になることが多いので、まず掛けてみてください。

検算。 \(\log_{10} 50 = \log_{10} 100 - \log_{10} 2 = 2 - \log_{10} 2\) です（式 2）。これに \(\log_{10} 2\) を足すと、ちょうど \(2\) になります ✓ 中身を掛ける道すじとは別です。

大きさも見ておきます。\(\log_{10} 50\) は \(1\) と \(2\) の間、\(\log_{10} 2\) は \(0\) と \(1\) の間なので、和は \(1\) と \(3\) の間です。\(2\) はこの中に入ります ✓ 範囲を絞るだけで、値を決める検算にはなりません。

4 Given that \(\log_{a} 2 = p\) and \(\log_{a} 3 = q\), express \(\log_{a} 18\) in terms of \(p\) and \(q\).

\[18 = 2 \times 3^{2}\]

\[\log_{a} 18 = \log_{a} 2 + 2\log_{a} 3 = p + 2q\]

まず中身を素因数に分けます（第 5 節）。\(18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^{2}\) です。

そのあと 式 1 と 式 3 を順に使います。

検算。 答えを \(a\) の指数に戻します（式 5）。

\[ a^{p + 2q} = a^{p} \times \left(a^{q}\right)^{2} = 2 \times 3^{2} = 18 \]

もとの \(18\) に戻りました ✓ 対数法則を使わない道すじです。

\(2p + q\) としていたら、同じ検算で \(a^{2p+q} = 2^{2} \times 3 = 12\) となり、\(18\) になりません。\(18 = 4 \times 3\) ではないからです。

5 Find the exact value of \(\log_{8} 32\).

\[\log_{8} 32 = \frac{\log_{2} 32}{\log_{2} 8} = \frac{5}{3}\]

\(8\) も \(32\) も \(2\) の累乗なので、底の変換で \(b = 2\) を選びます（表 1）。上下とも整数になります。

検算。 答えを指数の形に戻します。

\[ 8^{\frac{5}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{5} = 2^{5} = 32 \]

合いました ✓（SL 1.7a）

大きさの見当も付きます。 \(8^{1} = 8\)、\(8^{2} = 64\) なので、答えは \(1\) と \(2\) の間のはずです ✓

上下を逆にして \(\dfrac{3}{5}\) としていたら、\(8^{\frac{3}{5}} < 8^{1} = 8\) なので、\(32\) には届きません。\(1\) より小さい答えは、上の見当とも合いません。

6 Solve each equation.

(a) \(3^{x} = 81\)

(b) \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x} = 125\)

(c) \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} = 9^{x+1}\)

(a) \[3^{x} = 3^{4} \ \Rightarrow \ x = 4\]

(b) \[5^{-x} = 5^{3} \ \Rightarrow \ -x = 3 \ \Rightarrow \ x = -3\]

(c) \[3^{-x} = 3^{2(x+1)} \ \Rightarrow \ -x = 2x + 2 \ \Rightarrow \ x = -\frac{2}{3}\]

どれも両辺を同じ底の累乗にします（第 6 節）。

(b) \(\dfrac{1}{5} = 5^{-1}\) です。マイナスを落とさないでください。

(c) 左辺は \(\left(3^{-1}\right)^{x} = 3^{-x}\)、右辺は \(\left(3^{2}\right)^{x+1} = 3^{2(x+1)}\) です。右辺の指数は、かっこのまま \(2\) 倍します。

検算。 もとの式に入れ直します。

(a) \(3^{4} = 81\) ✓ (b) \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-3} = 5^{3} = 125\) ✓

(c) 左辺は \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}\)、右辺は \(9^{-\frac{2}{3}+1} = 9^{\frac{1}{3}} = \left(3^{2}\right)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}\) ✓ 両辺とも \(3^{\frac{2}{3}}\) になりました（SL 1.7a）。

(b) で \(x = 3\) としていたら、\(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{3} = \dfrac{1}{125}\) となり、\(125\) と逆数の関係になります。

(c) で \(2(x+1)\) を \(2x+1\) としていたら、\(-x = 2x+1\) から \(x = -\dfrac{1}{3}\) です。入れ直すと左辺 \(3^{\frac{1}{3}}\)、右辺 \(9^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}\) で、合いません。

7 Solve \(8^{x} = 16^{x-1}\).

\[2^{3x} = 2^{4(x-1)}\]

\[3x = 4x - 4 \ \Rightarrow \ x = 4\]

\(8 = 2^{3}\)、\(16 = 2^{4}\) です。指数の指数を掛けるとき、\((x-1)\) をかっこのまま扱ってください（SL 1.5 第 2 節）。

\(4(x-1) = 4x - 4\) です。

検算。 もとの式に入れ直します。\(8^{4} = 4096\)、\(16^{3} = 4096\) ✓ 両辺が同じ値になりました。

\(2\) の累乗でも確かめられます。 \(8^{4} = 2^{12}\)、\(16^{3} = 2^{12}\) ✓

\(4(x-1)\) を \(4x - 1\) としていたら、\(3x = 4x - 1\) から \(x = 1\) です。すると \(8^{1} = 8\)、\(16^{0} = 1\) となり、合いません。

8 Solve \(7^{x} = 30\), giving your answer in the form \(\dfrac{\ln p}{\ln q}\).

\[\ln 7^{x} = \ln 30\]

\[x \ln 7 = \ln 30 \ \Rightarrow \ x = \frac{\ln 30}{\ln 7}\]

\(30\) は \(7\) の累乗ではないので、両辺の対数をとります（第 7 節）。式 3 で \(x\) が前に出ます。

検算。 大きさを見ます。\(7^{1} = 7\)、\(7^{2} = 49\) なので、\(x\) は \(1\) と \(2\) の間のはずです。

\(\ln 30\) は \(\ln 49\) より小さく、\(\ln 7\) より大きいので、\(\dfrac{\ln 30}{\ln 7}\) は \(1\) と \(2\) の間です ✓

上下を逆にしていたら、\(1\) より小さくなり、この見当と合いません。割る側は、いつも「もとの底」のほうです。

9 Explain why \(\log_{a} x^{m} = m\log_{a} x\) follows from a law of exponents.

Let \(\log_{a} x = k\), so that \(x = a^{k}\). Raising both sides to the power \(m\) and using \(\left(a^{k}\right)^{m} = a^{km}\) gives \(x^{m} = a^{km}\). Writing this in logarithmic form gives \(\log_{a} x^{m} = km = m\log_{a} x\).

Explain why なので、定義に戻ってから、使った指数法則の名前を出します（Why it works）。

道すじは \(3\) 行です。対数を文字でおく → 指数の形に直す → \(m\) 乗する。

検算。 数で試します。\(a = 2\)、\(x = 4\)、\(m = 3\) とします。左辺は \(\log_{2} 4^{3} = \log_{2} 64 = 6\) です。右辺は \(3\log_{2} 4 = 3 \times 2 = 6\) ✓

\(x^{m}\) と \((\log_{a} x)^{m}\) は別物です。 \(\left(\log_{2} 4\right)^{3} = 2^{3} = 8\) で、\(6\) とは違います。指数が \(\log\) の中にあるのか外にあるのかを、必ず見てください。

試験ではこう書く

Let \(k = \log_{a} x\), which by the definition of a logarithm means \(x = a^{k}\).

Raising both sides to the power \(m\) and using the exponent law \(\left(a^{k}\right)^{m} = a^{km}\) gives \(x^{m} = a^{km}\).

Converting back to logarithmic form gives \(\log_{a} x^{m} = km\), and since \(k = \log_{a} x\) this is \(m\log_{a} x\).

The law therefore comes directly from the rule for a power of a power.

Checking with \(a = 2\), \(x = 4\), \(m = 3\) gives \(\log_{2} 64 = 6\) on the left and \(3 \times 2 = 6\) on the right.

10 A student is asked to simplify \(\log 8 - \log 2\) and writes

\[ \log 8 - \log 2 = \log 6 \]

Identify the error and give the correct answer as a single logarithm.

The student subtracted the arguments instead of dividing them; the quotient law gives \(\log 8 - \log 2 = \log \dfrac{8}{2}\).

\[\log 8 - \log 2 = \log \frac{8}{2} = \log 4\]

Identify the error なので、どこが違うのかを名指ししてから、正しい答えを書きます。

生徒は \(8 - 2\) をしています。正しくは \(\dfrac{8}{2}\) です（式 2）。

検算。 底を \(2\) にして、値で確かめます。\(\log_{2} 8 - \log_{2} 2 = 3 - 1 = 2\) です。いっぽう \(\log_{2} 4 = 2\) ✓ 生徒の答えなら \(\log_{2} 6\) ですが、\(6\) は \(2\) の累乗ではないので \(2\) にはなりません（\(\log_{2} 4 = 2\)、\(\log_{2} 8 = 3\) の間）。

この検算のうまいところは、底を選べる点です。 問題文の底が \(10\) でも、法則は底によらないので、\(2\) で確かめれば手で計算できます。

試験ではこう書く

The student subtracted the arguments, writing \(8 - 2 = 6\), but the quotient law states that \(\log x - \log y = \log \dfrac{x}{y}\), so the arguments are divided.

The correct answer is \(\log 8 - \log 2 = \log \dfrac{8}{2} = \log 4\).

The laws hold in any base, so the result can be checked in base \(2\): \(\log_{2} 8 - \log_{2} 2 = 3 - 1 = 2\), which equals \(\log_{2} 4\), whereas \(\log_{2} 6\) lies strictly between \(2\) and \(3\).