AHL 3.12b — Kinematics: variable velocity（速度が変わる運動）

ノートWhat you should be able to do
  • velocity（速度）が \(t\) の式になっている運動を読み取れる。
  • speed（速さ）\(\lvert \mathbf{v}(t) \rvert\) を \(t\) の式で書き、最小を求められる。
  • acceleration（加速度）\(\mathbf{a} = \dfrac{d\mathbf{v}}{dt}\) を、成分ごとの微分で求められる。
  • 位置 \(\mathbf{r}(t)\) を、成分ごとの積分で求められる。
  • 成分が \(0\) になる時刻から、折り返し（加速度が下向きなら最高点）を求められる。
  • projectile motion（放物運動）と circular motion（円運動）が、その特別な場合だと説明できる。
  • time shift（時間のずらし）\(f(t-a)\) の意味が言える。
  • AHL 3.12a の相対位置と衝突の判定が、そのまま使えることが分かる。

The idea

1. Velocity as a function of time（時刻とともに変わる速度）

AHL 3.12a では、\(\mathbf{v}\) は動かない矢印でした。ここでは、\(\mathbf{v}\) が時刻とともに変わります。

たとえば、次の速度で考えます。

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6-4t \end{pmatrix} \tag{1}\]

図 1: 経路に沿った速度と、時間の関数としての速さです。

図 1 の (a) が、その様子です。矢印が、進むにつれて向きを変えています。

表 1: \(\mathbf{v}\) が変わっていく様子
\(t\) \(\mathbf{v}\) 向き
\(0\) \(\begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix}\) 右上
\(1\) \(\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}\) 右やや上
\(1.5\) \(\begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix}\) 真横
\(2\) \(\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix}\) 右やや下
\(3\) \(\begin{pmatrix} 7 \\ -6 \end{pmatrix}\) 右下

表 1 で、横向きの成分 \(7\) は、ずっと変わりません。 変わるのは縦向きの成分だけです。

重要成分ごとに、別々の関数だと思ってください

\(\mathbf{v}(t)\) は、\(2\) つの関数を縦に並べたものです。

\[ \mathbf{v}(t) = \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \end{pmatrix} \]

微分も積分も、それぞれの行に、別々にします（Why it works）。新しく覚える式はありません。 新しい微分法や積分法も要りません。

2. Speed（速さ）

speed（速さ）は、速度ベクトルの大きさです。速度が変わるので、速さも \(t\) の関数になります。

\[ \lvert \mathbf{v} \rvert = \sqrt{v_x^{\,2} + v_y^{\,2}} \tag{2}\]

式 1 なら

\[ \lvert \mathbf{v} \rvert = \sqrt{7^2 + (6-4t)^2} \]

図 1 の (b) が、そのグラフです。

最小を出すときは、\(\sqrt{\ }\) の中だけを見ます。 \(\sqrt{\ }\) は増加する関数なので、中が最小のとき \(\lvert \mathbf{v} \rvert\) も最小です（AHL 3.12a 第8節 と同じ理由）。

\(7^2\) は定数なので、\((6-4t)^2\) が最小、つまり \(0\) のときです。求めた \(t\) が問題の範囲の中にあるかを、必ず確かめてください。 範囲の外なら、範囲の端がいちばん小さくなります。

\[ 6-4t = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 1.5, \qquad \lvert \mathbf{v} \rvert = \sqrt{49} = 7 \]

警告速さが \(0\) になるとは、かぎりません

\(\lvert \mathbf{v} \rvert = 0\) になるのは、すべての成分が同時に \(0\) のときだけです。

上の例では \(v_x = 7\) がずっと \(0\) にならないので、速さは決して \(0\) になりません。 最小でも \(7\) です。

「最小の速さ」と「静止する時刻」は、別の問いです。\(1\) 次元の AHL 5.13 では \(v = 0\) を解けば静止する時刻でしたが、\(2\) 次元では両方の成分が同時に \(0\) でなければ止まりません。

3. Acceleration（加速度）

acceleration（加速度）は、速度を時刻で微分したものです。成分ごとに微分します。

\[ \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \begin{pmatrix} \dfrac{dv_x}{dt} \\[4pt] \dfrac{dv_y}{dt} \end{pmatrix} \tag{3}\]

式 1 なら

\[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} \ \text{m s}^{-2} \]

横向きの成分は定数なので、微分すると \(0\) です。

微分のしかたは AHL 5.9b のままです。\(\cos 2t\) のような形が出てきたら、chain rule（合成関数の微分法）を使います（AHL 5.9b 第2節）。

単位は、速度の単位を秒で割ったものです。m s\(^{-1}\) を微分すれば m s\(^{-2}\) になります。

例題 1 A particle moves in a plane with velocity \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6-4t \end{pmatrix}\) m s\(^{-1}\), where \(t\) is in seconds.

(a) Find the speed of the particle when \(t = 0\), giving your answer to \(3\) significant figures.

(b) Find the time at which the velocity is horizontal.

(c) Find the least speed of the particle.

(d) Find the acceleration of the particle.

(a) \(t = 0\) を入れてから、大きさを出します（式 2）。

\[ \mathbf{v}(0) = \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix}, \qquad \lvert \mathbf{v}(0) \rvert = \sqrt{49+36} = \sqrt{85} \approx 9.22 \ \text{m s}^{-1} \]

(b) 「水平」は、縦の成分が \(0\) ということです。

\[ 6-4t = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 1.5 \ \text{秒} \]

(c) \(\sqrt{\ }\) の中を見ます（第2節）。

\[ \lvert \mathbf{v} \rvert^2 = 49 + (6-4t)^2 \]

\(49\) は定数で、\((6-4t)^2 \geq 0\) です。\((6-4t)^2 = 0\) のときが最小なので、\(t = 1.5\) のときで

\[ \lvert \mathbf{v} \rvert = \sqrt{49} = 7 \ \text{m s}^{-1} \]

(b) と同じ時刻になりました。横向きの成分が変わらないので、縦向きが \(0\) のときがいちばん遅いのです。

(d) 成分ごとに微分します（式 3）。

\[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} \ \text{m s}^{-2} \]

検算（(a) について）。 大きさの幅を使います（AHL 3.10b の「検算のしかた」）。\(0\) でない成分が \(2\) つあるので \(7 < \sqrt{85} < 7+6 = 13\) ✓

検算（(c) について）。 \(t = 1.5\) の前後で、速さが大きくなるかを見ます。

\[ t = 1: \ \sqrt{49+4} = \sqrt{53} \approx 7.28, \qquad t = 2: \ \sqrt{49+4} = \sqrt{53} \approx 7.28 \]

どちらも \(7\) より大きく、しかも \(t = 1.5\) をはさんで同じ値です ✓ 頂点が \(t = 1.5\) にあることの裏付けになります。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[\lvert \mathbf{v}(0) \rvert = \sqrt{7^2+6^2} = \sqrt{85} \approx 9.22 \ \text{m s}^{-1}\]

(b) \[6-4t = 0 \ \Rightarrow \ t = 1.5 \ \text{s}\]

(c) \[\lvert \mathbf{v} \rvert^2 = 49+(6-4t)^2 \geq 49, \qquad \text{least speed} = 7 \ \text{m s}^{-1} \ \text{at } t = 1.5 \ \text{s}\]

(d) \[\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} \ \text{m s}^{-2}\]

4. Position from velocity（速度から位置を求める）

位置は、速度を成分ごとに積分して求めます。

\[ \mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix} \displaystyle\int v_x \, dt \\[6pt] \displaystyle\int v_y \, dt \end{pmatrix} \tag{4}\]

積分定数は、成分ごとに \(1\) つずつあります。まとめて \(\mathbf{C} = \begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \end{pmatrix}\) と書きます。それを、\(\mathbf{r}\) の値が分かっている時刻から決めます（AHL 5.11a 第6節）。

式 1 で、\(t = 0\) に原点にいたとすると

\[ \int 7 \, dt = 7t + C_1, \qquad \int (6-4t) \, dt = 6t - 2t^2 + C_2 \]

\(\mathbf{r}(0) = \mathbf{0}\) から \(C_1 = C_2 = 0\) なので

\[ \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 7t \\ 6t-2t^2 \end{pmatrix} \tag{5}\]

警告定数の成分も、忘れずに積分してください

\(v_x = 7\) を積分すると \(7t\) です。\(7\) のままにしてしまう誤りが、いちばん多いところです（演習 \(10\)）。

検算は、微分して戻すことです。\(\dfrac{d}{dt}(7t) = 7\) ✓ もとの \(v_x\) に戻ります。

5. When a component is zero（成分が \(0\) になる時刻）

速度や位置の成分が \(0\) になる時刻には、それぞれ決まった意味があります。

\(v_y = 0\) になる時刻は、縦の動きが折り返す時刻です。式 5 なら \(t = 1.5\) で、そのとき

\[ \mathbf{r}(1.5) = \begin{pmatrix} 10.5 \\ 4.5 \end{pmatrix} \]

ここでは、これが最高点です。\(y\) 座標が最大になる時刻では \(\dfrac{dy}{dt} = v_y = 0\) になるからです。

ただし「\(v_y = 0\) なら最高点」と言えるのは、\(\mathbf{a}\) が下向き（\(y\) が \(t\) の上に凸な \(2\) 次式）のときだけです。円運動では、\(v_y = 0\) が最低点になることもあります（第7節）。

\(y = 0\) になる時刻は、地面の高さに戻る時刻です。

\[ 6t-2t^2 = 2t(3-t) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 0 \ \text{または} \ t = 3 \]

\(t = 3\) で \(x = 21\) です。

重要\(v_y = 0\) と \(y = 0\) を、取りちがえないでください
  • \(v_y = 0\) … 上下の動きが止まる。\(\mathbf{a}\) が下向きならいちばん高いところ
  • \(y = 0\) … 高さが \(0\)。出発した高さに戻ったところ

聞かれているのがどちらか、問題文で確かめてください。上の例では \(t = 1.5\) と \(t = 3\) で、別の時刻です。

例題 2 A particle moves with velocity \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6-4t \end{pmatrix}\) m s\(^{-1}\) and is at the origin when \(t = 0\).

(a) Find the position vector of the particle at time \(t\).

(b) Find the position of the particle when \(t = 2\).

(c) Find the time, after \(t = 0\), at which the particle returns to the \(x\)-axis, and the position at that time.

(d) Explain why the path is a curve, even though the \(x\)-component of the velocity never changes.

(a) 成分ごとに積分します（式 4）。

\[ \int 7 \, dt = 7t + C_1, \qquad \int (6-4t) \, dt = 6t - 2t^2 + C_2 \]

\(t = 0\) で原点なので \(C_1 = C_2 = 0\) です（AHL 5.11a 第6節）。

\[ \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 7t \\ 6t-2t^2 \end{pmatrix} \]

(b)

\[ \mathbf{r}(2) = \begin{pmatrix} 14 \\ 12-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 4 \end{pmatrix} \]

(c) \(x\) 軸の上では \(y = 0\) です（第5節）。

\[ 6t-2t^2 = 2t(3-t) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 0 \ \text{または} \ t = 3 \]

\(t = 0\) は出発時なので、求める時刻は \(t = 3\) 秒で、そのとき

\[ \mathbf{r}(3) = \begin{pmatrix} 21 \\ 0 \end{pmatrix} \]

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

A path is straight only when the velocity keeps the same line of direction.

Here the \(x\)-component stays at \(7\) but the \(y\)-component \(6-4t\) changes with time, so the ratio \(v_y : v_x\) changes and the direction of \(\mathbf{v}\) turns.

Since \(x = 7t\) is linear in \(t\) while \(y = 6t-2t^2\) is quadratic, eliminating \(t\) gives \(y\) as a quadratic in \(x\), which is a parabola rather than a straight line.

（道すじがまっすぐになるのは、速度の向きの直線が変わらないときだけである。ここでは \(x\) 成分は \(7\) のままだが、\(y\) 成分 \(6-4t\) は時刻とともに変わるので、比 \(v_y : v_x\) が変わり、\(\mathbf{v}\) の向きが回る。\(x = 7t\) は \(t\) の \(1\) 次式、\(y = 6t-2t^2\) は \(2\) 次式なので、\(t\) を消すと \(y\) が \(x\) の \(2\) 次式になり、直線ではなく放物線になる、という意味です。）

検算。 (a) を微分して、もとの \(\mathbf{v}\) に戻るかを見ます。

\[ \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} 7t \\ 6t-2t^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6-4t \end{pmatrix} \]

戻りました ✓ \(\int 7 \, dt\) を \(7\) のままにしていたら、\(1\) つ目が \(0\) になって \(7\) に戻りません。

検算（(c) について）。 まず \(y(3) = 18-18 = 0\) ✓ そのうえで前後を見ます。\(y(2) = 4 > 0\)、\(y(4) = 24-32 = -8 < 0\) で、\(t = 3\) をはさんで符号が変わっています ✓ \(t = 2.5\) などとしていたら、\(y(2.5) = 15-12.5 = 2.5\) で \(0\) になりません。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 7t \\ 6t-2t^2 \end{pmatrix}\]

(b) \[\mathbf{r}(2) = \begin{pmatrix} 14 \\ 4 \end{pmatrix}\]

(c) \[6t-2t^2 = 0 \ \Rightarrow \ t = 0 \text{ or } t = 3; \qquad t = 3 \ \text{s}, \quad \mathbf{r}(3) = \begin{pmatrix} 21 \\ 0 \end{pmatrix}\]

(d) The direction of \(\mathbf{v}\) changes because \(v_y\) depends on \(t\), so the path is not straight; \(x\) is linear and \(y\) is quadratic in \(t\), giving a parabola.

6. Projectile motion（放物運動）

速度が変わる運動の代表的な例の \(1\) つが、投げたボールの運動です。

図 2: 放物運動です。

projectile motion（放物運動）は、加速度が下向きの定数である運動です。投げたボールや打ち上げた花火のように、横向きには同じ速さで進み続け、たて向きだけが重力で減っていく運動です。上がっていって、いちばん高いところで \(v_y = 0\) になり、そこから落ちてきます。経路は放物線です。

\[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_{x0} \\ v_{y0} - gt \end{pmatrix} \tag{6}\]

図 2 が、その例です。\(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 15 \\ 20-10t \end{pmatrix}\) で、\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \end{pmatrix}\) です。式 6 で \(v_{x0} = 15\)、\(v_{y0} = 20\)、\(g = 10\) とした形です。

新しい公式ではありません。 式 1 と同じ形で、\(v_y\) が \(t\) の \(1\) 次式になっているだけです。

\(g\) の値は、問題文で与えられます。 \(9.8\) のことも \(10\) のこともあるので、問題文の数を使ってください。

7. Circular motion（円運動）

速度が変わる運動のもう \(1\) つの代表的な例が、円の上を回る運動です。

図 3: 円運動です。

circular motion（円運動）は、位置が

\[ \mathbf{r} = \begin{pmatrix} R\cos\omega t \\ R\sin\omega t \end{pmatrix} \tag{7}\]

の形をしている運動です。\(R > 0\) は半径、\(\omega\) は \(1\) 秒あたりに回る角です。

角は radian（弧度法）です（AHL 3.7）。

微分すると（chain rule。AHL 5.9b 第2節）

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -R\omega\sin\omega t \\ R\omega\cos\omega t \end{pmatrix}, \qquad \lvert \mathbf{v} \rvert = R\lvert \omega \rvert \tag{8}\]

\(\cos^2 + \sin^2 = 1\)（AHL 3.8）を使うと、速さが一定になることが出てきます。

図 3 が、\(R = 5\)、\(\omega = 2\) の場合です。速さは \(10\) で一定ですが、矢印はまわり続けています。 矢印（\(\mathbf{v}\)）はいつも円の接線の向きです。

重要速さが一定でも、速度は一定ではありません

speed は scalar（スカラー）、velocity は vector（ベクトル）でした（AHL 3.10a 第1節）。

円運動では \(\lvert \mathbf{v} \rvert\) が変わりませんが、向きが変わり続けます。 ですから \(\mathbf{v}\) は一定ではなく、\(\mathbf{a} \neq \mathbf{0}\) です。

「速さが一定だから加速度は \(0\)」は、誤りです。

例題 3 A particle moves so that its position vector at time \(t\) seconds is \(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 5\cos 2t \\ 5\sin 2t \end{pmatrix}\), where distances are in metres.

(a) Show that the particle moves on a circle, and state the radius.

(b) Find \(\mathbf{v}\).

(c) Show that the speed is constant, and state its value.

(d) Explain why the velocity is not constant, even though the speed is.

(a) 原点からの距離を出します。

\[ \lvert \mathbf{r} \rvert^2 = 25\cos^2 2t + 25\sin^2 2t = 25(\cos^2 2t + \sin^2 2t) = 25 \]

\(\cos^2 + \sin^2 = 1\) を使いました（AHL 3.8）。\(\lvert \mathbf{r} \rvert = 5\) で \(t\) によらないので、原点を中心とする半径 \(5\) の円の上を動きます。

(b) 成分ごとに微分します。中身が \(2t\) なので chain rule です（AHL 5.9b 第2節）。

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -10\sin 2t \\ 10\cos 2t \end{pmatrix} \ \text{m s}^{-1} \]

(c)

\[ \lvert \mathbf{v} \rvert^2 = 100\sin^2 2t + 100\cos^2 2t = 100 \]

\(\lvert \mathbf{v} \rvert = 10\) m s\(^{-1}\) で、\(t\) が消えたので一定です。

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

Speed is the magnitude of the velocity, a scalar, while velocity is a vector carrying both magnitude and direction.

Here the magnitude is always \(10\), but the components \(-10\sin 2t\) and \(10\cos 2t\) keep changing: at \(t = 0\) the velocity is \(\begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix}\) and at \(t = \tfrac{\pi}{4}\) it is \(\begin{pmatrix} -10 \\ 0 \end{pmatrix}\).

The direction therefore turns continuously, so \(\mathbf{v}\) is not constant and the acceleration is not zero.

（速さは速度の大きさで scalar であり、速度は大きさと向きの両方を持つ vector である。ここでは大きさはつねに \(10\) だが、成分 \(-10\sin 2t\) と \(10\cos 2t\) は変わり続ける。\(t = 0\) では速度は \(\begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix}\)、\(t = \tfrac{\pi}{4}\) では \(\begin{pmatrix} -10 \\ 0 \end{pmatrix}\) である。したがって向きは回り続けるので \(\mathbf{v}\) は一定ではなく、加速度は \(\mathbf{0}\) ではない、という意味です。）

検算。 \(2\) つの時刻で、実際に値を出します。

\[ \mathbf{r}(0) = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \mathbf{v}(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix}; \qquad \mathbf{r}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}, \ \mathbf{v}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \begin{pmatrix} -10 \\ 0 \end{pmatrix} \]

どちらも \(\lvert \mathbf{r} \rvert = 5\)、\(\lvert \mathbf{v} \rvert = 10\) ✓ しかも向きは別です ✓ chain rule の \(2\) を落として \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -5\sin 2t \\ 5\cos 2t \end{pmatrix}\) としていたら、速さが \(5\) になってしまいます。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[\lvert \mathbf{r} \rvert^2 = 25\cos^2 2t + 25\sin^2 2t = 25 \ \Rightarrow \ \lvert \mathbf{r} \rvert = 5\] The distance from the origin is always \(5\), so the path is a circle of radius \(5\) m.

(b) \[\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -10\sin 2t \\ 10\cos 2t \end{pmatrix} \ \text{m s}^{-1}\]

(c) \[\lvert \mathbf{v} \rvert^2 = 100\sin^2 2t + 100\cos^2 2t = 100 \ \Rightarrow \ \lvert \mathbf{v} \rvert = 10 \ \text{m s}^{-1}\]

(d) The magnitude is constant but the direction turns, so the vector \(\mathbf{v}\) is not constant.

8. Time shift（時間のずらし）

time shift（時間のずらし）は、同じ動きを遅らせて始めることです。同じ動きを \(a\) だけ遅れて始めるときは、式の \(t\) を \(t-a\) に置き換えます。

図 4: \(5\) 秒の時間のずらしです。

図 4 は、\(v_y = 4-2t\) の粒子 \(P\) と、\(5\) 秒遅れて同じ動きをする粒子 \(Q\) です。

\[ v_{y,Q}(t) = v_{y,P}(t-5) = 4-2(t-5) = 14-2t \]

\(P\) の \(v_y\) が \(0\) になるのは \(t = 2\)、\(Q\) は \(t = 7\) です。ちょうど \(5\) 秒ずれています。

警告\(a\) の符号に注意してください
  • \(f(t-a)\)、\(a > 0\) … グラフは右へ \(a\) 動く。遅れて起こる
  • \(f(t+a)\)、\(a > 0\) … グラフは左へ \(a\) 動く。先に起こる

\(t\) から引くと遅れる、というのが分かりにくいところです。\(t = a\) を入れると、もとの \(t = 0\) の値になると考えると、確かめられます。

これは phase shift（AHL 1.13）とつながっています。AHL 1.13 の第10節の注記 では \(A\cos(\omega t + B)\) の形で、時間軸の上での移動量が \(-\dfrac{B}{\omega}\) 秒でした。\(f(t-a)\) の \(a\) にあたるのが、その \(-\dfrac{B}{\omega}\) です。

例題 4 A particle \(P\) moves with velocity \(\mathbf{v}_P = \begin{pmatrix} 3 \\ 4-2t \end{pmatrix}\) m s\(^{-1}\), where \(t\) is in seconds. A particle \(Q\) moves in exactly the same way, but starting \(5\) seconds later.

(a) Write down \(\mathbf{v}_Q\) in terms of \(t\).

(b) The velocity of \(P\) is horizontal when \(t = 2\). Find the corresponding time for \(Q\).

(c) Find the speed of \(Q\) at that time.

(d) Interpret the time shift in the context of the two particles.

(a) \(t\) を \(t-5\) に置き換えます（第8節）。

\[ \mathbf{v}_Q(t) = \mathbf{v}_P(t-5) = \begin{pmatrix} 3 \\ 4-2(t-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 14-2t \end{pmatrix} \]

\(x\) 成分は定数なので、\(t\) が入っておらず、変わりません。

(b)

\[ 14-2t = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 7 \ \text{秒} \]

\(2+5 = 7\) で、ちょうど \(5\) 秒ずれています。

(c) そのとき \(\mathbf{v}_Q = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) なので

\[ \lvert \mathbf{v}_Q \rvert = 3 \ \text{m s}^{-1} \]

(d) Interpret なので、\(2\) 粒子の言葉で書きます。

試験ではこう書く

\(Q\) repeats everything \(P\) does, but five seconds later: whatever \(P\) is doing at time \(t\), \(Q\) does at time \(t+5\).

So \(Q\)’s velocity is horizontal at \(t = 7\) rather than \(t = 2\), and its least speed of \(3\ \text{m s}^{-1}\) occurs then.

The two particles never differ in what happens, only in when it happens.

（\(Q\) は \(P\) のすることをすべて繰り返すが、\(5\) 秒遅れている。\(P\) が時刻 \(t\) にしていることを、\(Q\) は時刻 \(t+5\) にする。だから \(Q\) の速度が水平になるのは \(t = 2\) ではなく \(t = 7\) で、最小の速さ \(3\ \text{m s}^{-1}\) もそのときである。\(2\) 粒子は、何が起こるかではなく、いつ起こるかだけが違う、という意味です。）

検算。 \(t = 5\) を \(\mathbf{v}_Q\) に入れると、\(\mathbf{v}_P(0)\) に戻るはずです。

\[ \mathbf{v}_Q(5) = \begin{pmatrix} 3 \\ 14-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \mathbf{v}_P(0) \]

戻りました ✓ 符号を取りちがえて \(4-2(t+5) = -6-2t\) としていたら、\(t = 5\) で \(\begin{pmatrix} 3 \\ -16 \end{pmatrix}\) になり、\(\mathbf{v}_P(0)\) に戻りません。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[\mathbf{v}_Q = \begin{pmatrix} 3 \\ 4-2(t-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 14-2t \end{pmatrix}\]

(b) \[14-2t = 0 \ \Rightarrow \ t = 7 \ \text{s}\]

(c) \[\lvert \mathbf{v}_Q(7) \rvert = 3 \ \text{m s}^{-1}\]

(d) \(Q\) does at time \(t+5\) whatever \(P\) does at time \(t\); only the timing differs.

9. Comparison with constant velocity（等速度のときとのちがい）

AHL 3.12a の等速度の運動から、何が変わり、何が変わらないかをまとめます。

変わらないこと。

  • 相対位置 \(\overrightarrow{AB} = \mathbf{r}_B - \mathbf{r}_A\)（AHL 3.12a 第5節）
  • 衝突の判定 … \(\overrightarrow{AB} = \mathbf{0}\) となる \(t \geq 0\) があるか（AHL 3.12a 第6節）
  • 距離 \(d = \lvert \overrightarrow{AB} \rvert\)

変わること。

  • \(\overrightarrow{AB}\) が \(t\) の \(1\) 次式とはかぎりません。 ですから \(d^2\) も \(2\) 次式とはかぎらず、平方完成では解けないことがあります（電卓を使います。GDC 第1節）
  • 問われるのは \(2\) 次元だけです。\(3\) 次元が出てくるのは、等速度のときだけでした

問題文の読み取りは、AHL 3.12a 第1節 と同じです。\(t = 0\) がいつか、単位は何か、\(t \geq 0\) か——この \(3\) つを先に書き出してください。

Why it works

なぜ成分ごとに微分・積分してよいのか。

\(\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j}\) と書いてみます。\(\mathbf{i}\) と \(\mathbf{j}\) は動かないベクトルです（AHL 3.10a 第3節）。

\(t\) が少し変わったときの変化は

\[ \Delta\mathbf{r} = \Delta x \, \mathbf{i} + \Delta y \, \mathbf{j} \]

なので、\(\Delta t\) で割って \(\Delta t \to 0\) とすれば

\[ \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\mathbf{i} + \frac{dy}{dt}\mathbf{j} \]

横の変化と縦の変化が互いに影響しないからこうなります。これは AHL 3.10a 第5節 で、足し算を成分ごとにしてよい理由として書いたことと、同じ話です。

積分は微分の逆なので、同じ理由で成分ごとにできます。

なぜ速さの最小が \(\sqrt{\ }\) の中で探せるのか。

\(\lvert \mathbf{v} \rvert \geq 0\) で、\(u \mapsto \sqrt{u}\) は \(u \geq 0\) で増加します。ですから \(\lvert \mathbf{v} \rvert^2\) が最小になる \(t\) で、\(\lvert \mathbf{v} \rvert\) も最小になります。

なぜ projectile motion が特別な場合なのか。

\(\mathbf{a}\) が定数だと、\(\mathbf{v}\) は \(t\) の \(1\) 次式になり、\(\mathbf{r}\) は \(t\) の \(2\) 次式になります。

\[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix} \ \Longrightarrow \ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_{x0} \\ v_{y0}-gt \end{pmatrix} \ \Longrightarrow \ \mathbf{r} = \begin{pmatrix} x_0 + v_{x0}t \\ y_0 + v_{y0}t - \tfrac{1}{2}gt^2 \end{pmatrix} \]

\(v_{x0} \neq 0\) なら \(x\) は \(t\) の \(1\) 次式、\(y\) は \(2\) 次式なので、\(t\) を消すと \(y\) が \(x\) の \(2\) 次式になります。だから道すじが放物線になります。

\(v_{x0} = 0\) のときは別で、真上に投げた形になり、道すじはたて \(1\) 本の線分です。

なぜ円運動の速さが一定なのか。

式 8 から

\[ \lvert \mathbf{v} \rvert^2 = R^2\omega^2\sin^2\omega t + R^2\omega^2\cos^2\omega t = R^2\omega^2(\sin^2\omega t + \cos^2\omega t) = R^2\omega^2 \]

\(\sin^2+\cos^2 = 1\)（AHL 3.8）が効いています。\(t\) が消えるので、速さは一定です。

同じ計算で \(\lvert \mathbf{r} \rvert = R\) も出ます。半径が一定だから、円の上にいるわけです。\(\omega \neq 0\) なら、その円の上をまわり続けます。

Common errors

警告定数の成分を、積分し忘れる

\(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8-2t \end{pmatrix}\) を積分して \(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8t-t^2 \end{pmatrix}\) としてしまう誤りです。

\(\int 6 \, dt = 6t\) です。正しくは \(\begin{pmatrix} 6t \\ 8t-t^2 \end{pmatrix}\) です（演習 \(10\)）。

微分して戻せば、すぐ気づけます。 \(\dfrac{d}{dt}(6) = 0\) で、\(6\) には戻りません。

警告「速さが一定」から「加速度は \(0\)」と結論する

円運動が、まさにその反例です（第7節）。

速さは大きさだけ、速度は向きも持ちます。 向きが変われば \(\mathbf{v}\) は変わるので、\(\mathbf{a} \neq \mathbf{0}\) です。

\(\mathbf{a} = \mathbf{0}\) なのは、\(\mathbf{v}\) の成分がすべて定数のとき、つまり AHL 3.12a の等速度のときだけです。

警告\(v_y = 0\) と \(y = 0\) を取りちがえる

\(v_y = 0\) は上下の折り返し（\(\mathbf{a}\) が下向きなら最高点）、\(y = 0\) は出発した高さに戻ったところです（第5節）。

例 2 では \(t = 1.5\) と \(t = 3\) で、別の時刻でした。

問題文が highest point と言っているのか returns to the ground と言っているのかを、先に確かめてください。

警告\(2\) 次元なのに、\(\lvert \mathbf{v} \rvert = 0\) を \(1\) 成分だけで解く

\(v_y = 0\) になっても、\(v_x \neq 0\) なら止まっていません（第2節）。

止まるのは、すべての成分が同時に \(0\) のときだけです。

\(1\) 次元の AHL 5.13 とは、ここが違います。

警告\(f(t-a)\) の符号を逆にする

\(t\) から引くと、遅れます。 \(f(t-5)\) は、グラフが右へ \(5\) 動きます（第8節）。

\(4-2(t-5)\) を \(4-2(t+5)\) としてしまう誤りが多いところです。

\(t = a\) を入れて、もとの \(t = 0\) の値になるかを見てください（例 4）。

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

1. Minimum speed from a graph（グラフで速さの最小を求める）

速さの最小は、グラフから求められます。\(\lvert \mathbf{v} \rvert\) を \(x\) の関数として入れます。

\(f1(x) = \sqrt{7^{2} + \left(6 - 4x\right)^{2}}\)

menu → Analyze Graph → Minimum で下限と上限を聞かれるので、頂点をはさむように選びます。\((1.5,\ 7)\) が出れば 例 1 と合っています。

\(\sqrt{\ }\) のテンプレートは ctrl を押してから x² です。負の数はかっこで囲んでください。

この方法は、\(\lvert \mathbf{v} \rvert^2\) が \(2\) 次式でないときにも使えます。 手計算で平方完成できない形は、こちらで出します（第9節）。

2. Checking derivatives and integrals（微分と積分の確かめ）

電卓の微分と積分は、手計算の確かめに使います。menu → Calculus の中の Derivative at a Point と Integral を使います。どちらもテンプレートが出るので、画面に出てくる形のまま入れます。

積分を確かめるには

\[ \int_{0}^{2} \left(6 - 4x\right) dx \]

\(4\) が返ります。これは \(y(2)-y(0)\)、つまり縦の変位です。例 2 では \(y(0) = 0\) なので、そのまま \(y(2)\) になります。\(y(0) \neq 0\) のときは、その分を足してください。

微分のテンプレートに \(6x-2x^2\) を入れて \(x = 1\) で評価すると \(2\) が返り、\(v_y(1) = 6-4 = 2\) と合います。

答案には、手で積分した過程を書いてください。 電卓は確かめのためです。

3. Drawing the path（道すじを描く）

道すじは、媒介変数表示のグラフとして描けます。Graphs のページで menu → Graph Entry/Edit → Parametric を選びます（AHL 3.11 の GDC 第4節）。

  • \(x1(t) = 7t\)
  • \(y1(t) = 6t - 2t^{2}\)

\(t\) の範囲は、入力行の tmin、tmax をその場で書き換えます。\(0 \leq t \leq 3\) にすれば、図 1 の (a) と同じ弧が出ます。

円運動のときは、角の設定を Radian にしてください（doc → Settings → Document Settings）。\(x_1(t) = 5\cos 2t\) は、radian でないと円になりません。

4. Using a table（表で符号が変わるところを見る）

成分の符号が変わるところは、表で見つけられます。\(v_y\) を関数として入れて ctrl + T を押すと、表が出ます。

f1(x)=6-4x

\(6,\ 2,\ -2,\ -6\) と並び、\(x = 1\) と \(x = 2\) のあいだで符号が変わることが見えます。表の刻みは、はじめ \(1\) です（変えられます）。

正確な時刻は、式を解いて出してください。 表は見当を付けるためのものです。

5. Entering a time shift（時間のずらしを入力する）

\(f(t-a)\) は、電卓でも同じです。

f1(x)=4-2x
f2(x)=f1(x-5)

\(f_2\) のグラフが、\(f_1\) を右に \(5\) 動かしたものになります（図 4）。符号の確かめに使えます。

6. Checking your answers（検算のしかた）

  • 積分したら、微分して戻す（例 2）
  • \(t = 0\) を入れる。 与えられた初期条件に合うか見る
  • 最小の前後 \(2\) 点で値を出す。 どちらも大きければ、見当は合っています。\(\sqrt{\ }\) の中が \(t\) の \(2\) 次式のときは、対称なら頂点も正しいと言えます（例 1）。\(2\) 次式でないときは、対称でも頂点とはかぎりません（第9節）
  • 円運動は、\(\lvert \mathbf{r} \rvert\) と \(\lvert \mathbf{v} \rvert\) を \(2\) つの時刻で出す（例 3）
  • 時間のずらしは、\(t = a\) を入れてもとの \(t = 0\) に戻るか見る（例 4）

\(1\) つ目がいちばん確実です。積分定数の落としも、定数成分の積分し忘れも、これで見つかります。

Exercises

1 A particle has velocity \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2t \\ 3 \end{pmatrix}\) m s\(^{-1}\). Find its speed when \(t = 4\), giving your answer to \(3\) significant figures.

\[\mathbf{v}(4) = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix}, \qquad \lvert \mathbf{v}(4) \rvert = \sqrt{64+9} = \sqrt{73} \approx 8.54 \ \text{m s}^{-1}\]

先に \(t = 4\) を入れてから、大きさを出します（式 2）。

\(\sqrt{73}\) は整数になりません。\(3\) 桁で \(8.54\) です。

検算。 大きさの幅を使います（AHL 3.10b の検算のしかた）。\(0\) でない成分が \(2\) つあるので \(8 < 8.54 < 8+3 = 11\) ✓

2 A particle has velocity \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8-2t \end{pmatrix}\) m s\(^{-1}\). Find the time at which the speed is least, and that least speed.

\[\lvert \mathbf{v} \rvert^2 = 36+(8-2t)^2 \geq 36\]

\[8-2t = 0 \ \Rightarrow \ t = 4 \ \text{s}, \qquad \lvert \mathbf{v} \rvert = 6 \ \text{m s}^{-1}\]

\(\sqrt{\ }\) の中だけを見ます（第2節）。\(36\) は定数で、\((8-2t)^2\) が \(0\) のときが最小です。

速さは \(0\) になりません。 \(v_x = 6\) がずっと残るからです。

検算。 前後で大きくなるかを見ます。\(t = 3\)：\(\sqrt{36+4} = \sqrt{40} \approx 6.32\)、\(t = 5\)：\(\sqrt{36+4} \approx 6.32\) ✓ \(t = 4\) をはさんで同じ値になっています。

3 A particle has velocity \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10-2t \end{pmatrix}\) m s\(^{-1}\) and is at the point \((1,\ 0)\) when \(t = 0\). Find its position vector at time \(t\), and its position when \(t = 3\).

\[\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1+4t \\ 10t-t^2 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{r}(3) = \begin{pmatrix} 13 \\ 21 \end{pmatrix}\]

成分ごとに積分し、\(t = 0\) の値で定数を決めます（式 4、AHL 5.11a 第6節）。

\(x\) の定数は \(1\)、\(y\) の定数は \(0\) です。原点から始まるとはかぎりません。

検算。 微分して戻します。\(\dfrac{d}{dt}\begin{pmatrix} 1+4t \\ 10t-t^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10-2t \end{pmatrix}\) ✓ また \(t = 0\) を入れると \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) ✓ \(+1\) を落としていたら、ここで合いません。

4 A particle has position vector \(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 3t \\ 12t-3t^2 \end{pmatrix}\) metres at time \(t\) seconds.

(a) Find \(\mathbf{v}\) and \(\mathbf{a}\).

(b) Find the time at which the particle is at its highest point, and that height.

(a) \[\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12-6t \end{pmatrix} \ \text{m s}^{-1}, \qquad \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \end{pmatrix} \ \text{m s}^{-2}\]

(b) \[12-6t = 0 \ \Rightarrow \ t = 2 \ \text{s}, \qquad y = 24-12 = 12 \ \text{m}\]

(a) 成分ごとに \(1\) 回ずつ微分します（式 3）。\(\mathbf{a}\) が定数なので、これは projectile motion の形です（第6節）。

(b) \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \end{pmatrix}\) が下向きなので、最高点は \(v_y = 0\) のときです（第5節）。\(y = 0\) ではありません。

検算。 \(t = 2\) の前後の高さを見ます。\(y(1) = 12-3 = 9\)、\(y(3) = 36-27 = 9\) ✓ \(t = 2\) をはさんで同じ高さで、しかもどちらも \(12\) より低くなっています。

5 A particle has position vector \(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4\cos 3t \\ 4\sin 3t \end{pmatrix}\) metres at time \(t\) seconds. Find the radius of the circle on which it moves, and its speed.

\[\lvert \mathbf{r} \rvert^2 = 16\cos^2 3t + 16\sin^2 3t = 16 \ \Rightarrow \ \text{radius} = 4 \ \text{m}\]

\[\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -12\sin 3t \\ 12\cos 3t \end{pmatrix}, \qquad \lvert \mathbf{v} \rvert = 12 \ \text{m s}^{-1}\]

式 7 の形で、\(R = 4\)、\(\omega = 3\) です。式 8 から \(\lvert \mathbf{v} \rvert = R\lvert \omega \rvert = 12\) です。

chain rule の \(3\) を落とさないでください（AHL 5.9b 第2節）。

検算。 \(t = 0\) で出します。\(\mathbf{r}(0) = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) で \(\lvert \mathbf{r} \rvert = 4\) ✓、\(\mathbf{v}(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix}\) で \(\lvert \mathbf{v} \rvert = 12\) ✓ \(3\) を落としていたら、速さが \(4\) になってしまいます。

6 A particle \(P\) has velocity \(\mathbf{v}_P = \begin{pmatrix} 5 \\ 9-3t \end{pmatrix}\) m s\(^{-1}\). A particle \(Q\) moves in the same way but starting \(4\) seconds later. Write down \(\mathbf{v}_Q\) in terms of \(t\), and find the time at which the velocity of \(Q\) is horizontal.

\[\mathbf{v}_Q(t) = \mathbf{v}_P(t-4) = \begin{pmatrix} 5 \\ 9-3(t-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 21-3t \end{pmatrix}\]

\[21-3t = 0 \ \Rightarrow \ t = 7 \ \text{s}\]

\(t\) を \(t-4\) に置き換えます（第8節）。\(P\) が水平になるのは \(9-3t = 0\) から \(t = 3\) で、\(Q\) はその \(4\) 秒あと、\(t = 7\) です。

\(3+4 = 7\) になっていることを確かめてください。

検算。 \(t = 4\) を \(\mathbf{v}_Q\) に入れると \(\mathbf{v}_P(0)\) に戻るはずです。\(\begin{pmatrix} 5 \\ 21-12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \end{pmatrix} = \mathbf{v}_P(0)\) ✓ \(t+4\) としていたら \(\begin{pmatrix} 5 \\ -15 \end{pmatrix}\) になり、戻りません。

7 A ball is thrown from the origin. At time \(t\) seconds its velocity is \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 16-10t \end{pmatrix}\) m s\(^{-1}\).

(a) Find the position vector of the ball at time \(t\).

(b) Find the greatest height reached by the ball.

(c) Find the horizontal distance travelled when the ball returns to the height it was thrown from.

(a) \[\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 12t \\ 16t-5t^2 \end{pmatrix}\]

(b) \[16-10t = 0 \ \Rightarrow \ t = 1.6 \ \text{s}, \qquad y = 25.6-12.8 = 12.8 \ \text{m}\]

(c) \[16t-5t^2 = 0 \ \Rightarrow \ t = 3.2 \ \text{s}, \qquad x = 12 \times 3.2 = 38.4 \ \text{m}\]

projectile motion です（第6節）。\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \end{pmatrix}\) で、この問題では \(g = 10\) が使われています。

(b) 最高点は \(v_y = 0\)、(c) は \(y = 0\) です。\(2\) つを取りちがえないでください（第5節）。

検算。 最高点の前後の高さを見ます。\(y(1) = 16-5 = 11\)、\(y(2.2) = 35.2-24.2 = 11\) ✓ \(t = 1.6\) をはさんで同じ高さです。また \(3.2 = 2 \times 1.6\) で、最高点が飛行の真ん中にあることとも合っています。

8 Two particles have position vectors at time \(t\) seconds

\[ \mathbf{r}_A = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{r}_B = \begin{pmatrix} 2t \\ 5+3t-t^2 \end{pmatrix} \]

(a) Find \(\overrightarrow{AB}\) in terms of \(t\).

(b) Show that the particles collide, and find the time, giving your answer to \(3\) significant figures.

(c) Interpret the vector \(\overrightarrow{AB}\) in the context of the two particles.

(a) \[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5-t^2 \end{pmatrix}\]

(b) The first component is \(0\) for every \(t\). The second is \(0\) when \(t^2 = 5\), so \(t = \sqrt{5} \approx 2.24\) s (taking \(t \geq 0\)). Both components vanish there, so the particles collide.

(c) \(\overrightarrow{AB}\) is the position of \(B\) relative to \(A\). Here it is always vertical, so \(B\) stays directly above or below \(A\), and the gap closes to zero at \(t = \sqrt{5}\).

(a) \(\mathbf{r}_B - \mathbf{r}_A\) です（AHL 3.12a 第5節）。\(x\) 成分が両方 \(2t\) なので、差は \(0\) になります。

(b) \(1\) つ目の成分は、\(t\) によらず \(0\) です。これははじめから満たされているので、条件にはなりません（AHL 3.12a 第6節）。残るのは \(5-t^2 = 0\) だけです。

\(t = -\sqrt{5}\) は \(t \geq 0\) の範囲外なので採りません。

(c) Interpret なので、\(2\) 粒子の言葉で書きます。

検算。 \(t = \sqrt{5}\) での位置を、両方の式で出します。\(\mathbf{r}_A = \begin{pmatrix} 2\sqrt{5} \\ 3\sqrt{5} \end{pmatrix}\)、\(\mathbf{r}_B = \begin{pmatrix} 2\sqrt{5} \\ 5+3\sqrt{5}-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{5} \\ 3\sqrt{5} \end{pmatrix}\) ✓ 同じ点になりました。

試験ではこう書く

\(\overrightarrow{AB} = \mathbf{r}_B - \mathbf{r}_A = \begin{pmatrix} 0 \\ 5-t^2 \end{pmatrix}\) is the position of \(B\) as seen from \(A\).

Its first component is \(0\) at every instant, which says that \(B\) is always directly above or below \(A\): the two particles share the same \(x\)-coordinate \(2t\) throughout.

The second component starts at \(5\), so \(B\) begins \(5\) m above \(A\), and it decreases to \(0\) at \(t = \sqrt{5} \approx 2.24\) s, which is the moment the particles meet.

After that the component is negative, so \(B\) would be below \(A\).

9 A particle has position vector \(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 5\cos t \\ 3\sin t \end{pmatrix}\) metres at time \(t\) seconds.

(a) Find \(\mathbf{v}\).

(b) Find the speed when \(t = 0\) and when \(t = \dfrac{\pi}{2}\).

(c) Explain why this is not circular motion.

(a) \[\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -5\sin t \\ 3\cos t \end{pmatrix} \ \text{m s}^{-1}\]

(b) \[\lvert \mathbf{v}(0) \rvert = 3 \ \text{m s}^{-1}, \qquad \left\lvert \mathbf{v}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) \right\rvert = 5 \ \text{m s}^{-1}\]

(c) The distance from the origin is not constant: \(\lvert \mathbf{r}(0) \rvert = 5\) but \(\lvert \mathbf{r}(\tfrac{\pi}{2}) \rvert = 3\). The path is an ellipse, not a circle.

(a) 中身が \(t\) そのものなので、chain rule の係数は \(1\) です。

(b) \(\mathbf{v}(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\)、\(\mathbf{v}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \end{pmatrix}\) です。速さが一定ではありません。

(c) Explain why なので、英語で理由を書きます。\(2\) つの係数が違うところが要点です（式 7 では両方 \(R\) でした）。

検算。 \(\lvert \mathbf{r} \rvert^2 = 25\cos^2 t + 9\sin^2 t\) です。\(25\) と \(9\) が違うので \(\cos^2+\sin^2\) でくくれず、\(t\) が消えません ✓ 例 3 では両方 \(25\) だったので消えました。

試験ではこう書く

For circular motion the distance from the centre must be the same at every instant.

Here \(\lvert \mathbf{r} \rvert^2 = 25\cos^2 t + 9\sin^2 t\), and because the two coefficients \(25\) and \(9\) differ, the identity \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\) cannot be used to remove \(t\).

Concretely, \(\lvert \mathbf{r}(0) \rvert = 5\) while \(\lvert \mathbf{r}(\tfrac{\pi}{2}) \rvert = 3\), so the distance from the origin changes.

The path is an ellipse with semi-axes \(5\) and \(3\).

The speed is not constant either, being \(3\ \text{m s}^{-1}\) at \(t = 0\) and \(5\ \text{m s}^{-1}\) at \(t = \tfrac{\pi}{2}\).

10 A student is given \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8-2t \end{pmatrix}\) m s\(^{-1}\) and told that the particle is at the origin when \(t = 0\). The student writes

\[ \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8t-t^2 \end{pmatrix} \]

Identify the error and give the correct answer.

The student did not integrate the first component: \(\int 6 \, dt = 6t\), not \(6\).

\[\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 6t \\ 8t-t^2 \end{pmatrix}\]

Identify the error なので、どこが違うのかを名指ししてから、正しい式を書きます。

定数も、積分すれば \(t\) が付きます（第4節）。\(\int 6 \, dt = 6t\) です。

検算。 微分して戻します。生徒の式では \(\dfrac{d}{dt}(6) = 0\) で、\(6\) には戻りません ✗ 正しい式では \(\dfrac{d}{dt}(6t) = 6\) ✓

単位でも気づけます。 位置の単位はメートルですが、\(6\) のままだと時刻によらず \(x = 6\)、つまり粒子が縦にしか動かないことになってしまいます。\(v_x = 6 \neq 0\) と食い違います。

試験ではこう書く

The student left the first component as \(6\), but \(6\) is the velocity, not the displacement: integrating gives \(\int 6 \, dt = 6t + C\), and the initial condition \(\mathbf{r}(0) = \mathbf{0}\) gives \(C = 0\).

The student’s answer would mean \(x = 6\) for every \(t\), so the particle would never move horizontally, contradicting \(v_x = 6\).

Differentiating the student’s first component gives \(0\), not \(6\).

The correct position vector is \(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 6t \\ 8t-t^2 \end{pmatrix}\).