AHL 5.16a — Euler’s method（オイラー法）

ノートWhat you should be able to do
  • Euler’s method（オイラー法）が何をしているか、ことばで説明できる。
  • 公式集の式を使って、\(1\) 歩ずつ表を作れる。
  • step length（刻み幅）\(h\) の意味が分かる。
  • 出た値が approximation（近似値）であることを説明できる。
  • 誤差がどちら向きに、どれくらい出るかを説明できる。
  • スプレッドシートや GDC で、歩数の多い計算ができる。

The idea

1. The idea of Euler’s method（傾きを使って少し先を予想する）

AHL 5.14 で式で解き、AHL 5.15 で絵で見ました。 このページは \(3\) つ目、数値で追う方法です。

表 1: 微分方程式の \(3\) つの扱いかた
方法 出てくるもの 使えるとき
AHL 5.14 separation of variables 正確な式 変数分離できる式のときだけ
AHL 5.15 slope field 絵（数値は出ない） どんな式でも
AHL 5.16 Euler’s method 数値（近似） どんな式でも

この方法で出るのは approximation（近似値）です。ぴったりの答えは出ません。

AHL 5.15 で見たように、微分方程式はどの点でも傾きを教えてくれます。

\[ \frac{dy}{dx} = x + y \]

点 \((0,\ 1)\) なら、gradient（傾き）は \(0 + 1 = 1\) です。

では、そこから少しだけ進んだ先の \(y\) は、いくつでしょうか。

正確には分かりません。しかし、傾き \(1\) でまっすぐ進んだとすれば、見当はつきます。\(x\) が \(0.3\) だけ増えれば、\(y\) は \(1 \times 0.3 = 0.3\) 増えて \(1.3\) です。

図 1: \(1\) 歩進み、また \(1\) 歩進みます。

図 1 の (a) と (b) が、この \(1\) 歩です。

そして、着いた先でもう一度、傾きを聞きます。 新しい点 \((0.3,\ 1.3)\) での傾きは \(0.3 + 1.3 = 1.6\) です。今度はその向きに進みます。

これをくり返すのが Euler’s method（オイラー法）です。 (c) のように、答えは折れ線になります。

図 2: 折れ線は、曲線のカーブを近道します。
重要折れ線なので、本当の曲線からはずれます

図 2 を見てください。本当の解は曲がっているのに、Euler はまっすぐ進みます。

そのため、角を内側に切ってしまいます。 これが誤差です。

\[ \text{Euler の答え} \neq \text{正確な答え} \]

「近似値です」と言えることが、この項目では大事です。

ヒントSL 5.4 の tangent（接線）と同じことです

ある点での tangent（接線）は、その点の近くで曲線とよく似ています。

Euler’s method は、その接線を少しだけたどって、また新しい接線に乗りかえる、というくり返しです。

「少しだけ」が \(h\) です。 \(h\) が小さいほど、接線から離れる前に乗りかえられます。

2. Reading the formula（公式の読み方）

Euler’s method で \(1\) 歩ずつ進むための式です。公式集の 5.16 の欄にあるので、覚える必要はありません。

\[ y_{n+1} = y_n + h \times f(x_n,\ y_n), \qquad x_{n+1} = x_n + h \tag{1}\]

ここで \(h\) は定数です。

記号が多く見えますが、言っていることは \(1\) つです。

表 2: 公式の記号
記号 意味
\(n\) 何歩目か（\(0\) 歩目、\(1\) 歩目、……）
\(x_n,\ y_n\) \(n\) 歩目にいる点
\(f(x_n,\ y_n)\) その点での傾き（右辺に代入するだけ）
\(h\) step length（刻み幅）。\(1\) 歩の横幅
\(h \times f(x_n,\ y_n)\) \(1\) 歩で \(y\) が増える量

ことばにすると、こうなります。

\[ (\text{次の } y) = (\text{今の } y) + (\text{横に進む幅}) \times (\text{今の傾き}) \]

警告\(f(x_n,\ y_n)\) は「新しい関数」ではありません

\(f(x,\ y)\) は、differential equation（微分方程式）の右辺そのものです。

\(\dfrac{dy}{dx} = x + y\) なら \(f(x,\ y) = x + y\)、\(\dfrac{dy}{dx} = 2 - y\) なら \(f(x,\ y) = 2 - y\) です。

新しく何かを求める必要はありません。 今いる点の \(x\) と \(y\) を、右辺に入れるだけです。

警告\(x\) の更新を忘れないでください

公式には \(2\) 本の式があります。\(y\) だけ進めて \(x\) を置き去りにすると、次の歩の傾きが間違います。

\[ x_{n+1} = x_n + h \]

右辺に \(x\) が入っていない微分方程式（たとえば \(\dfrac{dy}{dx} = 2 - y\)）なら \(x\) を使わずに済みますが、\(\dfrac{dy}{dx} = x + y\) のような式では、\(x\) がずれると全部ずれます。

3. Using a table（表にして計算する）

手で歩くときは、必ず表を作ってください。 頭の中でやると、どこかで \(h\) を掛け忘れます。

列は、\(n\) を入れて \(5\) つです。慣れたら \(h \times f\) の列は省いて、\(4\) つでも構いません。

表 3: \(\dfrac{dy}{dx} = x + y\)、\(y(0) = 1\)、\(h = 0.1\)
\(n\) \(x_n\) \(y_n\) \(f(x_n,\ y_n)\) \(h \times f\)
\(0\) \(0\) \(1\) \(0 + 1 = 1\) \(0.1\)
\(1\) \(0.1\) \(1.1\) \(0.1 + 1.1 = 1.2\) \(0.12\)
\(2\) \(0.2\) \(1.22\) \(0.2 + 1.22 = 1.42\) \(0.142\)
\(3\) \(0.3\) \(1.362\)

読み方はこうです。 いちばん右の \(h \times f\) を、\(1\) つ下の行の \(y\) に足します。

\[ 1 + 0.1 = 1.1, \qquad 1.1 + 0.12 = 1.22, \qquad 1.22 + 0.142 = 1.362 \]

例 1 で、この表をゼロから作ります。

ヒント答えは「最後の行の \(y\)」です

表を作り終えたら、求められている \(x\) の行を見ます。上の表なら \(x = 0.3\) の行で、\(y \approx 1.362\) です。

\(h \times f\) の列は、答えではありません。 途中の計算です。

例題 1 Consider the differential equation \(\dfrac{dy}{dx} = x + y\) with \(y = 1\) when \(x = 0\).

(a) Use Euler’s method with a step length of \(h = 0.1\) to find an approximation for \(y\) when \(x = 0.3\).

(b) The exact solution is \(y = 2e^{x} - x - 1\). Find the exact value of \(y\) when \(x = 0.3\).

(c) Find the error in the approximation.

(a) \(f(x,\ y) = x + y\) です。\(x = 0\) から \(x = 0.3\) まで、\(h = 0.1\) なので \(3\) 歩です（第4節）。

\(n = 0\)： \(x_0 = 0\)、\(y_0 = 1\)

\[ f(0,\ 1) = 0 + 1 = 1 \]

\[ y_1 = 1 + 0.1 \times 1 = 1.1, \qquad x_1 = 0.1 \]

\(n = 1\)：

\[ f(0.1,\ 1.1) = 0.1 + 1.1 = 1.2 \]

\[ y_2 = 1.1 + 0.1 \times 1.2 = 1.22, \qquad x_2 = 0.2 \]

\(n = 2\)：

\[ f(0.2,\ 1.22) = 0.2 + 1.22 = 1.42 \]

\[ y_3 = 1.22 + 0.1 \times 1.42 = 1.362, \qquad x_3 = 0.3 \]

\[ y \approx 1.362 \quad (x = 0.3 \text{ のとき}) \]

(b)

\[ y = 2e^{0.3} - 0.3 - 1 = 2(1.34985\ldots) - 1.3 = 1.39972 \]

\(3\) 桁で \(1.40\) です。

(c)

\[ 1.39972 - 1.362 = 0.0377 \]

検算。 Euler の答え \(1.362\) は、正確な値 \(1.400\) より小さく出ています ✓ \(y = 2e^x - x - 1\) の \(2\) 階微分は \(2e^x > 0\) で concave-up なので、表 6 のとおり小さめになるはずです。向きが合っています。

警告\(x\) の列を忘れないでください

\(2\) 歩目の傾きは \(0.1 + 1.1\) です。\(0 + 1.1\) ではありません。

\(x\) も \(h\) ずつ増えます（第2節）。

ヒント途中で丸めないでください

この例題はきれいな数ですが、そうでないときは電卓の ans を使ってつなげます（GDC 第2節）。

\(3\) 桁に丸めながら \(10\) 歩進むと、丸めの誤差が Euler の誤差に上乗せされます。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a)

表 4
\(n\) \(x_n\) \(y_n\) \(f(x_n, y_n)\)
\(0\) \(0\) \(1\) \(1\)
\(1\) \(0.1\) \(1.1\) \(1.2\)
\(2\) \(0.2\) \(1.22\) \(1.42\)
\(3\) \(0.3\) \(1.362\)

\[ y \approx 1.36 \quad (3 \text{ s.f.}) \]

(b) \[ y = 2e^{0.3} - 0.3 - 1 = 1.40 \quad (3 \text{ s.f.}) \]

(c) \[ \text{error} = 1.39972 - 1.362 = 0.0377 \]

4. Step length（刻み幅 \(h\)）

step length（刻み幅）\(h\) は、\(1\) 歩で \(x\) を進める幅です。\(h\) の大きさで、答えの正確さが変わります。

図 3: 刻み幅を小さくすると、誤差も小さくなります。

図 3 の \(4\) 枚は、同じ微分方程式を、\(h\) だけ変えて解いたものです。灰色の曲線が正確な解です。

表 5: \(h\) を半分にすると、誤差もおよそ半分
\(h\) 歩数（\(x = 0.9\) まで） \(x = 0.9\) での誤差
\(0.45\) \(2\) \(0.714\)
\(0.3\) \(3\) \(0.525\)
\(0.15\) \(6\) \(0.293\)
\(0.075\) \(12\) \(0.156\)

\(h\) を小さくすると正確になりますが、number of steps（歩数）が増えます。 \(h\) を半分にすれば、歩数は \(2\) 倍です。

\[ (\text{歩数}) = \frac{(\text{進みたい幅})}{h} \]

重要歩数の数えかたを間違えないでください

「\(x = 0\) から \(x = 0.3\) まで、\(h = 0.1\) で」なら、\(3\) 歩です。

\[ \frac{0.3 - 0}{0.1} = 3 \]

表の行は、\(n = 0,\ 1,\ 2,\ 3\) の\(4\) 行になります。行の数と歩数は \(1\) 違います。

\(n = 3\) の行まで書いて、そこで止めてください。\(4\) 歩目を進むと、\(x = 0.4\) まで行ってしまいます。

ヒント\(h\) は問題文で必ず指定されます

自分で決めることはありません。with step length \(h = 0.2\) のように書かれています。

指定された \(h\) を、そのまま使ってください。

例題 2 The same differential equation \(\dfrac{dy}{dx} = x + y\) with \(y(0) = 1\) is solved again, this time with \(h = 0.05\).

This gives \(y \approx 1.380\) when \(x = 0.3\).

(a) State how many steps are needed.

(b) The exact value is \(1.39972\). Show that halving the step length has roughly halved the error.

(c) Explain why a smaller step length gives a better approximation.

(a)

\[ \frac{0.3 - 0}{0.05} = 6 \ \text{歩} \]

(b) 例 1 の \(h = 0.1\) での誤差は \(0.0377\) でした。

\(h = 0.05\) での誤差は

\[ 1.39972 - 1.380 = 0.0197 \]

\[ \frac{0.0377}{0.0197} = 1.91 \approx 2 \]

およそ半分になっています。

(c) ことばで答える問いです。

試験ではこう書く

Euler’s method replaces the curve by straight segments, and each segment leaves the curve because the curve bends.

A smaller step length means each straight segment is shorter, so it stays closer to the curve before a new slope is taken.

The total error is therefore smaller.

（Euler 法は曲線を直線の区間で置きかえており、曲線が曲がるために各区間は曲線から離れていく。刻み幅が小さいほど各区間は短くなり、次の傾きを取るまでに曲線から離れる量が少ない。したがって全体の誤差も小さくなる、という意味です。）

検算。 \(h\) を半分にしたのに、誤差はちょうど半分にはなりません（\(1.91\) 倍で、\(2\) 倍ではありません）。「およそ」がついているのは、そのためです ✓ Why it works の見積もりも「およそ」です。

警告「\(h\) を \(0\) にすればよい」ではありません

\(h\) を小さくすると歩数が増えます。\(h = 0.001\) なら \(300\) 歩です。

手では終わりません。 そこでスプレッドシートを使います（第7節）。

また、歩数が非常に多くなると、丸めの誤差が積み重なって、かえって悪くなることもあります。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[ \frac{0.3}{0.05} = 6 \ \text{steps} \]

(b) With \(h = 0.1\): \(\ 1.39972 - 1.362 = 0.0377\)

With \(h = 0.05\): \(\ 1.39972 - 1.380 = 0.0197\) \[ \frac{0.0377}{0.0197} = 1.91 \approx 2 \] So halving \(h\) has roughly halved the error.

(c)

A smaller step length means each straight segment is shorter, so it stays closer to the curve before a new slope is taken, and the total error is smaller.

5. Direction and size of the error（誤差の向きと大きさ）

Euler’s method の答えは、正確な値から少しずれます。このずれ（error、誤差）が、どちら向きに、どれくらい出るかを考えます。

図 4: 誤差がどちら向きに、どれくらい出るかです。

向きは、解曲線の曲がり方で決まります。

図 4 の (a) と (b) を見くらべてください。

表 6: 誤差の向き
解曲線の曲がり方 接線の位置 Euler の答え
上に曲がる（concave-up、下に凸） 曲線の下を通る 小さめに出る
下に曲がる（concave-down、上に凸） 曲線の上を通る 大きめに出る

大きさは \(h\) で決まります。 表 5 のとおり、\(h\) にほぼ比例します。

警告この向きの判定は、曲がり方が途中で変わらないときの話です

解曲線が途中で concave-up から concave-down に変わると、ずれの向きも変わることがあります。

AI HL で出るのはほとんどが曲がり方の変わらない場面ですが、Explain why と問われたら、見ている区間での曲がり方を根拠にしてください。

ヒント「concave-up かどうか」は、グラフか \(2\) 階微分で見ます

グラフが与えられていれば、見れば分かります。

式で言うなら、second derivative（\(2\) 階導関数）が正なら concave-up です。second derivative そのものは AHL 5.10 で扱います。concave-up / concave-down という言葉は、そのまま覚えてください（AHL 5.10）。

\[ \frac{d^2y}{dx^2} > 0 \ \Longrightarrow \ \text{concave-up（下に凸）} \]

\(y = 2e^x - x - 1\) なら \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = 2e^x > 0\) で、いつでも concave-up です。だから 図 4 の (a) は、ずっと小さめに出ます。

重要答えを書くとき、「近似値」と分かるようにしてください

Euler の答えは近似です。

Find an approximation for \(y\) when \(x = 0.3\) と問われたら、\(y \approx 1.362\) のように \(\approx\) で書きます。

Comment on the accuracy of your answer と問われたら、こう書きます。

書くことは \(3\) つです。 ①近似であること、②どちら向きにずれるか（曲がり方を根拠に）、③どうすればよくなるか。

次は、解曲線が concave-up の場合の書き方です。

試験ではこう書く

The value is only an approximation, because Euler’s method replaces the curve by a chain of straight line segments.

The exact solution curve bends upwards, so the tangent segments lie below it and the estimate is too small.

Using a smaller step length \(h\) would reduce the error.

（この値は近似にすぎない。Euler 法は曲線を直線のつながりで置きかえているからである。正確な解曲線は上に曲がっているので、接線は曲線の下を通り、推定値は小さすぎる。刻み幅 \(h\) を小さくすれば誤差は減る、という意味です。）

concave-down のときは、②だけを入れかえます。 bends downwards → tangent segments lie above it → the estimate is too large です（表 6）。

例題 3 A metal block cools in a room. Its temperature \(\theta\ ^\circ\)C after \(t\) minutes satisfies

\[ \frac{d\theta}{dt} = -0.1(\theta - 20), \qquad \theta = 90 \text{ when } t = 0. \]

(a) Use Euler’s method with \(h = 1\) to estimate the temperature after \(3\) minutes.

(b) The exact temperature after \(3\) minutes is \(71.9\ ^\circ\)C, correct to \(3\) significant figures. Comment on the accuracy of your estimate.

(a) \(f(t,\ \theta) = -0.1(\theta - 20)\) です。右辺に \(t\) が入っていませんが、やり方は同じです。

\(n = 0\)： \(t_0 = 0\)、\(\theta_0 = 90\)

\[ f = -0.1(90 - 20) = -0.1 \times 70 = -7 \]

\[ \theta_1 = 90 + 1 \times (-7) = 83, \qquad t_1 = 1 \]

\(n = 1\)：

\[ f = -0.1(83 - 20) = -6.3 \]

\[ \theta_2 = 83 + 1 \times (-6.3) = 76.7, \qquad t_2 = 2 \]

\(n = 2\)：

\[ f = -0.1(76.7 - 20) = -5.67 \]

\[ \theta_3 = 76.7 + 1 \times (-5.67) = 71.03, \qquad t_3 = 3 \]

\(3\) 分後、およそ \(71.0\ ^\circ\)C です。

(b)

試験ではこう書く

The estimate \(71.0\ ^\circ\)C is close to the exact value \(71.9\ ^\circ\)C, but it is too small by about \(0.9\ ^\circ\)C.

The solution curve is concave-up, so the tangent segments lie below it.

The step length \(h = 1\) is quite large compared with the \(3\) minutes being covered, so only three steps are taken; a smaller step length would give a closer estimate.

（推定値 \(71.0\ ^\circ\)C は正確な値 \(71.9\ ^\circ\)C に近いが、およそ \(0.9\ ^\circ\)C 小さすぎる。解曲線は下に凸なので、接線は曲線の下を通る。刻み幅 \(h = 1\) は、対象の \(3\) 分に対して大きく、\(3\) 歩しか進んでいない。刻み幅を小さくすれば、より近い推定値が得られる、という意味です。）

検算。 \(f\) が毎回負なので、温度は下がり続けるはずです。\(90 \to 83 \to 76.7 \to 71.03\) ✓ 熱いものは冷めるので、向きが合っています。

さらに、\(\theta\) は室温 \(20\) に近づくはずで、\(20\) を下回ってはいけません（AHL 5.14 の Newton’s law of cooling）。\(71.03 > 20\) ✓

ヒント減る場面では、\(h \times f\) が負になります

\(h \times f = 1 \times (-7) = -7\) です。これを足します。 引くのではありません。

\[ \theta_1 = 90 + (-7) = 83 \]

公式は \(y_{n+1} = y_n + h \times f\) のままです。符号は \(f\) が持っています。

警告「かなり正確です」だけでは足りません

Comment on the accuracy は、近似の質を論じる問いです。\(3\) つ書けると安全です。

  1. 近いのか、離れているのか（数で）
  2. どちら向きにずれているかと、その理由
  3. どうすればよくなるか（\(h\) を小さくする）
ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a)

表 7
\(n\) \(t_n\) \(\theta_n\) \(f = -0.1(\theta_n - 20)\)
\(0\) \(0\) \(90\) \(-7\)
\(1\) \(1\) \(83\) \(-6.3\)
\(2\) \(2\) \(76.7\) \(-5.67\)
\(3\) \(3\) \(71.03\)

\[ \theta \approx 71.0\ ^\circ\text{C} \]

(b)

The estimate \(71.0\ ^\circ\)C is about \(0.9\ ^\circ\)C below the exact value \(71.9\ ^\circ\)C.

The solution curve is concave-up, so the tangent segments lie below it and Euler’s method underestimates.

A smaller step length would give a closer estimate.

例題 4 Consider \(\dfrac{dy}{dx} = 2 - y\) with \(y = 0\) when \(x = 0\).

(a) Use Euler’s method with \(h = 0.5\) to find an approximation for \(y\) when \(x = 2\).

(b) The exact value is \(1.73\), correct to \(3\) significant figures. State whether Euler’s method has overestimated or underestimated, and explain why.

(a) \(x = 0\) から \(x = 2\) まで、\(h = 0.5\) なので \(4\) 歩です。

\(f(x,\ y) = 2 - y\) で、\(x\) は右辺に入っていません。

表 8: \(\dfrac{dy}{dx} = 2 - y\)、\(h = 0.5\)
\(n\) \(x_n\) \(y_n\) \(f = 2 - y_n\) \(h \times f\)
\(0\) \(0\) \(0\) \(2\) \(1\)
\(1\) \(0.5\) \(1\) \(1\) \(0.5\)
\(2\) \(1\) \(1.5\) \(0.5\) \(0.25\)
\(3\) \(1.5\) \(1.75\) \(0.25\) \(0.125\)
\(4\) \(2\) \(1.875\)

\[ y \approx 1.875 \]

(b) \(1.875 > 1.73\) なので、大きく出ています。

試験ではこう書く

Euler’s method has overestimated.

The solution curve is concave-down, that is it bends downwards, so each tangent segment lies above the curve.

Every step therefore lands slightly too high, and the errors build up.

（Euler 法は大きく見積もっている。解曲線は上に凸、つまり下向きに曲がっているので、各接線の区間は曲線の上を通る。したがって毎回わずかに高い位置に着き、その誤差が積み重なる、という意味です。）

検算。 この式は AHL 5.15 で見たとおり、\(y = 2\) が平衡解です。表の \(y\) は \(0 \to 1 \to 1.5 \to 1.75 \to 1.875\) と、\(2\) に近づいています ✓ 向きが合っています。

正確な解は \(y = 2 - 2e^{-x}\) で、\(\dfrac{d^2y}{dx^2} = -2e^{-x} < 0\) です。concave-down ✓ 表 6 のとおり大きめに出ます。

警告Euler が「いつも小さめ」ではありません

例 1 と 例 3 は小さめでしたが、この例題は大きめです。

曲がり方で決まります（表 6）。「Euler はいつも小さく出る」と覚えないでください。

ヒント平衡解を越えないのは、たまたまではありません

\(y\) が \(2\) に近づくと \(f = 2 - y\) が小さくなるので、歩幅の縦の伸びも小さくなります。

ただし \(h\) が大きすぎると、\(y = 2\) を飛び越えることがあります。 \(h = 1.5\) で \(1\) 歩目を計算してみてください。\(y_1 = 0 + 1.5 \times 2 = 3\) で、平衡解の反対側に出てしまいます。

\(h\) が大きすぎると、答えが場面に合わなくなります。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a)

表 9
\(n\) \(x_n\) \(y_n\) \(f = 2 - y_n\)
\(0\) \(0\) \(0\) \(2\)
\(1\) \(0.5\) \(1\) \(1\)
\(2\) \(1\) \(1.5\) \(0.5\)
\(3\) \(1.5\) \(1.75\) \(0.25\)
\(4\) \(2\) \(1.875\)

\[ y \approx 1.88 \quad (3 \text{ s.f.}) \]

(b)

Euler’s method has overestimated, since \(1.875 > 1.73\).

The solution curve is concave-down, so each tangent segment lies above the curve and every step lands slightly too high.

6. Euler’s method and slope fields（方向場の上を歩く）

Euler’s method は、AHL 5.15 の slope field（方向場）の線分に沿って進むことと同じです。

図 5: slope field の線分に沿って進みます。

図 5 は、AHL 5.15 の slope field の上に、Euler の折れ線を重ねたものです。

やっていることは同じです。線分の向きに進む——それを絵でやるのが 5.15、数でやるのが 5.16 です。

\(h\) が大きいと、途中で出会う線分を無視して進んでしまいます。\(h\) が小さければ、線分に沿ったまま進めます。

ヒントslope field が与えられたら、答えの見当がつきます

表を作ったあとで、その値が場の絵と合っているかを見てください。

たとえば場が右上がりばかりなのに \(y\) が減っていたら、どこかで計算を間違えています。\(30\) 秒でできる検算です。

7. Spreadsheets and technology（スプレッドシートと試験での扱い）

Euler’s method の近似値は、ふつうはスプレッドシート（表計算）で求めます。歩数が多い問題は、手では解きません。 スプレッドシートか GDC を使います（GDC 第1節）。試験でも、たくさんの歩数の値は、試験で使ってよい電卓で出します。

それでも、このページではまず手で \(2\)〜\(3\) 歩たどります。

式に何を入れているのかが分かっていないと、電卓の出した数が正しいかどうか判断できないからです。手で \(3\) 歩できれば、\(300\) 歩は電卓に任せられます。

Why it works

なぜ「傾き × 幅」を足してよいのか

SL 5.1 で、導関数はこう定義されました。

\[ \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{y(x+h) - y(x)}{h} \]

\(h\) が小さいときは、limit（極限）を取る前の式でも近いはずです。

\[ \frac{dy}{dx} \approx \frac{y(x+h) - y(x)}{h} \]

両辺に \(h\) を掛けて、\(y(x+h)\) について解きます。

\[ y(x+h) \approx y(x) + h \times \frac{dy}{dx} \]

右辺の \(\dfrac{dy}{dx}\) を、微分方程式が教えてくれます。 それが \(f(x,\ y)\) です。

\[ y(x+h) \approx y(x) + h \times f(x,\ y) \]

これが 式 1 そのものです。公式は、導関数の定義を「途中で止めた」だけです。

なぜ誤差は \(h\) に比例するのか

\(1\) 歩あたりの誤差は、\(h^2\) に比例します。接線と曲線の離れ方が、\(h\) の \(2\) 乗で効いてくるからです（曲がり方が \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) で決まるため）。

いっぽう、決まった幅 \(X\) を進むのに必要な歩数は \(\dfrac{X}{h}\) です。

\[ (\text{全体の誤差}) \approx (\text{1 歩の誤差}) \times (\text{歩数}) \approx h^2 \times \frac{X}{h} = hX \]

\(h\) の \(1\) 乗が残ります。 だから \(h\) を半分にすると、誤差もおよそ半分になります（表 5）。

この計算は AI HL では問われません。 「\(h\) を小さくすれば誤差が減る」と言えれば十分です。

なぜ \(2\) 乗が \(1\) 乗になるのかが気になった人のために書いてあります。

誤差は、たまってから減りません

\(1\) 歩目でずれると、\(2\) 歩目はずれた点から始まります。そこで読む傾きも、本当の傾きではありません。

つまり、誤差は歩くほどたまります。 図 2 で、右へ行くほど差が開いているのは、そのためです。

だから、「\(x = 5\) での値を \(h = 1\) で」のような問題では、答えはかなり粗くなります。 近似だと言い添えてください。

Common errors

警告\(h\) を掛け忘れる

\(y_{n+1} = y_n + h \times f\) です。\(y_n + f\) ではありません（第2節）。

\(h\) が \(1\) のときだけ、たまたま同じ答えになります。 例 3 がその場合なので、そこで身についてしまわないよう注意してください。

警告\(x\) を更新しない

\(x_{n+1} = x_n + h\) も公式のうちです（第2節）。\(x\) が止まっていると、\(2\) 歩目から傾きが違います。

警告歩数を \(1\) 間違える

\(x = 0\) から \(x = 0.3\) まで \(h = 0.1\) なら \(3\) 歩、表は \(4\) 行です（第4節）。

警告新しい傾きを、古い点で計算する

\(n\) 歩目の傾きは、\(n\) 歩目の点 \((x_n,\ y_n)\) で計算します。\(1\) つ前の点ではありません。

警告途中で丸める

\(3\) 桁に丸めながら進むと、丸めの誤差がたまります（例 1）。電卓の中で値をつないでください。

警告「\(=\)」で答えを書く

Euler の答えは近似です。\(\approx\) を使ってください（第5節）。

警告「Euler はいつも小さめ」と覚える

曲がり方で決まります（表 6、例 4）。

警告誤差の向きを聞かれて、理由を書かない

Explain why なら、接線が曲線の上を通るのか下を通るのかまで書きます（第5節）。

警告減る場面で、\(h \times f\) を引いてしまう

公式は足すままです。符号は \(f\) が持っています（例 3）。

警告表を作らずに暗算する

\(3\) 歩でも、表を作ったほうが速くて確実です（第3節）。

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

重要この項目は、試験モードでも使えます

AHL 5.15 の Diff Eq のグラフは、Press-to-Test（試験モード）では使えませんでした。

Lists & Spreadsheet は使えます。 ですから、ここで説明する方法は試験でもそのまま使えます。

Using Lists & Spreadsheet（Lists & Spreadsheet で表を作る）

Euler’s method の表を、電卓の表計算（スプレッドシート）で作る方法です。

ctrl + doc → Add Lists & Spreadsheet

例 1（\(\dfrac{dy}{dx} = x + y\)、\(y(0) = 1\)、\(h = 0.1\)）を例にします。

表 10: Euler 法をスプレッドシートに入れる
セル 入れるもの 意味
A1 0 \(x_0\)
B1 1 \(y_0\)
A2 =a1+0.1 \(x_{n+1} = x_n + h\)
B2 =b1+0.1*(a1+b1) \(y_{n+1} = y_n + h \times f(x_n, y_n)\)

A2 と B2 を入れたら、その \(2\) つのセルを選んで下へコピーします。

menu → Data → Fill

下向きに範囲を伸ばして enter を押すと、何十行でも一気にできます。

うまく選べないときは、列ごとに \(1\) つずつ Fill してください。結果は同じです。

重要a1 と a[] は別ものです

この本のほかのページでは =a[] という書き方を使いました（SL 1.4）。あれは列ぜんぶを指します。

Euler 法では、\(1\) つ上のセルを指す必要があります。ですから a1、b1 のように角かっこなしで書きます。

そして、列の名前の行（グレー）ではなく、ふつうのセルに入れてください。 グレーの行の式は列全体に働くので、\(1\) つ上を参照する形にはなりません。

警告\(f(x,\ y)\) の書き写しを間違えないでください

B2 の中の (a1+b1) の部分が、微分方程式の右辺です。

表 11: 右辺の書き写し
微分方程式 B2 に入れるもの
\(\dfrac{dy}{dx} = x + y\) =b1+0.1*(a1+b1)
\(\dfrac{dy}{dx} = 2 - y\) =b1+0.5*(2-b1)
\(\dfrac{d\theta}{dt} = -0.1(\theta - 20)\) =b1+1*(-0.1*(b1-20))

\(h\) の値も、式の中に入っています。 \(h\) を変えるときは、A2 と B2 の両方を直してください。

Stepping on the Calculator screen（計算画面で \(1\) 歩ずつ進める）

歩数が少ないときは、Calculator ページのほうが速いこともあります。

まず初期値を変数に入れます。

0 → x
1 → y

矢印は ctrl + var です。

次に、\(1\) 歩ぶんを \(2\) 行に分けて打ちます。\(y\) が先です。

y+0.1*(x+y) → y
x+0.1 → x

\(2\) 歩目からは、打ち直しません。 ▲ で \(1\) つ前の入力を選び、enter で入力欄に戻して、もう一度 enter を押します。これを \(2\) 行ぶんくり返すと、\(1\) 歩進みます。

\(2\) 行を : でつないで \(1\) 行にすることもできますが、表示されるのは最後の結果だけです。\(y\) の値を見たいので、この本では \(2\) 行に分けています。

警告順番が大事です

\(y\) を先に、\(x\) を後に更新します。

\(y\) の新しい値を計算するときには、古い \(x\) が必要だからです。先に \(x\) を進めてしまうと、\(1\) 歩ぶんずれた傾きを使うことになります。

ヒント表示桁数を増やしておいてください 
doc → Settings → Document Settings

Display Digits を Float 10 などにしておくと、途中の値が丸められずに見えます。

Exercises

1 Consider \(\dfrac{dy}{dx} = x^2 + y\) with \(y = 2\) when \(x = 1\).

Use Euler’s method with \(h = 0.2\) to find the point reached after one step.

\[ f(1,\ 2) = 1^2 + 2 = 3 \] \[ y_1 = 2 + 0.2 \times 3 = 2.6, \qquad x_1 = 1 + 0.2 = 1.2 \] The point reached is \((1.2,\ 2.6)\).

公式に入れるだけです（第2節）。

\[ y_{n+1} = y_n + h \times f(x_n,\ y_n) \]

\(x\) も忘れずに進めてください。 答えは「点」なので、\(x\) と \(y\) の両方が要ります。

\(1^2 = 1\) です。\(x^2\) の計算を先にしてください。

検算。 傾きが \(3\) で正なので、\(y\) は増えるはずです。\(2 \to 2.6\) ✓

2 Consider \(\dfrac{dy}{dx} = x - y\) with \(y = 1\) when \(x = 0\).

(a) Use Euler’s method with \(h = 0.25\) to find an approximation for \(y\) when \(x = 1\).

(b) The exact value is \(0.736\), correct to \(3\) significant figures. Find the error.

(a)

表 12
\(n\) \(x_n\) \(y_n\) \(f = x_n - y_n\)
\(0\) \(0\) \(1\) \(-1\)
\(1\) \(0.25\) \(0.75\) \(-0.5\)
\(2\) \(0.5\) \(0.625\) \(-0.125\)
\(3\) \(0.75\) \(0.59375\) \(0.15625\)
\(4\) \(1\) \(0.6328125\)

\[ y \approx 0.633 \quad (3 \text{ s.f.}) \]

(b) \[ 0.736 - 0.633 = 0.103 \]

\(4\) 歩です（\(1 \div 0.25 = 4\)）。表は \(5\) 行になります（第4節）。

傾きが途中で正に変わります。 \(n = 3\) で \(0.75 - 0.59375 = 0.15625 > 0\) です。ここから \(y\) は増えはじめます。

\(y\) が \(1 \to 0.75 \to 0.625 \to 0.594\) と減り、そのあと \(0.633\) に増えているのは、間違いではありません。

検算。 AHL 5.15 で見たとおり、\(\dfrac{dy}{dx} = x - y\) の傾きが \(0\) になるのは \(y = x\) の上です。\(n = 2\) から \(n = 3\) のあいだで \(y\) が \(x\) を下回っています（\(0.625 > 0.5\) だが \(0.594 < 0.75\)）✓ そこで折り返しています。

正確な解は \(y = x - 1 + 2e^{-x}\) で、\(\dfrac{d^2y}{dx^2} = 2e^{-x} > 0\)、つまり concave-up です。ですから Euler は小さめに出ます。\(0.633 < 0.736\) ✓（この解き方は AI HL の範囲外です。向きの確認にだけ使っています。）

3 The same differential equation \(\dfrac{dy}{dx} = x - y\) with \(y(0) = 1\) is solved with \(h = 0.5\) instead.

(a) Show that this gives \(y \approx 0.5\) when \(x = 1\).

(b) The exact value is \(0.736\). State which step length gives the better approximation, giving a reason.

(a)

表 13
\(n\) \(x_n\) \(y_n\) \(f = x_n - y_n\)
\(0\) \(0\) \(1\) \(-1\)
\(1\) \(0.5\) \(0.5\) \(0\)
\(2\) \(1\) \(0.5\)

\[ y \approx 0.5 \]

(b)

The step length \(h = 0.25\) gives the better approximation.

Its error is \(0.736 - 0.633 = 0.103\), while the error for \(h = 0.5\) is \(0.736 - 0.5 = 0.236\).

A smaller step length uses shorter straight segments, which stay closer to the curve.

(a) \(2\) 歩です。\(n = 1\) で傾きがちょうど \(0\) になるので、\(2\) 歩目では \(y\) が変わりません。

\[ y_2 = 0.5 + 0.5 \times 0 = 0.5 \]

(b) giving a reason なので、数と理由の両方を書きます（第5節）。

誤差は \(0.236\) と \(0.103\) で、およそ \(2\) 倍です。\(h\) も \(2\) 倍なので、表 5 のとおりです。

検算。 \(\dfrac{0.236}{0.103} = 2.29\) です。「およそ \(2\) 倍」と言えます ✓ ぴったり \(2\) にならないのは、比例が近似だからです（Why it works）。

4 Consider \(\dfrac{dy}{dx} = 2xy\) with \(y = 1\) when \(x = 0\).

Copy and complete the table, using Euler’s method with \(h = 0.1\).

表 14
\(n\) \(x_n\) \(y_n\) \(f(x_n,\ y_n)\)
\(0\) \(0\) \(1\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
表 15
\(n\) \(x_n\) \(y_n\) \(f = 2x_n y_n\)
\(0\) \(0\) \(1\) \(0\)
\(1\) \(0.1\) \(1\) \(0.2\)
\(2\) \(0.2\) \(1.02\) \(0.408\)
\(3\) \(0.3\) \(1.0608\)

\[ y \approx 1.06 \quad \text{when } x = 0.3 \quad (3 \text{ s.f.}) \]

\(1\) 行目の傾きが \(0\) です。 \(f(0,\ 1) = 2 \times 0 \times 1 = 0\) なので、\(1\) 歩目では \(y\) が動きません。

\[ y_1 = 1 + 0.1 \times 0 = 1 \]

\(y\) が変わらないのは、間違いではありません。 \(x = 0\) では傾きが \(0\) だからです。

\(2\) 歩目からは動きます。

\[ f(0.1,\ 1) = 2 \times 0.1 \times 1 = 0.2, \qquad y_2 = 1 + 0.02 = 1.02 \]

\[ f(0.2,\ 1.02) = 2 \times 0.2 \times 1.02 = 0.408, \qquad y_3 = 1.02 + 0.0408 = 1.0608 \]

検算。 正確な解は \(y = e^{x^2}\) です。微分すると \(2xe^{x^2} = 2xy\) ✓ \(x = 0.3\) なら \(e^{0.09} = 1.0942\) です。

Euler の \(1.0608\) は小さめに出ています。\(y = e^{x^2}\) は \(x > 0\) で concave-up なので、表 6 のとおりです ✓

5 A population of fish \(P\), in thousands after \(t\) years, satisfies

\[ \frac{dP}{dt} = 0.2P\left(1 - \frac{P}{500}\right), \qquad P = 100 \text{ when } t = 0. \]

(a) Use Euler’s method with \(h = 2\) to estimate \(P\) when \(t = 6\).

(b) State one reason why this estimate may not be accurate.

(a)

表 16
\(n\) \(t_n\) \(P_n\) \(f = 0.2P_n\left(1 - \dfrac{P_n}{500}\right)\)
\(0\) \(0\) \(100\) \(16\)
\(1\) \(2\) \(132\) \(19.43\)
\(2\) \(4\) \(170.9\) \(22.49\)
\(3\) \(6\) \(215.9\)

\[ P \approx 216 \ \text{thousand fish} \]

(b)

The step length \(h = 2\) years is large, so only three steps are taken over six years.

Each step follows a straight line while the true solution curve bends, so the errors build up and the estimate may be some way from the exact value.

AHL 5.15 で見た logistic model（ロジスティックモデル）です。上限は \(500\) です。

\[ f(0,\ 100) = 0.2 \times 100 \times \left(1 - \frac{100}{500}\right) = 20 \times 0.8 = 16 \]

\[ P_1 = 100 + 2 \times 16 = 132 \]

\[ f = 0.2 \times 132 \times \left(1 - \frac{132}{500}\right) = 26.4 \times 0.736 = 19.43 \]

\[ P_2 = 132 + 2 \times 19.43 = 170.9 \]

\[ f = 0.2 \times 170.9 \times \left(1 - \frac{170.9}{500}\right) = 34.17 \times 0.6582 = 22.49 \]

\[ P_3 = 170.9 + 2 \times 22.49 = 215.9 \]

検算。 \(P\) は上限 \(500\) に向かって増えるはずです。\(100 \to 132 \to 171 \to 216\) ✓ まだ \(500\) の半分以下なので、増え方が速くなっているはずです。傾きが \(16 \to 19.4 \to 22.5\) と大きくなっています ✓ （\(P = 250\) で増加が最大になります。）

(b) State one reason なので、\(1\) つで足ります。\(h\) が大きいこと、または近似であることを書きます。

「電卓が壊れているかもしれない」のような答えは、点になりません。 方法そのものの性質を書いてください。

6 Consider \(\dfrac{dy}{dx} = 3 - y\) with \(y = 0\) when \(x = 0\).

(a) Use Euler’s method with \(h = 0.5\) to find an approximation for \(y\) when \(x = 2\).

(b) The exact value is \(2.59\), correct to \(3\) significant figures. Explain why Euler’s method has overestimated.

(a)

表 17
\(n\) \(x_n\) \(y_n\) \(f = 3 - y_n\)
\(0\) \(0\) \(0\) \(3\)
\(1\) \(0.5\) \(1.5\) \(1.5\)
\(2\) \(1\) \(2.25\) \(0.75\)
\(3\) \(1.5\) \(2.625\) \(0.375\)
\(4\) \(2\) \(2.8125\)

\[ y \approx 2.81 \quad (3 \text{ s.f.}) \]

(b)

The solution curve rises steeply at first and then flattens out towards \(y = 3\), so it is concave-down.

Each tangent segment therefore lies above the curve, and every step lands slightly too high.

The errors accumulate, so the final value \(2.81\) is larger than the exact value \(2.59\).

例 4 と同じ形で、平衡解が \(3\) になっただけです。

毎回、傾きがちょうど半分になっています。 \(3 \to 1.5 \to 0.75 \to 0.375\) です。

これは \(h \times\)（傾き）を足すと、次の \(3 - y\) がちょうど半分になるからです。

\[ 3 - (y + 0.5(3 - y)) = 0.5(3 - y) \]

(b) Explain why なので、曲がり方を根拠にします（第5節）。

検算。 正確な解は \(y = 3 - 3e^{-x}\) で、\(\dfrac{d^2y}{dx^2} = -3e^{-x} < 0\)、つまり concave-down です ✓ \(x = 2\) なら \(3 - 3e^{-2} = 2.594\) で、問題文の \(2.59\) と合っています ✓

7 A student uses Euler’s method on \(\dfrac{dy}{dx} = x + 2y\) with \(y = 1\) when \(x = 0\) and \(h = 0.1\).

The student writes:

\(f(0,\ 1) = 0 + 2 = 2\), so \(y_1 = 1 + 2 = 3\) and \(x_1 = 0\).

Identify the two errors in this working, and give the correct values of \(x_1\) and \(y_1\).

First, the student has not multiplied the slope by the step length.

The formula is \(y_1 = y_0 + h \times f(x_0,\ y_0)\), so the increase should be \(0.1 \times 2 = 0.2\), not \(2\).

Second, the student has not updated \(x\).

The formula \(x_1 = x_0 + h\) gives \(x_1 = 0.1\), not \(0\).

\[ y_1 = 1 + 0.1 \times 2 = 1.2, \qquad x_1 = 0 + 0.1 = 0.1 \]

傾きの計算そのものは合っています。 \(f(0,\ 1) = 0 + 2 \times 1 = 2\) です。

間違いは、そのあとの \(2\) 行です。

表 18: \(2\) つの誤り
生徒の式 正しい式
\(y_1 = 1 + 2\) \(y_1 = 1 + \mathbf{0.1 \times} 2\)
\(x_1 = 0\) \(x_1 = 0 + \mathbf{0.1}\)

どちらも Common errors の \(1\) 番目と \(2\) 番目です。

警告\(2\) つと言われたら、\(2\) つ探してください

\(1\) つ見つけて満足しないでください。問題文が個数を言っているときは、その数だけあります。

検算。 \(h\) を掛け忘れると、\(1\) 歩で \(y\) が \(1 \to 3\) と \(2\) 倍以上になります。\(0.1\) しか進んでいないのに、これは大きすぎます ✓ 答えの大きさを見るだけでも、気づけます。

8 図 5 shows the slope field of \(\dfrac{dy}{dx} = x + y\) with two Euler approximations drawn on it, one with \(h = 0.45\) and one with \(h = 0.15\).

(a) Describe how the \(h = 0.45\) path behaves compared with the slope field segments it passes.

(b) Suggest why the \(h = 0.15\) path stays closer to the exact curve.

(a)

The \(h = 0.45\) path matches the segment only at the point where each step begins.

As the step continues, the segments it passes become steeper, but the path keeps the old slope, so it falls below them.

(b)

With \(h = 0.15\) the path takes a new slope more often, so it has less distance in which to drift away from the segments before correcting itself.

It therefore stays closer to the exact solution curve.

第6節の内容です。

Euler は、歩の「始まり」でしか場と合っていません。 進むあいだ、場のほうは変わり続けています。

\(h\) が大きいほど、そのずれが大きくなります。

検算。 図の \(h = 0.45\) の折れ線は、\(2\) 歩で \(x = 0.9\) に着いています。\(h = 0.15\) は \(6\) 歩です ✓ \(0.9 \div 0.45 = 2\)、\(0.9 \div 0.15 = 6\) で、第4節の数え方と合っています。

9 For a certain differential equation, Euler’s method gives these errors at \(x = 1\).

表 19
step length \(h\) error
\(0.4\) \(0.096\)
\(0.2\) \(0.049\)
\(0.1\) \(0.025\)

(a) Describe the relationship between the step length and the error.

(b) Estimate the error when \(h = 0.05\).

(c) Explain why the errors are not exactly halved each time.

(a)

Each time the step length is halved, the error is roughly halved as well.

The error is approximately proportional to \(h\).

(b) \[ 0.025 \div 2 \approx 0.013 \]

(c)

The proportionality is only an approximation.

The size of each step’s error depends on how sharply the curve bends, and the curvature is not the same at every point along the path, so the total error does not scale exactly.

(a) 比を計算します。

\[ \frac{0.096}{0.049} = 1.96, \qquad \frac{0.049}{0.025} = 1.96 \]

どちらも \(2\) に近いので、\(h\) に比例しています（表 5）。

(b) \(0.025\) の半分で、およそ \(0.013\) です。

「およそ」を付けてください。 表の比が \(1.96\) なので、\(0.0128\) 前後になります。

(c) Why it works の内容です。\(1\) 歩の誤差は曲がり方で決まるので、進む場所によって少しずつ違います。

検算。 \(h\) が \(4\) 分の \(1\)（\(0.4 \to 0.1\)）になったとき、誤差は \(0.096 \to 0.025\) で、\(3.84\) 分の \(1\) です ✓ \(4\) に近く、比例と合っています。

10 The height of water in a tank, \(H\) cm after \(t\) minutes, satisfies

\[ \frac{dH}{dt} = 6 - 2\sqrt{H}, \qquad H = 4 \text{ when } t = 0. \]

(a) Separating the variables gives \(\displaystyle\int \frac{1}{6 - 2\sqrt{H}}\, dH = \int dt\). Explain why this integral cannot be evaluated using the methods of AHL 5.14.

(b) Use Euler’s method with \(h = 0.5\) to estimate \(H\) when \(t = 1.5\).

(c) Find the height at which the water level stops changing.

(d) Comment on whether your answer to part (b) is consistent with your answer to part (c).

(a)

The integral \(\int \frac{1}{6 - 2\sqrt{H}}\, dH\) is not one of the standard integrals in the formula booklet, and it is not of the form \(\int \frac{1}{u}\, du\) or \(\int u^{n}\, du\).

Evaluating it needs a substitution beyond the methods of AHL 5.14, so the equation cannot be solved by hand in this course.

(b)

表 20
\(n\) \(t_n\) \(H_n\) \(f = 6 - 2\sqrt{H_n}\)
\(0\) \(0\) \(4\) \(2\)
\(1\) \(0.5\) \(5\) \(1.5279\)
\(2\) \(1\) \(5.7639\) \(1.1984\)
\(3\) \(1.5\) \(6.3631\)

\[ H \approx 6.36 \ \text{cm} \quad (3 \text{ s.f.}) \]

(c) The level stops changing when \(\dfrac{dH}{dt} = 0\): \[ 6 - 2\sqrt{H} = 0, \qquad \sqrt{H} = 3, \qquad H = 9 \]

(d)

The estimate \(6.36\) cm is below \(9\) cm, and the slopes in the table are still positive and decreasing, so the level is still rising and slowing down.

This is consistent with the level approaching \(9\) cm but not yet having reached it.

(a) 変数を分けること自体はできます。 右辺に \(t\) が入っていないので、そのまま両辺を分けられます。

\[ \int \frac{1}{6 - 2\sqrt{H}}\, dH = \int dt \]

できないのは、左辺の積分のほうです。 これは公式集の Standard integrals（AHL 5.11）のどれにも当てはまらず、\(\dfrac{1}{u}\) や \(u^n\) の形にもなっていません。integration by substitution（置換積分）が要りますが、そこは AI HL の範囲を超えます。

この形は AHL 5.14 でも「式を立てるところまで」とされていました。 数値で解くのが、まさにこの項目で習うことです。

警告「変数分離できない」と書かないでください

\(6 - 2\sqrt{H}\) は引き算ですが、\(1 \times (6 - 2\sqrt{H})\) と見れば \(f(t)\,g(H)\) の形です。分けることはできます。

AHL 5.14 の冷却の問題も \(-k(\theta - 20)\) という引き算でしたが、変数分離で解けました。

問題は積分のほうだ、と書いてください。

(b)

\[ f = 6 - 2\sqrt{4} = 6 - 4 = 2, \qquad H_1 = 4 + 0.5 \times 2 = 5 \]

\[ f = 6 - 2\sqrt{5} = 6 - 4.4721 = 1.5279, \qquad H_2 = 5 + 0.7639 = 5.7639 \]

\[ f = 6 - 2\sqrt{5.7639} = 6 - 4.8016 = 1.1984, \qquad H_3 = 5.7639 + 0.5992 = 6.3631 \]

\(\sqrt{\ }\) は丸めずに電卓の中でつないでください（GDC 第2節）。

(c) 水位が止まるのは、入る量と出る量がつり合うときです。AHL 5.15 の equilibrium solution（平衡解）と同じ考え方です。

(d) Comment on ... consistent with は、\(2\) つの答えを突き合わせる問いです。

\(6.36 < 9\) で、傾きがまだ正なので、矛盾していません。

検算。 傾きが \(2 \to 1.53 \to 1.20\) と小さくなっています ✓ \(H\) が \(9\) に近づくほど \(6 - 2\sqrt{H}\) は \(0\) に近づくので、正しい向きです。

\(H = 9\) を入れると \(6 - 2 \times 3 = 0\) ✓ (c) の答えが合っています。

警告\(h\) が大きすぎると、平衡解を飛び越えます

この問題を \(h = 3\) でやると、\(1\) 歩目で \(H_1 = 4 + 3 \times 2 = 10 > 9\) です。

水位が上限を越えてしまいます。 出た数が場面に合っているかどうかは、いつも確かめてください（例 4）。