AHL 3.9 — Geometric transformations in two dimensions（行列による平面上の変換）

ノートWhat you should be able to do
  • 点を列ベクトルで書き、\(2 \times 2\) の transformation matrix（変換行列）を左から掛けて image（像）を求められる。
  • 公式集の \(6\) つの transformation matrix（reflection（対称移動）、horizontal / vertical stretch（伸長）、enlargement（拡大）、rotation（回転）\(2\) 種類）を、正しく選んで使える。
  • translation（平行移動）だけは transformation matrix の外に足す、という形 \(A\mathbf{x} + \mathbf{t}\) が書ける。
  • 図形の頂点をまとめて \(1\) つの行列にして、一度に変換できる。
  • \(2\) つの変換の composition（合成）を求められる。順番で答えが変わると分かる。
  • transformation matrix の determinant が「面積が何倍になるか」だと分かり、像の面積を求められる。
  • inverse matrix を使って、像からもとの点にもどせる。
  • 同じ変換をくり返して fractal（フラクタル）を作る仕組みを説明できる。

The idea

この項目は、点を動かす仕組みを行列で書く項目です。

transformation matrix（変換行列）を、平面上の点を別の位置へ動かすルールとして使います。そして、図形のすべての点に同じ transformation matrix を使えば、\(1\) つの行列で図形全体の変換を表せます。

もとの図形を object（もとの図形）、動かしたあとを image（像）と呼びます。

行列のかけ算、determinant（行列式）、inverse matrix（逆行列）は、AHL 1.14 で学んだものをそのまま使います。新しいのは、その計算が図の上で何をしているのかという見方だけです。

図 1: 図形のどの点にも、同じ行列を掛けます。

図 1 では、三角形の \(3\) つの頂点をそれぞれ縦に並べた形で書き、そのどれにも同じ transformation matrix を左から掛けています。各頂点に同じ変換を行うことで、その結果として図形全体が変換される——これがこの項目の中身です。

1. Points as column vectors（点を列ベクトルで表す）

いつもは点を \((3,\ 1)\) と横に書きますが、この項目では縦に書きます。

\[ (x,\ y) \quad \longrightarrow \quad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

この、数を縦に並べた形を column vector（列ベクトル）といいます。AHL 1.14 で column matrix と呼んだものと同じで、列が \(1\) つだけの行列です。点 \((3,\ 1)\) なら、次のようになります。

\[ \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \]

縦に書くのは、\(2 \times 2\) の transformation matrix を左から掛けるためです。AHL 1.14 で見たとおり、行列の積があるのは内側の数がそろっているときだけでした。

\[ (2 \times \underline{2})(\underline{2} \times 1) \ \Rightarrow \ 2 \times 1 \]

\(2 \times 2\) と \(2 \times 1\) なら内側がそろうので計算でき、答えはまた \(2 \times 1\)、つまり点を表す列ベクトルになります。

そこで、このページでずっと使う形は次のとおりです。

\[ M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

  • \(M\) … transformation matrix（変換行列）。\(2 \times 2\) です
  • \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) … object 側の点
  • 計算した結果 … その点の image の座標

では、実際に \(1\) つの点を変換してみます。

たとえば \(90^\circ\) の anticlockwise rotation（反時計回りの回転）なら、公式集にある

\[ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]

に \(\theta = 90^\circ\) を入れて

\[ \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

となり、点 \((3,\ 1)\) の image は

\[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0(3) + (-1)(1) \\ 1(3) + 0(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \]

です。答えを書くときは \((-1,\ 3)\) と横にもどして構いません。 計算のあいだだけ縦にする、と思ってください。

この項目の rotation と reflection では、角を度で書きます。電卓は Degree にしておきます。Radian のままだと \(\cos 90\) が \(-0.448\ldots\) になり、行列そのものが変わってしまいます（GDC 第1節）。

警告transformation matrix は、いつも左に置きます

正しいのは、transformation matrix が左、列ベクトルが右のこの形です。

\[ M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

逆にした \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} M\) とは書けません。\((2 \times 1)(2 \times 2)\) では、内側の数（\(1\) と \(2\)）がそろわないので、行列の積そのものが存在しないからです（AHL 1.14）。

2. Transforming a shape（図形の頂点をまとめて変換する）

三角形の \(3\) 頂点を \(1\) つずつ計算してもよいのですが、\(1\) 点を \(1\) 列として、横に並べて \(1\) つの行列にすると、transformation matrix を掛けるのが \(1\) 回で終わります。

図 2: 頂点 \(1\) つを \(1\) 列にして並べます。

図 2 では、\(A(1,1)\)、\(B(4,1)\)、\(C(1,3)\) をそれぞれ \(1\) 列にして、\(3\) 列ぶん横に並べ、\(2 \times 3\) の行列にしています。\(2 \times 2\) に \(2 \times 3\) を掛けるので、内側の \(2\) がそろっていて計算できます。答えも \(2 \times 3\) で、列がそのまま \(A'\)、\(B'\)、\(C'\) になります。

警告translation があるときは、この形では足せません

\(\begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}\) は \(2 \times 1\) なので、\(2 \times 3\) の答えにそのままは足せません。

頂点が \(3\) つあるなら、\(\begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}\) を \(3\) 列ぶん並べたものを足すか、\(1\) 点ずつ計算してください。試験では、点の数が少ないので \(1\) 点ずつのほうが安全です。translation については第4節で扱います。

はじめに見た 図 1 も、この形です

ページの最初の 図 1 が、どの点をどこへ動かしていたのかを、いま並べて書けます。使っている transformation matrix は、次のものです。

\[ M = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]

object の \(3\) 頂点は \(O(0,\ 0)\)、\(A(4,\ 0)\)、\(B(0,\ 2)\) です。\(1\) 点を \(1\) 列にして、\(3\) 列ぶん横に並べます。

\[ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 12 & 2 \\ 0 & 4 & 4 \end{pmatrix} \]

答えの列を、左から順に読みます。

表 1: 図 1 の \(3\) 頂点
object の点 計算 image の点
\(O(0,\ 0)\) \(\begin{pmatrix} 3(0) + 1(0) \\ 1(0) + 2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(O'(0,\ 0)\)
\(A(4,\ 0)\) \(\begin{pmatrix} 3(4) + 1(0) \\ 1(4) + 2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(A'(12,\ 4)\)
\(B(0,\ 2)\) \(\begin{pmatrix} 3(0) + 1(2) \\ 1(0) + 2(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(B'(2,\ 4)\)

図 1 の右の図と見くらべてください。\(O'\)、\(A'\)、\(B'\) の位置が、この表の右の列と合っています。

ヒント原点だけは、動きません

\(O(0,\ 0)\) の image が \(O(0,\ 0)\) のままなのは、どんな transformation matrix を掛けても、\(0\) ばかりの列は \(0\) のままだからです。

だから、transformation matrix だけで表せる変換は、必ず原点を動かさないものになります。次の節で見る公式集の \(6\) つが、どれも「原点を中心に」「原点を通る直線で」と書かれているのは、このためです。原点が動く変換を書きたいときは、第4節の translation が要ります。

3. The six matrices in the formula booklet（公式集の \(6\) つの変換行列）

原点を動かさない変換のうち、よく使う \(6\) つの transformation matrix を見分けられるようにします。\(6\) つとも、公式集の AHL 3.9 の欄に Transformation matrices という見出しで載っています。どれも覚える必要はありません。覚えるのは、どの場面でどれを選ぶかです。

まず、\(6\) つが実際にどう動かすのかを並べて見ます。

図 3: 公式集にある \(6\) つの行列です。

青い点線が object、赤い実線が image です。以下、\(1\) つずつ「どう動くのか」と「公式集ではどう書かれているか」を並べます。

reflection（対称移動）

\(1\) 本の直線を鏡にして、その反対側にうつします。図 3 の左上です。鏡の直線の上にある点は動きません。

\[ \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix} \tag{1}\]

公式集の説明は reflection in the line \(y = (\tan\theta)\,x\) です。\(\theta\) は、鏡になる直線が \(x\) 軸と angle between（なす角）を表します。\(y = (\tan\theta)x\) という形なので、鏡になる直線は必ず原点を通ります。

重要入るのは \(\theta\) ではなく \(2\theta\) です

式 1 でいちばん引っかかるのはここです。\(\theta\) は「鏡になる直線が \(x\) 軸となす角」で、行列の中に入るのは、その \(2\) 倍です。

直線 \(y = x\) なら、gradient（傾き）が \(1\) なので \(\tan\theta = 1\)、つまり \(\theta = 45^\circ\) です。入れるのは \(2\theta = 90^\circ\) のほうです。

\[ \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & -\cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

検算。 この transformation matrix は \((3,\ 1)\) を \((1,\ 3)\) にうつします。\(y = x\) に関する対称移動は \(x\) と \(y\) を入れかえるので、合っています ✓

よく出る \(4\) 本は、次のようになります。

表 2: よく出る reflection
鏡になる直線 \(\theta\) transformation matrix
\(x\) 軸（\(y = 0\)） \(0^\circ\) \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
\(y = x\) \(45^\circ\) \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
\(y\) 軸 \(90^\circ\) \(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(y = -x\) \(135^\circ\) \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
ヒント傾きから \(\theta\) を出すときは \(\tan^{-1}\) です

reflection in the line y = 2x のように傾きが \(2\) なら、\(\tan\theta = 2\) から

\[ \theta = \tan^{-1} 2 = 63.43\ldots^\circ \]

として、\(2\theta = 126.86\ldots^\circ\) を 式 1 に入れます。丸めずに、電卓の中の値のまま進めてください。

horizontal stretch（\(x\) 軸方向の伸長）

\(x\) 座標だけを \(k\) 倍にします。図 3 の上の真ん中で、横だけに伸びています。\(y\) 軸の上の点は動きません。

\[ \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \tag{2}\]

公式集の説明は horizontal stretch / stretch parallel to x-axis with a scale factor of k です。scale factor（拡大率）は「何倍にするか」の意味で、\(1\) より小さければ縮みます。

vertical stretch（\(y\) 軸方向の伸長）

こんどは \(y\) 座標だけを \(k\) 倍にします。図 3 の右上で、縦だけに伸びています。\(x\) 軸の上の点は動きません。

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \tag{3}\]

公式集の説明は vertical stretch / stretch parallel to y-axis with a scale factor of k です。

enlargement（拡大）

\(x\) と \(y\) を両方とも \(k\) 倍にします。図 3 の左下で、形を変えずに大きくなっています。

\[ \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \tag{4}\]

公式集の説明は enlargement, with a scale factor of k, centre (0,0) です。中心は原点です。

ヒント\(3\) つは、対角線の数を見れば見分けられます

stretch \(2\) つと enlargement は、どれも対角線に数が並んだ形で、見た目が似ています。ちがいはどこが \(k\) になっているかだけです。

  • \(\begin{pmatrix} \mathbf{k} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) … 左上だけ \(k\)。横に伸びます
  • \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mathbf{k} \end{pmatrix}\) … 右下だけ \(k\)。縦に伸びます
  • \(\begin{pmatrix} \mathbf{k} & 0 \\ 0 & \mathbf{k} \end{pmatrix}\) … 両方 \(k\)。形を変えずに大きくします

enlargement だけが「形が変わらない」変換です。stretch のほうは、正方形が長方形になります。

rotation（回転）は、向きで \(2\) 種類あります

原点を中心に、図形を回します。図 3 の下の真ん中が anticlockwise（反時計回り）、右下が clockwise（時計回り）です。原点だけが動きません。

\[ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \tag{5}\]

左が anticlockwise、右が clockwise です。公式集の説明は、それぞれ anticlockwise/counter-clockwise rotation of angle θ about the origin (θ>0)、clockwise rotation of angle θ about the origin (θ>0) です。

式 5 の \(2\) つは、マイナスが左下にあるか、右上にあるかだけが違います。

  • マイナスが右上 … anticlockwise（反時計回り）
  • マイナスが左下 … clockwise（時計回り）

どちらも \(\theta > 0\) で使います。「時計回りだから \(\theta\) を負にする」という操作は要りません。 公式集に \(2\) つ並んでいるのは、そのためです。

ノート負の角で書いても同じ結果になります

anticlockwise の行列に \(\theta = -90^\circ\) を入れると、clockwise の行列に \(\theta = 90^\circ\) を入れたものと同じになります。

どちらでも正解ですが、公式集にあるほうを選んだほうが、符号を間違えにくいです。

問題文から、\(6\) つを選びます

問題文の言い方と、選ぶ transformation matrix の対応です。

表 3: 問題文と transformation matrix の対応
問題文の言い方 使う transformation matrix
reflection in the line ... \(\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}\)
stretch parallel to the x-axis \(\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
stretch parallel to the y-axis \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\)
enlargement, centre (0, 0) \(\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\)
rotation ... anticlockwise about the origin \(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\)
rotation ... clockwise about the origin \(\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\)
重要公式集にないものが \(3\) つあります

この \(6\) つ以外は、AHL 3.9 の欄に印刷されていません。

表 4: 公式集にないもの
載っていないもの どうするか
translation を含む形 \(A\mathbf{x} + \mathbf{t}\) 覚えます（第4節）
\(\text{area of image} = \lvert \det A \rvert \times \text{area of object}\) 覚えます（第6節）
合成は「あとにやるほうを左に書く」 覚えます（第5節）

なお \(\det A = ad - bc\) と inverse matrix の式は、公式集の AHL 1.14 の欄にあります。この項目でもそのまま使えます。

例題 1 The transformation \(T\) is represented by the matrix \(M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).

(a) Find the image of the point \(P(4,\ 2)\) under \(T\).

(b) Describe fully the transformation \(T\).

図 4: \(T\) による \(P\) の像です。

(a) 点を縦に並べて、左から \(M\) を掛けます。

\[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0(4) + (-1)(2) \\ 1(4) + 0(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]

答えは \((-2,\ 4)\) です。

(b) 第3節の表と見くらべます。左下が \(1\)、右上が \(-1\) なので、anticlockwise の rotation の形です。

\[ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \cos\theta = 0,\ \ \sin\theta = 1 \]

\(\theta = 90^\circ\) です。

Describe fully と言われたら、角・向き・中心の \(3\) つを書いてください。\(1\) つでも欠けると点になりません。

試験ではこう書く

A rotation of \(90^\circ\) anticlockwise about the origin.

（原点を中心とする \(90^\circ\) の反時計回りの回転、という意味です。）

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad (-2,\ 4) \]

(b) A rotation of \(90^\circ\) anticlockwise about the origin.

4. Translations（平行移動）

平行移動は、transformation matrix だけでは書けません。

図 5: 行列は原点を必ず動かさないので、平行移動は別に足す必要があります。

理由は 図 5 の左を見ると分かります。\(A\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) は、\(A\) が何であっても \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) です。原点は動きません。 平行移動は原点も動かすので、transformation matrix では表せないのです。

そこで、transformation matrix を掛けたあとに、平行移動の分を足す形を使います。

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} \tag{6}\]

\(\begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}\) が translation の分です。先に transformation matrix を掛けて、あとから足します。

ノートtransformation matrix と matrix transformation

似た言い方が \(2\) つ出てきます。

  • transformation matrix（変換行列）… 式 6 の \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) の部分。\(2 \times 2\) の行列そのものです。
  • matrix transformation（行列による変換）… 式 6 全体、つまり translation まで含めた変換のしかたのこと。

\(\begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}\) は transformation matrix の中には入りません。translation まで含めた変換を表すときは、式 6 の形を丸ごと書きます。

たとえば「\(2\) 倍に拡大してから、\(x\) 方向に \(1\)、\(y\) 方向に \(-3\) 動かす」なら

\[ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix} \]

です。

5. Composition of transformations（変換の合成）

\(2\) つの変換を続けて行うことを composition（合成）といいます。

変換 \(P\) をしてから変換 \(Q\) をするなら、点 \(\mathbf{x}\) の行き先は

\[ Q\bigl(P\mathbf{x}\bigr) = (QP)\,\mathbf{x} \tag{7}\]

です。\(1\) つの行列 \(QP\) にまとめられます。

ここで大事なのは順番です。先にやる \(P\) が右、あとにやる \(Q\) が左です。日本語の語順とは逆になります。

そして AHL 1.14 で見たとおり、\(QP\) と \(PQ\) はふつう違う行列です。つまり、順番を変えると結果も変わります。

図 6: 同じ \(2\) つの変換を、\(2\) 通りの順番で行ったものです。

図 6 は、\(P\) を「\(x\) 軸に関する reflection」、\(Q\) を「\(90^\circ\) anticlockwise rotation」としたものです。\(QP\) は \(y = x\) に関する reflection、\(PQ\) は \(y = -x\) に関する reflection になり、別の変換です。

ヒント迷ったら、\(1\) 点で確かめてください

\(QP\) と \(PQ\) のどちらだったか自信がないときは、わかりやすい点を \(1\) つ選んで、順番どおりに \(2\) 回変換してみてください。

\((1,\ 0)\) のような点なら計算が軽く、まとめた行列の \(1\) 列目と見くらべるだけで確かめられます。

例題 2 \(P\) is a reflection in the \(x\)-axis. \(Q\) is a rotation of \(90^\circ\) anticlockwise about the origin.

(a) Write down the matrices \(P\) and \(Q\).

(b) Find the single matrix that represents a reflection in the \(x\)-axis followed by a rotation of \(90^\circ\) anticlockwise.

(c) Show that carrying out the two transformations in the other order gives a different result.

(a) \(x\) 軸は \(y = 0\)、つまり傾き \(0\) の直線なので \(\theta = 0^\circ\) です。式 1 に \(2\theta = 0^\circ\) を入れます。

\[ P = \begin{pmatrix} \cos 0^\circ & \sin 0^\circ \\ \sin 0^\circ & -\cos 0^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \qquad Q = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

(b) 「\(P\) をしてから \(Q\)」なので、あとにやる \(Q\) を左に書きます。

\[ QP = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

これは \(y = x\) に関する reflection です（表）。

(c) 逆の順は \(PQ\) です。

\[ PQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]

\(QP \neq PQ\) なので、結果は変わります。\(PQ\) のほうは \(y = -x\) に関する reflection です。

Show that と言われているので、\(2\) つの行列を並べて、違うと一言書くところまでが解答です。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad Q = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

(b) \[ QP = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

(c) \[ PQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \neq QP \]

The order changes the result: \(QP\) is a reflection in \(y = x\), but \(PQ\) is a reflection in \(y = -x\).

6. The determinant and area（行列式と面積）

transformation matrix \(A\) の determinant には、図の上での意味があります。\(A\) で変換すると、図形の面積は \(\lvert \det A \rvert\) 倍になります。この式は公式集にないので、覚えておきます。

\[ \text{area of image} = \lvert \det A \rvert \times \text{area of object} \tag{8}\]

図 7: 行列式は面積の拡大率です。

図 7 の三角形は面積 \(4\) で、\(\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 6 - 1 = 5\) なので、像の面積は \(5 \times 4 = 20\) です。

なぜ絶対値が付くのか

\(\det A\) が負になることがあるからです。面積は負になりません。

\(\det A\) が負のときは、図形が裏返っています。 reflection の transformation matrix は、どれも \(\det = -1\) です。\(-1\) 倍というのは「面積はそのまま、向きだけ裏返る」という意味です。

表 5: determinant の読み方
\(\det A\) 面積 向き
\(\det A > 0\) \(\lvert \det A \rvert\) 倍 そのまま
\(\det A < 0\) \(\lvert \det A \rvert\) 倍 裏返る
\(\det A = 0\) \(0\)（つぶれる） ―

\(\det A = 0\) のときは、図形が線分か点につぶれてしまいます。このとき inverse matrix が存在しない（AHL 1.14）ことと、同じことを言っています。つぶれたものは、もとにもどせません。

例題 3 The triangle \(OAB\) has vertices \(O(0,\ 0)\), \(A(4,\ 0)\) and \(B(0,\ 3)\). The transformation \(S\) is represented by the matrix \(N = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\).

(a) Find the coordinates of \(A'\) and \(B'\), the images of \(A\) and \(B\) under \(S\).

(b) Find \(\det N\).

(c) Hence find the area of triangle \(OA'B'\).

図 8: 三角形 \(OAB\) とその像です。

(a) \(2\) 点をまとめて計算します。

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \]

列がそのまま答えなので、\(A'(8,\ 0)\)、\(B'(3,\ 9)\) です。

(b) \(\det N = 2(3) - 1(0) = 6\) です。

(c) Hence と書かれているので、(b) の \(6\) を使えという指示です。面積を座標から計算しなおす必要はありません。

もとの三角形 \(OAB\) は、直角をはさむ辺が \(4\) と \(3\) なので

\[ \text{area of } OAB = \frac{1}{2}(4)(3) = 6 \]

式 8 より

\[ \text{area of } OA'B' = \lvert 6 \rvert \times 6 = 36 \]

検算。 \(A'(8,0)\)、\(B'(3,9)\) から直接計算すると \(\frac{1}{2}\lvert 8(9) - 0(3) \rvert = 36\) ✓

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad A'(8,\ 0),\ \ B'(3,\ 9) \]

(b) \(\det N = 2(3) - 1(0) = 6\)

(c) \[ \text{area of } OAB = \tfrac{1}{2}(4)(3) = 6 \] \[ \text{area of } OA'B' = \lvert 6 \rvert \times 6 = 36 \]

7. Inverse transformations（像からもとの点にもどす）

「どの点が \((12,\ 5)\) にうつったか」と聞かれることがあります。\(A\mathbf{x} = \mathbf{y}\) を \(\mathbf{x}\) について解けばよいので、両辺に \(A^{-1}\) を左から掛けて

\[ \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{y} \tag{9}\]

です。translation が付いている 式 6 の形なら、先に引いてから掛けます。

\[ \mathbf{x} = A^{-1}\bigl(\mathbf{y} - \mathbf{t}\bigr) \tag{10}\]

順番が逆になることに注意してください。行くときは「掛けてから足す」、もどるときは「引いてから掛ける」です。

例題 4 A computer program moves each point \((x,\ y)\) of a design to the point \((x',\ y')\), where

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \]

(a) Find the image of the point \((2,\ 1)\).

(b) The design has an area of \(6\ \text{cm}^{2}\). Find the area of the image, and comment on your answer.

(c) Find the point whose image is \((12,\ 5)\).

(a) 掛けてから足します。

\[ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 4 \end{pmatrix} \]

答えは \((11,\ 4)\) です。

(b) 面積を決めるのは transformation matrix のほうだけです。translation は図形を動かすだけで、大きさを変えません。

\[ \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 3(1) - 1(2) = 1 \]

式 8 より、像の面積は \(\lvert 1 \rvert \times 6 = 6\ \text{cm}^{2}\) です。

comment on と言われているので、数値だけでは点になりません。

試験ではこう書く

Since \(\det = 1\), the area is unchanged.

The design is moved and its shape is distorted, but it covers the same area of \(6\ \text{cm}^{2}\).

（\(\det = 1\) なので面積は変わりません。形はゆがみますが、覆う面積は同じ \(6\ \text{cm}^{2}\) です、という意味です。）

(c) 引いてから、inverse を掛けます。

\[ \begin{pmatrix} 12 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} \]

\(\det = 1\) なので、inverse は割り算なしで書けます。

\[ A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \]

答えは \((2,\ 2)\) です。

検算。 \(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 5 \end{pmatrix}\) ✓

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad (11,\ 4) \]

(b) \[ \det A = 3(1) - 1(2) = 1, \qquad \text{area} = \lvert 1 \rvert \times 6 = 6\ \text{cm}^{2} \]

Since \(\det = 1\), the area is unchanged.

(c) \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\left[\begin{pmatrix} 12 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \]

\(\Rightarrow (2,\ 2)\)

8. Fractals（フラクタル）

fractal（フラクタル）は、全体と同じ形の小さなコピーが、どこまでもくり返し現れる図形です。難しそうな名前ですが、やっていることは縮小する変換を何度もくり返すだけです。

図 9: シェルピンスキーの三角形です。

図 9 は Sierpinski triangle（シェルピンスキーの三角形）です。\(1\) 回の手順は、次の \(2\) つでできています。

  1. \(\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\) で半分に縮める（enlargement, \(k = \frac{1}{2}\)）
  2. その縮んだ図形を \(3\) つ、translation で置きなおす

面積で見ると、\(1\) つあたりが \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}\) になり、それが \(3\) つなので

\[ 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

つまり \(1\) 回ごとに面積が \(\frac{3}{4}\) 倍になります。これは common ratio（公比） \(\frac{3}{4}\) の geometric sequence です（SL 1.3）。\(\lvert r \rvert < 1\) なので、\(n\) を大きくすると面積は \(0\) に近づきます。

同じ見方で、Koch snowflake（コッホ雪片）は周の長さを追いかけます。

図 10: コッホ雪片です。

図 10 では、\(1\) 本の辺が \(\frac{1}{3}\) の長さの辺 \(4\) 本に置きかわります。周の長さは \(1\) 回ごとに \(\frac{4}{3}\) 倍で、こちらは \(\lvert r \rvert > 1\) ですから、いくらでも長くなります。 面積は有限のままなのに周の長さは無限、というのが、この図形が有名な理由です。

ノートself-similar（自己相似）という言葉

どこを拡大しても同じ形が出てくることを self-similar といいます。縮小した自分自身を並べるという作り方をしているので、こうなります。

試験でこの語が出たら、「縮小した自分自身のコピーでできている」という意味だと思ってください。

例題 5 A fractal is built from a triangle of area \(64\ \text{cm}^{2}\). At each stage, every triangle is replaced by three triangles, each produced by the transformation matrix \(\begin{pmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}\) together with a translation.

(a) Describe the transformation represented by the matrix.

(b) Show that the total area is multiplied by \(\dfrac{3}{4}\) at each stage.

(c) Find the total area at stage \(5\), giving your answer to three significant figures.

(d) State what happens to the total area as the number of stages increases.

図 11: 各段階での面積です。

(a) 対角線に同じ数が並んでいるので enlargement です。

試験ではこう書く

An enlargement with scale factor \(0.5\), centre the origin.

（原点を中心とする scale factor \(0.5\) の拡大、という意味です。scale factor が \(1\) より小さいので、実際には縮みます。）

(b) 面積の倍率は \(\lvert \det \rvert\) です（式 8）。

\[ \det \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} = 0.25 \]

三角形 \(1\) つあたりの面積は \(0.25\) 倍になり、それが \(3\) つできるので

\[ 3 \times 0.25 = 0.75 = \frac{3}{4} \]

(c) \(1\) 段階ごとに \(\frac{3}{4}\) 倍なので、これは公比 \(\frac{3}{4}\) の geometric sequence です。

\[ 64 \times \left(\frac{3}{4}\right)^{5} = 15.1875 \]

有効数字 \(3\) 桁で \(15.2\ \text{cm}^{2}\) です。

(d) \(\left\lvert \frac{3}{4} \right\rvert < 1\) なので、段階を進めるほど面積は小さくなります。

試験ではこう書く

The total area tends to \(0\) as the number of stages increases.

（段階の数が増えると、全体の面積は \(0\) に近づきます、という意味です。）

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) An enlargement with scale factor \(0.5\), centre the origin.

(b) \[ \det = 0.5 \times 0.5 = 0.25, \qquad 3 \times 0.25 = 0.75 = \tfrac{3}{4} \]

(c) \[ 64 \times \left(\tfrac{3}{4}\right)^{5} = 15.1875 = 15.2\ \text{cm}^{2} \ (3\ \text{s.f.}) \]

(d) The total area tends to \(0\).

Why it works

ここで説明するのは、なぜ transformation matrix を掛けるだけで図形が動くのか、その \(1\) 点だけです。

\(2 \times 2\) の行列に \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) を掛けると、答えは \(1\) 列目そのものになります。同じように \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) を掛けると \(2\) 列目が出ます。

\[ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]

つまり、transformation matrix の \(2\) つの列は「横向きの \(1\) と縦向きの \(1\) が、どこへ行くか」を書いたものです。

図 12: 行列の列が、単位正方形の行き先を表しています。

平面上のどの点も、横向きと縦向きの組み合わせで書けます。\((3,\ 1)\) は「横に \(3\)、縦に \(1\)」です。だから、この \(2\) つの行き先さえ決めれば、残りの点の行き先は自動的に決まります。 transformation matrix は、その \(2\) つの行き先を並べただけのものです。

図 12 で、\(1\) 辺 \(1\) の正方形が parallelogram（平行四辺形）になっています。この平行四辺形の面積が \(\lvert \det A \rvert\) で、面積が何倍になるか（式 8）も、ここから来ています。

Common errors

警告点を横に書いたまま、transformation matrix に掛けようとする

\(\begin{pmatrix} 4 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) と書いてしまう誤りです。

この形でも計算はできてしまうので、間違いに気づけないのが怖いところです。例 1 と同じ数で試すと

\[ \begin{pmatrix} 4 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \end{pmatrix} \]

となり、正しい答え \((-2,\ 4)\) ではなく \((2,\ -4)\)、つまり時計回りに回した点が出ます。もっともらしい答えなので、そのまま書いてしまいます。

この項目では、点は必ず縦に書いて、transformation matrix を左に置いてください（第1節）。

警告reflection の transformation matrix に \(\theta\) をそのまま入れる

\(y = x\) の reflection で、\(\theta = 45^\circ\) を 式 1 にそのまま入れてしまう誤りです。

入るのは \(2\theta\) です。\(45^\circ\) を入れると \(\begin{pmatrix} 0.707 & 0.707 \\ 0.707 & -0.707 \end{pmatrix}\) という、意味の分からない行列になります。

公式集の中に \(2\theta\) と印刷されているので、書き写すときに落とさないでください。

警告合成の順番を、左右まちがえる

「\(P\) をしてから \(Q\)」を \(PQ\) と書いてしまう誤りです。正しくは \(QP\) です（第5節）。

日本語では「\(P\) してから \(Q\)」と左から読むので、そのまま書きたくなります。あとにやるほうが左、と声に出して確かめてください。

警告rotation の向きを取りちがえる

clockwise なのに anticlockwise の行列を使ってしまう誤りです。

\(\theta = 90^\circ\) なら、\((1,\ 0)\) が \((0,\ 1)\) に行くのが anticlockwise、\((0,\ -1)\) に行くのが clockwise です。\((1,\ 0)\) を \(1\) 点だけ入れて確かめてください。 行列の \(1\) 列目を見るだけで済みます。

警告面積に絶対値を付けない

\(\det A = -3\) のときに、像の面積を \(-3\) 倍と書いてしまう誤りです。

面積は負になりません。 マイナスは「裏返っている」という意味です（第6節）。式 8 の絶対値記号を落とさないでください。

警告translation の分まで、面積に掛けてしまう

\(A\mathbf{x} + \mathbf{t}\) の形で、\(\mathbf{t}\) が面積に影響すると考えてしまう誤りです。

平行移動は、図形をそのまま滑らせるだけです。面積を決めるのは \(A\) の determinant だけです。

警告像からもどすときに、引く前に inverse を掛ける

\(A^{-1}\mathbf{y} - \mathbf{t}\) と書いてしまう誤りです。正しくは \(A^{-1}(\mathbf{y} - \mathbf{t})\) です（式 10）。

行くときは「掛ける → 足す」でした。もどるときは、逆の順で「引く → 掛ける」になります。

警告電卓が Radian のまま

\(\cos 90^\circ\) を計算したつもりが \(\cos 90\ \text{rad}\) になり、\(0\) ではなく \(-0.448\ldots\) が出ます。

行列の成分が全部おかしくなるので、答えは大きく外れます。Topic 3 では Degree、と決めておいてください。

警告Describe に対して、行列を書き写して終わる

Describe fully the transformation は、言葉で説明しなさいという指示です。行列をもう一度書いても点になりません。

rotation なら「角・向き・中心」、enlargement なら「scale factor・中心」、reflection なら「どの直線か」まで書いてください。

警告fractal の問題で、\(1\) つぶんの面積と全体の面積を混ぜる

Sierpinski triangle で、\(1\) つの三角形が \(\frac{1}{4}\) になることと、全体が \(\frac{3}{4}\) になることを取りちがえる誤りです。

\(\frac{1}{4}\) が \(3\) つで \(\frac{3}{4}\) です。問題文が「\(1\) つの面積」と「全体の面積」のどちらを聞いているのか、先に確かめてください。

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

行列の入力そのものは AHL 1.14 の GDC の節と同じです。ここでは、この項目でよく使う \(5\) つを書きます。

1. Angle mode（角の設定）

rotation と reflection を計算する前に、必ず Degree になっているか見てください。

doc → Settings → Document Settings → Angle: Degree

画面の右上に DEG と出ていれば大丈夫です。

2. Storing a matrix（変換行列に名前を付けて保存する）

Calculator ページで、AHL 1.14 と同じメニューから \(2 \times 2\) の枠を出します。

menu → Matrix & Vector → Create → Matrix

枠に \(\cos 90\)、\(-\sin 90\)、\(\sin 90\)、\(\cos 90\) を打ちこんだら、名前を付けて保存します。

ctrl + sto→

に続けて r と打てば、以後は r と書くだけでこの行列が呼び出せます。

ヒント角のところに式のまま入れてください

\(\cos 90^\circ\) を自分で \(0\) に直してから打ちこむ必要はありません。式のまま入れれば、電卓が計算します。

\(\theta = \tan^{-1} 2\) のような割り切れない角のときは、そのほうが丸めの誤差が入りません。

3. Transforming points and shapes（点や図形をまとめて変換する）

頂点を並べた \(2 \times 3\) の行列を、同じメニューから作ります。こちらにも ctrl + sto→ で名前を付けます。ここでは b としました。

あとは、左から掛けるだけです。

r * b

答えの列がそれぞれの頂点の像です（第2節）。

警告b * r と打つと、Invalid dimensions と出ます

\(2 \times 3\) に \(2 \times 2\) は掛けられないので、電卓が計算を受け付けません。

transformation matrix は、いつも左です。

4. Determinant and inverse（行列式と逆変換）

面積の倍率は det() で出せます。det( は menu → Matrix & Vector の中の Determinant から入れられます（AHL 1.14）。

\(\texttt{det}(r)\)

像からもとの点にもどすときは、inverse matrix（逆行列）を掛けます。

\(r^{-1} \times \begin{bmatrix}12\\5\end{bmatrix}\)

AHL 1.14 と同じで、^ キーで \(-1\) 乗を打つだけです。translation があるときは、先に引き算をしてから掛けてください。

\(r^{-1} \times \left(\begin{bmatrix}12\\5\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}\right)\)

5. Repeated transformations（同じ変換のくり返し）

fractal のように同じ変換を \(n\) 回くり返すときは、行列の累乗が使えます。

\(r^{5}\)

ただし、面積の話だけなら行列を \(5\) 乗する必要はありません。 \(\lvert \det \rvert\) を \(5\) 乗するほうが速いです。

Exercises

1 The transformation \(R\) is a rotation of \(180^\circ\) about the origin. Find the image of the point \((5,\ -2)\) under \(R\).

\[ R = \begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad (-5,\ 2) \]

\(180^\circ\) の回転は、時計回りでも反時計回りでも同じ場所に行きます。ですから、式 5 のどちらを使っても構いません。

出てくる行列は \(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)、つまり符号を両方変えるだけです。\((5,\ -2) \to (-5,\ 2)\) となります。

2 Write down the matrix that represents a reflection in the \(y\)-axis, and find the image of the point \((3,\ 7)\).

\(y\)-axis \(\Rightarrow \theta = 90^\circ\), so \(2\theta = 180^\circ\).

\[ \begin{pmatrix} \cos 180^\circ & \sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & -\cos 180^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad (-3,\ 7) \]

\(y\) 軸はたての線なので、傾きで書くことができません。ですが、\(x\) 軸となす角なら \(90^\circ\) とはっきり言えます。式 1 には角を入れるので、こちらで考えれば困りません。

入るのは \(2\theta = 180^\circ\) のほうです（第3節）。

答えは「\(x\) 座標だけ符号が変わる」形になり、図で考えたものと一致します。

3 A shape is transformed by an enlargement with scale factor \(3\), centre the origin.

(a) Find the image of the point \((2,\ -1)\).

(b) The shape has an area of \(7\ \text{cm}^{2}\). Find the area of the image.

(a) \[ \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad (6,\ -3) \]

(b) \[ \det = 3(3) - 0(0) = 9, \qquad \text{area} = 9 \times 7 = 63\ \text{cm}^{2} \]

(b) で「\(3\) 倍だから面積も \(3\) 倍」としないでください。

長さが \(3\) 倍になると、面積は \(3^{2} = 9\) 倍です。式 8 の \(\det\) を計算すれば、自動的に \(9\) が出てきます。公式に任せるほうが安全です。

4 \(S\) is a stretch parallel to the \(x\)-axis with scale factor \(2\). \(R\) is a rotation of \(90^\circ\) anticlockwise about the origin.

(a) Find the single matrix representing \(S\) followed by \(R\).

(b) Hence find the image of the point \((3,\ 2)\).

(a) \[ S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

\[ RS = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \]

(b) \[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad (-2,\ 6) \]

(a) 「\(S\) のあとに \(R\)」なので、あとにやる \(R\) が左です（第5節）。\(SR\) と書くと \(\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) になり、別の変換になってしまいます。

(b) Hence は「(a) の行列を使え」という指示です。\(S\) と \(R\) を \(2\) 回に分けて掛けても同じ答えになりますが、まとめた行列を使ったことが分かるように書いてください。

5 The triangle \(OAB\) has vertices \(O(0,\ 0)\), \(A(3,\ 0)\) and \(B(0,\ 2)\). It is transformed by the matrix \(M = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\).

(a) Find the coordinates of \(A'\) and \(B'\).

(b) Find the area of triangle \(OA'B'\).

(a) \[ \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad A'(12,\ 3),\ \ B'(4,\ 6) \]

(b) \[ \text{area of } OAB = \tfrac{1}{2}(3)(2) = 3 \] \[ \det M = 4(3) - 2(1) = 10 \] \[ \text{area of } OA'B' = \lvert 10 \rvert \times 3 = 30 \]

(a) \(A\) と \(B\) を並べて \(2 \times 2\) にすると、かけ算 \(1\) 回で終わります。\(O\) は原点なので、transformation matrix を掛けても \(O\) のままです（第2節）。

(b) 像の座標から直接計算しても \(30\) になりますが、\(\det\) を使うほうが速くて確実です。

もとの三角形は直角三角形なので、面積は \(\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3\) です。

6 A transformation is given by

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix} \]

(a) Find the images of the points \((2,\ 1)\) and \((5,\ -3)\).

(b) Describe the transformation represented by the matrix.

(a) \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad (2,\ 5) \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad (5,\ 9) \]

(b) A reflection in the \(x\)-axis.

(a) 掛けてから足す、の順です（第4節）。\((2,\ 1)\) なら、まず \((2,\ -1)\) になり、そこに \((0,\ 6)\) を足して \((2,\ 5)\) です。

(b) 聞かれているのは transformation matrix のほうだけです。translation まで説明する必要はありません。

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) は \(\theta = 0^\circ\) の reflection、つまり \(x\) 軸に関する対称移動です（表）。

7 Describe fully the transformation represented by the matrix \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), and state the value of its determinant.

A reflection in the line \(y = x\).

\[ \det = 0(0) - 1(1) = -1 \]

\(\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}\) と見くらべると、\(\cos 2\theta = 0\)、\(\sin 2\theta = 1\) なので \(2\theta = 90^\circ\)、\(\theta = 45^\circ\) です。\(\tan 45^\circ = 1\) なので、鏡になる直線は \(y = x\) です。

\(\det = -1\) は、reflection ならいつもそうなります。面積は変わらず、向きだけ裏返るからです（第6節）。

8 The matrix \(M = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) maps a point \(P\) to the point \((8,\ 5)\). Find the coordinates of \(P\).

\[ \det M = 2(2) - 3(1) = 1, \qquad M^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad P(1,\ 2) \]

「うつす前の点」を聞かれているので、inverse matrix の出番です（第7節）。

\(\det M = 1\) なので、割り算が要りません。\(a\) と \(d\) を入れかえて、\(b\) と \(c\) の符号を変えるだけです（AHL 1.14）。

検算。 \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}\) ✓

9 The point \((5,\ 0)\) is rotated \(60^\circ\) anticlockwise about the origin. Find the coordinates of the image, giving each coordinate to three significant figures.

\[ \begin{pmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.5 \\ 4.330\ldots \end{pmatrix} \]

\(\Rightarrow (2.50,\ 4.33)\)

電卓が Degree になっているか、先に確かめてください（GDC 第1節）。Radian のままだと \((-4.76,\ -1.52)\) という、まったく違う答えが出ます。

\(\cos 60^\circ\) と \(\sin 60^\circ\) は、式のまま電卓に入れて構いません（GDC 第2節）。\(0.866\) に丸めてから計算すると、\(3\) 桁目がずれることがあります。

\(x\) 座標はちょうど \(2.5\) ですが、有効数字 \(3\) 桁と言われているので \(2.50\) と書きます。

10 The Koch snowflake starts from an equilateral triangle of perimeter \(27\ \text{cm}\). At each stage, every straight edge is replaced by four edges, each one third of the length of the edge it replaces.

(a) Find the perimeter after one stage.

(b) Find the perimeter after four stages, giving your answer to three significant figures.

(c) State what happens to the perimeter as the number of stages increases, and justify your answer.

(a) \[ 27 \times \frac{4}{3} = 36\ \text{cm} \]

(b) \[ 27 \times \left(\frac{4}{3}\right)^{4} = 85.33\ldots = 85.3\ \text{cm} \ (3\ \text{s.f.}) \]

(c) The perimeter increases without limit. The common ratio is \(\frac{4}{3} > 1\), so the geometric sequence diverges.

(a) \(1\) 本の辺が、長さ \(\frac{1}{3}\) の辺 \(4\) 本になるので、長さは \(4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\) 倍です。\(27 \times \frac{4}{3} = 36\) です。

(b) \(1\) 段階ごとに \(\frac{4}{3}\) 倍なので、公比 \(\frac{4}{3}\) の geometric sequence です（SL 1.3）。\(4\) 段階なら \(\left(\frac{4}{3}\right)^{4}\) を掛けます。

(c) justify と言われているので、理由を書かないと点になりません。 「公比が \(1\) より大きいから」が理由です。

例 5 の Sierpinski triangle は \(\frac{3}{4} < 1\) で \(0\) に近づきました。同じ考え方で、\(1\) より大きいか小さいかを見るだけです。