AHL 4.14 — Linear transformation of a single random variable（確率変数の一次変換）

ノートWhat you should be able to do
  • \(E(aX+b) = aE(X)+b\) と \(\text{Var}(aX+b) = a^{2}\text{Var}(X)\) を使える。
  • standard deviation（標準偏差）は \(\lvert a \rvert\) 倍になり、\(b\) には影響されないと言える。
  • 独立な random variable（確率変数）の linear combination（一次結合）について、\(E\) と \(\text{Var}\) を求められる。
  • \(\text{Var}\) の式は、引き算のときも符号がすべて \(+\) になる理由を言える。
  • \(2X\) と \(X_1 + X_2\) が別のものだと分かり、文章題でどちらかを見分けられる。
  • \(\bar{x}\) と \(s_{n-1}^{2}\) が unbiased estimate（不偏推定値）だと言え、電卓の \(s_x\) がどちらかを見分けられる。

The idea

1. Transforming a random variable（確率変数を動かす）

このページでは、確率変数を \(a\) 倍したり \(b\) を足したりすると、平均と分散がどう変わるかを調べます。

SL 4.3 で、こういう表を見ました。

表 1: SL 4.3 で見た表
したこと mean standard deviation variance
\(c\) を足す（引く） \(c\) だけ増える（減る） 変わらない 変わらない
\(k\) 倍する \(k\) 倍になる \(\lvert k \rvert\) 倍になる \(k^{2}\) 倍になる

あのときは、\(20\) 個の数字が並んだデータを \(2\) 倍したり、そこから \(3\) を引いたりしました。

この項目は、同じことを確率変数についてやります。 そして、書き方が式になります。

確率分布から \(E(X)\) を計算する方法は、SL 4.7 で学びました。ここでは、\(E(X)\) が分かっているところから先を計算します。

図 1: \(aX+b\) にすると、分布はこう変わります。

図 1 の左が、もとの確率変数 \(X\) です。\(3\) を足すと、棒がそろって右に動くだけで、形はまったく変わりません。\(2\) 倍すると、棒の間隔そのものが広がります。

見えている絵は SL 4.3 とまったく同じです。違うのは、\(X\) の分布を知らなくても答えられるという点です。

ヒント\(E(X)\) と \(\text{Var}(X)\) さえ分かれば、それで足ります

「\(X\) の平均は \(12\)、variance（分散）は \(9\)」とだけ書かれた問題が出ます。分布の形は書かれていません。

それでも \(E(3X+5)\) と \(\text{Var}(3X+5)\) は出せます。公式が、平均と分散だけを材料にしているからです。

ここがこの項目の便利なところです。分布を作り直す必要はありません。

2. Linear transformation \(aX+b\)（一次変換 \(aX+b\)）

linear transformation（一次変換）は、確率変数を \(a\) 倍して \(b\) を足すことです。

\[ X \ \longmapsto \ aX + b \tag{1}\]

現実の場面では、こういう形で出てきます。

表 2: \(aX+b\) が出てくる場面
場面 \(X\) 作られる変数
タクシー料金 走った距離（km） \(2.2X + 3.5\)（\(1\) km \(2.2\) ドル \(+\) 基本料金 \(3.5\) ドル）
温度の変換 摂氏 \(1.8X + 32\)（華氏）
歩合給 売った個数 \(150X + 8000\)（給料）

\(a\) が「\(1\) つあたり」、\(b\) が「はじめから付いている分」です。文章題では、この \(2\) つを読み分けるところから始まります。

3. Mean of \(aX+b\)（\(aX+b\) の平均）

\(aX+b\) の平均は、\(X\) の平均を \(a\) 倍して \(b\) を足すだけです。公式集の 4.14 の欄にあります。

\[ E(aX + b) = aE(X) + b \tag{2}\]

\(a\) にも \(b\) にも、素直に反応します。 平均が \(12\) なら、\(3\) 倍して \(5\) を足して \(3 \times 12 + 5 = 41\) です。

記号の読み方

\(E(3X+5)\) は「\(3X+5\) という新しい確率変数の平均」という意味です。\(E\) のカッコの中身は、数ではなく確率変数です。\(E(X) = 12\) を代入して \(E(3 \times 12 + 5)\) と書くのは誤りです。

4. Variance of \(aX+b\)（\(aX+b\) の分散）

分散は、\(X\) の分散の \(a^{2}\) 倍です。この式も公式集の 4.14 の欄にあります。

\[ \text{Var}(aX + b) = a^{2}\,\text{Var}(X) \tag{3}\]

右辺に \(b\) がありません。 \(b\) を足すのは、図 1 の真ん中のように分布を横にずらすだけで、棒の間隔が変わらないからです。いっぽう \(a\) 倍すると間隔そのものが \(a\) 倍になり、\(\text{Var}\) は差の \(2\) 乗から作られているので \(a^{2}\) 倍になります。

なお、\(\text{Var}(X)\) そのものを確率分布から計算する式は公式集になく、試験でも求められません。問題文で与えられるか、\(np(1-p)\) のような別の公式から出します。

警告\(a\) 倍ではなく、\(a^{2}\) 倍です

\(\text{Var}(X) = 9\) のとき、\(\text{Var}(3X+5)\) は \(27\) ではありません。

\[ \text{Var}(3X + 5) = 3^{2} \times 9 = 81 \]

ここは、この項目でいちばん多い失点です。

5. Standard deviation of \(aX+b\)（\(aX+b\) の標準偏差）

standard deviation は \(\text{Var}\) の平方根なので、\(\lvert a \rvert\) 倍になります（以下、\(X\) の standard deviation を \(\text{sd}(X)\) と書きます）。

\[ \text{sd}(aX + b) = \lvert a \rvert \cdot \text{sd}(X) \tag{4}\]

絶対値が付きます。 散らばりの大きさは、負になりません。\(a = -2\)、\(\text{sd}(X) = 3\) なら \(\text{sd}(-2X+1) = 2 \times 3 = 6\) で、\(-6\) ではありません。

ノートこの式は、公式集にありません

公式集にあるのは \(\text{Var}(aX+b) = a^{2}\text{Var}(X)\) までです。ただ、覚えなくても大丈夫です。\(\text{Var}\) を先に出して、最後に平方根をとれば同じ答えになります。

\[ \text{Var}(-2X+1) = 4 \times 9 = 36 \quad \Longrightarrow \quad \text{sd} = \sqrt{36} = 6 \]

平方根は必ず \(0\) 以上なので、この順でやれば符号で迷いません。SL 4.8 の \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) と同じ進め方です。

例題 1 The random variable \(X\) has \(E(X) = 12\) and \(\text{Var}(X) = 9\).

(a) Find \(E(3X + 5)\) and \(\text{Var}(3X + 5)\).

(b) Find the standard deviation of \(3X + 5\).

(c) Find \(E(-2X + 1)\) and the standard deviation of \(-2X + 1\).

(a) 公式集の \(2\) つに、そのまま入れます。

\[ E(3X + 5) = 3E(X) + 5 = 3(12) + 5 = 41 \]

\[ \text{Var}(3X + 5) = 3^{2}\,\text{Var}(X) = 9 \times 9 = 81 \]

\(5\) は \(\text{Var}\) には入りません（第4節）。

(b) \(\text{Var}\) の平方根です。

\[ \text{sd} = \sqrt{81} = 9 \]

検算。 \(\text{sd}(X) = \sqrt{9} = 3\) で、\(\lvert 3 \rvert \times 3 = 9\) ✓ 第5節の \(\lvert a \rvert\) 倍と合っています。

(c) \(a = -2\) です。

\[ E(-2X + 1) = -2(12) + 1 = -23 \]

\[ \text{Var}(-2X + 1) = (-2)^{2} \times 9 = 4 \times 9 = 36 \quad \Longrightarrow \quad \text{sd} = \sqrt{36} = 6 \]

平均は負になっても構いません。 標準偏差は \(6\) で、\(-6\) にはなりません。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[ E(3X+5) = 3(12) + 5 = 41 \] \[ \text{Var}(3X+5) = 3^{2}(9) = 81 \]

(b) \[ \text{sd} = \sqrt{81} = 9 \]

(c) \[ E(-2X+1) = -2(12) + 1 = -23 \] \[ \text{Var}(-2X+1) = (-2)^{2}(9) = 36, \qquad \text{sd} = \sqrt{36} = 6 \]

例題 2 In a city, the distance \(X\) travelled by a taxi journey, in km, has mean \(6.5\) and standard deviation \(2.5\).

The fare, in dollars, for a journey is given by \(F = 2.2X + 3.5\).

(a) Find the mean fare.

(b) Find the standard deviation of the fare.

(c) The company increases the fixed charge from $3.5 to $5. Comment on the effect this has on the mean and on the standard deviation of the fare.

(a) \(a = 2.2\)、\(b = 3.5\) です。

\[ E(F) = 2.2 \times 6.5 + 3.5 = 14.3 + 3.5 = 17.80 \]

料金の平均は $17.80 です。

(b) 標準偏差なので、\(b\) は関係しません。

\[ \text{sd}(F) = 2.2 \times 2.5 = 5.50 \]

$5.50 です。\(\text{Var}(F) = 5.5^{2} = 30.25\) と出してから平方根をとっても同じです。

(c) 基本料金は \(b\) にあたります。\(b\) が \(3.5\) から \(5\) に増えると

  • 平均は \(1.5\) 増えて $19.30 になります
  • 標準偏差は \(5.50\) のまま変わりません

全員の料金が同じだけ上がるので、料金どうしの差は広がりも縮みもしません。

試験ではこう書く

Increasing the fixed charge adds a constant to every fare, so the mean increases by $1.50 to $19.30.

The standard deviation is unchanged at $5.50, because adding the same amount to every fare does not change how spread out the fares are.

（基本料金を上げると、すべての料金に同じ額が足されるので、平均は $1.50 増えて $19.30 になる。すべての料金に同じ額を足しても料金の散らばり方は変わらないので、標準偏差は $5.50 のまま、という意味です。）

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[ E(F) = 2.2(6.5) + 3.5 = \$17.80 \]

(b) \[ \text{sd}(F) = 2.2(2.5) = \$5.50 \]

(c) The mean increases by $1.50 to $19.30. The standard deviation is unchanged at $5.50, since adding a constant to every fare does not change the spread.

6. Mean of a linear combination（一次結合の平均）

確率変数が \(2\) つ以上になっても、平均はそのまま足し引きできます。

\[ E(a_1X_1 \pm a_2X_2 \pm \cdots \pm a_nX_n) = a_1E(X_1) \pm a_2E(X_2) \pm \cdots \pm a_nE(X_n) \tag{5}\]

この式も公式集の 4.14 の欄にあります。

\(E(X) = 20\)、\(E(Y) = 8\) なら \(E(2X - 3Y) = 2(20) - 3(8) = 16\) です。書いてあるとおりに計算するだけです。

ヒント平均のほうには、条件が付きません

このあとの \(\text{Var}\) の式には「独立であること」という条件が付きます。\(E\) のほうには付きません。

\(X\) と \(Y\) がどれだけ関係し合っていても、\(E(X+Y) = E(X) + E(Y)\) は成り立ちます。

条件を気にするのは \(\text{Var}\) のときだけ、と覚えておいてください。

7. Variance of a linear combination（一次結合の分散）

分散のほうは、係数をそれぞれ \(2\) 乗してから足します。公式集の 4.14 の欄にあります。

\[ \text{Var}(a_1X_1 \pm a_2X_2 \pm \cdots \pm a_nX_n) = a_1^{2}\text{Var}(X_1) + a_2^{2}\text{Var}(X_2) + \cdots + a_n^{2}\text{Var}(X_n) \tag{6}\]

左辺には \(\pm\) があるのに、右辺は全部 \(+\) です。 見落としやすいので、公式集で必ず確かめてください。

\(\text{Var}(X) = 16\)、\(\text{Var}(Y) = 9\) のとき

\[ \text{Var}(2X - 3Y) = 2^{2}(16) + 3^{2}(9) = 64 + 81 = 145 \]

\(64 - 81 = -17\) ではありません。分散が負になることはないので、そこでも気づけます。

なぜ引き算でも足すのか

\(\text{Var}(2X-3Y)\) の \(-3\) は、式 3 の \(a\) にあたります。\(a = -3\) を \(a^{2}\) に入れると

\[ (-3)^{2} = 9 \]

\(2\) 乗した時点で、符号が消えます。 ですから、引き算でも足し算でも同じ値になります。

考え方でも説明できます。\(Y\) を引いても、\(Y\) のばらつきは減りません。 \(Y\) がぶれれば、\(X-Y\) もぶれます。\(2\) つのぶれが重なるので、散らばりは足されるのです。

警告この式には「独立」という条件が付きます

式 6 は、independent（独立）な確率変数についての式です。独立でないときは使えません。

試験では、問題文に independent と書かれます。書かれていないのに使ってしまわないよう、そこを先に読んでください。

例題 3 The independent random variables \(X\) and \(Y\) have \(E(X) = 20\), \(\text{Var}(X) = 16\), \(E(Y) = 8\) and \(\text{Var}(Y) = 9\).

(a) Find \(E(2X - 3Y)\).

(b) Find \(\text{Var}(2X - 3Y)\).

(c) Find the standard deviation of \(2X - 3Y\), giving your answer correct to three significant figures.

(d) Explain why \(\text{Var}(X - Y)\) is larger than \(\text{Var}(X)\).

(a) 平均は、書いてあるとおりに計算します（第6節）。

\[ E(2X - 3Y) = 2(20) - 3(8) = 40 - 24 = 16 \]

(b) 分散は、符号が全部 \(+\) になります（第7節）。

\[ \text{Var}(2X - 3Y) = 2^{2}(16) + 3^{2}(9) = 64 + 81 = 145 \]

\(64 - 81\) ではありません。 \((-3)^{2} = 9\) なので、\(Y\) の側も \(+\) で入ります。

(c)

\[ \text{sd} = \sqrt{145} = 12.0416\ldots = 12.0 \]

(d) \(Y\) を引いても、\(Y\) のばらつきは消えません。

\[ \text{Var}(X - Y) = 16 + 9 = 25 \ > \ 16 = \text{Var}(X) \]

試験ではこう書く

\(\text{Var}(X-Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) = 16 + 9 = 25\), which is larger than \(\text{Var}(X) = 16\).

Subtracting \(Y\) does not remove the variability of \(Y\): whenever \(Y\) varies, \(X - Y\) varies as well, so the two sources of variability add together.

（\(Y\) を引いても \(Y\) のばらつきは消えず、\(Y\) がぶれれば \(X-Y\) もぶれるので、\(2\) つのばらつきが足し合わされる、という意味です。）

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[ E(2X-3Y) = 2(20) - 3(8) = 16 \]

(b) \[ \text{Var}(2X-3Y) = 2^{2}(16) + (-3)^{2}(9) = 64 + 81 = 145 \]

(c) \[ \text{sd} = \sqrt{145} = 12.0 \]

(d) \(\text{Var}(X-Y) = 16 + 9 = 25 > 16\). Subtracting \(Y\) does not remove the variability of \(Y\), so the two variances add.

8. \(2X\) versus \(X_1+X_2\)（\(2X\) と \(X_1+X_2\) の違い）

\(1\) つのものを \(2\) 倍した \(2X\) と、同じ分布の \(2\) つを足した \(X_1 + X_2\) は、別のものです。この項目でいちばん差がつくところです。

平均はどちらも \(2E(X)\) で同じです。分散が違います。

\[ \text{Var}(2X) = 4\,\text{Var}(X), \qquad \text{Var}(X_1 + X_2) = 2\,\text{Var}(X) \]

\(5\) kg の袋づめで見ます。\(1\) 袋の質量 \(X\) は、平均 \(5\) kg、standard deviation \(0.2\) kg とします。別々の袋の質量は独立とします（第7節の条件です）。

図 2: \(2X\) と \(X_1+X_2\) は、平均は同じでもばらつきが違います。
表 3: \(2X\) と \(X_1+X_2\)
意味 \(E\) \(\text{Var}\) sd
\(2X\) \(1\) 袋を量って、\(2\) 倍する \(10\) \(4(0.04) = 0.16\) \(0.4\)
\(X_1 + X_2\)（独立） \(2\) 袋を量って、足す \(10\) \(0.04 + 0.04 = 0.08\) \(0.283\)

違いは「打ち消し合えるかどうか」です

\(2X\) では、袋が\(1\) つしかありません。その袋が重ければ、\(2\) 倍したものも重い。ずれがそのまま \(2\) 倍になります。

\(X_1 + X_2\) では、袋が\(2\) つあります。片方が重くても、もう片方が軽ければ、合計は平均に近づきます。打ち消し合いが起きるので、散らばりが小さくなるのです。

図 2 で、右の棒のほうが真ん中に集まっているのは、そのためです。

文章題での見分け方

問題文を読んで、「いくつのものを量っているか」を数えてください。

表 4: 問題文の読み分け
問題文 どちら
the total mass of two bags \(X_1 + X_2\)
the mass of two bags \(X_1 + X_2\)
twice the mass of one bag \(2X\)
the price is doubled \(2X\)
the total cost of 5 tickets \(X_1 + \cdots + X_5\)

「\(2\) つのものがある」なら \(X_1+X_2\)、「\(1\) つのものを \(2\) 倍する」なら \(2X\) です。

\(n\) 個のときは

同じ分布の独立な \(n\) 個を足すと

\[ E(X_1 + \cdots + X_n) = nE(X), \qquad \text{Var}(X_1 + \cdots + X_n) = n\,\text{Var}(X) \tag{7}\]

です。sd は \(\sqrt{n} \cdot \text{sd}(X)\) になります。\(n\) 倍ではなく \(\sqrt{n}\) 倍です。

\(10\) 袋なら \(E = 50\)、\(\text{Var} = 10(0.04) = 0.4\)、\(\text{sd} = 0.2\sqrt{10} = 0.632\) kg です。

例題 4 A machine fills bags of rice. The mass, in kg, of a bag is a random variable \(X\) with mean \(5\) and standard deviation \(0.2\). The masses of different bags are independent.

(a) Find the mean and standard deviation of the total mass of two bags.

(b) Find the mean and standard deviation of \(2X\).

(c) Explain why your answers to parts (a) and (b) have the same mean but different standard deviations.

(d) Find the standard deviation of the total mass of ten bags.

まず \(\text{Var}(X) = 0.2^{2} = 0.04\) を出しておきます。

(a) 袋が \(2\) つなので \(X_1 + X_2\) です（第8節）。

\[ E(X_1 + X_2) = 5 + 5 = 10 \]

\[ \text{Var}(X_1 + X_2) = 0.04 + 0.04 = 0.08 \quad \Longrightarrow \quad \text{sd} = \sqrt{0.08} = 0.283 \]

(b) こちらは袋が \(1\) つで、それを \(2\) 倍しています。

\[ E(2X) = 2(5) = 10 \]

\[ \text{Var}(2X) = 2^{2}(0.04) = 0.16 \quad \Longrightarrow \quad \text{sd} = \sqrt{0.16} = 0.4 \]

(c) 平均が同じなのは、どちらも「\(5\) kg \(2\) つ分」だからです。違いは、ものがいくつあるかです。

\(2\) 袋なら、片方が重くても、もう片方が軽ければ打ち消し合います。\(1\) 袋を \(2\) 倍する場合は、その袋のずれがそのまま \(2\) 倍になります。

試験ではこう書く

Both have mean \(10\) kg, since each is \(2E(X) = 2(5)\).

For \(X_1 + X_2\) there are two separate bags, so a heavy bag can be balanced by a light one and the variances add: \(\text{Var} = 2(0.04) = 0.08\).

For \(2X\) there is only one bag, and its deviation from the mean is doubled, so \(\text{Var} = 2^{2}(0.04) = 0.16\).

The total of two bags is therefore less variable than one doubled bag.

（どちらも「\(2\) 袋分の平均」なので平均は同じ \(10\) kg。\(X_1+X_2\) は袋が \(2\) つあるので重い袋と軽い袋が打ち消し合うが、\(2X\) は \(1\) 袋のずれがそのまま \(2\) 倍になる、という意味です。）

(d) \(10\) 袋なので 式 7 を使います。

\[ \text{Var} = 10 \times 0.04 = 0.4 \quad \Longrightarrow \quad \text{sd} = \sqrt{0.4} = 0.632 \]

検算。 \(\text{sd}(X) \times \sqrt{10} = 0.2 \times 3.162\ldots = 0.632\) ✓

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[ E(X_1 + X_2) = 10, \qquad \text{Var} = 2(0.04) = 0.08, \qquad \text{sd} = 0.283 \]

(b) \[ E(2X) = 10, \qquad \text{Var} = 2^{2}(0.04) = 0.16, \qquad \text{sd} = 0.4 \]

(c) Both means are \(10\) kg. For \(X_1 + X_2\) the two bags are separate, so a heavy bag can be offset by a light one and the variances add. For \(2X\) the deviation of a single bag is doubled, giving four times the variance. So \(2X\) has the larger standard deviation.

(d) \[ \text{Var} = 10(0.04) = 0.4, \qquad \text{sd} = \sqrt{0.4} = 0.632 \]

9. Unbiased estimate of the mean（母平均の不偏推定値）

ここから先は、一次変換の続きではありません。 第8節までで \(aX+b\) の話は終わりです。残りの \(2\) 節は、同じ 4.14 で学ぶ別の内容——sample（標本）と unbiased estimate（不偏推定値）——です。

共通しているのは、第7節 の \(E\) と \(\text{Var}\) の式を道具として使う点だけです。話としては、ここから sample と population（母集団）に変わります。

population の平均 \(\mu\) を知りたいけれど、全部を調べることはできません。そこで sample をとって、その平均

\[ \bar{x} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{n} \tag{8}\]

を計算します。この \(\bar{x}\) を、\(\mu\) の推定値として使います。

unbiased estimate（不偏推定値）というのは、「標本を何度もとって平均すると、ちょうど本当の値になる」という意味です。\(1\) 回の \(\bar{x}\) が \(\mu\) に一致するという意味ではありません。

ノート「不偏」は、狙いがずれていないということです

的に何度も矢を射ることを考えてください。

unbiased は「当たった点の平均が、的の中心にある」という意味です。\(1\) 本ごとに見れば外れています。それでも、どちらかに片寄ってはいない——これが不偏です。

「毎回よく当たる」という意味ではありません。それは別の話（ばらつきの大きさ）です。

10. Unbiased estimate of the variance（母分散の不偏推定値）

母分散 \(\sigma^{2}\) を推定するときは、少し事情が違います。偏差の \(2\) 乗の合計を、\(n\) ではなく \(n-1\) で割ります。

\[ s_{n-1}^{2} = \frac{n}{n-1}\,s_n^{2} = \sum_{i=1}^{k} \frac{f_i(x_i - \bar{x})^{2}}{n-1}, \qquad n = \sum_{i=1}^{k} f_i \tag{9}\]

これが \(\sigma^{2}\) の unbiased estimate です。\(s_{n-1}^{2} = \dfrac{n}{n-1}s_n^{2}\) の形は、公式集の 4.14 の欄にあります。

\(8\) 個のデータ \(12,\ 15,\ 11,\ 18,\ 14,\ 16,\ 13,\ 17\) で見ます。\(\bar{x} = 14.5\) で、偏差の \(2\) 乗の合計は \(42\) です。

\[ s_n^{2} = \frac{42}{8} = 5.25 \qquad \text{に対して} \qquad s_{n-1}^{2} = \frac{42}{7} = 6 \]

公式集の形で計算しても同じです。

\[ s_{n-1}^{2} = \frac{n}{n-1}s_n^{2} = \frac{8}{7} \times 5.25 = 6 \quad ✓ \]

電卓の \(s_x\) が、この \(s_{n-1}\) です

SL 4.3 で、電卓の One-Variable Statistics に標準偏差が \(2\) つ並ぶことを見ました。

表 5: 電卓の \(2\) つの標準偏差
電卓の表示 この項目での名前 何で割っているか
\(\sigma_x\) \(s_n\) \(n\)
\(s_x\) \(s_{n-1}\) \(n-1\)

SL では \(\sigma_x\) のほうを使いました。 SL では、特に断りがなければデータを母集団として扱う約束だったからです。

HL では、この約束がありません。 ですから HL では、\(\sigma_x\) を既定と決めてしまわず、問題文がどちらを求めているかを毎回読みます。 目印になるのは sample、population、unbiased estimate という語です。

上の \(8\) 個のデータなら、電卓は \(\sigma_x = 2.29\)、\(s_x = 2.45\) を返します。\(s_x\) を \(2\) 乗すれば \(6\) です。

重要どちらを聞かれているかは、問題文の言葉で決まります
表 6: どちらを読むか
問題文 使うもの
Find the standard deviation of the data. \(\sigma_x\)
The data set is the population. \(\sigma_x\)
Find an unbiased estimate of the population variance. \(s_x\) を \(2\) 乗する
Find an unbiased estimate of \(\sigma^{2}\) \(s_x\) を \(2\) 乗する

\(1\) つの語だけで決まるわけではないので、sample、population、unbiased estimate の \(3\) つを合わせて読んでください。

  • an unbiased estimate of the population variance（母分散の不偏推定値）と書かれていれば、答えは \(s_x^{2}\) です
  • 与えられたデータそのものの standard deviation（標準偏差）を聞かれているなら、ふつうは \(\sigma_x\) です

「母集団について何か言おうとしているか」が分かれ目です。判断がつかないときは、\(\sigma_x\) と \(s_x\) のどちらを使ったかを答案に書いておくと、意図が伝わります。

警告「不偏推定値」を聞かれたら、答えるのは分散です

an unbiased estimate of the population variance と聞かれたら、答えは \(s_{n-1}^{2}\)、つまり分散です。

電卓が返すのは \(s_x\)（標準偏差）なので、\(2\) 乗するのを忘れないでください。

上の例なら、\(s_x = 2.4494\ldots\) を \(2\) 乗して \(6\) です。\(2.45\) と答えると、標準偏差を答えたことになります。

例題 5 A sample of eight measurements is taken from a large population.

\[ 12, \quad 15, \quad 11, \quad 18, \quad 14, \quad 16, \quad 13, \quad 17 \]

(a) Write down an unbiased estimate of the population mean.

(b) Find an unbiased estimate of the population variance.

(c) A student uses technology and writes down \(\sigma_x = 2.29\) as the answer to part (b). Explain what is wrong with this.

(a) 標本平均がそのまま答えです（第9節）。

\[ \bar{x} = \frac{116}{8} = 14.5 \]

(b) 電卓の One-Variable Statistics から \(s_x = 2.4494\ldots\) を読み、\(2\) 乗します。

\[ s_{n-1}^{2} = 2.4494\ldots^{2} = 6 \]

手で確かめると、偏差の \(2\) 乗の合計が \(42\) なので

\[ s_{n-1}^{2} = \frac{42}{8-1} = \frac{42}{7} = 6 \quad ✓ \]

(c) \(2\) か所あります。\(\sigma_x\) は \(n\) で割ったものなので不偏ではありません。そして標準偏差であって、分散ではありません。

試験ではこう書く

There are two errors.

First, \(\sigma_x\) divides by \(n\), not by \(n-1\), so it is not an unbiased estimate of the population variance.

The unbiased estimate uses \(s_x\), which divides by \(n-1\).

Second, the question asks for a variance, so the value must be squared: the answer is \(s_{n-1}^{2} = 6\), not a standard deviation.

（\(\sigma_x\) は \(n\) で割っているので不偏ではなく、また問われているのは分散なので \(2\) 乗が必要、という意味です。）

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[ \bar{x} = 14.5 \]

(b) \[ s_{n-1}^{2} = \frac{42}{7} = 6 \]

(c) \(\sigma_x\) divides by \(n\) rather than \(n-1\), so it is not unbiased; and it is a standard deviation, whereas the question asks for a variance. The correct answer is \(s_{n-1}^{2} = 6\).

Why it works

ここで説明するのは \(2\) つです。なぜ \(\text{Var}\) から \(b\) が消えるのかと、なぜ \(n-1\) で割るのか。

なぜ \(\text{Var}\) から \(b\) が消えるのか

\(\text{Var}\) は、平均からの差の \(2\) 乗を平均したものです。

\(X\) に \(b\) を足すと、値は \(x + b\) になります。平均も \(\mu + b\) になります。ですから、差をとると

\[ (x + b) - (\mu + b) = x - \mu \]

\(b\) が引き算で消えます。 差が変わらないのだから、その \(2\) 乗の平均である \(\text{Var}\) も変わりません。

\(a\) 倍のほうは、差が

\[ ax - a\mu = a(x - \mu) \]

となり、\(2\) 乗すると \(a^{2}(x-\mu)^{2}\) です。\(a^{2}\) が外に出るので、\(\text{Var}\) も \(a^{2}\) 倍になります。

これは SL 4.3 の Why it works と同じ説明です。データでも確率変数でも、理由は変わりません。

なぜ \(n\) ではなく \(n-1\) で割るのか

図 3: \(n-1\) で割る理由です。

理由は、\(\mu\) が分からないので、代わりに \(\bar{x}\) を使っていることにあります。

図 3 の左を見てください。同じ \(4\) 個の標本について、上は \(\mu = 50\) からの距離、下は \(\bar{x} = 59\) からの距離を測っています。\(2\) 乗の合計は \(398\) と \(74\) で、下のほうが小さいです。

これは偶然ではありません。\(\bar{x}\) は、\(2\) 乗の合計がいちばん小さくなる場所だからです。ほかのどんな数から測っても、これより小さくはなりません（AHL 4.13 の least squares と、同じ性質です）。

ここで、\(2\) つを並べます。

  • もし \(\mu\) が分かっていて、\(\mu\) からの距離で計算して \(n\) で割ったなら、その値は平均するとちょうど \(\sigma^{2}\) になります
  • ところが実際に使えるのは \(\bar{x}\) からの距離で、そちらは必ず小さくなります

ですから \(s_n^{2}\) は、平均すると \(\sigma^{2}\) より小さくなります。 標本のばらつきを、標本自身の中心から測っているせいです。

\(1\) 回ごとに見れば、\(s_n^{2}\) が \(\sigma^{2}\) を上回ることもあります。 小さくなるのは、あくまで平均してみたときの話です。

図 3 の右は、それを実際に確かめたものです。\(\sigma^{2} = 100\) の母集団から標本を何度もとって、\(2\) つの式の値を平均しました。\(n\) で割った赤い点は、いつも \(100\) より下にあります。\(n-1\) で割った緑の点は、\(n\) がいくつでも \(100\) にのっています。

\(n\) が小さいほど、赤い点のずれが大きくなっていることにも注目してください。\(n = 2\) では半分しかありません。\(n\) が大きくなればずれは小さくなりますが、\(0\) にはなりません。 ですから、\(n\) がいくつであっても \(n-1\) で割ります。小さい標本ほど、その違いが効いてくるということです。

\(E(\bar{X}) = \mu\) と \(E(s_{n-1}^{2}) = \sigma^{2}\) の証明は、試験には出ません。 「\(n-1\) で割ると、平均してちょうどよくなる」という事実だけ知っていれば、試験には足ります。

Common errors

警告\(\text{Var}(aX+b)\) で \(a\) を \(2\) 乗しない

\(\text{Var}(3X+5)\) を \(3 \times 9 = 27\) としてしまう誤りです。正しくは \(3^{2} \times 9 = 81\)（第4節）。

\(\text{Var}\) と見たら、係数は \(2\) 乗です。

警告\(\text{Var}(aX+b)\) に \(b\) を足してしまう

\(\text{Var}(3X+5) = 81 + 5\) としてしまう誤りです。\(b\) は \(\text{Var}\) に一切入りません（第4節）。

分布を横にずらしただけでは、散らばりは変わらないからです。

警告線形結合の \(\text{Var}\) で引き算をしてしまう

\(\text{Var}(2X-3Y)\) を \(64 - 81 = -17\) としてしまう誤りです。分散が負になることはありません。

公式集の右辺はすべて \(+\) です（第7節）。負が出たら、そこで気づいてください。

警告\(X_1 + X_2\) を \(2X\) として計算する

「\(2\) 袋の合計」を \(\text{Var}(2X) = 4\text{Var}(X)\) としてしまう誤りです。正しくは \(2\text{Var}(X)\)（第8節）。

問題文で、いくつのものを量っているかを数えてください（第8節の表）。

警告\(2X\) を \(X_1 + X_2\) として計算する

逆向きの誤りです。twice the mass of one bag は、袋が \(1\) つです。\(\text{Var}(2X) = 4\text{Var}(X)\) になります。

平均が同じで分散が違うので、平均だけ見ていると気づけません。

警告independent と書かれていないのに \(\text{Var}\) の公式を使う

\(\text{Var}\) の線形結合の公式には、独立という条件が付いています（第7節）。

\(E\) のほうには条件がありません。混同しないでください。

警告standard deviation を \(a\) 倍ではなく \(a^{2}\) 倍にする

\(\text{Var}\) が \(a^{2}\) 倍、sd は \(\lvert a \rvert\) 倍です（第5節）。

迷ったら、\(\text{Var}\) を先に出して、最後に平方根をとってください。\(2\) 段階に分ければ間違えません。

警告standard deviation を負の値で答える

\(a = -2\) のとき、\(\text{sd}(-2X+1) = -6\) としてしまう誤りです。

散らばりの大きさは負になりません。 \(\lvert a \rvert\) 倍なので \(6\) です（第5節）。

警告unbiased estimate を聞かれて \(\sigma_x\) を答える

電卓の \(\sigma_x\) は \(n\) で割ったものなので、不偏ではありません。\(s_x\) のほうを読んでください（第10節）。

問題文に unbiased があるかどうかが、見分けの基準です。

警告不偏推定値を聞かれて、\(2\) 乗を忘れる

an unbiased estimate of the population variance の答えは分散です。電卓が返す \(s_x\) は標準偏差なので、\(2\) 乗します（第10節）。

問題文の最後の語が variance か standard deviation かを、先に確かめてください。

警告\(E\) のカッコの中に、数を入れてしまう

\(E(3X+5)\) を \(E(3 \times 12 + 5)\) と書いてしまう誤りです。\(E\) のカッコに入るのは確率変数で、数ではありません（第3節）。

\(E(3X+5) = 3E(X)+5 = 3(12)+5\) の順で書いてください。

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

この項目は、手で計算する場面がほとんどです。電卓を使うのは、\(s_{n-1}\) を読むときと、\(\text{Var}(X)\) をほかの分布から出すときです。

1. Reading \(\sigma_x\) and \(s_x\)（\(\sigma_x\) と \(s_x\) を読む）

データから不偏推定値を出すときに使います。

menu → Statistics → Stat Calculations → One-Variable Statistics

Num of Lists は \(1\)、X1 List に列を指定します。返ってくる画面で見るのは \(\bar{x}\)、\(\sigma_x\)、\(s_x\) の \(3\) つです。どれがどれかは、第10節の表にあります。

\(\sigma_x\) のほうが小さい値になります。\(2\) つ並んでいて、どちらか分からなくなったら、そこで見分けられます（SL 4.3）。

2. Unbiased estimate of the variance（分散の不偏推定値を出す）

\(s_x\) を読んだら、画面の値をそのまま \(2\) 乗します。

書き写した \(3\) 桁の値ではなく、電卓に入っている値を使ってください。\(s_x = 2.45\) を \(2\) 乗すると \(6.0025\) になり、\(3\) 桁目が変わります。

One-Variable Statistics を走らせると、結果は stat. で始まる変数に自動で入っています。var キーを押して一覧から stat.sx を選べば、丸めずに使えます（SL 4.11 と同じやり方です）。

\(\texttt{stat.sx}^{2}\)

3. Variance from a binomial distribution（二項分布から分散を出す）

\(X \sim B(n, p)\) と書かれていたら、\(\text{Var}(X)\) は公式集の

\[ \text{Var}(X) = np(1-p) \]

から出します（SL 4.8）。そのうえで、このページの公式に入れます。

\(X \sim B(50,\ 0.3)\) なら \(\text{Var}(X) = 50(0.3)(0.7) = 10.5\) で、\(\text{Var}(2X+1) = 4(10.5) = 42\) です。

4. Square root last（平方根は最後にとる）

standard deviation を聞かれたときは、\(\text{Var}\) を先に出して、最後に平方根をとってください。

\[ \sqrt{2^{2}(16) + 3^{2}(9)} \]

のように、電卓に \(1\) 行で打ちこんでも構いません。途中で丸めないほうが確実です。

Exercises

1 The random variable \(X\) has \(E(X) = 15\) and \(\text{Var}(X) = 4\). Find \(E(2X+7)\), \(\text{Var}(2X+7)\) and the standard deviation of \(2X+7\).

\[ E(2X+7) = 2(15) + 7 = 37 \] \[ \text{Var}(2X+7) = 2^{2}(4) = 16 \] \[ \text{sd} = \sqrt{16} = 4 \]

公式集の \(2\) つに入れるだけです（第3節、第4節）。

\(7\) は \(\text{Var}\) に入りません。 \(2\) は \(2\) 乗して \(4\) になります。

検算。 \(\text{sd}(X) = \sqrt{4} = 2\) なので、\(\text{sd}(2X+7) = 2 \times 2 = 4\) ✓

2 The random variable \(X\) has \(E(X) = 30\) and standard deviation \(5\). Find \(E(0.5X - 2)\) and the standard deviation of \(0.5X - 2\).

\[ E(0.5X - 2) = 0.5(30) - 2 = 13 \] \[ \text{Var}(X) = 5^{2} = 25 \] \[ \text{Var}(0.5X - 2) = 0.5^{2}(25) = 6.25, \qquad \text{sd} = \sqrt{6.25} = 2.5 \]

与えられているのは標準偏差です。 \(\text{Var}\) の公式を使うので、まず \(2\) 乗して \(\text{Var}(X) = 25\) にします。

\(0.5^{2} = 0.25\) なので \(\text{Var} = 6.25\)、平方根をとって \(2.5\) です。

\(\lvert 0.5 \rvert \times 5 = 2.5\) と、第5節から直接出しても構いません ✓

3 A shop’s daily takings \(T\), in yen, have mean \(84\,000\) and standard deviation \(12\,000\). The shop’s daily profit is given by \(P = 0.4T - 25\,000\).

(a) Find the mean daily profit.

(b) Find the standard deviation of the daily profit.

(c) The shop’s fixed daily costs rise from \(25\,000\) yen to \(28\,000\) yen. State the effect on the standard deviation of the daily profit, and give a reason.

(a) \[ E(P) = 0.4(84\,000) - 25\,000 = 33\,600 - 25\,000 = 8600 \text{ yen} \]

(b) \[ \text{sd}(P) = 0.4(12\,000) = 4800 \text{ yen} \]

(c) There is no effect: the standard deviation stays at \(4800\) yen. The fixed cost is a constant subtracted from every day’s profit, and subtracting the same amount from every value shifts them all together without changing how spread out they are.

(a)(b) \(a = 0.4\)、\(b = -25\,000\) です。標準偏差には \(b\) が入りません（第4節）。

(c) give a reason なので、理由を必ず書いてください。 数値だけでは点になりません。

固定費は、毎日の利益から同じ額を引きます。全部が同じだけ下にずれるので、利益どうしの差は変わりません。

試験ではこう書く

The standard deviation is unchanged at \(4800\) yen.

Raising the fixed cost subtracts the same constant from every day’s profit, so all the values shift together and the spread between them is unaffected.

平均のほうは \(3000\) 円下がって \(5600\) 円になります。平均は変わり、標準偏差は変わらない——ここが、この問題の中心です。

4 The independent random variables \(X\) and \(Y\) have \(E(X) = 10\), \(\text{Var}(X) = 3\), \(E(Y) = 6\) and \(\text{Var}(Y) = 5\).

(a) Find \(E(X + Y)\) and \(\text{Var}(X + Y)\).

(b) Find \(E(X - Y)\) and \(\text{Var}(X - Y)\).

(a) \[ E(X+Y) = 10 + 6 = 16, \qquad \text{Var}(X+Y) = 3 + 5 = 8 \]

(b) \[ E(X-Y) = 10 - 6 = 4, \qquad \text{Var}(X-Y) = 3 + 5 = 8 \]

平均は \(16\) と \(4\) で違うのに、分散はどちらも \(8\) です。 ここがこの問題の狙いです。

\(\text{Var}(X-Y)\) の \(Y\) の係数は \(-1\) です。\((-1)^{2} = 1\) なので、\(+\) で入ります（第7節）。

\(3 - 5 = -2\) としてしまうと、分散が負になります。そこで気づけます。

足しても引いても、ばらつきは重なる——これが覚えておく形です。

5 Two independent random variables \(A\) and \(B\) have the same variance \(v\). Explain why \(\text{Var}(A - B)\) is equal to \(2v\) and not to \(0\).

\[ \text{Var}(A - B) = 1^{2}\text{Var}(A) + (-1)^{2}\text{Var}(B) = v + v = 2v \]

The coefficient of \(B\) is \(-1\), and squaring it gives \(+1\), so the two variances add rather than cancel. Subtracting \(B\) does not remove its variability: if \(B\) varies then \(A - B\) varies too, so both sources of variability contribute.

Explain why なので、式と言葉の両方を書きます。

式のほうは \((-1)^{2} = 1\) です。\(2\) 乗した時点で符号が消えます（第7節）。

言葉のほうは、こう考えてください。\(A\) と \(B\) が同じ分布でも、同じ値が出るわけではありません。 独立なので、\(A\) が大きくて \(B\) が小さい日もあります。そのとき \(A-B\) は大きくなります。

\(\text{Var}(A-B) = 0\) になるのは、\(A-B\) がまったく変動しないとき、つまり \(A\) のぶれと \(B\) のぶれが完全に連動しているときだけです。独立と書かれている以上、それは起こりません。

試験ではこう書く

In the formula the coefficient of \(B\) is \(-1\), and \((-1)^{2} = 1\), so \(\text{Var}(A-B) = v + v = 2v\).

Subtracting \(B\) does not cancel its variability: since \(A\) and \(B\) are independent, \(A\) may be large while \(B\) is small, making \(A - B\) large.

The variance could only be \(0\) if \(A - B\) never varied, which independence rules out.

6 The length, in cm, of a metal rod produced by a machine is a random variable \(X\) with mean \(4.2\) and standard deviation \(0.15\). The lengths of different rods are independent.

(a) Find the mean and standard deviation of the total length of three rods placed end to end.

(b) Find the mean and standard deviation of \(3X\).

(c) State which of the two situations in parts (a) and (b) has the greater standard deviation, and give a reason.

\[ \text{Var}(X) = 0.15^{2} = 0.0225 \]

(a) \[ E = 3(4.2) = 12.6 \text{ cm} \] \[ \text{Var} = 3(0.0225) = 0.0675, \qquad \text{sd} = \sqrt{0.0675} = 0.260 \text{ cm} \]

(b) \[ E(3X) = 3(4.2) = 12.6 \text{ cm} \] \[ \text{Var}(3X) = 3^{2}(0.0225) = 0.2025, \qquad \text{sd} = \sqrt{0.2025} = 0.45 \text{ cm} \]

(c) \(3X\) has the greater standard deviation (\(0.45\) cm against \(0.260\) cm). In (a) there are three separate rods, so a long rod can be offset by a short one and the variances add to give \(3\text{Var}(X)\). In (b) there is only one rod whose deviation is tripled, giving \(3^{2}\text{Var}(X)\).

(a) 棒が \(3\) 本あるので \(X_1 + X_2 + X_3\) です。式 7 から \(\text{Var} = 3\text{Var}(X)\)。

(b) \(3X\) は \(1\) 本を \(3\) 倍したものなので、\(\text{Var} = 9\text{Var}(X)\) です。\(3\) 倍と \(9\) 倍で \(3\) 倍の差がつきます。

平均はどちらも \(12.6\) cm です。平均だけ見ていると、この \(2\) つは区別できません（第8節）。

(c) give a reason なので理由が要ります。

試験ではこう書く

\(3X\) has the greater standard deviation.

With three separate rods, a rod that is too long can be balanced by one that is too short, so the variances add: \(\text{Var} = 3(0.0225) = 0.0675\).

With \(3X\) there is a single rod whose deviation from the mean is tripled, so \(\text{Var} = 3^{2}(0.0225) = 0.2025\).

現実の場面としても、\(3\) 本つないだほうが長さが安定するというのは意味の通る結論です。

7 A sample of five values is taken from a population.

\[ 22, \quad 25, \quad 19, \quad 24, \quad 20 \]

(a) Write down an unbiased estimate of the population mean.

(b) Find an unbiased estimate of the population variance.

(a) \[ \bar{x} = \frac{110}{5} = 22 \]

(b) \[ s_{n-1}^{2} = \frac{26}{5-1} = \frac{26}{4} = 6.5 \]

(a) \(22+25+19+24+20 = 110\) を \(5\) で割ります。

(b) 電卓の \(s_x\) を読んで \(2\) 乗するのが速いです。\(s_x = 2.5495\ldots\) なので \(s_{n-1}^{2} = 6.5\)。

手で出すなら、\(\bar{x} = 22\) からの偏差が \(0,\ 3,\ -3,\ 2,\ -2\)。\(2\) 乗して足すと \(0+9+9+4+4 = 26\)。これを \(n-1 = 4\) で割ります。

\(5\) で割ると \(5.2\) になり、これは不偏ではありません（第10節）。

問われているのは variance なので、\(2\) 乗した値を答えます。 \(2.55\) と書くと標準偏差を答えたことになります。

8 For a sample of \(10\) values, \(s_n = 3.6\), where \(s_n\) is the standard deviation found by dividing by \(n\). Find an unbiased estimate of the population variance.

\[ s_n^{2} = 3.6^{2} = 12.96 \] \[ s_{n-1}^{2} = \frac{n}{n-1}s_n^{2} = \frac{10}{9} \times 12.96 = 14.4 \]

データが与えられていません。 ですから、公式集の

\[ s_{n-1}^{2} = \frac{n}{n-1}s_n^{2} \]

を使います。これが載っているのは、まさにこういう問題のためです。

順番は \(2\) 段階です。まず \(s_n\) を \(2\) 乗して \(s_n^{2} = 12.96\)。次に \(\dfrac{10}{9}\) を掛けます。

\[ \frac{10}{9} \times 12.96 = \frac{129.6}{9} = 14.4 \]

\(3.6\) に \(\dfrac{10}{9}\) を掛けてから \(2\) 乗するのは誤りです。\(\dfrac{n}{n-1}\) が掛かるのは分散のほうです。

検算。 \(14.4 > 12.96\) ✓ 不偏推定値は、\(n\) で割ったものより必ず大きくなります。

9 The random variable \(X\) follows a binomial distribution with \(X \sim B(50,\ 0.3)\).

(a) Find \(E(X)\) and \(\text{Var}(X)\).

(b) Find \(E(2X + 1)\) and \(\text{Var}(2X + 1)\).

(a) \[ E(X) = np = 50(0.3) = 15 \] \[ \text{Var}(X) = np(1-p) = 50(0.3)(0.7) = 10.5 \]

(b) \[ E(2X+1) = 2(15) + 1 = 31 \] \[ \text{Var}(2X+1) = 2^{2}(10.5) = 42 \]

公式集を \(2\) か所使います。 \(E(X) = np\) と \(\text{Var}(X) = np(1-p)\) は SL 4.8 の欄、\(E(aX+b)\) と \(\text{Var}(aX+b)\) は 4.14 の欄です。

(a) \(\text{Var}(X)\) の値は問題文には書かれていません。binomial だと書かれていることが、\(\text{Var}(X)\) を出す手がかりです（GDC 第3節）。

(b) あとは、このページの公式に入れるだけです。\(1\) は \(\text{Var}\) に入りません。

\(X\) そのものの分布を作る必要はありません。 \(E\) と \(\text{Var}\) の値さえあれば足ります（第1節）。

10 The random variable \(X\) has \(E(X) = 8\) and \(\text{Var}(X) = 2\). Let \(Y = 3X\) and let \(Z = X_1 + X_2 + X_3\), where \(X_1\), \(X_2\) and \(X_3\) are independent and have the same distribution as \(X\).

(a) Show that \(E(Y) = E(Z)\).

(b) Find the standard deviation of \(Y\) and the standard deviation of \(Z\), giving your answers correct to three significant figures.

(c) Interpret the difference between the two standard deviations in part (b).

(a) \[ E(Y) = 3E(X) = 3(8) = 24 \] \[ E(Z) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 8 + 8 + 8 = 24 \] \[ \text{so } E(Y) = E(Z) = 24 \]

(b) \[ \text{Var}(Y) = 3^{2}(2) = 18, \qquad \text{sd}(Y) = \sqrt{18} = 4.24 \] \[ \text{Var}(Z) = 2 + 2 + 2 = 6, \qquad \text{sd}(Z) = \sqrt{6} = 2.45 \]

(c) Both \(Y\) and \(Z\) have mean \(24\), but \(Z\) is much less variable than \(Y\). \(Z\) is the total of three separate observations, so a value above the mean can be offset by one below it, and the variances add to \(3\text{Var}(X)\). \(Y\) is a single observation multiplied by \(3\), so its deviation from the mean is tripled and the variance becomes \(3^{2}\text{Var}(X)\).

(a) Show that なので、\(2\) つを別々に計算して、同じ値になることを見せます。 「同じだから」と書くだけでは点になりません。

(b) \(\text{Var}(Y) = 9(2) = 18\)、\(\text{Var}(Z) = 3(2) = 6\)。\(3\) 倍の差です。

標準偏差では \(\sqrt{18} = 4.243\ldots\) と \(\sqrt{6} = 2.449\ldots\) で、比は \(\sqrt{3}\) になります。

(c) Interpret なので、数を文脈の言葉に戻します（第8節）。

試験ではこう書く

Both have the same mean of \(24\), but \(Z\) has the smaller standard deviation (\(2.45\) against \(4.24\)).

\(Z\) adds up three independent observations, so an observation above the mean can be balanced by one below it.

\(Y\) triples a single observation, so whatever that one observation does is magnified threefold.

Adding together several separate observations is therefore more stable than scaling up a single one.

「同じ平均でも、散らばりは同じとはかぎらない」——これがこのページ全体の要点です。