AHL 3.7 — Radian measure（弧度法）

ノートWhat you should be able to do
  • radian（ラジアン）が「半径と同じ長さの弧の中心角」であることを説明できる。
  • \(180^{\circ} = \pi\) radians を使って、度とラジアンを両方向に換算できる。
  • よく出る角を、\(\pi\) の分数の形でも小数でも書ける。
  • \(l = r\theta\) で弧の長さを、\(A = \dfrac{1}{2}r^{2}\theta\) で sector（扇形）の面積を求められる。
  • 度数法の式とラジアンの式を、正しく使い分けられる。
  • \(l\) や \(A\) から、\(\theta\) や \(r\) を逆に求められる。

The idea

1. The radian（ラジアンとは）

角の大きさを測るのに、\(360\) という数を使う理由は、実はありません。円を \(360\) 等分するのは、ただの約束事です。

radian（ラジアン）は、約束事を使わない測り方です。

図 1: ラジアンとは何か、そして \(1\) 周が \(2\pi\) になる理由です。

図 1 の (a) を見てください。半径 \(r\) の円で、長さがちょうど \(r\) の弧を取ります。その弧の、中心に対する角が \(1\) radian です。

\(1\) radian は、円の半径に等しい長さの弧の、中心に対する角度です。

円の大きさによりません。 半径 \(1\) cm の円でも \(100\) m の円でも、「弧の長さ＝半径」となる角は同じ大きさです。長さの比で決めているからです。

数で言うと、\(1\) radian は約 \(57.3^{\circ}\) です（第3節）。

2. A full turn in radians（一周は \(2\pi\) ラジアン）

図 1 の (b) が、その理由です。

円周の長さは \(2\pi r\) です（SL 3.4）。そこに、長さ \(r\) の弧が何個入るでしょうか。

\[ \frac{2\pi r}{r} = 2\pi = 6.283\ldots \]

\(6\) 個と、\(0.28\) 個ぶんです。 図の (b) では、\(0\) から \(6\) まで目盛りを打ったあと、少しだけ余っています。

つまり

\[ \text{一周} = 2\pi \text{ radians} = 360^{\circ} \tag{1}\]

\(2\pi\) という数は、円周の公式から出てきただけです。覚えるというより、\(\dfrac{2\pi r}{r}\) を思い出せば作れます。

3. Converting between degrees and radians（度とラジアンの換算）

度で書かれた角をラジアンに直したり、その逆をしたりするのが conversion（換算）です。式 1 の両辺を \(2\) で割ると、いちばん使いやすい形になります。

\[ 180^{\circ} = \pi \text{ radians} \tag{2}\]

この換算の式は公式集に載っていません。 この \(1\) 行だけは、自分で覚えておきます。

ここから、両方向の換算が出ます。

表 1: 換算のしかた
したいこと かけるもの
度 → ラジアン \(\dfrac{\pi}{180}\)
ラジアン → 度 \(\dfrac{180}{\pi}\)

たとえば \(60^{\circ}\) なら

\[ 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3} = 1.047\ldots \]

逆に \(2\) radians なら

\[ 2 \times \frac{180}{\pi} = \frac{360}{\pi} = 114.59\ldots^{\circ} \]

ヒントどちらをかけるか迷ったら、大きさで確かめてください

ラジアンのほうが数が小さくなります。\(360\) 度ぶんが \(6.28\) にしかならないからです。

  • 度 → ラジアン … 数が小さくなるはず。\(\dfrac{\pi}{180} \approx 0.0175\) をかけます
  • ラジアン → 度 … 数が大きくなるはず。\(\dfrac{180}{\pi} \approx 57.3\) をかけます

\(60^{\circ}\) が \(1.05\) になれば向きは合っています。\(3438\) になったら、逆をかけています。

4. Common angles（よく出る角）

よく出る角を、度・\(\pi\) の分数・小数の \(3\) つの形で並べます。ラジアンは、\(\pi\) の倍数でも小数でも、どちらの形で書いても構いません。

表 2: よく出る角
度 ラジアン（\(\pi\) の形） 小数（\(4\) s.f.）
\(30^{\circ}\) \(\dfrac{\pi}{6}\) \(0.5236\)
\(45^{\circ}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(0.7854\)
\(60^{\circ}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(1.047\)
\(90^{\circ}\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(1.571\)
\(120^{\circ}\) \(\dfrac{2\pi}{3}\) \(2.094\)
\(180^{\circ}\) \(\pi\) \(3.142\)
\(270^{\circ}\) \(\dfrac{3\pi}{2}\) \(4.712\)
\(360^{\circ}\) \(2\pi\) \(6.283\)

表 2 を丸暗記する必要はありません。 \(\dfrac{\pi}{180}\) をかければ、その場で出せます。ただし \(\dfrac{\pi}{6}\)、\(\dfrac{\pi}{4}\)、\(\dfrac{\pi}{3}\)、\(\dfrac{\pi}{2}\)、\(\pi\) の \(5\) つは何度も出てくるので、見ただけで度が浮かぶようにしておくと速くなります。

使い分けの目安は、次のとおりです。

  • \(\pi\) の分数で答える … 角そのものを聞かれたとき（Give your answer in terms of π と書いてあることもあります）
  • 小数で答える … 弧の長さや面積を計算するとき。どうせ電卓に入れるからです

例題 1 (a) Convert \(144^{\circ}\) to radians, giving your answer as an exact multiple of \(\pi\).

(b) Convert \(2.4\) radians to degrees, correct to \(1\) decimal place.

(c) Find, correct to \(1\) decimal place, the size of an angle of \(1\) radian in degrees.

(a) 度 → ラジアンなので、\(\dfrac{\pi}{180}\) をかけます（表 1）。

\[ 144 \times \frac{\pi}{180} = \frac{144\pi}{180} \]

約分します。\(144\) と \(180\) の最大公約数は \(36\) です。

\[ \frac{144\pi}{180} = \frac{4\pi}{5} \]

exact multiple of π と言われているので、ここで止めます。 小数にしないでください。

検算。 \(\dfrac{4\pi}{5} = 2.513\ldots\) で、\(\pi = 3.14\) より少し小さい値です。\(144^{\circ}\) は \(180^{\circ}\) より少し小さいので、つじつまが合っています ✓

(b) ラジアン → 度なので、\(\dfrac{180}{\pi}\) をかけます。

\[ 2.4 \times \frac{180}{\pi} = \frac{432}{\pi} = 137.509\ldots = 137.5^{\circ} \]

検算。 \(2.4\) は \(\dfrac{\pi}{2} = 1.57\) より大きく \(\pi = 3.14\) より小さいので、\(90^{\circ}\) と \(180^{\circ}\) のあいだのはずです。\(137.5\) ✓

(c) 同じ式に \(1\) を入れます。

\[ 1 \times \frac{180}{\pi} = 57.295\ldots = 57.3^{\circ} \]

図 1 の (a) の角です。この \(57.3\) という数は、覚えておくと見当を付けるのに使えます。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[144 \times \frac{\pi}{180} = \frac{4\pi}{5}\]

(b) \[2.4 \times \frac{180}{\pi} = 137.5^{\circ}\]

(c) \[\frac{180}{\pi} = 57.3^{\circ}\]

5. Arc length（弧の長さ）

角がラジアンなら、弧の長さは「半径 × 角」の \(1\) 回のかけ算で出ます。

\[ l = r\theta \qquad (\theta \text{ はラジアン}) \tag{3}\]

この式と次の節の面積の式は、公式集の AHL 3.7 の欄にあります（式は配られるので、覚える必要はありません）。

\[ l = r\theta \quad (\text{arc length}), \qquad A = \frac{1}{2}r^{2}\theta \quad (\text{area of a sector}) \tag{4}\]

どちらにも「\(\theta\) はラジアンで測る」（in radians）という断り書きが付いています。ここを読み飛ばして度の値を入れると、答えが丸ごとずれます（Common errors）。

図 2: \(2\) つの公式と、その出どころです。

図 2 の (a) が、記号の意味です。

この式が短いのが、ラジアンを使う最大の理由です。度数法では

\[ l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r \]

と、\(360\) と \(2\pi\) を両方引きずらなければなりません（SL 3.4）。

たとえば \(r = 9\) cm、\(\theta = 1.2\) radians なら

\[ l = 9 \times 1.2 = 10.8 \text{ cm} \]

かけ算 \(1\) 回です。

6. Area of a sector（扇形の面積）

sector（扇形）の面積も、角がラジアンなら短い式で出ます。

\[ A = \frac{1}{2}r^{2}\theta \qquad (\theta \text{ はラジアン}) \tag{5}\]

同じ \(r = 9\) cm、\(\theta = 1.2\) radians で

\[ A = \frac{1}{2} \times 81 \times 1.2 = 48.6 \text{ cm}^{2} \]

警告\(\dfrac{1}{2}\) を忘れないでください

\(r^{2}\theta\) だけで止めると、答えが \(2\) 倍になります。

三角形の面積 \(\dfrac{1}{2}bh\) と同じ \(\dfrac{1}{2}\) だと思っておくと、忘れにくくなります。実際、\(\theta\) が小さいとき、扇形は底辺 \(l = r\theta\)、高さ \(r\) の三角形にとても近い形です。

\[ \frac{1}{2} \times \underbrace{r\theta}_{\text{底辺}} \times \underbrace{r}_{\text{高さ}} = \frac{1}{2}r^{2}\theta \]

これは覚え方であって、証明ではありません。 きちんとした理由は Why it works にあります。

7. Degrees or radians（どちらの式を使うか）

弧の長さと扇形の面積には、度で使う式とラジアンで使う式の\(2\) 組があります。どちらも公式集に載っているので、どちらを使うかは自分で決めます。

表 3: \(2\) 組の式
\(\theta\) の単位 弧の長さ 扇形の面積 どこ
度 \(\dfrac{\theta}{360} \times 2\pi r\) \(\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}\) 公式集の 3.4
ラジアン \(r\theta\) \(\dfrac{1}{2}r^{2}\theta\) 公式集の 3.7

選び方は \(1\) つです。\(\theta\) が何で書かれているかを見ます。

  • \(50^{\circ}\) のように度の記号がある → 度の式を使う。または \(\dfrac{\pi}{180}\) をかけてラジアンに直す
  • \(1.2\) のように記号がない → ラジアン。ラジアンの式を使う
重要HL の試験では、断りがなければラジアンです

\(\sin x\) と書いてあればラジアン、\(\sin x^{\circ}\) と書いてあれば度です。\(^{\circ}\) という小さな記号を見落とさないでください（AHL 2.9a でも同じ話をしています）。

電卓の角の設定も、これに合わせます（GDC）。設定が違っていると、もっともらしい数が出るのに全部ずれます。

例題 2 A sector of a circle has radius \(9\) cm and angle \(1.2\) radians at the centre.

(a) Find the length of the arc.

(b) Find the area of the sector.

(c) Find the perimeter of the sector.

\(1.2\) には度の記号が付いていないので、ラジアンです（第7節）。

(a) 式 3 です。

\[ l = r\theta = 9 \times 1.2 = 10.8 \text{ cm} \]

(b) 式 5 です。

\[ A = \frac{1}{2}r^{2}\theta = \frac{1}{2} \times 9^{2} \times 1.2 = \frac{1}{2} \times 81 \times 1.2 = 48.6 \text{ cm}^{2} \]

\(r\) を先に \(2\) 乗してください。 \(\left(\dfrac{1}{2} \times 9\right)^{2} \times 1.2\) ではありません。

(c) 周には、弧のほかに半径が \(2\) 本入ります（式 6）。

\[ \text{perimeter} = 10.8 + 2 \times 9 = 10.8 + 18 = 28.8 \text{ cm} \]

検算。 円全体と比べます。\(1.2\) radians は一周 \(6.283\) の約 \(19\%\) です。

\[ \text{円周} = 2\pi(9) = 56.5, \qquad 56.5 \times 0.191 = 10.8 \ ✓ \]

\[ \text{円の面積} = \pi(81) = 254.5, \qquad 254.5 \times 0.191 = 48.6 \ ✓ \]

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[l = r\theta = 9(1.2) = 10.8 \text{ cm}\]

(b) \[A = \frac{1}{2}r^{2}\theta = \frac{1}{2}(81)(1.2) = 48.6 \text{ cm}^{2}\]

(c) \[\text{perimeter} = 10.8 + 2(9) = 28.8 \text{ cm}\]

例題 3 An arc of length \(15\) cm lies on a circle of radius \(6\) cm.

(a) Find the angle subtended at the centre, in radians.

(b) Give this angle in degrees, correct to \(1\) decimal place.

(c) Find the area of the corresponding sector.

(a) 式 3 を \(\theta\) について解きます。

\[ \theta = \frac{l}{r} = \frac{15}{6} = 2.5 \text{ radians} \]

この形が、radian の定義そのものです（第1節）。弧が半径の \(2.5\) 倍あるので、角は \(2.5\) radians です。

(b) \(\dfrac{180}{\pi}\) をかけます。

\[ 2.5 \times \frac{180}{\pi} = 143.239\ldots = 143.2^{\circ} \]

(c) ここで \(2.5\) を使います。\(143.2\) ではありません。

\[ A = \frac{1}{2} \times 6^{2} \times 2.5 = \frac{1}{2} \times 36 \times 2.5 = 45 \text{ cm}^{2} \]

検算。 もう \(1\) つの式でも出します。\(\dfrac{1}{2}lr = \dfrac{1}{2}(15)(6) = 45\) ✓

（\(A = \dfrac{1}{2}r^{2}\theta = \dfrac{1}{2}r(r\theta) = \dfrac{1}{2}lr\) なので、\(l\) が分かっているときはこちらが速いことがあります。）

警告度に直した値を、ラジアンの式に入れない
  1. で \(\dfrac{1}{2}(36)(143.2)\) としてしまうと、\(2577.6\) という値が出ます。

円全体の面積は \(\pi(36) = 113\) cm² しかありません。 扇形がそれより大きくなることはありえないので、この時点で気づけます（演習 \(10\)）。

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[\theta = \frac{l}{r} = \frac{15}{6} = 2.5 \text{ radians}\]

(b) \[2.5 \times \frac{180}{\pi} = 143.2^{\circ}\]

(c) \[A = \frac{1}{2}(6)^{2}(2.5) = 45 \text{ cm}^{2}\]

例題 4 A garden sprinkler waters a sector of a circle. The sprinkler throws water a distance of \(8\) m and turns through an angle of \(2.1\) radians.

(a) Find the area of ground that is watered.

(b) Find the distance travelled by the tip of the jet of water as the sprinkler turns once through this angle.

(c) The gardener says that doubling the distance the water is thrown would double the area watered. Comment on this statement.

(a) 半径 \(8\) m、角 \(2.1\) radians の扇形です。

\[ A = \frac{1}{2} \times 8^{2} \times 2.1 = \frac{1}{2} \times 64 \times 2.1 = 67.2 \text{ m}^{2} \]

(b) 先端が動くのは、半径 \(8\) m の弧です。

\[ l = 8 \times 2.1 = 16.8 \text{ m} \]

(c) Comment on なので、言葉で答えます。 まず計算して確かめます。

半径を \(16\) m にすると

\[ A = \frac{1}{2} \times 16^{2} \times 2.1 = \frac{1}{2} \times 256 \times 2.1 = 268.8 \text{ m}^{2} \]

\[ \frac{268.8}{67.2} = 4 \]

\(2\) 倍ではなく \(4\) 倍です。\(A = \dfrac{1}{2}r^{2}\theta\) の \(r\) が \(2\) 乗されているからです。

試験ではこう書く

The statement is not correct.

In \(A = \frac{1}{2}r^{2}\theta\) the radius is squared, so doubling \(r\) from \(8\) m to \(16\) m multiplies the area by \(2^{2} = 4\), from \(67.2\) m\(^{2}\) to \(268.8\) m\(^{2}\).

The area would be four times as large, not twice as large.

Doubling the angle instead would double the area, because \(A\) is proportional to \(\theta\).

（この発言は正しくない。\(A = \frac12 r^2\theta\) では半径が \(2\) 乗されているので、\(r\) を \(8\) m から \(16\) m に \(2\) 倍すると面積は \(2^2 = 4\) 倍になり、\(67.2\) m² から \(268.8\) m² になる。面積は \(2\) 倍ではなく \(4\) 倍である。かわりに角を \(2\) 倍にすれば面積は \(2\) 倍になる。\(A\) は \(\theta\) に比例するからである、という意味です。）

ノート解答例（答案用紙にはこう書く）

(a) \[A = \frac{1}{2}(8)^{2}(2.1) = 67.2 \text{ m}^{2}\]

(b) \[l = 8(2.1) = 16.8 \text{ m}\]

(c) Not correct. Since \(A = \frac{1}{2}r^{2}\theta\) has \(r\) squared, doubling \(r\) multiplies the area by \(4\): \(\frac{1}{2}(16)^{2}(2.1) = 268.8\) m\(^{2}\), which is \(4 \times 67.2\). Doubling the angle would double the area.

Why it works

なぜ \(l = r\theta\) と \(A = \dfrac{1}{2}r^{2}\theta\) になるのか。 どちらも「円全体の何割か」という \(1\) つの考え方から出ます。

図 2 の (b) を見てください。一周は \(2\pi\) radians でした（式 1）。ですから、角 \(\theta\) の扇形は、円全体の

\[ \frac{\theta}{2\pi} \]

の割合を占めています。

弧の長さは、円周 \(2\pi r\) のその割合です。

\[ l = \frac{\theta}{2\pi} \times 2\pi r = r\theta \]

\(2\pi\) が約分で消えます。 これが式の短さの正体です。

面積は、円の面積 \(\pi r^{2}\) のその割合です。

\[ A = \frac{\theta}{2\pi} \times \pi r^{2} = \frac{r^{2}\theta}{2} = \frac{1}{2}r^{2}\theta \]

こちらでは \(\pi\) だけが約分され、\(2\) が残ります。 これが \(\dfrac{1}{2}\) の出どころです。

度数法でも、まったく同じ議論です。 一周が \(360\) なので、割合は \(\dfrac{\theta}{360}\)。

\[ l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r, \qquad A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \]

\(360\) と \(2\pi\) が約分できないので、式が長いまま残ります。

「一周をいくつと数えるか」を \(2\pi\) にしておくと、円周の \(2\pi\) と打ち消し合う——ラジアンの利点は、ここに尽きます。同じ理由で、AHL 5.9a の \(\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x\) も、ラジアンのときだけ余分な係数が付きません。

Common errors

警告度の値を、ラジアンの式にそのまま入れる

\(\theta = 50^{\circ}\)、\(r = 6\) cm で

\[ A = \frac{1}{2}(36)(50) = 900 \text{ cm}^{2} \]

としてしまう誤りです。円全体でも \(\pi(36) = 113\) cm² しかありません。

先に \(50 \times \dfrac{\pi}{180} = 0.8727\) に直してから使ってください（演習 \(10\)）。

答えが円全体を超えていないかを見るのが、いちばん速い検算です。

警告\(\dfrac{\pi}{180}\) と \(\dfrac{180}{\pi}\) を取り違える

どちらをかけるか迷ったら、大きさで確かめてください（第3節）。

  • 度 → ラジアン … 数は小さくなる
  • ラジアン → 度 … 数は大きくなる

\(45^{\circ}\) が \(0.785\) になれば正しく、\(2578\) になったら逆です。

警告面積の式で \(\dfrac{1}{2}\) を落とす

\(A = r^{2}\theta\) と書いてしまうと、答えがちょうど \(2\) 倍になります。

公式集には \(\dfrac{1}{2}r^{2}\theta\) と印刷されています。写すときに落とさないでください（第6節）。

警告扇形の周に、半径を入れ忘れる

perimeter を聞かれて、弧の長さだけを答える誤りです。扇形の perimeter（周）には、弧のほかに半径が \(2\) 本入ります。

\[ \text{perimeter} = l + 2r = r\theta + 2r \tag{6}\]

扇形はピザの \(1\) 切れの形です。まわりを \(1\) 周すると、丸い部分と、まっすぐな辺が \(2\) 本あります（SL 3.4 と同じ考え方です）。

警告\(r\) を \(2\) 乗する前に \(\dfrac{1}{2}\) をかける

\(\dfrac{1}{2} \times 9^{2}\) は \(40.5\) ですが、\(\left(\dfrac{1}{2} \times 9\right)^{2} = 20.25\) です。\(2\) 乗が先です。

電卓に入れるときも、0.5*9^2*1.2 の順で打てば取り違えません。(0.5*9)^2 としないでください。

Using your GDC (TI-Nspire CX II)

1. Angle mode（角の設定）

doc → Settings → Document Settings

Angle を Radian にします。HL の試験では、断りがなければラジアンでした（第7節）。

\(l = r\theta\) と \(A = \dfrac{1}{2}r^{2}\theta\) は、ただのかけ算なので設定の影響を受けません。 影響が出るのは、\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\) を使うときです。扇形の問題でも、弓形の面積や三角形の面積を出す段になると効いてきます（SL 3.4）。

設定が違っていると、もっともらしい数が出るのに全部ずれます。 毎回確かめる価値があります。

2. Entering \(\pi\)（\(\pi\) の入れ方）

\(\pi\) は専用のキーがあります。3.14 と打たないでください。 桁が足りず、あとの計算に誤差が乗ります。

\(144 \times \dfrac{\pi}{180}\)

と打つと、\(\dfrac{4\pi}{5}\) の小数、つまり \(2.51327\) が返ります（かけ算と割り算だけなので、Radian か Degree かの設定には左右されません）。

警告CX II は \(\dfrac{4\pi}{5}\) の形では返しません

TI-Nspire CX II は Numeric です。\(\dfrac{4\pi}{5}\) のような記号のままの答えは返ってきません。 小数の \(2.51327\ldots\) が出ます。

exact multiple of π と問われたら、約分は自分でやります（例 1）。\(\dfrac{144}{180}\) を約分して \(\dfrac{4}{5}\)、それに \(\pi\) を付ける——手でやるほうが速い作業です。

出した答えの検算には電卓が使えます。\(\dfrac{4\pi}{5}\) と \(144 \times \dfrac{\pi}{180}\) の小数が一致するかを見てください。

3. Mixing degrees and radians（度とラジアンが混ざるとき）

Radian 設定のまま度の値を使いたいときは、式の中に度の記号を入れます。

sin(50°)

度の記号は、キーボードのいちばん下、左端の π のキーを押すと開く記号パレットから選びます。設定を切りかえるより、こちらのほうが安全です（AHL 5.9a と同じやり方です）。

逆に、Degree 設定のままラジアンを使いたいときは、パレットの上付き r を付けます。ただし、HL では Radian にしておくほうが混乱しません。

4. Arc and sector calculations（弧と扇形の計算）

式が短いので、そのまま \(1\) 行で打てます。

  • \(9 \times 1.2\)
  • \(0.5 \times 9^{2} \times 1.2\)

\(10.8\) と \(48.6\) が返ります。\(2\) 乗を先に計算させるため、0.5*9^2 の順で打ってください（Common errors の \(5\) つ目）。

度の値から始めるときは、換算を式の中に入れてしまうのが確実です。

\(0.5 \times 6^{2} \times \left(50 \times \dfrac{\pi}{180}\right)\)

\(15.708\) が返ります。途中で丸めた \(0.87\) を使わないですみます。

5. Checking answers（検算のしかた）

  • 円全体と比べる。 扇形の面積が \(\pi r^{2}\) を超えていたら、必ず間違いです
  • 割合で確かめる。 \(\theta\) が一周 \(2\pi\) の何割かを出し、円周・円の面積にその割合をかける（例 2）
  • \(A\) を出したら、\(\dfrac{1}{2}lr\) でも計算して突き合わせる（例 3）
  • 換算したら、大きさの向きを見る。度 → ラジアンで数が大きくなっていたら、逆をかけています

\(1\) つ目が、いちばん強い検算です。円より大きい扇形はありません。

Exercises

1 Convert \(75^{\circ}\) to radians, giving your answer as an exact multiple of \(\pi\) and also correct to \(3\) significant figures.

\[75 \times \frac{\pi}{180} = \frac{75\pi}{180} = \frac{5\pi}{12}\]

\[\frac{5\pi}{12} = 1.31 \text{ radians}\]

\(75\) と \(180\) の最大公約数は \(15\) です。\(\dfrac{75}{15} = 5\)、\(\dfrac{180}{15} = 12\)。

\(\dfrac{5\pi}{12} = 1.30899\ldots\) なので、\(3\) s.f. で \(1.31\) です。

検算。 \(75^{\circ}\) は \(90^{\circ} = \dfrac{\pi}{2} = 1.571\) より少し小さいはずです。\(1.31 < 1.571\) ✓ また \(60^{\circ} = 1.047\) より大きいはずです。\(1.31 > 1.047\) ✓

2 Convert \(3.7\) radians to degrees, correct to the nearest degree.

\[3.7 \times \frac{180}{\pi} = 211.994\ldots = 212^{\circ}\]

ラジアン → 度なので \(\dfrac{180}{\pi}\) をかけます（表 1）。

検算。 \(3.7\) は \(\pi = 3.142\)（\(180^{\circ}\)）より少し大きく、\(\dfrac{3\pi}{2} = 4.712\)（\(270^{\circ}\)）より小さいので、答えは \(180\) と \(270\) のあいだのはずです。\(212\) ✓

\(57.3\) を \(3.7\) 倍しても \(212\) になります（\(57.3 \times 3.7 = 212.0\)）。\(1\) radian \(\approx 57.3^{\circ}\) を覚えておくと、暗算で見当が付きます。

3 A sector has radius \(14\) cm and angle \(0.85\) radians. Find the length of the arc and the area of the sector.

\[l = r\theta = 14(0.85) = 11.9 \text{ cm}\]

\[A = \frac{1}{2}r^{2}\theta = \frac{1}{2}(196)(0.85) = 83.3 \text{ cm}^{2}\]

度の記号が付いていないので、ラジアンです（第7節）。

\(14^{2} = 196\) を先に出してから、\(\dfrac{1}{2}\) と \(0.85\) をかけます。

検算。 \(\dfrac{1}{2}lr = \dfrac{1}{2}(11.9)(14) = 83.3\) ✓ ただし、ここの \(l\) は自分で \(r\theta\) として出したものです。\(\dfrac{1}{2}(r\theta)r\) は \(\dfrac{1}{2}r^{2}\theta\) を書き直しただけなので、この検算で見つかるのは \(\dfrac{1}{2}\) の落としや打ち間違いです。\(r\) や \(\theta\) の読み違いは見つかりません（\(l\) が問題文で与えられている 例 3 では、こちらは本当に別の道になります）。

円全体の面積は \(\pi(196) = 615.8\) cm² なので、\(83.3\) はその \(13.5\%\)。\(\dfrac{0.85}{2\pi} = 13.5\%\) ✓

4 An arc of length \(24\) cm subtends an angle of \(1.6\) radians at the centre of a circle. Find the radius of the circle.

\[l = r\theta \ \Rightarrow \ 24 = r(1.6)\]

\[r = \frac{24}{1.6} = 15 \text{ cm}\]

式 3 を \(r\) について解きます。

検算。 \(15 \times 1.6 = 24\) ✓ もとに戻りました。

\(\theta = 1.6\) は \(1\) より大きいので、弧は半径より長いはずです。\(24 > 15\) ✓ 向きも合っています。

5 A sector of a circle of radius \(10\) cm has area \(50\) cm\(^{2}\). Find the angle of the sector in radians.

\[A = \frac{1}{2}r^{2}\theta \ \Rightarrow \ 50 = \frac{1}{2}(100)\theta = 50\theta\]

\[\theta = 1 \text{ radian}\]

\(\dfrac{1}{2}(100) = 50\) なので、式が \(50 = 50\theta\) になります。

\(\theta = 1\) radian ということは、弧の長さがちょうど半径の \(10\) cm だということです（第1節）。

検算。 \(l = 10 \times 1 = 10\) cm。\(\dfrac{1}{2}lr = \dfrac{1}{2}(10)(10) = 50\) ✓

6 Find the perimeter of a sector of radius \(7\) cm with angle \(1.5\) radians.

\[l = 7(1.5) = 10.5 \text{ cm}\]

\[\text{perimeter} = l + 2r = 10.5 + 14 = 24.5 \text{ cm}\]

弧だけで止めないでください（Common errors の \(4\) つ目）。半径が \(2\) 本入ります。

\[\text{perimeter} = r\theta + 2r\]

検算。 \(\theta = 1.5\) は \(2\) より小さいので、弧 \(r\theta\) は \(2r = 14\) より短いはずです。\(10.5 < 14\) ✓ そして周は、その弧に \(14\) を足したものですから、\(14\) より大きくなるはずです。\(24.5 > 14\) ✓ 弧だけで止めた \(10.5\) は、この \(2\) つ目で落ちます。

\(\theta = 2\) radians なら、弧と \(2\) 本の半径がちょうど同じ長さになります。おもしろい目安です。

7 A sector has radius \(12\) cm and angle \(40^{\circ}\). By first converting the angle to radians, find the area of the sector.

\[40 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{9} = 0.698131\ldots\]

\[A = \frac{1}{2}(144)(0.698131\ldots) = 50.3 \text{ cm}^{2}\]

度の記号が付いているので、そのままラジアンの式には入れられません（第7節）。

\(\dfrac{2\pi}{9}\) の値は、丸めずに電卓の中のまま使ってください（GDC）。\(0.698\) で計算すると \(50.256\) となり、\(3\) s.f. では同じ \(50.3\) ですが、桁が大きい問題ではずれます。

検算。 度の式でも出します（表 3）。

\[\frac{40}{360} \times \pi \times 144 = 50.265\ldots\]

✓ 一致しました。\(2\) 組の式は同じものです。

8 Explain why the formula \(l = r\theta\) can only be used when \(\theta\) is measured in radians.

A sector of angle \(\theta\) is the fraction \(\dfrac{\theta}{2\pi}\) of a full circle when \(\theta\) is in radians, so its arc is

\[l = \frac{\theta}{2\pi} \times 2\pi r = r\theta\]

The \(2\pi\) cancels only because a full turn is \(2\pi\) radians. If \(\theta\) were in degrees, the fraction would be \(\dfrac{\theta}{360}\) and the arc would be \(\dfrac{\theta}{360} \times 2\pi r\), which is not \(r\theta\).

Explain why なので、英語で理由を書きます。

言うべきことは、「\(2\pi\) が約分で消えるのは、一周が \(2\pi\) radians のときだけ」という \(1\) 点です（Why it works）。

数で示すのも有効です。 \(r = 10\)、\(\theta = 90^{\circ}\) で試すと、正しい弧は

\[\frac{90}{360} \times 2\pi(10) = 15.7\]

ですが、\(r\theta = 10 \times 90 = 900\) です。円周の \(62.8\) より大きいので、これが弧の長さでないことは、値を見ただけで分かります。

試験ではこう書く

The sector is the fraction \(\dfrac{\theta}{2\pi}\) of the whole circle only when \(\theta\) is in radians, since a full turn is \(2\pi\) radians.

Then \(l = \dfrac{\theta}{2\pi} \times 2\pi r = r\theta\), the \(2\pi\) cancelling.

In degrees a full turn is \(360\), so the fraction is \(\dfrac{\theta}{360}\) and \(l = \dfrac{\theta}{360} \times 2\pi r\), which is not \(r\theta\).

For example, with \(r = 10\) and \(\theta = 90^{\circ}\) the true arc is \(15.7\), while \(r\theta\) would give \(900\), longer than the whole circumference.

9 A pendulum has a string of length \(0.75\) m. The string swings through an angle of \(0.3\) radians, from one side to the other.

(a) Find the distance travelled by the bob in one swing.

(b) Interpret what happens to this distance if the string is made twice as long, with the same angle.

(a) \[l = r\theta = 0.75(0.3) = 0.225 \text{ m}\]

(b) The distance is directly proportional to the length of the string, since \(l = r\theta\) with \(\theta\) fixed. Doubling the length to \(1.5\) m doubles the distance to \(0.45\) m.

(a) おもりが動くのは円弧です。ひもの長さが半径になります。

\(0.225\) m、つまり \(22.5\) cm です。

(b) Interpret なので、文脈の言葉で答えます。

\(l = r\theta\) で \(\theta\) が変わらないなら、\(l\) は \(r\) に比例します。\(2\) 倍なら \(2\) 倍です。

面積のときとは違います。 \(A = \dfrac{1}{2}r^{2}\theta\) では \(r\) が \(2\) 乗なので \(4\) 倍でした（例 4）。弧は \(1\) 乗、面積は \(2\) 乗——ここを混同しないでください。

試験ではこう書く

Since \(l = r\theta\) and the angle \(\theta\) stays at \(0.3\) radians, the distance travelled is directly proportional to the length of the string.

Doubling the length from \(0.75\) m to \(1.5\) m therefore doubles the distance, from \(0.225\) m to \(0.45\) m.

This is unlike the area of a sector, which depends on \(r^{2}\) and would be four times as large.

10 A student is asked for the area of a sector of radius \(6\) cm with angle \(50^{\circ}\), and writes

\[ A = \frac{1}{2}r^{2}\theta = \frac{1}{2}(36)(50) = 900 \text{ cm}^{2} \]

Identify the error and find the correct area.

The formula \(A = \frac{1}{2}r^{2}\theta\) requires \(\theta\) in radians, but \(50^{\circ}\) was substituted directly.

\[50 \times \frac{\pi}{180} = 0.872664\ldots \text{ radians}\]

\[A = \frac{1}{2}(36)(0.872664\ldots) = 15.7 \text{ cm}^{2}\]

Identify the error なので、どこが違うかを言葉で書きます。

公式集の \(A = \dfrac{1}{2}r^{2}\theta\) には、「\(\theta\) はラジアンで測った角」という断り書きが添えてあります。

その断りを読み飛ばしたのが誤りです。

\(900\) という答えは、それ自体がおかしいことにも気づけます。円全体の面積は

\[\pi(6)^{2} = 113 \text{ cm}^{2}\]

しかありません。扇形が円より大きくなることはありません（GDC）。

\(50^{\circ}\) は一周の \(\dfrac{50}{360} = 13.9\%\) なので、\(113 \times 0.139 = 15.7\) ✓ 正しい答えと合いました。

試験ではこう書く

The error is that \(\theta\) was left in degrees.

The formula \(A = \frac{1}{2}r^{2}\theta\) is only valid when \(\theta\) is measured in radians, so \(50^{\circ}\) must first be converted: \(50 \times \frac{\pi}{180} = 0.8727\) radians.

Then \(A = \frac{1}{2}(36)(0.8727) = 15.7\) cm\(^{2}\).

The answer \(900\) cm\(^{2}\) is impossible in any case, since the whole circle has area only \(\pi(6)^{2} = 113\) cm\(^{2}\).