SL 5.11 — Definite integrals and areas（定積分と面積）

ノートWhat you should be able to do
  • definite integral（定積分）と indefinite integral（不定積分）のちがいを説明できる。
  • 角かっこ \(\bigl[F(x)\bigr]_{a}^{b}\) の書き方で、値を手で求められる。
  • \(+C\) が要らない理由を説明できる。
  • 上端と下端を入れかえたときの符号、区間を分ける書き方を使える。
  • \(f(x) > 0\) のときの面積を、定積分で書ける。
  • \(f(x) < 0\) のとき、面積は積分の値の \(-1\) 倍になることを説明できる。
  • \(A = \displaystyle\int_{a}^{b} \lvert y\rvert\,dx\) が公式集のどこにあるかを知っている。
  • 符号の変わる点で区間を分けて、面積を求められる。
  • \(2\) 曲線ではさまれた面積を、上の式 \(-\) 下の式で書ける。
  • 置換したときに、上端・下端も \(u\) に直せる。

The idea

1. Definite integral（定積分）

definite integral（定積分）とは、関数を \(a \leq x \leq b\) の範囲で積分して、\(1\) つの数を出すものです。

その数は、antiderivative（原始関数）\(F\) の、両端での値の差です。\(F' = f\) となる \(F\) を求め、答案では角かっこに入れて書きます。

\[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a) \tag{1}\]

\(a\) を lower limit（下端）、\(b\) を upper limit（上端）といいます。

引く順番は「上端 \(-\) 下端」です。 \(F(a) - F(b)\) と書くと、符号が逆になります。

\(+C\) は書きません。 書いても引き算で消えるからです。

例題 1 Find the value of \(\displaystyle\int_{1}^{3} \left(3x^{2} - 4x + 1\right)dx\).

まず原始関数を書きます（SL 5.5）。

\[ \int_{1}^{3} \left(3x^{2} - 4x + 1\right)dx = \Bigl[x^{3} - 2x^{2} + x\Bigr]_{1}^{3} \]

上端と下端を代入します。

\[ F(3) = 27 - 18 + 3 = 12, \qquad F(1) = 1 - 2 + 1 = 0 \]

\[ \int_{1}^{3} \left(3x^{2} - 4x + 1\right)dx = 12 - 0 = 12 \]

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(x^{3} - 2x^{2} + x\right) = 3x^{2} - 4x + 1\) ✓ 原始関数が合っています。

検算（\(+C\) を入れても）。 \(\bigl(12 + C\bigr) - \bigl(0 + C\bigr) = 12\) ✓ \(C\) は消えます。

検算（分けても同じ）。 \(F(2) = 8 - 8 + 2 = 2\) です。\(x = 2\) で分けると \((2 - 0) + (12 - 2) = 12\) ✓ 式 3 と合っています。

検算（おおよその大きさ）。 \(1 \leq x \leq 3\) で \(3x^{2} - 4x + 1\) は \(0\) から \(16\) の間の値をとり、区間の幅は \(2\) です。だから値は \(0 \times 2 = 0\) 以上 \(16 \times 2 = 32\) 以下になります ✓ 答えの \(12\) は、この間にあります。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[\int_{1}^{3} \left(3x^{2} - 4x + 1\right)dx = \Bigl[x^{3} - 2x^{2} + x\Bigr]_{1}^{3}\] \[= (27 - 18 + 3) - (1 - 2 + 1)\] \[= 12\]

2. Limits of integration（上端・下端の性質）

定積分には、計算が短くなる性質が \(3\) つあります。

\(1\) つ目。上下を入れかえると、符号が変わります。

\[ \int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx \tag{2}\]

\(2\) つ目。途中の点 \(c\) で、区間を分けられます。

\[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx \tag{3}\]

\(3\) つ目。上端と下端が同じなら、値は \(0\) です。

\[ \int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0 \tag{4}\]

定数倍と和は、不定積分と同じです（SL 5.5）。

\[ \int_{a}^{b}\bigl(f(x) + g(x)\bigr)dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{a}^{b} g(x)\,dx \]

\[ \int_{a}^{b} kf(x)\,dx = k\int_{a}^{b} f(x)\,dx \]

例題 2 It is given that \(\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)\,dx = 7\) and \(\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx = 3\).

(a) Find \(\displaystyle\int_{2}^{4} f(x)\,dx\).

(b) Find \(\displaystyle\int_{4}^{1} f(x)\,dx\).

(c) Find \(\displaystyle\int_{1}^{4} 3f(x)\,dx\).

(d) Explain why the answer to part (a) can be found without knowing \(f(x)\).

(a) 区間を \(x = 2\) で分けます（式 3）。

\[ \int_{1}^{4} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} f(x)\,dx + \int_{2}^{4} f(x)\,dx \]

\[ 7 = 3 + \int_{2}^{4} f(x)\,dx \quad \Rightarrow \quad \int_{2}^{4} f(x)\,dx = 4 \]

(b) 上端と下端が入れかわっています（式 2）。

\[ \int_{4}^{1} f(x)\,dx = -7 \]

(c) 定数倍は外に出せます（第 2 節）。

\[ \int_{1}^{4} 3f(x)\,dx = 3 \times 7 = 21 \]

(d) 分ける性質は、\(F(c)\) が打ち消し合うことから出るものです。だから \(F\) が何であっても、したがって \(f\) が何であっても成り立ちます。 使ったのは、与えられた \(2\) つの値だけです。

検算（足しもどして）。 \(3 + 4 = 7\) ✓ (a) の答えを足すと、もとの値にもどります。

検算（当てはまる \(f\) を \(1\) つ作って）。 \(f(x) = -\dfrac{2}{3}x + 4\) は \(\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)\,dx = 7\) と \(\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx = 3\) の両方を満たします。この \(f\) で直接計算すると \(\displaystyle\int_{2}^{4} f(x)\,dx = 4\)、\(\displaystyle\int_{4}^{1} f(x)\,dx = -7\)、\(\displaystyle\int_{1}^{4} 3f(x)\,dx = 21\) ✓ (a)(b)(c) の答えと合います。

検算（\(f\) が \(1\) つに決まらないこと）。 条件を満たす \(f\) はほかにもあります ✓ それでも (a)(b)(c) の答えは同じです。

試験ではこう書く

Splitting a definite integral at an interior point follows from the fact that the integral equals \(F(b) - F(a)\) for any antiderivative \(F\).

Splitting at \(x = 2\) gives \((F(2) - F(1)) + (F(4) - F(2)) = F(4) - F(1)\), since \(F(2)\) cancels.

So the three integrals are related by \(\int_{1}^{4} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} f(x)\,dx + \int_{2}^{4} f(x)\,dx\) whatever the function \(f\) is, and the two given values determine the third.

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[7 = 3 + \int_{2}^{4} f(x)\,dx \quad \Rightarrow \quad \int_{2}^{4} f(x)\,dx = 4\]

(b) \[\int_{4}^{1} f(x)\,dx = -7\]

(c) \[\int_{1}^{4} 3f(x)\,dx = 21\]

(d) the splitting rule follows from \(F(b) - F(a)\), so it holds for every \(f\)

3. Area under a curve（\(x\) 軸より上のとき）

まず、曲線が \(x\) 軸より上にあるときの面積を考えます。

図 1: \(y = f(x)\) と \(x\) 軸ではさまれた、\(a\) から \(b\) までの部分です。

曲線が \(x\) 軸より上にあるときは、定積分がそのまま面積です（図 1、SL 5.5）。ここでいう面積は、曲線 \(y = f(x)\)、\(x\) 軸、そして \(2\) 本のたての直線 \(x = a\)、\(x = b\) で囲まれた部分の面積です。

\[ A = \int_{a}^{b} f(x)\,dx, \qquad f(x) \geq 0 \text{ on } a \leq x \leq b \tag{5}\]

条件が付いていることに気をつけてください。 区間の中で \(f\) が負になるところがあると、この式は面積になりません。\(f(x) = 0\) になる点があるのはかまいません。

上端・下端が問題文にないこともあります。 the region enclosed by the curve and the x-axis とだけ書いてあるときは、\(f(x) = 0\) を解いて、となり合う \(2\) つの解を上端・下端にします。

4. Area below the axis（\(x\) 軸より下のとき）

次は、曲線が \(x\) 軸より下にあるときです。

図 2: \(x = -2\) から \(x = 2\) までの \(y = x^{2} - 4\) は、\(x\) 軸より下にあります。

\(x\) 軸より下にあるときは、定積分の値が負になります（図 2）。その範囲の面積を求めたい場合は、面積は正の数なので、符号を変えます。

\[ A = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx, \qquad f(x) \leq 0 \text{ on } a \leq x \leq b \tag{6}\]

定積分の値は、負の値になることもあります。 それをそのまま面積にはしないでください。

\(y = x^{2} - 4\) と \(x\) 軸が囲む部分でやってみます（図 2）。\(x^{2} - 4 = 0\) の解は \(x = -2\) と \(x = 2\) で、その間では \(y < 0\) です。

\[ \int_{-2}^{2} \bigl(x^{2} - 4\bigr)dx = \left[\frac{x^{3}}{3} - 4x\right]_{-2}^{2} = -\frac{16}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{32}{3} \]

符号を変えたものが面積です。

\[ A = -\left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{32}{3} \]

5. Area using the absolute value（絶対値でまとめ、符号の変わる点で分ける）

\(x\) 軸の上なのか下なのかにかかわらず、曲線と \(x\) 軸ではさまれた部分の面積を求める公式は、次のとおりです。

\[ A = \int_{a}^{b} \lvert y\rvert\,dx \tag{7}\]

重要この式は公式集にあります

公式集の 5.11 の欄に、Area of region enclosed by a curve and \(x\)-axis として 式 7 が印刷されています。おぼえる必要はありませんが、どこにあるかは知っておいてください。

電卓で求める場合は、絶対値の記号をそのまま入力してください。 ただし、\(x\) 軸の上と下にまたがる部分の面積は、電卓なしで求める問題も出ます。手で計算するときは、絶対値が付いたままでは、いつもの規則で原始関数を書けません。そこで、\(x\) 軸の上と下の場合で分けます。

まず、グラフの \(x\) 切片（x-intercept、zero、root）を見つけます（SL 5.2）。

図 3: \(y = 2x - x^{2}\) では、\(A_{1}\) が \(x\) 軸より上、\(A_{2}\) が下にあります。

\(y = 2x - x^{2}\) と \(x\) 軸が、\(0 \leq x \leq 3\) で囲む部分でやってみます（図 3）。\(2x - x^{2} = 0\) の解は \(x = 0\) と \(x = 2\) で、\(x = 1\) では \(y = 1 > 0\)、\(x = 2.5\) では \(y = -1.25 < 0\) です。だから \(x = 2\) で分けます。

\[ A = \int_{0}^{2} \bigl(2x - x^{2}\bigr)dx - \int_{2}^{3} \bigl(2x - x^{2}\bigr)dx \]

\[ = \frac{4}{3} - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{8}{3} \]

\(y < 0\) の部分にだけマイナスを付けます。 どちらの部分も正の数になります。

分けずに \(\displaystyle\int_{0}^{3}\bigl(2x - x^{2}\bigr)dx\) を計算すると \(0\) です。 打ち消し合うので、それは面積ではありません。

答案では、値を出す前に、面積を表す式を書きます。 マイナスを付けた式の行を、答案に残してください。

例題 3 The curve \(y = x^{2} - x\) and the \(x\)-axis enclose regions for \(0 \leq x \leq 2\). Find the total area of these regions.

符号の変わる点を探します。 \(x^{2} - x = x(x - 1) = 0\) なので \(x = 0\) と \(x = 1\) です。

\(0 < x < 1\) では \(f < 0\)、\(1 < x < 2\) では \(f > 0\) です。だから \(x = 1\) で分けます（第 5 節）。

\[ A = -\int_{0}^{1} \left(x^{2} - x\right)dx + \int_{1}^{2} \left(x^{2} - x\right)dx \]

\[ \int_{0}^{1} \left(x^{2} - x\right)dx = \left[\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} \]

\[ \int_{1}^{2} \left(x^{2} - x\right)dx = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{5}{6} \]

\[ A = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1 \]

検算（符号を \(1\) 点で）。 \(x = \dfrac{1}{2}\) では \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4} < 0\)、\(x = \dfrac{3}{2}\) では \(\dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4} > 0\) ✓ 分け方が合っています。

検算（分けないと）。 \(\displaystyle\int_{0}^{2} \left(x^{2} - x\right)dx = -\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{2}{3}\) で、面積の \(1\) とはちがいます ✓ 打ち消し合った分だけ小さくなります。

検算（どちらの部分も正）。 \(\dfrac{1}{6} > 0\)、\(\dfrac{5}{6} > 0\) ✓

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{x^{2}}{2}\right) = x^{2} - x\) ✓

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[x^{2} - x = x(x - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \ x = 1\] \[A = -\int_{0}^{1} \left(x^{2} - x\right)dx + \int_{1}^{2} \left(x^{2} - x\right)dx\] \[= -\left[\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} + \left[\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}\] \[= \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1\]

6. Area between two curves（\(2\) 曲線ではさまれた面積）

\(2\) つの曲線ではさまれた部分の面積を求めます。

図 4: \(y = f(x)\) と \(y = g(x)\) ではさまれた部分です。

上の式から下の式を引いて、積分します（図 4）。

\[ A = \int_{a}^{b} \bigl(f(x) - g(x)\bigr)dx, \qquad f(x) \geq g(x) \text{ on } a \leq x \leq b \tag{8}\]

式 8 は公式集にありません。 自分で使えるようにしておいてください。

\(x\) 軸より下にあっても、そのまま使えます。 縦の長さは \(f(x) - g(x)\) です。\(a \leq x \leq b\) で \(f(x) \geq g(x)\) なら、\(f\) と \(g\) の値が両方とも負であっても、この差は \(0\) 以上になります。\(x\) 軸より上か下かではなく、どちらが上のグラフかで引く順番が決まります。

上端・下端は、\(2\) つのグラフの交点なので、\(f(x) = g(x)\) を解いて求めます。

例題 4 Find the area of the region enclosed by the curve \(y = x^{2}\) and the line \(y = x + 2\).

まず交点を求めます（第 6 節）。

\[ x^{2} = x + 2 \quad \Rightarrow \quad x^{2} - x - 2 = (x + 1)(x - 2) = 0 \]

\(x = -1\) と \(x = 2\) です。

どちらが上かを \(1\) 点で確かめます。 \(x = 0\) では、直線が \(2\)、曲線が \(0\) です。だから直線のほうが上です。

\[ A = \int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^{2}\bigr)dx \]

\[ = \left[\frac{x^{2}}{2} + 2x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2} = \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) \]

\[ = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2} \]

検算（交点で高さが \(0\)）。 \(x = -1\) でも \(x = 2\) でも \(x + 2 - x^{2} = 0\) です ✓ はさまれた部分の端です。

検算（区間の中で入れかわらないこと）。 \(x^{2} = x + 2\) の解は \(x = -1\) と \(x = 2\) の \(2\) つだけなので、その間で上下が入れかわることはありません ✓（第 6 節）。

検算（もう \(1\) 点で）。 \(x = 1\) では \(1 + 2 - 1 = 2 > 0\) です ✓ 区間の中で上下が入れかわっていません。

検算（大きさ）。 幅は \(3\)、いちばん高いところは \(x = \dfrac{1}{2}\) で \(\dfrac{9}{4}\) です。だから面積は \(3 \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{27}{4}\) より小さくなります ✓ \(\dfrac{9}{2} < \dfrac{27}{4}\) です。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

\[x^{2} = x + 2 \quad \Rightarrow \quad (x + 1)(x - 2) = 0\] \[x = -1, \ x = 2\] \[A = \int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^{2}\bigr)dx\] \[= \left[\frac{x^{2}}{2} + 2x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{9}{2}\]

7. Substitution（置換したら、上端・下端も変える）

\(u\) に置きかえたら、上端と下端も \(u\) の値に直します（SL 5.10）。\(\displaystyle\int_{0}^{2} 2x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{3}dx\) でやってみます。

中身が \(x^{2}+1\) なので、\(u\) はこう置きます。

\[ u = x^{2}+1, \qquad du = 2x\,dx \]

上端・下端も、\(u\) の値に直します。

\[ x = 0 \ \Rightarrow\ u = 1, \qquad x = 2 \ \Rightarrow\ u = 5 \]

\[ \int_{0}^{2} 2x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{3}dx = \int_{1}^{5} u^{3}\,du \]

\[ = \left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{1}^{5} = \frac{625}{4} - \frac{1}{4} = 156 \]

\(u\) のまま代入して終われました。 \(x\) にもどす必要がありません。

\(0\) と \(2\) を、そのまま \(u\) の式に入れてはいけません。 その \(2\) つは \(x\) の値だからです。

警告この項目は電卓なしで解きます

式 1 を使う計算も、\(f(x)\) が正にも負にもなるときの面積も、Paper 1 の項目です。 面積も、電卓を使わずに求める問題が出ます（第 5 節）。

Paper 2 では、電卓で値を出す定積分も出ます（SL 5.5）。そのときも、まず式を書いてください。

定積分の値は、電卓の積分の機能で直接出せます（SL 5.5）。面積なら、グラフ画面に \(y = f(x)\) と \(y = g(x)\) をかくと、交点とどちらが上かが目で見えます。

それでも、答案には角かっこの行と、マイナスを付けた式が要ります。 電卓は確かめに使ってください。

Why it works

なぜ、\(+C\) を書かなくてよいのでしょうか。 引き算で消えるからです。

原始関数を \(F(x) + C\) としても、代入して引くと次のようになります。

\[ \bigl(F(b) + C\bigr) - \bigl(F(a) + C\bigr) = F(b) - F(a) \]

\(C\) がどんな値でも、答えは同じです。 だから定積分では \(C\) を書きません。

なぜ、上下を入れかえると符号が変わるのでしょうか。 引く順番が入れかわるからです。

\(\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,dx = F(a) - F(b)\) で、これは \(F(b) - F(a)\) の \(-1\) 倍です。新しい規則ではなく、引き算の性質です。

なぜ、区間を分けられるのでしょうか。 途中の値が打ち消し合うからです。

\[ \bigl(F(c) - F(a)\bigr) + \bigl(F(b) - F(c)\bigr) = F(b) - F(a) \]

\(F(c)\) が消えました。 どこで分けても、両端だけが残ります。

なぜ、置換したら上端・下端も変えるのでしょうか。 数の意味が変わるからです。

\(\displaystyle\int_{a}^{b}\) の \(a\) と \(b\) は \(x\) の値です。積分を \(u\) で書き直したら、そこに入る数も \(u\) の値、つまり \(g(a)\) と \(g(b)\) でなければなりません。同じ記号でも、指しているものがちがいます。

なぜ、\(f(x) < 0\) のときに符号を変えるのでしょうか。 定積分が高さと幅の積を足したものだからです。

幅は正ですが、\(f(x)\) が負なら、その積も負です（SL 5.5）。足し合わせた値も負になります。 面積として使いたいのは、その大きさのほうなので、\(-1\) 倍します。

なぜ、分けずに計算すると打ち消し合うのでしょうか。 正の分と負の分を、そのまま足してしまうからです。

図 3 では、\(a\) から \(b\) までの定積分が \(A_{1} - A_{2}\) になります。\(A_{1}\) と \(A_{2}\) が等しければ、値は \(0\) です。 それでも、\(x\) 軸との間に囲まれた図形は \(2\) つあります。

なぜ、\(2\) 曲線のときは引き算でよいのでしょうか。 縦の長さが差だからです。

\(x\) を \(1\) つ決めると、上の点の高さは \(f(x)\)、下の点の高さは \(g(x)\) です。その間の長さは \(f(x) - g(x)\) です。 これを \(a\) から \(b\) まで積分すると、はさまれた部分の面積になります。

なぜ、\(x\) 軸より下でも同じ式でよいのでしょうか。 差は位置によらないからです。

\(2\) つとも \(3\) だけ下にずらしても、\(\bigl(f(x) - 3\bigr) - \bigl(g(x) - 3\bigr) = f(x) - g(x)\) で変わりません。縦の長さは、\(x\) 軸がどこにあっても同じです。

Common errors

警告定積分に \(+C\) を書く

引き算で消えます（第 1 節）。角かっこの中に \(C\) は書きません。

警告\(F(a) - F(b)\) と、逆に引く

「上端 \(-\) 下端」です（第 1 節）。逆にすると符号が変わります。

警告区間の中に、定義されない点があるまま角かっこを当てる

\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}\,dx\) のように、\(a\) と \(b\) の間に被積分関数が定義されない点があるときは、この計算はできません。上端と下端を見たら、その間を確かめてください。

警告負の値を、そのまま面積として書く

面積は正です（第 4 節）。\(f < 0\) の部分にはマイナスを付けます。

警告符号の変わる点で分けない

分けないと打ち消し合います（第 5 節）。まず \(f(x) = 0\) を解いてください。

警告絶対値記号を付けたまま、原始関数を書こうとする

式 7 は考え方を表す式です（第 5 節）。計算するときは分けます。

警告\(2\) 曲線で、引く順番を取りちがえる

上の式から下の式を引きます（第 6 節）。\(1\) 点で確かめてください。

警告式を書かずに、値だけ書く

答案では、値を出す前に、正しい式を書くことが求められます（第 5 節）。

警告置換したのに、上端・下端を直さない

\(u\) の値に直します（第 7 節）。直さないなら、\(x\) にもどしてから代入します。

Exercises

1 Find the value of \(\displaystyle\int_{0}^{2} \left(x^{2} + 1\right)dx\).

\[\int_{0}^{2} \left(x^{2} + 1\right)dx = \left[\frac{x^{3}}{3} + x\right]_{0}^{2}\]

\[= \left(\frac{8}{3} + 2\right) - 0 = \frac{14}{3}\]

原始関数を書いて、代入して引きます（第 1 節）。

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{3}}{3} + x\right) = x^{2} + 1\) ✓

検算（下端の値）。 \(F(0) = 0\) です ✓ 値が \(0\) でも、\(F(2) - F(0)\) という引き算の行は省かずに書きます。

検算（大きさ）。 \(0 \leq x \leq 2\) で被積分関数は \(1\) から \(5\) の間なので、値は \(2\) から \(10\) の間です ✓ \(\dfrac{14}{3}\) はおよそ \(4.67\) です。

2 Find the value of \(\displaystyle\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \sin x\,dx\).

\[\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \sin x\,dx = \Bigl[-\cos x\Bigr]_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\]

\[= -\cos\frac{3\pi}{2} - \left(-\cos\pi\right) = 0 - 1 = -1\]

\(\sin\) の原始関数は \(-\cos\) です（SL 5.10）。

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x\) ✓

検算（正確な値）。 \(\cos\dfrac{3\pi}{2} = 0\)、\(\cos\pi = -1\) ✓ radian（ラジアン）です。

検算（符号）。 \(\pi \leq x \leq \dfrac{3\pi}{2}\) で \(\sin x \leq 0\) なので、値が負になるのは正しいことです ✓ 負の値が出ても、計算まちがいとはかぎりません（第 4 節）。

検算（大きさ）。 区間の幅は \(\dfrac{\pi}{2}\)、およそ \(1.57\) です。\(\sin x\) は \(0\) から \(-1\) の間なので、値は \(-1.57\) 以上 \(0\) 以下です ✓ 答えの \(-1\) は、この間にあります。

3 Find the value of \(\displaystyle\int_{1}^{4} \frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x}}\,dx\).

\[\frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\]

\[\int_{1}^{4} \left(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)dx = \left[\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}}\right]_{1}^{4}\]

\[= \left(\frac{64}{5} + 4\right) - \left(\frac{2}{5} + 2\right) = \frac{72}{5}\]

先に指数の形へ直してから積分します（SL 5.10）。

検算（書き直し）。 \(\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x}} = x^{2 - \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}\)、\(\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}\) ✓

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}}\right) = x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\) ✓

検算（\(4^{\frac{5}{2}}\)）。 \(4^{\frac{5}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^{5} = 32\) なので、\(\dfrac{2}{5} \times 32 = \dfrac{64}{5}\) ✓

検算（区間に \(0\) がない）。 \(1 \leq x \leq 4\) なので \(\sqrt{x}\) が使えます ✓（第 1 節）。

4 Find the area of the region enclosed by the curve \(y = x^{2} - 3x\) and the \(x\)-axis.

\[x^{2} - 3x = x(x - 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \ x = 3\]

\[A = -\int_{0}^{3} \left(x^{2} - 3x\right)dx = -\left[\frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2}\right]_{0}^{3}\]

\[= -\left(9 - \frac{27}{2}\right) = \frac{9}{2}\]

区間が与えられていないので、まず \(x\) 軸との交点を求めます（第 3 節）。

検算（符号を \(1\) 点で）。 \(x = 1\) で \(1 - 3 = -2 < 0\) ✓ \(0 < x < 3\) でずっと負なので、マイナスを前に付けます。

検算（別の道で）。 \(\displaystyle\int_{0}^{3}\left(3x - x^{2}\right)dx = \left[\frac{3x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}\) ✓ \(-f\) を積分しても同じ値です。

検算（大きさ）。 幅は \(3\)、\(\lvert x^{2} - 3x\rvert\) はいちばん大きいところ（\(x = \dfrac{3}{2}\)）で \(\dfrac{9}{4}\) です。だから面積は \(3 \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{27}{4}\) より小さくなります ✓ \(\dfrac{9}{2} < \dfrac{27}{4}\) です。

5 Find the total area of the regions enclosed by the curve \(y = \cos x\) and the \(x\)-axis for \(0 \leq x \leq \pi\).

\[\cos x = 0, \quad 0 \leq x \leq \pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2}\]

\[A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x\,dx = \Bigl[\sin x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \Bigl[\sin x\Bigr]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\]

\[= 1 - (-1) = 2\]

\(x = \dfrac{\pi}{2}\) で符号が変わります（第 5 節）。

検算（それぞれの値）。 \(\Bigl[\sin x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1\)、\(\Bigl[\sin x\Bigr]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -1\) ✓ あとのほうにマイナスを付けて \(1\) にします。

検算（符号を \(1\) 点で）。 \(x = \dfrac{\pi}{4}\) で \(\cos x > 0\)、\(x = \dfrac{3\pi}{4}\) で \(\cos x < 0\) ✓

検算（大きさ）。 幅は \(\pi\)、およそ \(3.14\) で、高さは最大 \(1\) です。だから面積は \(3.14\) より小さくなります ✓ \(2\) はその範囲にあります。

6 Find the value of \(\displaystyle\int_{0}^{1} 3x^{2}\left(x^{3} + 1\right)^{2}dx\), using the substitution \(u = x^{3} + 1\).

\[u = x^{3} + 1, \quad du = 3x^{2}\,dx\]

\[x = 0 \Rightarrow u = 1, \qquad x = 1 \Rightarrow u = 2\]

\[\int_{0}^{1} 3x^{2}\left(x^{3} + 1\right)^{2}dx = \int_{1}^{2} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{7}{3}\]

上端・下端も \(u\) に直します（第 7 節）。

検算（\(u\) の区間）。 \(x = 0\) で \(u = 1\)、\(x = 1\) で \(u = 2\) ✓ \(0\) から \(1\) ではありません。

検算（値）。 \(\dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}\) ✓

検算（\(x\) にもどしても）。 \(\left[\dfrac{\left(x^{3}+1\right)^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}\) ✓ 同じ値です。

7 Find the area of the region enclosed by the curves \(y = x^{2} - 4\) and \(y = -x^{2} + 2x\).

\[x^{2} - 4 = -x^{2} + 2x \quad \Rightarrow \quad 2x^{2} - 2x - 4 = 0\]

\[(x + 1)(x - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1, \ x = 2\]

\[A = \int_{-1}^{2} \bigl(-x^{2} + 2x - \left(x^{2} - 4\right)\bigr)dx = \int_{-1}^{2} \left(-2x^{2} + 2x + 4\right)dx\]

\[= \left[-\frac{2x^{3}}{3} + x^{2} + 4x\right]_{-1}^{2} = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = 9\]

領域の一部が \(x\) 軸より下にありますが、引き算の順番は変わりません（第 6 節）。

検算（どちらが上か）。 \(x = 0\) では、\(-x^{2} + 2x = 0\)、\(x^{2} - 4 = -4\) ✓ \(y = -x^{2} + 2x\) が上です。\(2\) つとも負になる \(x\) でも、上のほうを前に書きます。

検算（区間の中で入れかわらないこと）。 交点は \(x = -1\) と \(x = 2\) の \(2\) つだけなので、その間で上下が入れかわることはありません ✓（第 6 節）。

検算（交点で高さが \(0\)）。 \(x = -1\) でも \(x = 2\) でも \(-2x^{2} + 2x + 4 = 0\) です ✓

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{2x^{3}}{3} + x^{2} + 4x\right) = -2x^{2} + 2x + 4\) ✓

8 Find the total area of the regions enclosed by the curve \(y = x^{3}\) and the line \(y = 4x\).

\[x^{3} = 4x \quad \Rightarrow \quad x\left(x^{2} - 4\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2, \ 0, \ 2\]

\[A = \int_{-2}^{0} \left(x^{3} - 4x\right)dx + \int_{0}^{2} \left(4x - x^{3}\right)dx\]

\[= \left[\frac{x^{4}}{4} - 2x^{2}\right]_{-2}^{0} + \left[2x^{2} - \frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = 4 + 4 = 8\]

交点が \(3\) つあるので、領域は \(2\) つです（第 6 節）。となり合う解の間ごとに、どちらが上かを調べます。

検算（\(-2 < x < 0\) で）。 \(x = -1\) では \(x^{3} = -1\)、\(4x = -4\) ✓ 曲線のほうが上です。

検算（\(0 < x < 2\) で）。 \(x = 1\) では \(x^{3} = 1\)、\(4x = 4\) ✓ 直線のほうが上です。上下が入れかわっています。

検算（対称性）。 \(x^{3}\) も \(4x\) も原点について対称なので、\(2\) つの領域の面積は同じです ✓ どちらも \(4\) です。

検算（\(1\) つの積分にしないこと）。 \(\displaystyle\int_{-2}^{2} \left(4x - x^{3}\right)dx = 0\) です ✓ 上下が入れかわるので、分けずに計算すると打ち消し合います。

9 A student writes \(\displaystyle\int_{1}^{3} 2x\,dx = x^{2} + C\). Identify what is wrong with this answer, and give the correct value.

a definite integral is a number, so the answer must not contain \(x\) or \(C\)

\[\int_{1}^{3} 2x\,dx = \Bigl[x^{2}\Bigr]_{1}^{3} = 9 - 1 = 8\]

生徒が書いたのは不定積分の答えです。定積分では、そのあと上端と下端を代入して引きます（第 1 節）。

検算（\(C\) を入れて計算して）。 \(\left(9 + C\right) - \left(1 + C\right) = 8\) ✓ \(C\) は消えます。

検算（微分して）。 \(\dfrac{d}{dx}x^{2} = 2x\) ✓ 原始関数そのものは合っています。

検算（大きさ）。 \(1 \leq x \leq 3\) で \(2x\) は \(2\) から \(6\)、区間の幅は \(2\) なので、値は \(4\) 以上 \(12\) 以下です ✓ 答えの \(8\) は、この間にあります。

試験ではこう書く

A definite integral has a numerical value, so the answer cannot contain the variable \(x\), and it cannot contain an arbitrary constant \(C\).

The student stopped at the antiderivative, which is the answer to the indefinite integral.

To finish, the upper and lower limits must be substituted and subtracted: \(\int_{1}^{3} 2x\,dx = \left[x^{2}\right]_{1}^{3} = 9 - 1 = 8\).

Any constant \(C\) would cancel in this subtraction.

10 It is given that \(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sin x\,dx = 0\). Explain why the regions enclosed by the curve \(y = \sin x\) and the \(x\)-axis for \(0 \leq x \leq 2\pi\) do not have total area \(0\), and find that total area.

\(\sin x \geq 0\) for \(0 \leq x \leq \pi\) and \(\sin x \leq 0\) for \(\pi \leq x \leq 2\pi\), so the two parts cancel in the integral

\[A = \int_{0}^{\pi} \sin x\,dx - \int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx = \Bigl[-\cos x\Bigr]_{0}^{\pi} - \Bigl[-\cos x\Bigr]_{\pi}^{2\pi}\]

\[= 2 - (-2) = 4\]

\(x = \pi\) で符号が変わります（第 5 節）。

検算（それぞれの値）。 \(\Bigl[-\cos x\Bigr]_{0}^{\pi} = 1 + 1 = 2\)、\(\Bigl[-\cos x\Bigr]_{\pi}^{2\pi} = -1 - 1 = -2\) ✓ 足すと \(0\) になります。

検算（対称性）。 \(2\) つの部分は形が同じなので、面積も同じです ✓

検算（大きさ）。 幅は \(2\pi\)、およそ \(6.28\) で、高さは最大 \(1\) です。だから面積は \(6.28\) より小さくなります ✓ \(4\) はその範囲にあります。

試験ではこう書く

The value of the integral is zero because the curve is above the axis for \(0 \leq x \leq \pi\) and below it for \(\pi \leq x \leq 2\pi\), so the positive and negative contributions cancel exactly.

An area counts both regions as positive, so the interval must be split at \(x = \pi\) and a minus sign written in front of the second integral.

This gives \(A = \int_{0}^{\pi} \sin x\,dx - \int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx = 2 + 2 = 4\).