SL 3.8 — Solving trigonometric equations（三角方程式を解く）

ノートWhat you should be able to do
  • 区間が指定された三角方程式を、その区間の中ですべて解ける。
  • \(\sin\)・\(\cos\) ではもう \(1\) つの解の出し方が、\(\tan\) ではくり返しの幅が言える。
  • 中身が \(bx\) や \(b(x+c)\) のとき、中身の区間に直してから解ける。
  • \(\sin\) や \(\cos\) の \(2\) 次式になる方程式を解ける。
  • 両辺を割ってはいけない場面が分かる。

The idea

1. Solutions in an interval（指定された区間の中の解）

trigonometric equation（三角方程式）では、三角関数が同じ値を周期的にくり返します。たとえば

\[ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

は \(x = \dfrac{\pi}{4}\) で成り立ち、この角に \(2\pi\) を何回足しても成り立ちます。

この単元では、指定された区間にある解をすべて求めます。 だから問題文は、必ず区間を指定します。「\(0 \le x \le 2\pi\)」「\(-\pi \le x \le 3\pi\)」のような形です。答えるのは、その区間の中の解だけです。

\(x = \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\) のような general solution（一般解）の形は、SL では求められません。 区間の中の解を、\(1\) つずつ書き並べます。

2. Solving the basic equations（基本の形の解き方）

三角方程式は、まず \(\sin x = k\)、\(\cos x = k\)、\(\tan x = k\) のように、\(\sin\)・\(\cos\)・\(\tan\) がどんな値になるかが分かる形にします。\(k\) は右辺の数です。

まず、\(\sin\)・\(\cos\) では \(-1 \le k \le 1\) を確かめます。 この範囲を外れる場合、実数の解はありません。

\(\sin\)・\(\cos\) で \(0 < \lvert k \rvert < 1\)、\(\tan\) で \(k \ne 0\) の場合は、reference angle（参照角）\(\alpha\) を求めます（SL 3.5）。

\[ \begin{aligned} \sin x = k &: \quad \alpha = \sin^{-1}\lvert k \rvert, \\ \cos x = k &: \quad \alpha = \cos^{-1}\lvert k \rvert, \\ \tan x = k &: \quad \alpha = \tan^{-1}\lvert k \rvert. \end{aligned} \]

参照角は \(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}\) の角です。\(x\) 軸と半径とのなす鋭角なので、いつも第 \(1\) 象限の角です。符号から、解のある象限を判断します。

\(k = 0\)、または \(\sin\)・\(\cos\) で \(k = \pm 1\) の場合は、単位円の軸の上の点から直接求めます。

\(\alpha\) の出し方は \(2\) とおりです。 \(\lvert k \rvert\) が正確な値の表（SL 3.5）にある値なら、表から読みます。そうでなければ、\(\sin^{-1}\)・\(\cos^{-1}\)・\(\tan^{-1}\) を使って電卓で出します（SL 3.2）。特別な角のときだけの話ではありません。

そのあとで、単位円に、符号を込みにした \(k\) の線を引きます。 \(k\) が負なら、線を引く位置が変わります。線と円の交点が、求める角のある場所です。

単位円の上では、\(3\) つはこう読みます。

\(\sin\theta\) は、単位円上の点の \(y\) 座標です。\(\sin\theta = k\) は、横線 \(y = k\) と単位円の交点から読み取れます（図 1）。\(\lvert k \rvert < 1\) なら交点は \(2\) つで、\(y\) 軸について対称です。\(\lvert k \rvert = 1\) なら \(1\) つ、\(\lvert k \rvert > 1\) なら交点はありません。

図 1: \(\sin\theta = k\) を、単位円の上で見ます。

\(\cos\theta\) は、単位円上の点の \(x\) 座標です。\(\cos\theta = k\) は、縦線 \(x = k\) と単位円の交点から読み取れます（図 2）。\(\lvert k \rvert < 1\) なら交点は \(2\) つで、\(x\) 軸について対称です。\(\lvert k \rvert = 1\) なら \(1\) つ、\(\lvert k \rvert > 1\) なら交点はありません。

図 2: \(\cos\theta = k\) を、単位円の上で見ます。

\(\tan\theta\) は、半径をのばした直線が、\((1, 0)\) での tangent（接線）と交わる点の高さです。\(\tan x = k\) なら、接線の上の高さ \(k\) の点と原点を結んで、その直線と円との交点を見ます（図 3）。交点は \(2\) つで、原点について対称です。

図 3: \(\tan\theta = k\) は、\((1,0)\) での接線の上で読みます。

どの図でも、\(\alpha\) は \(x\) 軸と、交点へ向かう半径とのなす鋭角です。\(2\) つの交点のどちらから測っても、同じ \(\alpha\) になります。

\(\alpha\) そのものが解とはかぎりません。 解は、円のどの交点かで決まります。図で交点が第何象限にあるかを見て、そこから角を書きます。

区間が \(-\pi \le \theta \le \pi\) のときは、円の下半分を負で読みます。 上半分は反時計回りに \(0\) から \(\pi\) まで、下半分は時計回りに \(0\) から \(-\pi\) までです。同じ交点でも、\(\dfrac{4\pi}{3}\) は \(-\dfrac{2\pi}{3}\)、\(\dfrac{7\pi}{4}\) は \(-\dfrac{\pi}{4}\) と書きます。\(0 \le \theta \le 2\pi\) で出した角のうち、\(\pi\) より大きいものから \(2\pi\) を引けば、この区間の書き方になります。

\(\tan\) だけは \(1\) 周期に \(1\) つです。\(\tan\) の period が \(\pi\) だからです（SL 3.7a）。\(0 \le \theta \le 2\pi\) に \(2\) つ入るのは、\(\pi\) ごとのくり返しが \(2\) 回入っているからです。

3. Finding all solutions in the interval（区間の中の解をすべて拾う）

\(2\) つ出したら、くり返しの幅を足したり引いたりして、区間の中に入るものをすべて集めます。

  1. 参照角 \(\alpha\) を出し、\(0 \le x \le 2\pi\) の \(2\) つの解を書く（第 2 節）。
  2. それぞれに \(2\pi\)（\(\tan\) なら \(\pi\)）を足していく。区間を出たら止める。
  3. 同じように引いていく。区間を出たら止める。
  4. 小さい順に並べて答える。

この手順で、\(1\) つやってみます。 \(0 \le x \le 4\pi\) で \(\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) を解きます。

手順1。 単位円に縦線 \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) を引きます。 \(\lvert k \rvert = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) なので、参照角は \(\alpha = \dfrac{\pi}{4}\) です。交点は \(2\) つで、\(x\) 軸について対称です。\(k > 0\) なので、解は \(\alpha = \dfrac{\pi}{4}\) と \(2\pi - \alpha = \dfrac{7\pi}{4}\) です（第 2 節）。

手順2。 それぞれに \(2\pi\) を足します。

\[ \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}, \qquad \frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{15\pi}{4} \]

もう \(1\) 回足すと \(\dfrac{17\pi}{4}\) と \(\dfrac{23\pi}{4}\) になります。\(\dfrac{17}{4}\) も \(\dfrac{23}{4}\) も \(4\) より大きいので、どちらも \(4\pi\) を超えます。ここで止めます。

手順3。 引くと \(\dfrac{\pi}{4} - 2\pi\) は負になります。こちらも止めます。

手順4。 小さい順に並べて

\[ x = \frac{\pi}{4}, \ \frac{7\pi}{4}, \ \frac{9\pi}{4}, \ \frac{15\pi}{4} \]

検算。 この例では、各区間 \(0 \le x < 2\pi\)、\(2\pi \le x < 4\pi\) に解が \(2\) つずつあります。端点 \(x = 4\pi\) は解ではないので、合計 \(4\) つ ✓ 個数が合いました。

解の個数を確かめるときは、区間の端点も元の式に代入してください。 たとえば \(0 \le x \le 2\pi\) で \(\sin x = 0\) の解は、\(0\)、\(\pi\)、\(2\pi\) の \(3\) つです。

グラフでも数えられます。 図 4 のように、\(y = \sin x\) と \(y = k\) をかいて、交点の数を見ます。数が合っているかの確かめに便利です。

図 4: 直線 \(y = k\) と曲線が交わるところです。
警告\(\lvert k \rvert > 1\) なら解はありません

\(\sin x = 1.5\) や \(\cos x = -2\) には解がありません。\(\sin\) と \(\cos\) の値は \(-1\) 以上 \(1\) 以下だからです（SL 3.7a）。

そこで止めて、「解なし」と書きます。 \(\tan\) にはこの制限がありません。

例題 1 Consider the equation \(2\sin x = 1\).

(a) Show that \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).

(b) Find all solutions in the interval \(0 \le x \le 2\pi\).

(c) Find all solutions in the interval \(0 \le x \le 4\pi\).

(d) Explain why the longer interval contains twice as many solutions.

(a) Show that なので、過程を書きます。 両辺を \(2\) で割ります。

\[ 2\sin x = 1 \ \Rightarrow \ \sin x = \frac{1}{2} \]

(b) \(\lvert k \rvert = \dfrac{1}{2}\) なので、参照角は \(\alpha = \dfrac{\pi}{6}\) です（SL 3.5）。\(k > 0\) なので、解は \(\alpha\) と \(\pi - \alpha\) です（第 2 節）。

\[ x = \frac{\pi}{6}, \qquad x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \]

どちらも区間の中なので、これで全部です。

(c) それぞれに \(2\pi\) を足します（第 3 節）。

\[ \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}, \qquad \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \]

\(\dfrac{17\pi}{6} < 4\pi\) なので、どちらも区間の中です。次はもう \(4\pi\) を超えます。

\[ x = \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6} \]

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

The function \(\sin\) repeats every \(2\pi\), so the solutions of \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) repeat with the same spacing.

The interval \(0 \le x \le 4\pi\) is exactly two of these repeats, while \(0 \le x \le 2\pi\) is one.

Each repeat contributes the same two solutions, so the longer interval contains twice as many.

（\(\sin\) は \(2\pi\) ごとにくり返すので、\(\sin x = \dfrac{1}{2}\) の解も同じ間隔でくり返す。区間 \(0 \le x \le 4\pi\) はそのくり返しちょうど \(2\) つぶんで、\(0 \le x \le 2\pi\) は \(1\) つぶんである。どのくり返しにも同じ \(2\) つの解が入るので、長いほうの区間には \(2\) 倍の解がある、という意味です。）

検算（(b) について）。 値を入れます。 \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\)、\(\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\) ✓ どちらも \(2\sin x = 1\) をみたします。

検算（(b) について、個数）。 グラフで数えます。 \(y = \sin x\) と \(y = \dfrac{1}{2}\) は、\(0\) から \(2\pi\) で \(2\) 回交わります（図 4）✓

検算（(c) について）。 範囲を見ます。 \(\dfrac{17\pi}{6} \approx 2.83\pi\) で \(4\pi\) より小さく、次の \(\dfrac{25\pi}{6} \approx 4.17\pi\) は超えます ✓ だから \(4\) つで全部です。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[2\sin x = 1 \ \Rightarrow \ \sin x = \frac{1}{2}\]

(b) \(\alpha = \dfrac{\pi}{6}\), and \(\pi - \alpha = \dfrac{5\pi}{6}\) \[x = \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\]

(c) add \(2\pi\) to each \[x = \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{13\pi}{6}, \ \frac{17\pi}{6}\]

(d) \(\sin\) repeats every \(2\pi\), and \(0 \le x \le 4\pi\) is two such repeats.

4. Equations with a transformed angle（中身が変わっているとき）

角が \(2x\) や \(b(x-c)\) のときは、次の \(3\) つの手順で解きます。

  1. \(u = 2x\) などと置き、\(x\) の区間を \(u\) の区間に変換する。
  2. その区間で、\(u\) の解をすべて求める。
  3. \(u = 2x\) などにもどして、\(x\) を求める。

たとえば、\(0 \le x \le \pi\) で \(u = 2x\) なら、\(0 \le u \le 2\pi\) です。

この手順で、\(1\) つやってみます。 \(0 \le x \le \pi\) で \(\sin 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) を解きます。

手順1。 中身の区間は \(0 \le 2x \le 2\pi\) です。

手順2。 その区間で \(\sin(\text{中身}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) となる中身は

\[ 2x = \frac{\pi}{3}, \qquad 2x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \]

\(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi\) は \(2\pi\) を超えるので、これで全部です。

手順3。 \(2\) で割して \(x\) にもどします。

\[ x = \frac{\pi}{6}, \qquad x = \frac{\pi}{3} \]

検算。 \(\sin\left(2 \times \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ✓ \(\sin\left(2 \times \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ✓

中身の区間を変換しないと、解を見落とすことがあります。 たとえば、\(0 \le x \le 2\pi\) で

\[ \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

を解く場合、中身の区間は \(0 \le 2x \le 4\pi\) です。

\[ 2x = \frac{\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{7\pi}{3}, \ \frac{8\pi}{3} \]

よって

\[ x = \frac{\pi}{6}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{7\pi}{6}, \ \frac{4\pi}{3} \]

です。中身の区間を \(0 \le 2x \le 2\pi\) のままにすると、後半の \(2\) つを見落とします。

\(b(x+c)\) の形でも同じです。\(0 \le x \le 2\pi\) で中身が \(2\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)\) なら、中身は \(-\dfrac{\pi}{2}\) から \(\dfrac{7\pi}{2}\) まで動きます。

例題 2 Consider the equation \(\tan 3x = 1\) for \(0 \le x \le \pi\).

(a) Write down the interval for \(3x\).

(b) Find all values of \(3x\) in that interval for which \(\tan 3x = 1\).

(c) Hence find all solutions for \(x\).

(d) Explain why there are three solutions rather than one.

(a) 区間全体を \(3\) 倍します（第 4 節）。

\[ 0 \le 3x \le 3\pi \]

(b) 参照角は \(\dfrac{\pi}{4}\) で、\(k > 0\) なのでこれが解の \(1\) つです（SL 3.5）。\(\tan\) のくり返しの幅は \(\pi\) なので、\(\pi\) ずつ足していきます。

\[ 3x = \frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4} \]

次は \(\dfrac{13\pi}{4} > 3\pi\) なので、ここで止めます。

(c) \(3\) で割ります。

\[ x = \frac{\pi}{12},\ \frac{5\pi}{12},\ \frac{3\pi}{4} \]

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

As \(x\) runs over an interval of length \(\pi\), the inside \(3x\) runs over an interval of length \(3\pi\).

The solutions of \(\tan\theta = 1\) occur once every \(\pi\), so an interval of length \(3\pi\) contains three of them.

Dividing each by \(3\) gives three values of \(x\), three times as many as the one that an interval of length \(\pi\) in the inside would give.

（\(x\) が長さ \(\pi\) の区間を動くと、中身 \(3x\) は長さ \(3\pi\) の区間を動く。\(\tan\theta = 1\) の解は \(\pi\) ごとに \(1\) つずつ現れるので、長さ \(3\pi\) の区間には \(3\) つ入る。それぞれを \(3\) で割ると \(x\) の値が \(3\) つ出る。中身の区間が長さ \(\pi\) なら \(1\) つなので、その \(3\) 倍である、という意味です。）

検算（(b) について）。 別の値で入れ直します。 \(3x = \dfrac{9\pi}{4}\) は \(2\pi\) を引くと \(\dfrac{\pi}{4}\) で、第 \(1\) 象限、参照角は \(\dfrac{\pi}{4}\) です。第 \(1\) 象限の \(\tan\) は正なので \(\tan\dfrac{9\pi}{4} = 1\) ✓ 個数も、長さ \(3\pi\) の区間に \(\pi\) ごとで \(3\) つと合っています。

検算（(c) について）。 値を入れます。 \(x = \dfrac{5\pi}{12}\) なら \(3x = \dfrac{5\pi}{4}\) で、\(\tan\dfrac{5\pi}{4} = \tan\dfrac{\pi}{4} = 1\) ✓

検算（(c) について、間隔）。 \(x\) の側でも見ます。 \(x\) の \(3\) つの値は \(\dfrac{\pi}{3}\) ずつ離れています ✓ \(\tan 3x\) の period は \(\dfrac{\pi}{3}\) なので（SL 3.7b）、合っています。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[0 \le 3x \le 3\pi\]

(b) \(\tan\dfrac{\pi}{4} = 1\), then add \(\pi\) each time \[3x = \frac{\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}, \ \frac{9\pi}{4}\]

(c) \[x = \frac{\pi}{12}, \ \frac{5\pi}{12}, \ \frac{3\pi}{4}\]

(d) The inside runs over \(3\pi\), and \(\tan\) gives one solution every \(\pi\).

5. Quadratic equations in \(\sin x\) or \(\cos x\)（\(2\) 次式になるとき）

\(\sin x\) や \(\cos x\) の \(2\) 次式になることがあります。そのときは

  1. \(1\) 種類の比だけの式にする（SL 3.6 の \(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1\) を使います）。
  2. \(\sin x = s\) のように置きかえて、\(2\) 次方程式として解く（SL 2.7）。
  3. 出た値が \(-1\) 以上 \(1\) 以下か確かめる。 外れていたら、その値は捨てます。
  4. 残った値ごとに、第 2 節と第 3 節で \(x\) を出す。

この手順で、\(1\) つやってみます。 \(0 \le x \le 2\pi\) で \(2\sin^{2}x - 5\cos x - 4 = 0\) を解きます。

手順1。 \(\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x\) を入れて、\(\cos\) だけの式にします。

\[ 2\left(1 - \cos^{2}x\right) - 5\cos x - 4 = 0 \ \Longrightarrow \ 2\cos^{2}x + 5\cos x + 2 = 0 \]

手順2。 \(c = \cos x\) とおくと \(2c^{2} + 5c + 2 = 0\) で、\((2c+1)(c+2) = 0\) から

\[ c = -\frac{1}{2} \qquad \text{または} \qquad c = -2 \]

手順3。 \(c = -2\) は \(-1 \le c \le 1\) を外れるので不適です。残るのは \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) だけです。

手順4。 \(0 \le x \le 2\pi\) で \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) を解いて

\[ x = \frac{2\pi}{3}, \qquad x = \frac{4\pi}{3} \]

検算。 \(x = \dfrac{2\pi}{3}\) を左辺に入れると \(2\left(\dfrac{3}{4}\right) - 5\left(-\dfrac{1}{2}\right) - 4 = \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2} - 4 = 0\) ✓ \(x = \dfrac{4\pi}{3}\) でも \(\sin^{2}x\) と \(\cos x\) は同じ値なので \(0\) です ✓

捨てる作業を書き残してください。 答案には英語で、「\(\sin x = 2\): no solution since \(-1 \le \sin x \le 1\)」と一言あると、確かめたことが伝わります。

例題 3 Consider the equation \(2\sin^{2}x + 5\cos x + 1 = 0\).

(a) Show that \(2\cos^{2}x - 5\cos x - 3 = 0\).

(b) Find the possible values of \(\cos x\).

(c) Find all solutions in the interval \(0 \le x \le 4\pi\).

(d) Explain why one of the values found in part (b) gives no solutions.

(a) Show that なので、過程を書きます。 \(\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x\) を使います（SL 3.6）。

\[ 2(1 - \cos^{2}x) + 5\cos x + 1 = 0 \]

\[ -2\cos^{2}x + 5\cos x + 3 = 0 \]

両辺に \(-1\) をかけます。

\[ 2\cos^{2}x - 5\cos x - 3 = 0 \]

(b) \(\cos x = c\) と置いて因数分解します（第 5 節）。

\[ 2c^{2} - 5c - 3 = (2c + 1)(c - 3) = 0 \]

\[ \cos x = -\frac{1}{2} \quad \text{または} \quad \cos x = 3 \]

\(\cos x = 3\) は不適です（(d) で理由を書きます）。

(c) \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) を解きます。\(\lvert k \rvert = \dfrac{1}{2}\) なので、参照角は \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) です。\(k < 0\) なので、解は \(\pi - \alpha = \dfrac{2\pi}{3}\) と \(\pi + \alpha = \dfrac{4\pi}{3}\) です（第 2 節）。

それぞれに \(2\pi\) を足します。

\[ \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}, \qquad \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} \]

\(\dfrac{10\pi}{3} < 4\pi\) なので、どれも区間の中です。

\[ x = \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3},\ \frac{10\pi}{3} \]

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

The value \(\cos x\) is the \(x\)-coordinate of a point on the unit circle, so it always satisfies \(-1 \le \cos x \le 1\).

The second root of the quadratic is \(\cos x = 3\), and \(3 > 1\), so no angle has this cosine.

That root is therefore rejected and contributes no solutions.

（\(\cos x\) は単位円上の点の \(x\) 座標なので、つねに \(-1 \le \cos x \le 1\) をみたす。\(2\) 次方程式のもう \(1\) つの根は \(\cos x = 3\) で、\(3 > 1\) だから、この余弦をもつ角はない。よってこの根は捨てられ、解を与えない、という意味です。）

検算（(a)(b) について）。 もとの式に戻します。 \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) なら \(\sin^{2}x = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\) です。もとの式に入れると \(2 \times \dfrac{3}{4} + 5 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 = \dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{2} + 1 = 0\) ✓

検算（(b) について）。 展開して確かめます。 \((2c+1)(c-3) = 2c^{2} - 6c + c - 3 = 2c^{2} - 5c - 3\) ✓

検算（(c) について）。 個数で見ます。 \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) は \(1\) 周期に \(2\) つ、区間は \(2\) 周期ぶんなので \(4\) つのはずです ✓ 次の候補 \(\dfrac{14\pi}{3}\) は \(4\pi\) を超えます。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x\) \[2(1-\cos^{2}x) + 5\cos x + 1 = 0 \ \Rightarrow \ 2\cos^{2}x - 5\cos x - 3 = 0\]

(b) \((2\cos x + 1)(\cos x - 3) = 0\) \[\cos x = -\frac{1}{2} \quad (\cos x = 3 \text{ is rejected})\]

(c) \[x = \frac{2\pi}{3}, \ \frac{4\pi}{3}, \ \frac{8\pi}{3}, \ \frac{10\pi}{3}\]

(d) \(-1 \le \cos x \le 1\) for every \(x\), and \(3 > 1\).

6. Using double angle identities（倍角公式を使って因数分解する）

\(\sin 2x = \sin x\) のように \(2\) 倍角が混ざっているときは、\(2\) 倍角で開いてから因数分解します（SL 3.6）。

\[ \sin 2x = 2\sin x\cos x \]

を使うと、両辺に \(\sin x\) が出てきます。ここが要注意です。

警告共通因数で割る前に、その因数が \(0\) になる場合を確かめます

\(\sin 2x = \sin x\) に倍角公式を使うと

\[ 2\sin x\cos x - \sin x = 0 \]

したがって

\[ \sin x(2\cos x - 1) = 0 \]

です。よって \(\sin x = 0\) または \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) で、それぞれを指定された区間で解きます。

\(\sin x\) でそのまま割ると、\(\sin x = 0\) の解を失います。 \(\cos x\) が共通因数になるときも同じです。

例題 4 Consider the equation \(\sin 2x = \cos x\) for \(0 \le x \le 2\pi\).

(a) Show that \(\cos x(2\sin x - 1) = 0\).

(b) Find the solutions that come from \(\cos x = 0\).

(c) Find the solutions that come from \(2\sin x - 1 = 0\).

(d) Explain why dividing both sides of the original equation by \(\cos x\) would lose solutions.

(a) Show that なので、過程を書きます。 \(2\) 倍角で開きます（SL 3.6）。

\[ 2\sin x\cos x = \cos x \]

割らずに移項します（第 6 節）。

\[ 2\sin x\cos x - \cos x = 0 \ \Rightarrow \ \cos x(2\sin x - 1) = 0 \]

(b) \(\cos x = 0\) になるのは、単位円の点が \(y\) 軸の上にあるときです。

\[ x = \frac{\pi}{2}, \qquad x = \frac{3\pi}{2} \]

(c) \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) です。参照角は \(\dfrac{\pi}{6}\) で、\(k > 0\) なので解は \(\dfrac{\pi}{6}\) と \(\pi - \dfrac{\pi}{6}\) です。

\[ x = \frac{\pi}{6}, \qquad x = \frac{5\pi}{6} \]

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

Dividing by \(\cos x\) is only allowed when \(\cos x \neq 0\).

At \(x = \dfrac{\pi}{2}\) and \(x = \dfrac{3\pi}{2}\) both sides of the original equation are \(0\), so these are solutions, but they make the divisor \(0\).

The divided equation \(2\sin x = 1\) says nothing about them, so those two solutions would be lost.

Factorising keeps the case \(\cos x = 0\) as one of the factors.

（\(\cos x\) で割ってよいのは \(\cos x \neq 0\) のときだけである。\(x = \dfrac{\pi}{2}\) と \(x = \dfrac{3\pi}{2}\) ではもとの方程式の両辺が \(0\) になるのでこれらは解だが、同時に割る数が \(0\) になる。割ったあとの式 \(2\sin x = 1\) は、これらについて何も言っていないので、\(2\) つの解が失われる。因数分解すれば、\(\cos x = 0\) の場合が因数として残る、という意味です。）

検算（(a) について）。 展開して戻します。 \(\cos x(2\sin x - 1) = 2\sin x\cos x - \cos x\) ✓ もとの形にもどりました。

検算（(b) について）。 もとの式に入れます。 \(x = \dfrac{\pi}{2}\) なら左辺は \(\sin\pi = 0\)、右辺は \(\cos\dfrac{\pi}{2} = 0\) ✓

検算（(c) について）。 もとの式に入れます。 \(x = \dfrac{\pi}{6}\) なら左辺は \(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)、右辺は \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ✓

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) \[2\sin x\cos x - \cos x = 0 \ \Rightarrow \ \cos x(2\sin x - 1) = 0\]

(b) \[x = \frac{\pi}{2}, \ \frac{3\pi}{2}\]

(c) \[x = \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\]

(d) At \(x = \dfrac{\pi}{2}\) and \(\dfrac{3\pi}{2}\) the divisor \(\cos x\) is \(0\), and those are solutions of the original equation.

7. Writing the answer（答案の書き方）

三角方程式の答案では、次の \(4\) つに気をつけます。

  • 区間を書き写してから始めます。 中身が変わっているなら、中身の区間も書きます。
  • 解はすべて、小さい順に書きます。
  • exact と指定されたら、近似小数にせず、正確な値で答えます。 たとえば \(\dfrac{\pi}{6}\) を \(0.524\) に置きかえません。\(0\) も正確な値です。
  • 捨てた候補も、理由をひとこと書きます。

TI-Nspire の Graphs 画面に、左辺と右辺を f1(x) と f2(x) として入れ、menu → Analyze Graph → Intersection で交点を出します。下限と上限を指定するので、指定された区間に合わせてください。

交点は \(1\) つずつ出ます。 区間の中に何個あるかは、グラフを見て自分で数えます。

TI-Nspire CX II に solve( はありません。 \(2\) 次式になるときは menu → Algebra → Polynomial Tools → Find Roots of Polynomial が使えます。

Paper 1 では使えません。 このページの例題と演習は、すべて手で解ける形にしてあります。

Why it works

なぜ、解が \(2\) つずつ出るのでしょうか。 \(\sin x = k\) を単位円で見ると、\(y\) 座標が \(k\) の点を探すことになります。\(-1 < k < 1\) なら、横に引いた線は円と \(2\) 点で交わります。

その \(2\) 点は \(y\) 軸について対称なので、\(k > 0\) なら角は \(\alpha\) と \(\pi - \alpha\) です（SL 3.5）。\(k < 0\) なら \(2\) 点は下半分にあって、\(\pi + \alpha\) と \(2\pi - \alpha\) です。\(\cos x = k\) なら \(x\) 軸について対称で、\(k > 0\) なら \(\alpha\) と \(2\pi - \alpha\)、\(k < 0\) なら \(\pi - \alpha\) と \(\pi + \alpha\) です。

\(k = \pm 1\) のときだけ、\(2\) 点が重なって \(1\) つになります。

なぜ、\(\tan\) は \(1\) 周期に \(1\) つなのでしょうか。 \(\tan x = k\) は、原点を通る gradient（傾き） \(k\) の直線を考えることに当たります（SL 3.5）。直線は単位円と \(2\) 点で交わりますが、その \(2\) 点は原点について対称で、\(\pi\) だけ離れています。\(k > 0\) なら角は \(\alpha\) と \(\alpha + \pi\) です。

\(\alpha + \pi\) は、\(\tan\) の period \(\pi\) を足しただけなので、「もう \(1\) つの解」ではなく「次のくり返し」です。だから \(\tan\) では、\(\pi\) ごとに \(1\) つずつ並びます。

なぜ、中身の区間を広げるのでしょうか。 \(x\) が長さ \(L\) の区間を動くとき、\(2x\) は長さ \(2L\) の区間を動きます。置換後の角が動く範囲が広がるので、もとの範囲だけで探すと解を落とします。

\(x\) の区間のまま中身を見ると、後半を見ないことになり、そのぶんの解を落とします。

解の個数が \(2\) 倍になるとはかぎりません。 \(0 \leq x \leq 2\pi\) で \(\sin x = 0\) の解は \(x = 0\)、\(\pi\)、\(2\pi\) の \(3\) つ、\(\sin 2x = 0\) の解は \(x = 0\)、\(\dfrac{\pi}{2}\)、\(\pi\)、\(\dfrac{3\pi}{2}\)、\(2\pi\) の \(5\) つです。端点を数えるかどうかで個数が変わります。 倍率で決めずに、変換後の範囲で一つずつ並べて、端点を確かめてください。

なぜ、共通因数で割ってはいけないのでしょうか。 割り算ができるのは、割る数が \(0\) でないときだけです。\(\sin x = 0\) となる \(x\) がある以上、\(\sin x\) で割った式はその \(x\) については何も言っていません。

もとの式で \(\sin x = 0\) を入れると、\(2\sin x\cos x = \sin x\) の両辺が \(0\) になって成り立ちます。割ると、この解が消えてしまいます。 因数分解なら、\(\sin x = 0\) の場合が「もう一方の因数」として残ります。

Common errors

警告解を \(1\) つで止める

\(\sin\) と \(\cos\) は、\(1\) 周期に\(2\) つあるのがふつうです（第 2 節）。

警告区間の外の解を書く

指定された区間の中だけを答えます（第 1 節）。書く前に、\(1\) つずつ範囲を確かめてください。

警告中身の区間を広げ忘れる

\(\sin 2x\) なら、区間も \(2\) 倍にしてから解きます（第 4 節）。忘れると解が半分になります。

警告共通因数で両辺を割る

その因数が \(0\) になる解が消えます（第 6 節）。移項して因数分解してください。

警告\(\lvert k \rvert > 1\) でも続ける

\(\sin x = 1.5\) には解がありません（第 3 節）。そこで止めます。

警告捨てた候補を書かない

「\(\cos x = 3\): no solution since \(-1 \le \cos x \le 1\)」の一言があると、確かめたことが伝わります（第 5 節）。

Exercises

1 Solve \(2\cos x = 1\) for \(0 \le x \le 2\pi\).

\[\cos x = \frac{1}{2}\]

\[x = \frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{3}\]

参照角は \(\dfrac{\pi}{3}\) で、\(k > 0\) なので \(\cos\) の解は \(\dfrac{\pi}{3}\) と \(2\pi - \dfrac{\pi}{3}\) です（第 2 節）。

検算。 値を入れます。 \(\cos\dfrac{5\pi}{3} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) ✓ \(x\) 軸について対称な \(2\) 点です。

\(\pi - \dfrac{\pi}{3}\) としないでください。 それは \(\sin\) のときの折り返しです。

2 Solve \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\) for \(0 \le x \le 2\pi\).

\[x = \frac{7\pi}{6}, \ \frac{11\pi}{6}\]

\(\sin x\) が負なので、解は第 \(3\) 象限と第 \(4\) 象限にあります（SL 3.5）。参照角は \(\dfrac{\pi}{6}\) で、\(\pi + \dfrac{\pi}{6}\) と \(2\pi - \dfrac{\pi}{6}\) です。

検算。 値を入れます。 \(\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}\)、\(\sin\dfrac{11\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}\) ✓

\(-\dfrac{\pi}{6}\) で止めないでください。 区間が \(0 \le x \le 2\pi\) です。

3 Solve \(\tan x = 1\) for \(-\pi \le x \le 2\pi\).

\[x = -\frac{3\pi}{4}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{5\pi}{4}\]

\(\tan\) は \(\pi\) ごとに \(1\) つです（第 2 節）。参照角 \(\dfrac{\pi}{4}\) から、足すだけでなく引きます（第 3 節）。足すと \(\dfrac{5\pi}{4}\) で、次の \(\dfrac{9\pi}{4}\) は \(2\pi\) を超えます。引くと \(-\dfrac{3\pi}{4}\) で、次の \(-\dfrac{7\pi}{4}\) は \(-\pi\) より小さくなります。

検算。 符号で見ます。 \(\tan\) が正になるのは第 \(1\) 象限と第 \(3\) 象限です。\(\dfrac{\pi}{4}\) は第 \(1\) 象限、\(\dfrac{5\pi}{4}\) と \(-\dfrac{3\pi}{4}\) は第 \(3\) 象限です ✓

引くほうを忘れないでください。 区間が \(0\) より小さいところまでのびています。

4 Solve \(\sin\left(2\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\right) = \dfrac{1}{2}\) for \(0 \le x \le 2\pi\).

let \(\theta = 2\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\)

\[\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{9\pi}{2}\]

\[\theta = \frac{5\pi}{6}, \ \frac{13\pi}{6}, \ \frac{17\pi}{6}, \ \frac{25\pi}{6}\]

\[x = \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{7\pi}{6}, \ \frac{11\pi}{6}\]

中身の区間は、\(x = 0\) で \(\dfrac{\pi}{2}\)、\(x = 2\pi\) で \(\dfrac{9\pi}{2}\) です（第 4 節）。始まりが \(0\) ではありません。

\(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\) の解 \(\dfrac{\pi}{6}\) は、この区間に入っていません。\(2\pi\) を足した \(\dfrac{13\pi}{6}\) から先が使えます。もう \(1\) つの \(\dfrac{5\pi}{6}\) は入っています。\(x\) にもどすときは \(x = \dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\pi}{4}\) です。

検算。 もとの式に入れます。 \(x = \dfrac{\pi}{6}\) なら中身は \(2\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{5\pi}{6}\) で、\(\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\) ✓

中身の区間の下端を確かめてください。 \(0\) から始まると思いこむと、区間の外の値を拾ってしまいます。

5 Solve \(2\sin^{2}x - \sin x = 0\) for \(0 \le x \le 2\pi\).

\[\sin x(2\sin x - 1) = 0\]

\[\sin x = 0 \ \Rightarrow \ x = 0, \ \pi, \ 2\pi\]

\[\sin x = \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x = \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\]

\[x = 0, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \pi, \ 2\pi\]

共通因数 \(\sin x\) でくくります。 ここでも割ってはいけません（第 6 節）。割ると \(\sin x = 0\) の解が消えます。

検算。 個数で見ます。 \(\sin x = 0\) から \(3\) つ、\(\sin x = \dfrac{1}{2}\) から \(2\) つで、合わせて \(5\) つです ✓ 端の \(0\) と \(2\pi\) も区間に入っています。

小さい順に並べてください。 ばらばらに書くと、見落としに気づきにくくなります。

6 Solve \(2\cos^{2}x - \cos x - 1 = 0\) for \(0 \le x \le 2\pi\).

\[(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0\]

\[\cos x = -\frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x = \frac{2\pi}{3}, \ \frac{4\pi}{3}\]

\[\cos x = 1 \ \Rightarrow \ x = 0, \ 2\pi\]

\[x = 0, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{4\pi}{3}, \ 2\pi\]

\(\cos x = c\) と置くと \(2c^{2} - c - 1 = 0\) で、\((2c+1)(c-1) = 0\) です（第 5 節）。どちらの値も \(-1\) 以上 \(1\) 以下なので、両方使えます。

検算。 展開して確かめます。 \((2c+1)(c-1) = 2c^{2} - 2c + c - 1 = 2c^{2} - c - 1\) ✓

\(\cos x = 1\) を忘れないでください。 端の \(x = 0\) と \(x = 2\pi\) が解です。

7 Solve \(2\sin^{2}x + 3\cos x = 0\) for \(0 \le x \le 2\pi\).

\[2(1-\cos^{2}x) + 3\cos x = 0 \ \Rightarrow \ 2\cos^{2}x - 3\cos x - 2 = 0\]

\[(2\cos x + 1)(\cos x - 2) = 0\]

\[\cos x = -\frac{1}{2} \quad (\cos x = 2 \text{ is rejected})\]

\[x = \frac{2\pi}{3}, \ \frac{4\pi}{3}\]

まず \(\cos\) だけの式にします（第 5 節）。\(-1\) をかけて \(\cos^{2}x\) の係数を正にしてから因数分解します。

\(\cos x = 2\) は不適です。 \(-1 \le \cos x \le 1\) を外れています。捨てたことを、ひとこと書き残してください。

検算。 もとの式に入れます。 \(x = \dfrac{2\pi}{3}\) なら \(\sin^{2}x = \dfrac{3}{4}\)、\(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) で、\(2 \times \dfrac{3}{4} + 3 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2} = 0\) ✓

符号に気をつけてください。 \(-1\) をかけ忘れると \(-2\cos^{2}x + 3\cos x + 2 = 0\) のままで、因数分解しにくくなります。

8 Explain why the equation \(\sin 3x = \dfrac{1}{2}\) has three times as many solutions in \(0 \le x \le 2\pi\) as the equation \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) has in the same interval.

As \(x\) covers \(0 \le x \le 2\pi\), the inside \(3x\) covers \(0 \le 3x \le 6\pi\), which is three repeats of \(2\pi\) instead of one, and each repeat gives the same two values.

Explain why なので、中身の区間がどうなるかを書きます（第 4 節）。

検算。 数えます。 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) は \(2\) つ、\(\sin 3x = \dfrac{1}{2}\) は中身の区間 \(0 \le 3x \le 6\pi\) に \(6\) つで、\(3\) 倍です ✓

試験ではこう書く

As \(x\) runs over \(0 \le x \le 2\pi\), the inside \(3x\) runs over \(0 \le 3x \le 6\pi\).

The solutions of \(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\) repeat every \(2\pi\), and \(0 \le \theta \le 6\pi\) splits into three such repeats, each contributing the two solutions \(\dfrac{\pi}{6}\) and \(\dfrac{5\pi}{6}\) shifted by a multiple of \(2\pi\).

That gives six values of \(\theta\), and dividing each by \(3\) gives six values of \(x\), three times the two that \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) has.

9 A student solves \(\sin x\cos x = \cos x\) for \(0 \le x \le 2\pi\) by dividing both sides by \(\cos x\), obtaining \(\sin x = 1\) and hence \(x = \dfrac{\pi}{2}\) as the only solution. Identify the error, and write down all the solutions.

Dividing by \(\cos x\) assumes \(\cos x \neq 0\), so it loses the solutions with \(\cos x = 0\).

\[\cos x(\sin x - 1) = 0\]

\[x = \frac{\pi}{2}, \ \frac{3\pi}{2}\]

Identify the error なので、どこが違うのかを名指しします（第 6 節）。\(\cos x = 0\) から \(\dfrac{\pi}{2}\) と \(\dfrac{3\pi}{2}\)、\(\sin x = 1\) から \(\dfrac{\pi}{2}\) が出ます。重なる \(\dfrac{\pi}{2}\) は \(1\) 回だけ書きます。

検算。 もとの式に入れます。 \(x = \dfrac{3\pi}{2}\) なら左辺は \((-1) \times 0 = 0\)、右辺は \(\cos\dfrac{3\pi}{2} = 0\) ✓ たしかに解です。

試験ではこう書く

Dividing both sides by \(\cos x\) is valid only where \(\cos x \neq 0\), so the step throws away any solution with \(\cos x = 0\).

Factorising instead gives \(\cos x(\sin x - 1) = 0\), so either \(\cos x = 0\), giving \(x = \dfrac{\pi}{2}\) and \(x = \dfrac{3\pi}{2}\), or \(\sin x = 1\), giving \(x = \dfrac{\pi}{2}\) again.

The full solution set is \(x = \dfrac{\pi}{2}\) and \(x = \dfrac{3\pi}{2}\).

10 Explain why the equation \(2\sin x = 1\) has no solution in the interval \(\pi \le x \le \dfrac{3\pi}{2}\).

On \(\pi \le x \le \dfrac{3\pi}{2}\) the point is in the third quadrant or on an axis, so \(\sin x \le 0\), while the equation needs \(\sin x = \dfrac{1}{2} > 0\).

Explain why なので、符号を根拠として書きます（SL 3.5）。この区間では \(\sin x\) が正になりません。

検算。 端の値で見ます。 \(\sin\pi = 0\)、\(\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1\) で、区間の中では \(\sin x\) が \(0\) から \(-1\) まで動きます ✓ \(\dfrac{1}{2}\) にはなりません。

試験ではこう書く

The equation is equivalent to \(\sin x = \dfrac{1}{2}\), which requires \(\sin x > 0\).

For \(\pi \le x \le \dfrac{3\pi}{2}\) the point on the unit circle lies in the third quadrant or on the negative \(x\)-axis or the negative \(y\)-axis, so its \(y\)-coordinate satisfies \(\sin x \le 0\).

A non-positive value can never equal \(\dfrac{1}{2}\), so there is no solution in this interval.