SL 3.6 — Trigonometric identities（三角比の恒等式）

ノートWhat you should be able to do
  • Pythagorean identity（ピタゴラスの恒等式）\(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1\) を使える。
  • \(\sin\theta\) から \(\cos\theta\) を（またはその逆を）、象限で符号を決めて求められる。
  • 角を求めずに \(\tan\theta\) を出せる。
  • double angle identities（\(2\) 倍角の公式）\(\sin 2\theta\)、\(\cos 2\theta\) を使える。
  • \(\cos 2\theta\) の \(3\) つの形を、場面に応じて使い分けられる。

The idea

1. Pythagorean identity（ピタゴラスの恒等式）

\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) のあいだには、どんな角でも成り立つ関係が \(1\) つあります。単位円から出てきます。

図 1: \(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1\) のもとになる三角形です。

単位円の上の点は \((\cos\theta,\ \sin\theta)\) で、円の式は \(x^{2}+y^{2}=1\) でした（SL 3.5）。そのまま代入すると

\[ \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1 \tag{1}\]

になります。図 1 を見てください。

重要

公式集の 3.6 の欄に Pythagorean identity として印刷されています。

\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)

これは identity（恒等式）です。どんな \(\theta\) でも成り立つ、という意味で、解くべき方程式ではありません。

書き方の約束です。 \(\cos^{2}\theta\) は \((\cos\theta)^{2}\) のことです。\(\cos(\theta^{2})\) ではありません。

2. Finding one ratio from the other（一方の値からもう一方を求める）

\(\sin\theta\) が分かれば \(\cos\theta\) が、\(\cos\theta\) が分かれば \(\sin\theta\) が求められます。式 1 を移項すると

\[ \cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta, \qquad \sin^{2}\theta = 1 - \cos^{2}\theta \tag{2}\]

です。ここから \(\cos\theta\) を出すには平方根を取りますが、\(\pm\) のどちらかは、象限を見て決めます（SL 3.5）。

たとえば \(\sin\theta = \dfrac{2}{3}\) で \(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\) なら、\(\cos\theta\) は正なので

\[ \cos\theta = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \]

です。\(\dfrac{\pi}{2} \le \theta \le \pi\) なら、同じ計算で \(\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) になります。

警告符号を決めずに \(\sqrt{\ }\) を書く

\(\cos\theta = \pm\sqrt{1-\sin^{2}\theta}\) のままでは、答えになりません。問題文はふつう象限や範囲を与えますので、それがあれば \(1\) つに決めてください。与えられていないときは、\(2\) つとも書きます。

ただし、\(2\) 乗だけで決まる量（あとで出てくる \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta\) など）は、象限がなくても \(1\) つに決まります。

3. Tangent from sine and cosine（角を求めずに \(\tan\theta\) を出す）

\(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) でした（SL 3.5）。だから \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) がそろえば、\(\theta\) そのものを求めなくても \(\tan\theta\) が出ます。

さきほどの例（\(\sin\theta = \dfrac{2}{3}\)、\(\theta\) は鋭角）なら

\[ \tan\theta = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

です。\(\theta\) を電卓で出してから \(\tan\) を取ると、正確な値でなくなります。 Paper 1 では特に、この道すじで進みます。

4. Double angle identity for sine（\(\sin 2\theta\) の \(2\) 倍角の公式）

double angle identity（\(2\) 倍角の公式）は、角を \(2\) 倍したときの値を、もとの角の値で表す式です。\(\sin 2\theta\) を、\(\theta\) の \(\sin\) と \(\cos\) で書きかえる公式は、次のとおりです。

\[ \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \tag{3}\]

重要

公式集の 3.6 の欄に Double angle identities の \(1\) つとして印刷されています。

\(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)

\(\sin 2\theta\) は \(2\sin\theta\) ではありません。 \(\sin\) は「かっこの中身に働く」もので、外に出せません。

さきほどの例なら

\[ \sin 2\theta = 2 \times \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{9} \]

です。

例題 1 It is given that \(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\), where \(\theta\) is acute.

(a) Find the exact value of \(\cos\theta\).

(b) Find the exact value of \(\tan\theta\).

(c) Find the exact value of \(\sin 2\theta\).

(d) Explain why the sign of \(\cos\theta\) is determined by the information given.

(a) 式 2 に入れます。\(\theta\) が鋭角なので \(\cos\theta\) は正です。

\[ \cos^{2}\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \ \Rightarrow \ \cos\theta = \frac{4}{5} \]

(b) 比を取ります（第 3 節）。

\[ \tan\theta = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \]

(c) 式 3 です。

\[ \sin 2\theta = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \]

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

The identity gives \(\cos^{2}\theta = \dfrac{16}{25}\), so \(\cos\theta = \pm\dfrac{4}{5}\).

Because \(\theta\) is acute, the point on the unit circle at angle \(\theta\) lies in the first quadrant, where the \(x\)-coordinate is positive.

Since \(\cos\theta\) is that \(x\)-coordinate, the negative value is rejected and \(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\).

（恒等式から \(\cos^{2}\theta = \dfrac{16}{25}\) となり、\(\cos\theta = \pm\dfrac{4}{5}\) である。\(\theta\) が鋭角なので、角 \(\theta\) にある単位円上の点は第 \(1\) 象限にあり、\(x\) 座標は正である。\(\cos\theta\) はその \(x\) 座標なので、負のほうは捨てられて \(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\) である、という意味です。）

検算（(a) について）。 \(3\)-\(4\)-\(5\) の直角三角形で見ます。 \(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\) は「対辺 \(3\)、斜辺 \(5\)」の形です。残りの辺は \(\sqrt{25-9} = 4\) で、\(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\) ✓ 恒等式を通らない道すじでも同じです。

検算（(b) について）。 もとに戻します。 \(\tan\theta = \dfrac{3}{4}\) なら、対辺 \(3\)、隣辺 \(4\)、斜辺 \(5\) です。\(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\) にもどりました ✓

検算（(c) について）。 大きさで見ます。 \(\sin 2\theta = \dfrac{24}{25} = 0.96\) で、\(1\) 以下です ✓ また \(\sin\theta = 0.6\) より大きいので、\(2\theta\) は \(\theta\) より \(\dfrac{\pi}{2}\) に近いことになります。\(\theta \approx 37°\)、\(2\theta \approx 74°\) なので、筋が通っています。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(\cos^{2}\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\), and \(\theta\) acute \[\cos\theta = \frac{4}{5}\]

(b) \(\tan\theta = \dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}\) \[\tan\theta = \frac{3}{4}\]

(c) \(\sin 2\theta = 2\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{4}{5}\right)\) \[\sin 2\theta = \frac{24}{25}\]

(d) \(\cos\theta = \pm\dfrac{4}{5}\), and \(\theta\) acute puts the point in the first quadrant, where the \(x\)-coordinate is positive.

5. Double angle identity for cosine（\(\cos 2\theta\) の \(3\) つの形）

\(\cos 2\theta\) は、\(\theta\) だけの式に直せます。しかも書き方が \(3\) つあります。どれも同じもので、Pythagorean identity で移り合います。

図 2: \(\cos 2\theta\) の \(3\) つの形です。

\[ \cos 2\theta = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta = 2\cos^{2}\theta - 1 = 1 - 2\sin^{2}\theta \tag{4}\]

重要

公式集の 3.6 の欄に、\(3\) つの形がまとめて印刷されています。

\(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta\)

\(3\) つは同じ値の書きかえです。式 2 を入れるだけで移り合います。図 2 にその道すじを描いてあります。

さきほどの例なら、\(\sin\theta\) だけを使う形が早いです。

\[ \cos 2\theta = 1 - 2 \times \frac{4}{9} = \frac{1}{9} \]

自分が出した値を電卓に入れて確かめます。\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の値を小数で入れ、\((\sin\theta)^{2}+(\cos\theta)^{2}\) を計算します。\(1\) から離れたら、どちらかの値がまちがっているか、途中で丸めすぎています。

\(\theta\) そのものを入れて \(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\) を計算しても、確かめにはなりません。 恒等式なので、どんな \(\theta\) でも \(1\) が返ります。\(\sin 2\theta\) を確かめたいときは、\(\theta\) を出してから \(\sin(2\theta)\) を直接計算し、自分の \(2\sin\theta\cos\theta\) の値とくらべます。

Angle の設定は Radian にしておきます（SL 3.4）。

Paper 1 は電卓がないので、この確かめ方はできません。 このページの例題と演習は、すべて手で解ける形にしてあります。正確な値を求める問題は電卓では答えが出せないので、恒等式は Paper 1 の道具です。

例題 2 It is given that \(\cos x = \dfrac{3}{4}\), where \(x\) is acute.

(a) Find the exact value of \(\sin x\).

(b) Find the exact value of \(\sin 2x\).

(c) Find the exact value of \(\cos 2x\).

(d) Explain why \(2x\) is also acute.

(a) \(x\) が鋭角なので \(\sin x\) は正です。

\[ \sin^{2}x = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \ \Rightarrow \ \sin x = \frac{\sqrt{7}}{4} \]

(b) 式 3 です。

\[ \sin 2x = 2 \times \frac{\sqrt{7}}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{8} \]

(c) \(\cos x\) だけを使う形を選びます（第 5 節）。

\[ \cos 2x = 2 \times \frac{9}{16} - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8} \]

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

Since \(x\) is acute, \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\), so \(0 < 2x < \pi\).

From part (c), \(\cos 2x = \dfrac{1}{8}\), which is positive.

On \(0 < 2x < \pi\) the cosine is positive only for \(0 < 2x < \dfrac{\pi}{2}\): on the unit circle the \(x\)-coordinate is \(0\) at \(2x = \dfrac{\pi}{2}\) and negative for \(\dfrac{\pi}{2} < 2x < \pi\).

Hence \(2x\) is acute.

（\(x\) が鋭角なので \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\)、したがって \(0 < 2x < \pi\) である。(c) から \(\cos 2x = \dfrac{1}{8}\) で正である。\(0 < 2x < \pi\) では、余弦が正になるのは \(0 < 2x < \dfrac{\pi}{2}\) のときだけである。\(2x = \dfrac{\pi}{2}\) では \(x\) 座標が \(0\)、\(\dfrac{\pi}{2} < 2x < \pi\) では負だからである。よって \(2x\) は鋭角である、という意味です。）

検算（(a) について）。 \(2\) 乗の和で見ます。 \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right)^{2} = \dfrac{9}{16}+\dfrac{7}{16} = 1\) ✓

検算（(b) について）。 \(1\) 以下か見ます。 \(\sqrt{7} \approx 2.65\) なので \(\dfrac{3\sqrt{7}}{8} \approx 0.99\) です。\(1\) 以下で、しかも \(1\) に近い ✓ \(2x\) が \(\dfrac{\pi}{2}\) に近いことと合っています。

検算（(c) について）。 別の形で出し直します。 \(\cos^{2}x - \sin^{2}x = \dfrac{9}{16} - \dfrac{7}{16} = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8}\) ✓ \(3\) つの形は同じ値を返します。

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(\sin^{2}x = 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}\), and \(x\) acute \[\sin x = \frac{\sqrt{7}}{4}\]

(b) \(\sin 2x = 2\left(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right)\left(\dfrac{3}{4}\right)\) \[\sin 2x = \frac{3\sqrt{7}}{8}\]

(c) \(\cos 2x = 2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2} - 1\) \[\cos 2x = \frac{1}{8}\]

(d) \(0 < 2x < \pi\) and \(\cos 2x > 0\), so \(2x\) is in the first quadrant.

例題 3 It is given that \(\sin\theta = -\dfrac{5}{13}\), where \(\theta\) lies in the third quadrant.

(a) Find the exact value of \(\cos\theta\).

(b) Find the exact value of \(\tan\theta\).

(c) Find the exact value of \(\sin 2\theta\).

(d) Find the exact value of \(\cos 2\theta\), and explain why \(2\theta\) lies in the first quadrant.

(a) 第 \(3\) 象限では \(\cos\theta\) は負です（SL 3.5）。

\[ \cos^{2}\theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \ \Rightarrow \ \cos\theta = -\frac{12}{13} \]

(b) 比を取ります。負を負で割るので正です。

\[ \tan\theta = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{12} \]

(c) 式 3 です。

\[ \sin 2\theta = 2 \times \left(-\frac{5}{13}\right) \times \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{120}{169} \]

(d) \(\sin\theta\) だけを使う形が早いです。

\[ \cos 2\theta = 1 - 2 \times \frac{25}{169} = 1 - \frac{50}{169} = \frac{119}{169} \]

explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

From parts (c) and (d), \(\sin 2\theta = \dfrac{120}{169} > 0\) and \(\cos 2\theta = \dfrac{119}{169} > 0\).

On the unit circle the point at angle \(2\theta\) has \(x\)-coordinate \(\cos 2\theta\) and \(y\)-coordinate \(\sin 2\theta\).

Both coordinates are positive, and that happens only in the first quadrant, so \(2\theta\) lies in the first quadrant.

（(c) と (d) から \(\sin 2\theta = \dfrac{120}{169} > 0\)、\(\cos 2\theta = \dfrac{119}{169} > 0\) である。角 \(2\theta\) にある単位円上の点は、\(x\) 座標が \(\cos 2\theta\)、\(y\) 座標が \(\sin 2\theta\) である。どちらの座標も正になるのは第 \(1\) 象限だけなので、\(2\theta\) は第 \(1\) 象限にある、という意味です。）

検算（(a) について）。 \(5\)-\(12\)-\(13\) の直角三角形で見ます。 \(5^{2}+12^{2} = 25+144 = 169 = 13^{2}\) ✓ 大きさは \(\dfrac{12}{13}\) で、符号を象限から付けました。

検算（(c) について）。 符号で見ます。 第 \(3\) 象限では \(\sin\theta\) も \(\cos\theta\) も負なので、その積は正です。\(\sin 2\theta > 0\) ✓

検算（(d) について）。 別の形で出し直します。 \(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta = \dfrac{144}{169} - \dfrac{25}{169} = \dfrac{119}{169}\) ✓ また \(\left(\dfrac{120}{169}\right)^{2}+\left(\dfrac{119}{169}\right)^{2} = \dfrac{14400+14161}{28561} = 1\) で、単位円の上の点になっています ✓

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(\cos^{2}\theta = \dfrac{144}{169}\), third quadrant so negative \[\cos\theta = -\frac{12}{13}\]

(b) \(\tan\theta = \dfrac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}\) \[\tan\theta = \frac{5}{12}\]

(c) \(\sin 2\theta = 2\left(-\dfrac{5}{13}\right)\left(-\dfrac{12}{13}\right)\) \[\sin 2\theta = \frac{120}{169}\]

(d) \(\cos 2\theta = 1 - 2\left(\dfrac{5}{13}\right)^{2}\) \[\cos 2\theta = \frac{119}{169}\]

Both \(\sin 2\theta\) and \(\cos 2\theta\) are positive, so \(2\theta\) is in the first quadrant.

例題 4 (a) Show that \(\dfrac{1 - \cos 2\theta}{2} = \sin^{2}\theta\).

(b) Hence find the exact value of \(\sin^{2}\dfrac{\pi}{8}\).

(c) Show that \(\dfrac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \tan\theta\), where \(\cos\theta \neq 0\).

(d) Explain why the identity in part (c) cannot be used when \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\).

(a) Show that なので、つなぐ過程を書きます。 式 4 の \(3\) つ目の形を使います。

\[ \frac{1 - \cos 2\theta}{2} = \frac{1 - (1 - 2\sin^{2}\theta)}{2} = \frac{2\sin^{2}\theta}{2} = \sin^{2}\theta \]

(b) \(\theta = \dfrac{\pi}{8}\) とすると \(2\theta = \dfrac{\pi}{4}\) で、表の値が使えます（SL 3.5）。

\[ \sin^{2}\frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \]

(c) 分子は 式 3、分母は \(2\cos^{2}\theta - 1\) の形を使います。

\[ 1 + \cos 2\theta = 1 + (2\cos^{2}\theta - 1) = 2\cos^{2}\theta \]

\[ \frac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{2\cos^{2}\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta \]

\(\cos\theta \neq 0\) なので、約分してよいことに注意します。

(d) Explain why なので、英語で理由を書きます。

試験ではこう書く

At \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) we have \(\cos\theta = 0\), so \(\tan\theta\) is not defined.

The left-hand side fails as well: \(\cos 2\theta = \cos\pi = -1\), so the denominator \(1 + \cos 2\theta\) is \(0\).

Both sides are undefined, so the identity cannot be used at this angle.

（\(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) では \(\cos\theta = 0\) なので \(\tan\theta\) が定まらない。左辺も同じで、\(\cos 2\theta = \cos\pi = -1\) だから分母 \(1 + \cos 2\theta\) が \(0\) になる。両辺とも定まらないので、この角では使えない、という意味です。）

検算（(a) について）。 数でためします。 \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) とすると、左辺は \(\dfrac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \dfrac{1}{4}\)、右辺は \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\) ✓

検算（(b) について）。 大きさで見ます。 \(\sqrt{2} \approx 1.41\) なので \(\dfrac{2-\sqrt{2}}{4} \approx 0.146\) です。\(\dfrac{\pi}{8}\) は \(\dfrac{\pi}{6}\) より小さいので、\(\sin^{2}\) は \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = 0.25\) より小さいはずです ✓

検算（(c) について）。 数でためします。 \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) とすると、左辺は \(\dfrac{\sin\frac{\pi}{2}}{1+\cos\frac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{1+0} = 1\)、右辺は \(\tan\dfrac{\pi}{4} = 1\) ✓

ノート解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta\) \[\frac{1 - (1 - 2\sin^{2}\theta)}{2} = \sin^{2}\theta\]

(b) with \(\theta = \dfrac{\pi}{8}\), \(\cos 2\theta = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \[\sin^{2}\frac{\pi}{8} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}\]

(c) \(1 + \cos 2\theta = 2\cos^{2}\theta\), and \(\cos\theta \neq 0\), so \[\frac{2\sin\theta\cos\theta}{2\cos^{2}\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta\]

(d) \(\cos\dfrac{\pi}{2} = 0\), so \(\tan\theta\) is undefined and \(1 + \cos\pi = 0\) makes the denominator zero.

Why it works

なぜ、ピタゴラスの恒等式が成り立つのでしょうか。 単位円の上の点 \(P\) から \(x\) 軸に垂線を下ろすと、直角三角形ができます。横の辺の長さは \(|\cos\theta|\)、縦の辺は \(|\sin\theta|\)、斜辺は半径なので \(1\) です。

ピタゴラスの定理から

\[ |\cos\theta|^{2} + |\sin\theta|^{2} = 1^{2} \]

で、\(2\) 乗すると絶対値は消えます。だから 式 1 です。\(P\) が軸の上にあるときは三角形がつぶれますが、そのときも座標が \((\pm 1,\ 0)\) か \((0,\ \pm 1)\) なので、式はそのまま成り立ちます。どんな \(\theta\) でも成り立つのは、このためです。

\(2\) 倍角の式そのものは、公式集に印刷されているところから出発します。 導き方は SL の範囲外なので、ここでは「\(3\) つの形がなぜ同じものか」を見ます。

なぜ、\(\cos 2\theta\) に \(3\) つの形があるのでしょうか。 \(1\) つ目の形 \(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\) を出発点にします。ここに 式 2 を入れます。

\(\sin^{2}\theta = 1 - \cos^{2}\theta\) を入れると

\[ \cos^{2}\theta - (1 - \cos^{2}\theta) = 2\cos^{2}\theta - 1 \]

です。代わりに \(\cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta\) を入れると

\[ (1 - \sin^{2}\theta) - \sin^{2}\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta \]

です。\(3\) つは別々の公式ではなく、同じ式の書きかえです。だからどれを使っても同じ値になります。

なぜ、\(\theta\) を求めずに \(\tan\theta\) が出せるのでしょうか。 \(\tan\theta\) の定義が \(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) という比だからです。比を作るのに必要なのは \(2\) つの値だけで、角そのものは要りません。

これは実用上も大事です。\(\sin\theta = \dfrac{2}{3}\) のような値では、\(\theta\) は正確な値になりません。途中で \(\theta\) を通ると、そこで正確さが失われます。

Common errors

警告\(\sin 2\theta = 2\sin\theta\) と書く

\(\sin\) は外に出せません（第 4 節）。正しくは \(2\sin\theta\cos\theta\) です。

警告\(\cos^{2}\theta\) を \(\cos(\theta^{2})\) と読む

\(\cos^{2}\theta\) は \((\cos\theta)^{2}\) です（第 1 節）。

警告\(\cos 2\theta\) の \(3\) つの形を混ぜる

\(1 - 2\sin^{2}\theta\) と \(2\cos^{2}\theta - 1\) です（式 4）。\(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) を入れると、どちらも \(\dfrac{1}{2}\) になるはずです。

警告象限の指定を読み落とす

「acute」「in the third quadrant」などは、符号を決めるための条件です（第 2 節）。

警告\(\theta\) を電卓で出してから比を取る

Paper 1 では電卓がありませんし、Paper 2 でも正確な値でなくなります（第 3 節）。

警告\(\tan\) を含む書きかえを、使えない角で使う

\(\cos\theta = 0\) の角では \(\tan\theta\) が定まりません（SL 3.5）。

Exercises

1 It is given that \(\sin\theta = \dfrac{4}{5}\), where \(\theta\) is acute. Find the exact value of \(\cos\theta\).

\[\cos^{2}\theta = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\]

\(\theta\) acute, so

\[\cos\theta = \frac{3}{5}\]

式 2 に入れてから、象限で符号を決めます（第 2 節）。

検算。 \(3\)-\(4\)-\(5\) の直角三角形で見ます。 対辺 \(4\)、斜辺 \(5\) なら残りは \(3\) です ✓ 恒等式を通らない道すじでも同じです。

\(\pm\) のまま止めないでください。 「acute」が符号を決めています。

2 It is given that \(\cos\theta = -\dfrac{8}{17}\), where \(\theta\) lies in the second quadrant. Find the exact value of \(\sin\theta\).

\[\sin^{2}\theta = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}\]

second quadrant, so

\[\sin\theta = \frac{15}{17}\]

第 \(2\) 象限では \(\sin\theta\) が正です（SL 3.5）。\(\cos\theta\) が負でも、\(2\) 乗すれば符号は消えます。

検算。 \(8\)-\(15\)-\(17\) の直角三角形で見ます。 \(64+225 = 289 = 17^{2}\) ✓

\(-\dfrac{15}{17}\) としないでください。 負になるのは第 \(3\)・第 \(4\) 象限です。

3 It is given that \(\sin\theta = \dfrac{1}{3}\).

(a) Given also that \(\theta\) is acute, find the exact value of \(\tan\theta\).

(b) If no quadrant is given, find the possible values of \(\tan\theta\).

(a) \(\theta\) acute, so

\[\cos\theta = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

\[\tan\theta = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\]

(b) \(\cos\theta = \pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\), so

\[\tan\theta = \pm\frac{\sqrt{2}}{4}\]

\(\theta\) を求めずに、比だけで出します（第 3 節）。\(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\) を有理化すると \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) です。

  1. では象限が決まらないので、\(\cos\theta\) の符号が \(2\) とおりあります（第 2 節）。\(\sin\theta\) が正なので \(\theta\) は第 \(1\) 象限か第 \(2\) 象限で、第 \(1\) 象限なら \(\tan\theta\) は正、第 \(2\) 象限なら負です。大きさは同じです。

検算。 もとに戻します。 対辺 \(1\)、隣辺 \(2\sqrt{2}\) なら斜辺は \(\sqrt{1+8} = 3\) で、\(\sin\theta = \dfrac{1}{3}\) にもどります ✓

検算（(b) について）。 符号の表で見ます。 第 \(2\) 象限では \(\tan\theta\) が負でした（SL 3.5）。\(-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) と符号が合っています ✓

\(\theta\) を電卓で出さないでください。 正確な値でなくなります。

4 It is given that \(\cos\theta = \dfrac{7}{25}\), where \(\theta\) is acute. Find the exact value of \(\sin 2\theta\).

\[\sin\theta = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \frac{24}{25}\]

\[\sin 2\theta = 2\left(\frac{24}{25}\right)\left(\frac{7}{25}\right) = \frac{336}{625}\]

まず \(\sin\theta\) を出してから、式 3 に入れます。

検算。 \(7\)-\(24\)-\(25\) の直角三角形で見ます。 \(49+576 = 625 = 25^{2}\) ✓ また \(\dfrac{336}{625} \approx 0.54\) で \(1\) 以下です ✓

\(2\sin\theta\) としないでください。 \(\cos\theta\) をかけ忘れています。

5 It is given that \(\sin\theta = \dfrac{1}{4}\). Find the exact value of \(\cos 2\theta\).

\[\cos 2\theta = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^{2} = 1 - \frac{1}{8}\]

\[\cos 2\theta = \frac{7}{8}\]

\(\sin\theta\) だけを使う形を選びます（第 5 節）。この形なら象限が分からなくても答えが出ます。 \(\sin\theta\) が \(2\) 乗で入るからです。

検算。 もう \(1\) つの形でも出します。 \(\cos^{2}\theta = 1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16}\) なので \(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta = \dfrac{15}{16} - \dfrac{1}{16} = \dfrac{14}{16} = \dfrac{7}{8}\) ✓ 符号を決めずにすみました。

検算（大きさで）。 \(\sin\theta = 0.25\) は小さいので、\(\theta\) も \(2\theta\) も \(0\) に近く、\(\cos 2\theta\) は \(1\) に近いはずです。\(\dfrac{7}{8} = 0.875\) ✓

象限を探さないでください。 この問題では要りません。

6 It is given that \(\cos\theta = -\dfrac{1}{3}\). Find the exact value of \(\cos 2\theta\).

\[\cos 2\theta = 2\left(-\frac{1}{3}\right)^{2} - 1 = \frac{2}{9} - 1\]

\[\cos 2\theta = -\frac{7}{9}\]

\(\cos\theta\) だけを使う形です（第 5 節）。\(2\) 乗するので、負号は消えます。

検算。 \(\sin\) の形でも出します。 \(\sin^{2}\theta = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}\) なので \(1 - 2 \times \dfrac{8}{9} = 1 - \dfrac{16}{9} = -\dfrac{7}{9}\) ✓

\(-1\) を忘れないでください。 \(\dfrac{2}{9}\) で止めると別の値です。

7 Show that \(\dfrac{\sin 2\theta}{2\sin\theta} = \cos\theta\), where \(\sin\theta \neq 0\).

\[\frac{\sin 2\theta}{2\sin\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{2\sin\theta}\]

\(\sin\theta \neq 0\), so

\[\frac{\sin 2\theta}{2\sin\theta} = \cos\theta\]

Show that なので、分子を書きかえて約分する過程を書きます（式 3）。

検算。 数でためします。 \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) とすると、左辺は \(\dfrac{\sin\frac{\pi}{3}}{2\sin\frac{\pi}{6}} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)、右辺は \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ✓

\(\sin\theta \neq 0\) を書き落とさないでください。 約分の条件です。

8 It is given that \(\sin\theta = k\), where \(-1 < k < 1\). Explain why \(\cos 2\theta\) can be found from \(k\) alone, but \(\cos\theta\) cannot.

\(\cos 2\theta = 1 - 2k^{2}\) uses only \(k^{2}\), but \(\cos\theta = \pm\sqrt{1 - k^{2}}\) is non-zero and needs the quadrant to fix the sign.

Explain why なので、\(2\) 乗が入るかどうかを根拠として書きます（式 4、式 2）。

検算。 \(2\) つの角でためします。 \(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\) のとき、\(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) なら \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) なら \(\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) でちがいます。ところが \(\cos 2\theta\) はどちらも \(1 - 2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\) で同じです ✓

試験ではこう書く

The identity \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta\) involves \(\sin\theta\) only through \(\sin^{2}\theta\), and squaring removes the sign, so the value of \(\sin\theta\) alone determines \(\cos 2\theta\).

By contrast \(\cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta\) gives \(\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^{2}\theta}\), and for \(-1 < \sin\theta < 1\) the two signs occur for different quadrants with the same \(\sin\theta\).

So \(\cos\theta\) needs the quadrant as well.

9 Find the exact value of \(\cos^{2}\dfrac{\pi}{12} - \sin^{2}\dfrac{\pi}{12}\).

\[\cos^{2}\frac{\pi}{12} - \sin^{2}\frac{\pi}{12} = \cos\left(2 \times \frac{\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{6}\]

\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]

式 4 を右から左に読みます。\(\cos^{2} - \sin^{2}\) の形を見たら、\(2\) 倍角にまとめられます。

検算。 大きさで見ます。 \(\dfrac{\pi}{12} = 15°\) は小さいので、\(\cos^{2}\) が \(1\) に近く \(\sin^{2}\) は \(0\) に近くなります。差は \(1\) より少し小さいはずで、\(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87\) ✓

\(\dfrac{\pi}{12}\) の値を別々に出そうとしないでください。 表にありません。

10 It is given that \(\sin\theta = \dfrac{15}{17}\), where \(\theta\) is acute. A student writes \(\sin 2\theta = 2\sin\theta = \dfrac{30}{17}\). Identify the error, and find the exact value of \(\sin 2\theta\).

The student has treated \(\sin\) as if it could be taken outside; the identity is \(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\).

\[\cos\theta = \frac{8}{17}, \qquad \sin 2\theta = 2\left(\frac{15}{17}\right)\left(\frac{8}{17}\right) = \frac{240}{289}\]

Identify the error なので、どこが違うのかを名指ししてから、正しい答えを書きます（第 4 節）。

検算。 範囲で見ます。 生徒の値 \(\dfrac{30}{17} \approx 1.76\) は \(1\) を超えていて、\(\sin\) の値になりえません。この時点でまちがいと分かります ✓ 正しい値 \(\dfrac{240}{289} \approx 0.83\) は \(1\) 以下です。

\(8\)-\(15\)-\(17\) の直角三角形から \(\cos\theta = \dfrac{8}{17}\) が出ます（\(225+64 = 289\)）。

試験ではこう書く

The error is treating \(\sin 2\theta\) as \(2\sin\theta\): the sine of a doubled angle is not double the sine, and the correct identity is \(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\).

The student’s value \(\dfrac{30}{17}\) is greater than \(1\), which is impossible for a sine.

Since \(\theta\) is acute, \(\cos\theta = \sqrt{1 - \dfrac{225}{289}} = \dfrac{8}{17}\), so \(\sin 2\theta = 2\left(\dfrac{15}{17}\right)\left(\dfrac{8}{17}\right) = \dfrac{240}{289}\).