SL 2.2 — Functions, domain, range and the inverse function（関数・定義域・値域・逆関数）

What you should be able to do

function（関数）とは何かを説明し、関数でないものと見分けられる。
$f(x)$、$v(t)$、$C(n)$ のような function notation（関数の書き方）を読み書きできる。
domain（定義域）と range（値域）を、式からもグラフからも求められる。
関数を、現実の場面のモデルとして使える。
inverse function（逆関数）$f^{-1}$ が「$f$ をもとに戻すもの」だと説明できる。
$y = f^{-1}(x)$ のグラフが、$y = f(x)$ のグラフを $y = x$ について折り返したものだと分かる。

The idea

1. What a function is（関数とは、入力 $1$ つに出力 $1$ つ）

function（関数）とは、input（入力）$1$ つに対して、output（出力）がちょうど $1$ つ決まる対応のことです。

「ちょうど $1$ つ」がポイントです。$2$ つ出てきてもいけませんし、$1$ つも出てこなくてもいけません。

表 1: 「ちょうど $1$ つ」を確かめる

対応	関数か	理由
$x \mapsto 3x+1$	関数	$x$ を決めれば、値が $1$ つ決まる
$x \mapsto$「$2$ 乗すると $x$ になる数」	関数ではない	$x = 9$ で $3$ と $-3$ の $2$ つ出る
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$	$x \neq 0$ なら関数	$x = 0$ では値が出ない

表 1 の $3$ 行目のように、$1$ つも出てこない $x$ があるときは、そこを domain から外します（第 3 節）。

関数かどうかは、グラフでは、縦線を引いて確かめられます。 グラフに縦線（$x =$ 定数）を引いたとき、$2$ か所以上で交わるところがあれば、関数ではありません。$1$ つの $x$ に $2$ つの $y$ があるからです。これを vertical line test（縦線のテスト）と言います。

図 1: 縦線は、関数のグラフとは $1$ か所で、この円とは $2$ か所で交わります。

図 1 の左は関数です。どこに縦線を引いても、交わるのは $1$ か所だけです。右の円 $x^{2} + y^{2} = 1$ は関数ではありません。 $x = 0$ のとき $y = 1$ と $y = -1$ の $2$ つが出るからです。

2. Function notation（関数の書き方）

関数は、$f(x)$、$v(t)$、$C(n)$ のような記号で書きます。これを function notation（関数の書き方）といいます。

$f(x)$ は「$f$ という関数に $x$ を入れたときの出力」という意味です。文字の選び方は表 2 のとおり、場面に合わせます。

$f(x)$ は「$f$ かける $x$」ではありません

$f(3)$ と書いたら、$f \times 3$ ではなく、$x$ のところに $3$ を入れた値です。

$f(x) = 4x - 7$ なら、$f(3) = 4(3) - 7 = 5$ です。

文字は $f$ と $x$ でなくてもかまいません。 場面に合わせて選びます。

表 2: 中の文字は、場面に合わせて選ぶ

書き方	読み方	場面
$f(x)$	$x$ の関数 $f$	一般の関数
$v(t)$	時刻 $t$ の関数 $v$	速さが時刻で決まるとき
$C(n)$	個数 $n$ の関数 $C$	費用が個数で決まるとき

3. Domain（定義域）

domain（定義域）とは、入力として使ってよい $x$ 全体のことです。

domain の決まり方は $2$ 通りあります。

(i) 問題文が指定する。 「for $x \ge 0$」のように書いてあれば、それが domain です。

(ii) 指定がなければ、式が意味をもつ最大の範囲。

指定がないときに domain を狭めることが多いのは、次の $2$ つです。

表 3: domain を狭めるもの

見るところ	条件	例
分母	$0$ にならないこと	$\dfrac{1}{x-3}$ なら $x \neq 3$
根号の中	$0$ 以上であること	$\sqrt{2-x}$ なら $2 - x \ge 0$、つまり $x \le 2$

たとえば $f(x) = \sqrt{2-x}$ の domain は $x \le 2$ です。この関数の range は、次の節で求めます。

4. Range（値域）

range（値域）とは、出力として実際に出てくる値全体のことです。

「$y$ に何を入れてよいか」ではありません。 「$x$ を domain の中で動かしたとき、$f(x)$ がどこまで届くか」です。

$f(x) = \sqrt{2-x}$ で見ます。

根号の値は負になりません。だから $f(x) \ge 0$ です。
$x$ を小さくすれば $2 - x$ はいくらでも大きくなるので、$f(x)$ はいくらでも大きくなれます。
$x = 2$ のとき $f(2) = 0$ なので、$0$ も実際に出ます。

ですから range は $f(x) \ge 0$ です。

$\ge 0$ と $> 0$ を分けてください

$0$ が実際に出るかどうかを確かめます。$f(x) = \sqrt{2-x}$ では $x = 2$ で $0$ が出るので $f(x) \ge 0$ です。

もし domain が $x < 2$ と指定されていたら、$0$ は出ないので range は $f(x) > 0$ になります。domain を変えると、range も変わることがあります。 ただし、変わらないこともあります（$f(x) = x^{2}+1$ は、domain が実数全体でも $x \ge 0$ でも range は $f(x) \ge 1$ のままです）。range は、そのつど domain から確かめ直してください。

例題 1 The function $f$ is defined by $f(x) = \sqrt{3x - 6}$.

(a) Find the domain of $f$.

(b) Find the range of $f$.

(c) Find $f(5)$.

(d) Find the value of $x$ for which $f(x) = 6$.

日本語訳

関数 $f$ は $f(x) = \sqrt{3x-6}$ で定められています。

(a) $f$ の定義域を求めなさい。

(b) $f$ の値域を求めなさい。

(c) $f(5)$ を求めなさい。

(d) $f(x) = 6$ となる $x$ の値を求めなさい。

解説と解答例

(a) 根号の中が $0$ 以上でなければなりません（表 3）。

\[ 3x - 6 \ge 0 \ \Rightarrow \ 3x \ge 6 \ \Rightarrow \ x \ge 2 \]

(b) 根号の値は負になりません。$x$ を大きくすれば $3x-6$ はいくらでも大きくなり、$x = 2$ では $0$ が出ます（第 4 節）。

\[ f(x) \ge 0 \]

(c) $x$ に $5$ を入れます。

\[ f(5) = \sqrt{3(5) - 6} = \sqrt{9} = 3 \]

(d) 両辺を $2$ 乗します。

\[ 3x - 6 = 36 \ \Rightarrow \ 3x = 42 \ \Rightarrow \ x = 14 \]

検算（(a) について）。 domain の境目の外側で、実際に値が出ないことを見ます。 $x = 1$ とすると $3(1) - 6 = -3$ で、$\sqrt{-3}$ は実数の値をもちません ✓ 境目の $x = 2$ では $\sqrt{0} = 0$ が出ます ✓

検算（(d) について）。 出した $x$ を、もとの式に入れ直します。

\[ f(14) = \sqrt{3(14) - 6} = \sqrt{36} = 6 \]

$6$ になりました ✓ $2$ 乗した式ではなく、根号のある元の式に戻すのがポイントです。

(d) で $2$ 乗を忘れて $3x - 6 = 6$、$x = 4$ としていたら、$f(4) = \sqrt{6}$ となり、$6$ とは合いません。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) $3x - 6 \ge 0$ \[x \ge 2\]

(b) \[f(x) \ge 0\]

(c) \[f(5) = \sqrt{9} = 3\]

(d) $3x - 6 = 36$ \[x = 14\]

5. Domain and range from a graph（グラフから定義域と値域を読む）

グラフがあれば、domain と range は、グラフを軸に落とした影として読めます。

図 2: $f(x) = \sqrt{2-x}$ の定義域と値域を、軸に落とした影として読みます。

図 2 が、その読み方です。

表 4: 影として読む

求めるもの	見るところ	書き方
domain	グラフを $x$ 軸に落とした影	$x \le 2$ のように、$x$ で書く
range	グラフを $y$ 軸に落とした影	$f(x) \ge 0$ のように、$f(x)$ か $y$ で書く

domain は $x$、range は $f(x)$ で書きます

range の答えを「$x \ge 0$」と書いてしまう誤りが、とてもよく起こります。range は出力の話なので、$f(x)$ か $y$ で書いてください。

書き終えたら、自分の答えが入力の話か出力の話かを、もう一度読み返す習慣をつけてください。

6. Mathematical models（関数は、現実の場面のモデルになる）

関数は、現実の場面を表す mathematical model（数理モデル）としても使います。

ポスターを $n$ 枚刷る費用が $C(n) = 45 + 3n$ ドルだとします。$C(20) = 45 + 60 = 105$ ドルです。

場面の domain は、式の domain より狭いことがあります

$45 + 3n$ という式だけを見れば、$n$ にはどんな実数でも入れられます。しかし枚数としては、$n$ は $0$ 以上の整数でなければなりません。

式として定義できる範囲と、場面として意味のある範囲は別ものです。文章題では、場面のほうを答えます。

例題 2 A tank is being emptied. The volume of water in the tank, in litres, after $t$ minutes is $V(t) = 120 - 8t$.

(a) Find $V(5)$.

(b) Find the time at which the tank is empty.

(c) State the domain of $V$ in this context.

(d) A student calculates $V(20) = -40$ and says that the tank contains $-40$ litres after $20$ minutes. Comment on this statement.

日本語訳

あるタンクの水が抜かれています。$t$ 分後のタンクの水の量は、リットルで $V(t) = 120 - 8t$ です。

(a) $V(5)$ を求めなさい。

(b) タンクが空になる時刻を求めなさい。

(c) この場面での $V$ の定義域を述べなさい。

(d) ある生徒が $V(20) = -40$ と計算し、$20$ 分後にタンクには $-40$ リットル入っていると言いました。この発言について述べなさい。

解説と解答例

(a) $t$ に $5$ を入れます。

\[ V(5) = 120 - 8(5) = 120 - 40 = 80 \]

$5$ 分後に $80$ リットルです。

(b) 空になるのは $V(t) = 0$ のときです。

\[ 120 - 8t = 0 \ \Rightarrow \ 8t = 120 \ \Rightarrow \ t = 15 \]

$15$ 分後です。

(c) 時刻は負になりませんし、空になったあとはこの式が使えません（第 6 節）。

\[ 0 \le t \le 15 \]

(d) Comment on なので、英語で判断とその理由を書きます。

試験ではこう書く

The arithmetic is correct, but the conclusion is not.

The expression $120 - 8t$ only models the tank while there is still water in it, and from part (b) the tank is empty at $t = 15$.

The value $t = 20$ lies outside the domain $0 \le t \le 15$, so $V(20)$ has no meaning in this context.

A volume cannot be negative.

The model simply stops applying at $t = 15$; after that the tank stays empty, so the volume is $0$ litres, not $-40$ litres.

（計算そのものは正しいが、結論は正しくない。$120-8t$ という式は、タンクに水が残っているあいだだけをモデルにしている。(b) より $t = 15$ で空になる。$t = 20$ は定義域 $0 \le t \le 15$ の外なので、$V(20)$ はこの場面では意味をもたない。体積は負にならない。このモデルは $t = 15$ で役目を終える。それより後は現実にはタンクは空のままで、量は $0$ リットルであって $-40$ リットルではない、という意味です。）

検算（(a) について）。 別の見方でも出します。 $1$ 分で $8$ リットル減るので、$5$ 分では $40$ リットル減ります。$120 - 40 = 80$ ✓

検算（(b) について）。 出した $t$ を、もとの式に入れ直します。$V(15) = 120 - 120 = 0$ ✓

検算（(c) について）。 (b) と同じ計算を繰り返しても検算にはなりません。範囲の外側で、場面として意味が壊れることを見ます。 $t = -1$ は水を抜き始める前なので、この式では扱えません ✓ $t = 20$ とすると $V(20) = 120 - 160 = -40$ となり、水の量が負になってしまいます ✓ 意味をもつのは $0 \le t \le 15$ だけです。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[V(5) = 120 - 40 = 80 \ \text{litres}\]

(b) $120 - 8t = 0$ \[t = 15 \ \text{minutes}\]

(c) \[0 \le t \le 15\]

(d) The arithmetic is correct but $t = 20$ is outside the domain $0 \le t \le 15$, so $V(20)$ has no meaning here. The tank is empty from $t = 15$ onwards.

7. Inverse functions（逆関数は、もとに戻す関数）

関数の働きを、逆にたどる関数を見ます。図は、$y = f^{-1}(x)$ が $y = f(x)$ を直線 $y = x$ で折り返したものであることを示しています。

図 3: $y = f^{-1}(x)$ は、$y = f(x)$ を直線 $y = x$ で折り返したグラフです。

inverse function（逆関数）$f^{-1}$ は、$f$ がしたことをもとに戻す関数です。

$f(x) = 4x - 7$ で見ます。$f(3) = 5$ でした。逆に、$5$ から $3$ に戻すのが $f^{-1}$ です。（この $f$ は、ちがう $x$ からは必ずちがう値が出るので、戻し先が $1$ つに決まります。この条件は、このあと one-to-one として整理します。）

\[ f(3) = 5 \qquad \Longleftrightarrow \qquad f^{-1}(5) = 3 \tag{1}\]

これを言いかえると、「$f(x) = 10$ を解く」ことと「$f^{-1}(10)$ を求める」ことは、同じ作業です。$f^{-1}$ の式を作らなくても、$f^{-1}$ の値は求められます（$f^{-1}(10)$ が欲しければ、$f(x) = 10$ を解けばよいからです）。

逆関数がいつでもあるとは限りません。 逆関数があるのは、関数が one-to-one のときだけです。

one-to-one（$1$ 対 $1$）とは、ちがう入力からは、必ずちがう出力が出るということです。$f(x) = x^{2}$（domain が実数全体）は $f(3) = f(-3) = 9$ なので one-to-one ではなく、$f^{-1}(9)$ が $2$ 通りになってしまいます。これでは関数になりません。

one-to-one かどうかは、グラフでは、横線を引いて確かめられます。 グラフに横線（$y =$ 定数）を引いたとき、$2$ か所以上で交わるところがあれば、one-to-one ではありません。これを horizontal line test（横線のテスト）と言います。

図 4: 横線は、$y = 4x-7$ とは $1$ か所で、$y = x^{2}$ とは $2$ か所で交わります。

図 4 の左 $y = 4x-7$ は、どこに横線を引いても交わるのは $1$ か所だけなので one-to-one です。右の $y = x^{2}$ は $2$ か所で交わるので、one-to-one ではありません。

vertical line test（第 1 節）とは、見るものがちがいます。 縦線は「関数かどうか」、横線は「one-to-one かどうか」です。

domain と range は、そっくり入れかわります。 $f^{-1}$ の domain は $f$ の range であり、$f^{-1}$ の range は $f$ の domain です。

$f^{-1}(x)$ は $\dfrac{1}{f(x)}$ ではありません

右上の $-1$ は、指数ではなく「逆」の印です。

$f(x) = 4x-7$ のとき、$f^{-1}(5) = 3$ ですが、$\dfrac{1}{f(5)} = \dfrac{1}{13}$ です。まったく別のものです。

グラフでは、$y = f^{-1}(x)$ は $y = f(x)$ を $y = x$ について折り返したものになります（図 3）。

Paper 2 では、電卓で値と range を確かめられます

TI-Nspire の Calculator 画面で Define f1(x)= に続けて $\sqrt{3x-6}$ と入れて関数を定義しておくと、f1(5) と打つだけで値が出ます。根号は ctrl + x² のテンプレートで、見た目のまま入ります。文章題で同じ関数を何度も使うときに楽です。

Graphs 画面にそのまま f1(x) を入れれば、グラフから range の見当も付けられます。ただし、画面に見えている範囲がすべてではありません。 端の様子は、式に戻って確かめてください。

Paper 1 では使えません。 このページの例題と演習は、すべて手で解ける形にしてあります。

例題 3 The function $f$ is defined by $f(x) = 4x - 7$.

(a) Find $f(3)$.

(b) Write down $f^{-1}(5)$.

(c) Find the value of $x$ for which $f(x) = 21$.

(d) Hence write down $f^{-1}(21)$.

日本語訳

関数 $f$ は $f(x) = 4x - 7$ で定められています。

(a) $f(3)$ を求めなさい。

(b) $f^{-1}(5)$ を書きなさい。

(c) $f(x) = 21$ となる $x$ の値を求めなさい。

(d) それを使って、$f^{-1}(21)$ を書きなさい。

解説と解答例

(a) $x$ に $3$ を入れます。

\[ f(3) = 4(3) - 7 = 12 - 7 = 5 \]

(b) (a) で $f(3) = 5$ が出ています。$f^{-1}$ はこれをもとに戻すのですから（式 1）、

\[ f^{-1}(5) = 3 \]

(c) 方程式を解きます。

\[ 4x - 7 = 21 \ \Rightarrow \ 4x = 28 \ \Rightarrow \ x = 7 \]

(d) Hence なので、(c) の結果をそのまま使います。$f(7) = 21$ が分かったのですから、

\[ f^{-1}(21) = 7 \]

検算（(b) について）。 $f^{-1}$ の値を、$f$ に入れ直します。 $f(3) = 4(3) - 7 = 5$ ✓ 逆関数の答えは、もとの関数に入れて確かめられます。 ただしこれは (a) を計算し直しているだけなので、見つけられるのは (a) の計算ちがいです。

検算（(c) と (d) について）。 (c) の答えを、もとの式に入れ直します。$4(7) - 7 = 28 - 7 = 21$ ✓ (d) は (c) と同じ事実を左右から見たものなので、(d) だけを別に確かめることはできません。 第 7 節で見た「$f(x) = 10$ を解くことと $f^{-1}(10)$ を求めることは同じ」が、ここに現れています。

別の角度から、大きさで見当を付けます。 $f$ は $x$ が増えると増えるので、入れる値が大きければ戻ってくる値も大きいはずです。$21 > 5$ に対して $f^{-1}(21) = 7 > 3 = f^{-1}(5)$ ✓

$f^{-1}(5)$ を $\dfrac{1}{f(5)} = \dfrac{1}{13}$ としていたら、意味が違います。$-1$ は指数ではありません（第 7 節）。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[f(3) = 12 - 7 = 5\]

(b) \[f^{-1}(5) = 3\]

(c) $4x - 7 = 21$ \[x = 7\]

(d) \[f^{-1}(21) = 7\]

例題 4 The function $f$ is defined by $f(x) = x^{2} + 1$, with domain $x \in \mathbb{R}$.

(a) Find $f(3)$ and $f(-3)$.

(b) Explain why $f$ does not have an inverse function.

The domain of $f$ is now restricted to $x \ge 0$.

(c) Find the range of $f$.

(d) Hence write down $f^{-1}(10)$.

日本語訳

関数 $f$ は $f(x) = x^{2} + 1$（定義域は実数全体）で定められています。

(a) $f(3)$ と $f(-3)$ を求めなさい。

(b) $f$ が逆関数をもたない理由を説明しなさい。

$f$ の定義域を $x \ge 0$ に制限します。

(c) $f$ の値域を求めなさい。

(d) それを使って、$f^{-1}(10)$ を書きなさい。

解説と解答例

(a) それぞれ入れます。

\[ f(3) = 9 + 1 = 10, \qquad f(-3) = 9 + 1 = 10 \]

(b) Explain why なので、英語で理由を書きます。(a) の値をそのまま根拠に使えます。

試験ではこう書く

From part (a), $f(3) = 10$ and $f(-3) = 10$, so two different inputs give the same output and $f$ is not one-to-one.

An inverse function would have to send $10$ back to a single input, but both $3$ and $-3$ would have to be that input.

Since an inverse function must give exactly one output for each input, no inverse function exists.

（(a) より $f(3) = 10$、$f(-3) = 10$ であり、ちがう $2$ つの入力から同じ出力が出るので、$f$ は $1$ 対 $1$ ではない。逆関数があるとすれば、$10$ を $1$ つの入力に戻さなければならないが、$3$ と $-3$ の両方がその入力になってしまう。逆関数も、入力 $1$ つに出力 $1$ つでなければならないので、逆関数は存在しない、という意味です。）

(c) $x^{2}$ は負になりません。$x = 0$ は domain の中にあり、そのとき $x^{2} = 0$ が出ます。ですから

\[ f(x) \ge 1 \]

(d) Hence なので、(c) で調べた制限後の $f$ で考えます。$x \ge 0$ に限れば、$x$ が大きくなるほど $x^{2}+1$ も大きくなるので、ちがう $2$ つの入力が同じ値になることはもうありません。制限後の $f$ は one-to-one で、逆関数をもちます。また $10 \ge 1$ なので、$10$ は (c) の range の中にあり、$f^{-1}(10)$ の値が確かに定まります。(a) より $f(3) = 10$ で、$3$ は $x \ge 0$ の中にありますから

\[ f^{-1}(10) = 3 \]

domain を狭めても、range は変わらないことがあります

この $f$ は、domain が実数全体のときも range は $f(x) \ge 1$ でした。$x \ge 0$ に狭めても range は同じです。狭めた目的は range を変えることではなく、one-to-one にして逆関数をもたせることです。

検算（(c) について）。 境目の値が実際に出るかを見ます。 $x = 0$ で $f(0) = 1$ ✓ また、$1$ より小さい値、たとえば $f(x) = 0$ が出るとすると $x^{2} = -1$ となり、実数の $x$ はありません ✓

検算（(d) について）。 $f^{-1}$ の値を $f$ に入れ直します。$f(3) = 10$ ✓ $-3$ ではいけません。 制限した domain $x \ge 0$ に入っていないからです。

(b) を「グラフが放物線だから」だけで済ませていたら、理由になっていません。ちがう入力から同じ出力が出る具体例を挙げるのがポイントです。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[f(3) = 10, \qquad f(-3) = 10\]

(b) $f(3) = f(-3) = 10$, so $f$ is not one-to-one and $10$ cannot be sent back to a single input.

(c) \[f(x) \ge 1\]

(d) \[f^{-1}(10) = 3\]

Why it works

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なぜ、$y = f^{-1}(x)$ のグラフは $y = x$ について対称になるのでしょうか。

$f(a) = b$ だとします。逆関数は、これをもとに戻すのですから $f^{-1}(b) = a$ です（式 1）。

ここで、グラフの上の点として見ます。

$f(a) = b$ は、点 $(a, b)$ が $y = f(x)$ のグラフの上にある、ということです。
$f^{-1}(b) = a$ は、点 $(b, a)$ が $y = f^{-1}(x)$ のグラフの上にある、ということです。

つまり、座標を入れかえた点になります。 あとは、$(a,b)$ と $(b,a)$ が $y = x$ について対称であることを見ればよいわけです。

$a = b$ のときは、点 $(a,b)$ 自身が $y = x$ の上にあり、折り返しても動きません。ですから、以下は $a \neq b$ の場合を見ます。

このとき、$2$ 点を結ぶ線分の gradient（傾き）は

\[ \frac{a - b}{b - a} = -1 \]

です。$y = x$ の傾きは $1$ で、$1 \times (-1) = -1$ ですから、この線分は $y = x$ と垂直です（SL 2.1 の平行と垂直の条件です）。

また、$2$ 点の中点は

\[ \left( \frac{a+b}{2}, \ \frac{b+a}{2} \right) \]

で、$x$ 座標と $y$ 座標が等しいので、$y = x$ の上にあります。

垂直に交わり、中点が $y = x$ の上にある。 これが「$y = x$ について対称」ということです。

なぜ one-to-one でないと逆関数がないのでしょうか。 $f(3) = f(-3) = 9$ のように、ちがう入力から同じ出力が出てしまうと、$f^{-1}$ に $9$ を入れたときの出力が $3$ と $-3$ の $2$ つになってしまいます。入力 $1$ つに出力 $1$ つという第 1 節の条件を満たさないので、$f^{-1}$ は関数になれないのです。

Common errors

$f(x)$ を「$f$ かける $x$」と読む

$f(3)$ は $f \times 3$ ではなく、$x$ に $3$ を入れた値です（第 2 節）。

$f(a+b)$ も $f(a) + f(b)$ ではありません。かっこの中を、まるごと $x$ の場所に入れます。

range の答えを $x$ で書く

domain は $x$ で、range は $f(x)$ か $y$ で書きます（表 4）。

答えを書き終えたら、それが入力の話か出力の話かを読み返してください。

domain の条件を見落とす

見るところは、ふつう分母と根号の中の $2$ つです（表 3）。

$\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}$ のように両方あるときは、$x + 2 \ge 0$ だけでは足りません。分母が $0$ になってもいけないので $x > -2$ です。

$f^{-1}(x)$ と $\dfrac{1}{f(x)}$ を混同する

右上の $-1$ は指数ではありません（第 7 節）。

迷ったら、$f^{-1}$ は「もとに戻す」という言葉に置きかえて読んでください。

range を、実際に出るか確かめずに書く

「負にならないから $f(x) \ge 0$」と書く前に、$0$ が実際に出るかを確かめてください（第 4 節）。

$x$ が動ける範囲は domain で決まっています。domain を見ずに range は書けません。 domain が変われば range も変わることがあります（変わらないこともあります）。

文章題で、場面の制限を入れ忘れる

式としては何でも入れられても、枚数・人数は $0$ 以上の整数、時間は負にならない、といった制限があります（第 6 節）。

in this context と書かれていたら、場面のほうの答えを求められています。

Exercises

1 The function $f$ is defined by $f(x) = 5x - 2$.

(a) Find $f(4)$.

(b) Find the value of $x$ for which $f(x) = 13$.

日本語訳

関数 $f$ は $f(x) = 5x - 2$ で定められています。

(a) $f(4)$ を求めなさい。

(b) $f(x) = 13$ となる $x$ の値を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[f(4) = 20 - 2 = 18\]

(b) $5x - 2 = 13$ \[x = 3\]

解説

(a) は代入、(b) は方程式です。同じ式を、左から読むか右から読むかの違いです（第 7 節）。

検算（(b) について）。 出した $x$ を、もとの式に入れ直します。$5(3) - 2 = 13$ ✓

大きさの見当も付きます。 $f(4) = 18$ で、$13$ はそれより小さい。$f$ は $x$ が増えると増えるので、答えは $4$ より小さいはずです。$3 < 4$ ✓

2 Find the domain of the function $g(x) = \dfrac{1}{x+4}$.

日本語訳

関数 $g(x) = \dfrac{1}{x+4}$ の定義域を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

The denominator must not be zero: $x + 4 \neq 0$

\[x \neq -4\]

解説

分母が $0$ になる $x$ だけを外します（表 3）。指定がないので、それ以外はすべて入ります。

検算。 外した値のすぐ両側で、値が出ることを見ます。$x = -3$ なら $g(-3) = \dfrac{1}{1} = 1$ ✓ $x = -5$ なら $g(-5) = \dfrac{1}{-1} = -1$ ✓ $x = -4$ だけが $\dfrac{1}{0}$ になり、値をもちません ✓

「$x > -4$」と書いていたら、$-4$ より小さい値まで外してしまっています。外すのは $1$ 点だけです。

3 Find the domain of the function $h(x) = \sqrt{2x + 6}$.

日本語訳

関数 $h(x) = \sqrt{2x + 6}$ の定義域を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[2x + 6 \ge 0\]

\[x \ge -3\]

解説

根号の中が $0$ 以上、という条件です。$2x \ge -6$ の両辺を $2$ で割ります。割るのが正の数なので、ここでは不等号の向きは変わりません（負の数で割るときは変わります。演習 $10$ を見てください）。

検算。 境目の外側で、値が出ないことを見ます。$x = -4$ なら $2(-4) + 6 = -2$ で、$\sqrt{-2}$ は実数の値をもちません ✓ 境目の $x = -3$ では $\sqrt{0} = 0$ が出ます ✓

符号の見当も付きます。 $2x + 6$ は $x$ が増えると増えるので、条件を満たすのは「ある値以上」の側です ✓

4 The function $f$ is defined by $f(x) = x^{2} - 3$, with domain $x \ge 0$. Find the range of $f$.

日本語訳

関数 $f$ は $f(x) = x^{2} - 3$（定義域は $x \ge 0$）で定められています。$f$ の値域を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

For $x \ge 0$, $x^{2} \ge 0$, and $x^{2} = 0$ when $x = 0$.

\[f(x) \ge -3\]

解説

$x^{2}$ の最小は $0$ で、そこから $3$ を引きます（第 4 節）。

検算。 境目が実際に出るかを見ます。 $x = 0$ で $f(0) = -3$ ✓ また $f(x) = -4$ になるとすると $x^{2} = -1$ で、実数の $x$ はありません ✓

答えを「$x \ge -3$」と書いていたら、文字が違います。range は $f(x)$ で書きます（表 4）。

5 The function $f$ is defined by $f(x) = 2x + 9$. Find $f^{-1}(15)$.

日本語訳

関数 $f$ は $f(x) = 2x + 9$ で定められています。$f^{-1}(15)$ を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

\[2x + 9 = 15\]

\[f^{-1}(15) = 3\]

解説

$f^{-1}(15)$ を求めることは、$f(x) = 15$ を解くことです（式 1）。$f^{-1}$ の式を作る必要はありません。

検算。 出した値を $f$ に入れ直します。$f(3) = 6 + 9 = 15$ ✓

$\dfrac{1}{f(15)} = \dfrac{1}{39}$ としていたら、$-1$ を指数として読んでいます（第 7 節）。

6 The cost, in dollars, of hiring a hall for $n$ hours is $C(n) = 60 + 5n$.

(a) Find $C(12)$.

(b) Find the number of hours for which the cost is $\$210$.

日本語訳

ホールを $n$ 時間借りる費用は、ドルで $C(n) = 60 + 5n$ です。

(a) $C(12)$ を求めなさい。

(b) 費用が $\$210$ になる時間数を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[C(12) = 60 + 60 = 120\]

(b) $60 + 5n = 210$ \[n = 30\]

解説

(a) は代入、(b) は方程式です（第 6 節）。

検算（(b) について）。 出した値を、もとの式に入れ直します。$C(30) = 60 + 150 = 210$ ✓

別の道でも出します。 $60$ ドルは時間によらずかかる分なので、時間で決まるのは $210 - 60 = 150$ ドルです。$1$ 時間あたり $5$ ドルですから $150 \div 5 = 30$ 時間 ✓

$12$ 時間で $120$ ドルだったから、$210$ ドルはその $1.75$ 倍で $21$ 時間、とはなりません。 $60$ ドルの固定分があるので、費用と時間は比例していません。

7 The function $f$ is defined by $f(x) = \sqrt{x - 1}$. Find the domain and the range of $f$.

日本語訳

関数 $f$ は $f(x) = \sqrt{x-1}$ で定められています。$f$ の定義域と値域を求めなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

Domain: $x - 1 \ge 0$ \[x \ge 1\]

Range: \[f(x) \ge 0\]

解説

domain は根号の中の条件から、range は根号の値の性質からです（第 3 節、第 4 節）。

検算（domain について）。 $x = 0$ とすると $\sqrt{-1}$ で、実数の値をもちません ✓ $x = 1$ では $\sqrt{0} = 0$ が出ます ✓

検算（range について）。 $0$ が実際に出るかを見ます。$x = 1$ で $f(1) = 0$ ✓ また、大きい値も出ます。$f(5) = \sqrt{4} = 2$、$f(10) = 3$ ✓

domain と range で、文字を書き分けてください。 片方は $x$、もう片方は $f(x)$ です。

8 The function $f$ has an inverse function, and $f(2) = 7$.

(a) Write down $f^{-1}(7)$.

(b) Write down the coordinates of a point on the graph of $y = f^{-1}(x)$.

日本語訳

関数 $f$ は逆関数をもち、$f(2) = 7$ です。

(a) $f^{-1}(7)$ を書きなさい。

(b) $y = f^{-1}(x)$ のグラフ上の点の座標を $1$ つ書きなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[f^{-1}(7) = 2\]

(b) \[(7, \ 2)\]

解説

(a) は式 1 そのままです。

(b) $f^{-1}(7) = 2$ という式が、そのまま「点 $(7,2)$ が $y = f^{-1}(x)$ のグラフの上にある」ことを意味します。

検算。 座標が入れかわっているかを見ます。 $f(2) = 7$ から、点 $(2,7)$ は $y = f(x)$ のグラフの上にあります。$y = x$ について折り返すと $(7,2)$ になります（図 3）✓

$(2,7)$ と答えていたら、折り返す前の点です。どちらのグラフの上の点を聞かれているかを読み返してください。

9 The function $f$ is defined by $f(x) = (x-3)^{2}$, with domain $x \in \mathbb{R}$.

(a) Find $f(1)$ and $f(5)$.

(b) Explain why $f$ does not have an inverse function.

日本語訳

関数 $f$ は $f(x) = (x-3)^{2}$（定義域は実数全体）で定められています。

(a) $f(1)$ と $f(5)$ を求めなさい。

(b) $f$ が逆関数をもたない理由を説明しなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

(a) \[f(1) = (-2)^{2} = 4, \qquad f(5) = 2^{2} = 4\]

(b) $f(1) = f(5) = 4$, so two different inputs give the same output and $f$ is not one-to-one. An inverse function would have to send $4$ back to a single input, so no inverse function exists.

解説

(a) かっこの中を先に計算します。$1 - 3 = -2$ で、$(-2)^{2} = 4$ です。負の数の $2$ 乗は正になります。

(b) Explain why なので、(a) で見つけた具体例をそのまま根拠に使います（第 7 節）。

数は $1$ と $5$ でなくてもかまいません。同じ値になる、ちがう $2$ つの入力が $1$ 組あれば十分です。$x = 3$ から左右に同じだけ離れた $2$ 数なら、いつでも同じ値になります。

検算。 挙げた $2$ 数が、本当に同じ値になるかを確かめます。$f(1) = 4$、$f(5) = 4$ ✓ しかも $1 \neq 5$ ✓ この $2$ つがそろって、はじめて理由になります。

別の組でも確かめられます。 $f(2) = (-1)^{2} = 1$、$f(4) = 1^{2} = 1$ ✓ 同じ値になる組は $1$ 組だけではありません。

「グラフが放物線だから」だけでは、理由になりません。 なぜ放物線だと困るのかまで書いてください。

試験ではこう書く

From part (a), $f(1) = 4$ and $f(5) = 4$, so two different inputs give the same output and $f$ is not one-to-one.

An inverse function would have to send $4$ back to a single input, but both $1$ and $5$ would have to be that input, so $f$ has no inverse function on this domain.

10 A student is asked to find the domain of $f(x) = \sqrt{5 - x}$, and writes

\[ 5 - x \ge 0, \qquad x \ge 5 \]

Identify the error in the student’s work, and write down the correct domain.

日本語訳

ある生徒が、$f(x) = \sqrt{5-x}$ の定義域を求めるように言われ、上のように書きました。

生徒の計算の誤りを指摘し、正しい定義域を書きなさい。

解答例（答案用紙に書くこと）

The student did not reverse the inequality sign when dividing by $-1$.

\[-x \ge -5, \qquad x \le 5\]

解説

Identify the error なので、どこが違うのかを名指ししてから、正しい答えを書きます。

$5 - x \ge 0$ から $-x \ge -5$ です。ここで両辺を $-1$ で割る（または $-1$ を掛ける）ので、不等号の向きが変わります。

検算。 生徒の答えと正しい答えを、それぞれ式に入れて比べます。$x = 6$ は生徒の範囲に入っていますが、$\sqrt{5-6} = \sqrt{-1}$ となり値が出ません ✓ $x = 0$ は生徒の範囲の外ですが、$\sqrt{5}$ という値が出ます ✓ どちらの向きが正しいかは、$1$ つ入れてみれば決まります。

負の数で割ると向きが変わるのは、不等式の扱いでいちばん多い誤りです。割ったあとに、値を $1$ つ入れて確かめる習慣をつけてください。

試験ではこう書く

The error is in the last step: dividing both sides of $-x \ge -5$ by $-1$ reverses the inequality sign, but the student kept it the same.

The correct domain is $x \le 5$.

対応	関数か	理由
\(x \mapsto 3x+1\)	関数	\(x\) を決めれば、値が \(1\) つ決まる
\(x \mapsto\)「\(2\) 乗すると \(x\) になる数」	関数ではない	\(x = 9\) で \(3\) と \(-3\) の \(2\) つ出る
\(x \mapsto \dfrac{1}{x}\)	\(x \neq 0\) なら関数	\(x = 0\) では値が出ない

SL 2.2 — Functions, domain, range and the inverse function（関数・定義域・値域・逆関数）

The idea

1. What a function is（関数とは、入力 \(1\) つに出力 \(1\) つ）

2. Function notation（関数の書き方）

3. Domain（定義域）

4. Range（値域）

5. Domain and range from a graph（グラフから定義域と値域を読む）

6. Mathematical models（関数は、現実の場面のモデルになる）

7. Inverse functions（逆関数は、もとに戻す関数）

Why it works

Common errors

Exercises